1、 定积分与微积分基本定理高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率定积分的计算2015 湖南 112015 山东 13定积分的应用高考中对定积分的考查频率不是很高，主要是考查定积分的概念和几何性质，以及利用微积分定理计算定积分、使用定积分求曲边梯形的面积，并能解决一些简单的物理问题等在解题时要熟练运用微积分定理及定积分的相关运算性质求解，必要时运用数形结合的思想求解.2015 天津 112015 福建 132015 陕西 16考点 1 定积分的计算题组一 用牛顿莱布尼茨公式求定积分调研 1 若函数 ，则 _.1fxedfx【答案】2e【解析】 ，则 ，1fx2ee2e11ddln|fxxx故答
2、案为 .2e【名师点睛】本题主要考查微积分基本定理求函数的定积分，意在考查对基本定理的掌握与应用，属于简单题.调研 2 已知函数 ，则1(0)()cos2xf21()dfxA B112C2 D32【答案】D【解析】 . 20 02 2 210110 3()d()dcos()|sin|1xfxxx故选 D.技巧点拨1用牛顿莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5 ）计算原始定积分的
3、值.2分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加题组二 用定积分的几何意义求定积分调研 3 计算 .3(cos)dx【答案】0 【解析】 为奇函数， .3csyx3(cos)d0x故答案为 0.调研 4 已知函数 ，则2in,01fxx1fxA B2 2C D 4【答案】D【解析】 ， ，10120dsindfxxx00sincos|2x的几何意义是以原点为圆心，半径为 的圆的面积的 ，故120 14,4x，1d2f故选 D.技巧点拨1求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法 )，可操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定
4、积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分例如，定积分 的几何意义是求单位圆面积的 ，所以120dx 14.120d=4x2奇偶函数的定积分（1）若奇函数 y=f(x)的图象在a，a上连续，则 ；()d0afx（2）若偶函数 y=g(x)的图象在 a，a上连续，则 .02()daagx考点 2 定积分的应用题组一 利用定积分求平面图形的面积调研 1 已知 a0，若曲线 、 与 所围成的封闭区域的面积为 ，则yxa0y2a_.a【答案】49【解析】由题意 ，所以 a .32200d|aax49故答案为 .49调研 2 如图，若在矩形 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为
5、A B 1 2C D2 21【答案】A【名师点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.技巧点拨利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查难度一般不大，属中低档题型常见的题型及其解法如下：1利用定积分求平面图形面积的步骤根据题意画出图形；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案注意：当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；
6、当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零2知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值3与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.题组二 定积分的物理意义调研 3 一物体在变力 F(x)5 x 2(力单位：N，位移单位： m)作用下，沿与 F(x)成 30方向作直线运动，则由 x1 运动到 x2 时，F (x)作的功为A BJ 23JC D43【答案】C【解析】由于 与位移
7、方向成 角，如图：Fx30F 在位移方向上的分力 ，cos30F所以 .2 2 3211 1 45d5d5|2Wxxxx 故选 C.【名师点睛】本题体现了数形结合的思想方法.由物理学知识知，变力 所作的功对应Fx“位移力”，只要求 ，进而计算可得答案.215cos30dxx技巧点拨利 用 定 积 分 解 决 变 速 直 线 运 动 问 题 和 变 力 做 功 问 题 时 ， 关 键 是 求 出 物 体 做 变 速 直 线 运 动的 速 度 函 数 和 变 力 与 位 移 之 间 的 函 数 关 系 ， 确 定 好 积 分 区 间 ， 得 到 积 分 表 达 式 ， 再 利 用 微 积分 基 本
8、 定 理 计 算 即 得 所 求 .1 （北京市海淀区 2019 届高三第一学期期中数学试题） e1dxA B0 C 1 D e2 （江西省赣州市十四县（市）2019 届高三上学期期中联考数学试题）已知，若 ，则 的值为fx10dfxfaA B12 32C D 13 （湖北省荆州市 2019 届高三上学期质量检查（一）数学试题）等差数列 中，na，则该数列前 9 项的和 等于15dax 9SA15 B18C 21 D274 （四川省成都市棠湖中学 2019 届高三上学期第一次月考数学试题）如图所示，在边长为1 的正方形 中任取一点 ，则点 恰好取自阴影部分的概率为 OBPA B 14 15C
9、D16 175 （四川省成都外国语学校 2019 届高三开学考试数学试卷）已知二项式 的展912xa开式中 的系数为 ，则 的值为3x21e()daxA B 2e12e3C D23 256 （广东省深圳实验，珠海一中等六校 2019 届高三第二次联考数学试题）定义：分子为 1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把 1 分拆为若干个不同的单位分数之和.如： ,11=236425620， ，依此类推 ，其中1304793256mn，且 设 则*,mnN， si21()xmf， dnfxA5 B6 C 7 D97 （山东省日照一中 2019 届高三上学期第二次质量达标检测数学试题）在函数y=c
10、osx，x , 的图象上有一点 P（t ，cost） ，若该函数的图象与 x 轴、直线 x=t 围2成图形（如图阴影部分）的面积为 S，则函数 S=g（t ）的图象大致是A B C D 8 （甘肃省静宁县第一中学 2019 届高三上学期第一次模拟考试数学试题）设，则 =_.cos0,()12xf， 20()dfx9 （青海省西宁四中 2018-2019 学年高三（上）第二次模拟数学试题）由抛物线与直线 围成的平面图形的面积为_24yx3yx10 （陕西省西安中学 2019 届高三上学期期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，角的始边落在 x 轴的非负半轴上，终边上有一点是 ，若 ，则1,30,2
11、_cosd1 （ 2015 年高考湖南卷） 20(1)dx2 （ 2015 年高考天津卷）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 2yyx3 （2015 年高考山东卷）执行如图所示的程序框图，输出的 T 的值为 4 （2015 年高考福建卷）如图，点 A 的坐标为(1，0) ，点 C 的坐标为(2 ，4)，函数 f (x)=x2.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 5 （2015 年高考陕西卷）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示） ，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 定积分与微积分基本定理高考考点 命题分析 三
12、年高考探源 考查频率定积分的计算高考中对定积分的考查频率不是很高，主要是考查定积分的概念和几何性质，以及利用微积分定理计算定积分、使用定积分求曲边梯形的面积，并能解决一些简单的物理问题等在解题时要熟练运用微2015 湖南 112015 山东 13定积分的应用积分定理及定积分的相关运算性质求解，必要时运用数形结合的思想求解.2015 天津 112015 福建 132015 陕西 16考点 1 定积分的计算题组一 用牛顿莱布尼茨公式求定积分调研 1 若函数 ，则 _.1fxedfx【答案】2e【名师点睛】本题主要考查微积分基本定理求函数的定积分，意在考查对基本定理的掌握与应用，属于简单题.调研 2
13、 已知函数 ，则1(0)()cos2xf21()dfxA B112C2 D32【答案】D【解析】 . 20 02 2 210110 3()d()dcos()|sin|1xfxxx故选 D.技巧点拨1用牛顿莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5 ）计算原始定积分的值.2分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加题组二 用定积分的几何意义求定积分调研 3
14、 计算 .3(cos)dx【答案】0 【解析】 为奇函数， .3csyx3(cos)d0x故答案为 0.调研 4 已知函数 ，则2in,01fxx1fxA B2 2C D 4【答案】D【解析】 ， ，10120dsindfxxx00sincos|2x的几何意义是以原点为圆心，半径为 的圆的面积的 ，故120 14,4x，1d2f故选 D.技巧点拨1求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法 )，可操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分例如，定积分 的几何意义是求单位圆面积的 ，所以120dx 1
15、4.120d=4x2奇偶函数的定积分（1）若奇函数 y=f(x)的图象在a，a上连续，则 ()d0afx（2）若偶函数 y=g(x)的图象在 a，a上连续，则 .02()daagx考点 2 定积分的应用题组一 利用定积分求平面图形的面积调研 1 已知 a0，若曲线 、 与 所围成的封闭区域的面积为 ，则yxa0y2a_.a【答案】49【解析】由题意 ，所以 a .32200d|aax49故答案为 .49调研 2 如图，若在矩形 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为A B 1 2C D2 21【答案】A【名师点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.分别求
16、出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.技巧点拨利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查难度一般不大，属中低档题型常见的题型及其解法如下：1利用定积分求平面图形面积的步骤根据题意画出图形；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案注意：当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零2知图形的面积求参数求解此类题的突破口
17、：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值3与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.题组二 定积分的物理意义调研 3 一物体在变力 F(x)5 x 2(力单位：N，位移单位： m)作用下，沿与 F(x)成 30方向作直线运动，则由 x1 运动到 x2 时，F (x)作的功为A BJ 23JC D43【答案】C【名师点睛】本题体现了数形结合的思想方法.由物理学知识知，变力 所作的功对应Fx“位移力”，只要求 ，进而计算可得答案.215cos30dW
18、xx技巧点拨利 用 定 积 分 解 决 变 速 直 线 运 动 问 题 和 变 力 做 功 问 题 时 ， 关 键 是 求 出 物 体 做 变 速 直 线 运 动的 速 度 函 数 和 变 力 与 位 移 之 间 的 函 数 关 系 ， 确 定 好 积 分 区 间 ， 得 到 积 分 表 达 式 ， 再 利 用 微 积分 基 本 定 理 计 算 即 得 所 求 .1 （北京市海淀区 2019 届高三第一学期期中数学试题） e1dxA B0 C 1 D e【答案】C【解析】 ， .1lnxee1dln|x故选 C.【名师点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数或者
19、利用其几何意义，属于基础题先求出被积函数 的原函数，然后根据定积分的1定义求出所求即可.2 （江西省赣州市十四县（市）2019 届高三上学期期中联考数学试题）已知，若 ，则 的值为1fx0dfxfaA B12 32C D 1【答案】C【解析】由题得 ，所以 .10dfxfa210 1|,2,2xaa故答案为 C.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.直接利用微积分基本原理化简 即得 a 的值.10dfxf3 （湖北省荆州市 2019 届高三上学期质量检查（一）数学试题）等差数列 中，n，则该数列前 9 项的和 等于15dax 9SA15 B18
20、C 21 D27【答案】B【解析】 ，15dax21|x，1959 529218Sa故选 B.【名师点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用、等差数列的性质以及等差数列的求和公式，属于中档题.根据微积分基本定理可求得 ，由等差数列的求和公式结合52a等差数列的性质可得结果.解等差数列有关的问题时，一定要注意应用等差数列的性质（ ）与前 项和的关系.2pqmnraapqmnrn4 （四川省成都市棠湖中学 2019 届高三上学期第一次月考数学试题）如图所示，在边长为1 的正方形 中任取一点 ，则点 恰好取自阴影部分的概率为 OABCPA B 14 15C D6 7【答案】C【解析】根据题意，正方形
21、OABC 的面积为 11=1，而阴影部分由函数 y=x 与 y= 围成，其面积为 .31 2100()d|6xx则在正方形 OABC 中任取一点 P，点 P 取自阴影部分的概率为 6故答案为 .C【名师点睛】(1)本题主要考查几何概型的计算，考查定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.求出正方形 OABC 的面积，阴影部分由函数 y=x与 y= 围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可x得答案(2)几何概型的解题步骤:首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量
22、有关就是三维的问题） ；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件 构成的区A域长度（角度、弧长等） ，最后代公式 ；PA构 成 事 件 的 区 域 长 度试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.5 （四川省成都外国语学校 2019 届高三开学考试数学试卷）已知二项式 的展912xa开式中 的系数为 ，则 的值为3x21e()daxA B 2e12e3C D23 25【答案】B【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开
23、式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题根据二项式展开式的通项公式，令展开式中 x 的指数为 3 求出 r 的值，写出 x3 的系数，求得 a 的值，计算 的值e1()dax6 （广东省深圳实验，珠海一中等六校 2019 届高三第二次联考数学试题）定义：分子为 1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把 1 分拆为若干个不同的单位分数之和.如： ,11=236425620， ，依此类推 ，其中1304793256mn，且 设 则*,mnN， si21()xmf， dnfxA5 B6 C 7 D9【答案】C【解析】2=12，6=23，12=34，30=56，42=67，56=78，72=8
24、9，90=910，110=1011，132=1112，156=1213，1= + + + + + + + + + + + + =（1 ）126m1n3042156790132564+ + +（ ） ，n5 + = = ，m=13，n =20，即 si132()xf， .132013dd7nmfxfxfx故选 C.【名师点睛】本题考查归纳推理，考查定积分知识，考查学生的逻辑思维能力与计算能力，求得 m，n 的值是关键根据1= + + + + + + + + + + + + ，结合裂项相消法，可1261304215679013256得 + = = ，解得 m，n 值，根据奇函数的定积分为零，即可得
25、到结果.1mn32607 （山东省日照一中 2019 届高三上学期第二次质量达标检测数学试题）在函数y=cosx，x , 的图象上有一点 P（t ，cost） ，若该函数的图象与 x 轴、直线 x=t 围成图形（如图阴影部分）的面积为 S，则函数 S=g（t ）的图象大致是A B C D 【答案】B【解析】阴影部分的面积为 ，其中 ，函数2cosdin1tSgxt2t的图象是将正弦函数的图象向上平移一个单位.Ssin1gt故选 B.【名师点睛】本题考查定积分、正弦函数的图象及函数图象的平移等知识，主要考查学生的运算能力、转化能力.不规则图形面积的求解，应用定积分来求解.用定积分来表示阴影部分的
26、面积，并化简可得 ，其中 ，然后由函数图象sin1Sgtt2t平移可得所求函数的图象.8 （甘肃省静宁县第一中学 2019 届高三上学期第一次模拟考试数学试题）设，则 =_.cos0,()12xf， 20()dfx【答案】【解析】.222200 0()d()()d=cos1dsin02fxfxfxx故答案为 .【名师点睛】此题是计算题，要注意分段函数分段求解，利用了定积分的可加性.直接利用微积分基本定理求解即可.可将所求式子作如下转化，再代入函数解析式求解.2200()d()()dfxfxfx9 （青海省西宁四中 2018-2019 学年高三（上）第二次模拟数学试题）由抛物线与直线 围成的平面
27、图形的面积为_24y3y【答案】 6【解析】联立方程组 得， ， ，243yx12y6抛物线 与直线 所围成的平面图形的面积2yx62362214(3)d|4Syy故答案为 【名师点睛】本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，故求解时要恰当地选择积分变量达到简单解题的目的由题设条件，需要先求出抛物线 与直线 的交点坐标，以 y 作为积24yx3yx分变量分别计算出两曲线所围成的图形的面积10 （陕西省西安中学 2019 届高三上学期期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，角的始边落在 x 轴的非负半轴上，终边上有一点是 ，若 ，则1,30,2_
28、cosd【答案】 3【解析】易知 ， ， tan30,23则 23cosdi|siin32x 故答案为 .【名师点睛】本题考查了微积分基本定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题由 ， ，可得 再利用微积分基本定tan30,223，理即可得出1 （ 2015 年高考湖南卷） 20(1)dx【答案】0【解析】 .2200()()|420xx2 （ 2015 年高考天津卷）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 2yyx【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为 .1223100()d()|6xx3 （2015 年高考山东卷）执行如图所示的程序框图，输出的 T 的值为 【答案】
29、16【解析】开始 n=1，T =1，因为 13，所以 ，n=1+ 1=2；121200 3d|x因为 23，所以 ，n=2+ 1=3.131300231|6Tx因为 33 不成立，所以输出 T，即输出的 T 的值为 .4 （2015 年高考福建卷）如图，点 A 的坐标为(1，0) ，点 C 的坐标为(2 ，4)，函数 f (x)=x2.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 【答案】 512【解析】依题意知点 D 的坐标为 (1，4)，所以矩形 ABCD 的面积 S=14=4，阴影部分的面积 S 阴影 = ，根据几何概型的概率计算公式得，所32211 754d4| xx求的概率 P= 542阴 影5 （2015 年高考陕西卷）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示） ，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】 1.2
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