1、2018 年江苏省盐城市高考数学三模试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1 （5 分）已知 A（，m ，B（1，2，若 BA，则实数 m 的取值范围为 2 （5 分）设复数 （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为 3 （5 分）设数据 a1，a 2，a 3，a 4，a 5 的方差为 1，则数据 2a1，2a 2，2a 3，2a 4，2a 5 的方差为 4 （5 分）一个袋子中装有 2 个红球和 2 个白球（除颜色外其余均相
2、同） ，现从中随机摸出2 个球，则摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球的概率为 5 （5 分） “x2k + ，k Z”是“sinx ”成立的 条件（选填“充分不必要” 、“必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要” ）6 （5 分）运行如图所示的算法流程图，则输出 S 的值为 7 （5 分）若双曲线 的两条渐近线与抛物线 y24x 交于O，P， Q 三点，且直线 PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 8 （5 分）函数 的定义域为 9
3、 （5 分）若一圆锥的底面半径为 1，其侧面积是底面积的 3 倍，则该圆锥的体积为 第 2 页（共 30 页）10 （5 分）已知函数 为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为 ，则 的值为 11 （5 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn2a n+n（nN *） ，则数列 an的通项公式为an 12 （5 分）如图，在AB 1B8 中，已知 ，AB 16，AB 84，点B2，B 3，B 4，B 5，B 6，B 7 分别为边 B1B8 的 7 等分点，则当 i+j9（1i8）时，的最大值为 &n
4、bsp; 13 （5 分）定义：点 M（x 0，y 0）到直线 l：ax+by+c0 的有向距离为 ，已知点 A（ 1，0） ，B（1，0） ，直线 m 过点 P（3，0） ，若圆 x2+（y 18） 281 上存在一点 C，使得 A，B，C 三点到直线 m 的有向距离之和为 0，则直线 l 的斜率的取值范围为 14 （5 分）设ABC 的面积为 2，若角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 a2+2b2+3c2的最小值为 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15 （14 分）在四棱柱 ABCDA 1B1C1D
5、1 中，已知底面 ABCD 是菱形，AA 1平面ABCD， M、N 分别是棱 A1D1、D 1C1 的中点（1）证明：AC平面 DMN；（2）证明：平面 DMN平面在 BB1D1D第 3 页（共 30 页）16 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为边 BC 上的中线（1）若 a4，b2，AD1 ，求边 c 的长；（2）若 ，求角 B 的大小17 （14 分）如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为 400 米， ，且半径 OC 平分AOB 现拟在 OC 上选取一点 P，修建三条路 PO，PA，PB 供游人行走观赏，设PAO （1）将三条路 PO，PA
6、，PB 的总长表示为 的函数 l（） ，并写出此函数的定义域；（2）试确定 的值，使得 l（）最小18 （16 分）如图，已知 F1，F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，点P（2 ，3）是椭圆 C 上一点，且 PF1x 轴（1）求椭圆 C 的方程；（2）设圆 M：（xm） 2+y2r 2（r0） 设圆 M 与线段 PF2 交于两点 A，B，若 ，且 AB2，求 r 的值；设 m2，过点 P 作圆 M 的两条切线分别交椭圆 C 于 G，H 两点（异于点 P） 试问：是否存在这样的正数 r，使得 G，H 两点恰好关于坐标原点 O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由第 4 页（共 30
7、页）19 （16 分）若对任意实数 k，b 都有函数 yf （x）+kx+b 的图象与直线 ykx+b 相切，则称函数 f（x ）为 “恒切函数” 设函数 g（x）ae xxpa，a，pR（1）讨论函数 g（x）的单调性；（2）已知函数 g（x）为“恒切函数” 求实数 p 的取值范围；当 p 取最大值时，若函数 h（x）g（x）e xm 也为“恒切函数” ，求证： （参考数据：e 320）20 （16 分）在数列a n中，已知 a11，a 2，满足是等差数列（其中 n2，nN） ，且当 n 为奇数时，公差为 d；当 n 为偶数时，公差为d（1）当 1，d1 时，求 a8 的值；（2）当 d0
8、时，求证：数列 是等比数列；（3）当 1 时，记满足 ama 2 的所有 m 构成的一个单调递增数列为b n，试求数列bn的通项公式选做题 （在 21、22、23、24 四小题中只能选做 2 题，每小题 0 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）选修 4-1：几何证明选讲21如图，已知半圆 O 的半径为 5，AB 为半圆 O 的直径， P 是 BA 延长线上一点，过点 P作半圆 O 的切线 PC，切点为 C，CDAB 于 D若 PC 2PA，求 CD 的长第 5 页（共 30 页）选修 4-2：矩阵与变换22已知矩阵 M 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ，求矩阵 M 的另一个特征
9、值和对应的一个特征向量选修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同） ，设曲线 C 的极坐标方程为2，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长选修 4-5：不等式选讲）24已知正数 x，y ，z 满足 x+2y+3z2，求 x2+y2+z2 的最小值必做题 （第 25、26 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）25 （10 分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目 A，B，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用若甲、乙、丙三人通过
10、 A，B，C 每个项目测试的概率都是 （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 X，求 X 的概率分布和数学期望26 （10 分） （1）已知 ，比较 与 的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证： 第 6 页（共 30 页）2018 年江苏省盐城市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1 （5 分）已知 A（，m ，B（1，2，若 BA，则实数 m 的取值范围为 m2 【分析】利用子集定义和不等式性质直接求解【解答】解：A（，m ，B（1，
11、2，BA，m2，实数 m 的取值范围为2，+故答案为：2，+） 【点评】本题考查两个集合的子集的定义及运算，考查子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （5 分）设复数 （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为 1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解： 为纯虚数， ，即 a1故答案为：1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）设数据 a1，a 2，a 3，a 4，a 5 的方差为 1，则数据 2a1，2a 2，2a 3，2a 4，2a 5 的方差为 4
12、【分析】根据在一组数据的所有数字上都乘以同一个数字，得到的新数据的方差是原来数据的平方倍，求得结果【解答】解：数据 a1，a 2，a 3，a 4，a 5 的方差为 1，则数据 2a1，2a 2，2a 3，2a 4，2a 5 的方差为：1224故答案为：4【点评】本题考查了由一组数据的方差，求另一组数据方差的应用问题，是基础题第 7 页（共 30 页）4 （5 分）一个袋子中装有 2 个红球和 2 个白球（除颜色外其余均相同） ，现从中随机摸出2 个球，则摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球的概率为 【分析】基本事件总数 n 6，摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球
13、包含的基本事件个数 m 5，由此能求出摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球的概率【解答】解：一个袋子中装有 2 个红球和 2 个白球（除颜色外其余均相同） ，现从中随机摸出 2 个球，基本事件总数 n 6，摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球包含的基本事件个数 m 5，摸出的 2 个球中至少有 1 个是红球的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5 （5 分） “x2k + ，k Z”是“sinx ”成立的 充分不必要 条件（选填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”
14、 ）【分析】x2k+ ，kZsinx ，反之不成立，例如 x 即可判断出关系【解答】解：x2k + ，k Zsinx ，反之不成立，例如 x 因此 x2k+ ，kZ”是“sinx ”成立的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6 （5 分）运行如图所示的算法流程图，则输出 S 的值为 21 第 8 页（共 30 页）【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得k0，S0满足条件 S2
15、0，执行循环体，S1，k2满足条件 S20，执行循环体，S5，k4满足条件 S20，执行循环体，S21，k6此时，不满足条件 S20，退出循环，输出 S 的值为 21故答案为：21第 9 页（共 30 页）【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7 （5 分）若双曲线 的两条渐近线与抛物线 y24x 交于O，P， Q 三点，且直线 PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 【分析】利用已知条件求出 P 的坐标，代入渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 的两条渐近线与抛物线 y24x 交于
16、O，P，Q 三点，且直线 PQ 经过抛物线的焦点，可得 P（1，2） ，则 P 在双曲线的渐近线上，双曲线的一条渐近线方程：bxay0，可得 b2a，可得 c2a 24a 2，所以双曲线的离心率为：e 故答案为： 【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力8 （5 分）函数 的定义域为 （2，3 【分析】由对数式的真数大于 0，求解根式不等式得答案【解答】解：要使原函数有意义，则 ，第 10 页（共 30 页）即 ， ，即 2x3函数 的定义域为（2，3故答案为：（2，3【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查根式不等式的解法，是基础题9 （5 分）若一圆锥的底面半径为
17、1，其侧面积是底面积的 3 倍，则该圆锥的体积为 【分析】由已知求出圆锥的母线长，进一步求出高，代入体积公式得答案【解答】解：如图，由已知可得，OA1，则其底面积为 12，侧面积为 1PAPA，则 PA3，得 PA3PO 该圆锥的体积为 故答案为： 【点评】本题考查圆锥体积及侧面积的求法，是基础的计算题10 （5 分）已知函数 为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为 ，则 的值为 【分析】由题意利用两角和差的正弦公式、诱导公式，求出 的值，利用正弦函数的图象和性质求得 的值，可得函数的解析式，从而求得 的值第 11 页（共 30 页）【解答】解：函数 f（x ）
18、 sin（x+）cos（ x+）2sin（x+ ） （0 ，0）为偶函数， k+ ，kZ，令 k0，可得 根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为 ，可得 ，2 ，f（x）2sin （2x+ ）2cos2x， 2 ，故答案为： 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、诱导公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题11 （5 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn2a n+n（nN *） ，则数列 an的通项公式为an 2 n+1 【分析】利用 anS nS n1 构造新数列，即可求解数列a n的通项公式【解答】解：由 Sn2a n+n（n N*） ，当 n1 时，可得 S12a 1+1，即
19、a11当 n2 时，a nS nS n1 2a n+n（2a n1 +n1）2a n2a n1 +1即 an2a n1 1可得：（a n1）2（a n1 1）可得a n1是公比为 2 的等比数列，首项为2a n122 n1 即 an2 n+1故答案为：2 n+1【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前 n 项和之间的关系是解决本题的关键12 （5 分）如图，在AB 1B8 中，已知 ，AB 16，AB 84，点B2，B 3，B 4，B 5，B 6，B 7 分别为边 B1B8 的 7 等分点，则当 i+j9（1i8）时，第 12 页（共 30 页）的最大值为 &
20、nbsp;【分析】如图所示，由余弦定理可得：B 1B82 cosAB 1B8 ，可得sinAB 1B8 A B 1（0，0） ，B 2（ ） ，B3 ，B 4 ，B 5 ，B 6 ，B 7，B 8（2 ，0） 利用数量积运算性质即可得出【解答】解：如图所示，由余弦定理可得：B 1B8 2 cosAB 1B8 ，sinAB 1B8 A B1（0，0） ，B 2（ ） ，B 3 ，B 4 ，B 5 ，B 6，B 7 ，B 8（2 ，0） 12 同理可得： ， 故答案为： 第 13 页（共 30 页）【点评】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题1
21、3 （5 分）定义：点 M（x 0，y 0）到直线 l：ax+by+c0 的有向距离为 ，已知点 A（ 1，0） ，B（1，0） ，直线 m 过点 P（3，0） ，若圆 x2+（y 18） 281 上存在一点 C，使得 A，B，C 三点到直线 m 的有向距离之和为 0，则直线 l 的斜率的取值范围为 （， 【分析】设直线为 yk （x 3） ，根据新定义可得得 + + 0，整理化简，再根据直线和圆的位置关系即可求出【解答】解：设直线为 yk （x 3） ，即 kxy3k0，令 C（x ，y ） ，由题意可得 + + 0，化简可得 kxy9k 0，x 2+（y18） 281，直线轨迹应与圆有交点
22、， 9，解得 k故答案为：（， 【点评】本题考查了新定义“有向距离” 、点到直线的距离公式，推理能力与计算能力，第 14 页（共 30 页）属于中档题14 （5 分）设ABC 的面积为 2，若角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 a2+2b2+3c2的最小值为 8 【分析】利用余弦定理转化构造基本不等式以及三角函数的有界性求解即可【解答】解：由ABC 的面积为 2，即 bcsinA4a2+2b2+3c2b 2+c2+2b2+3c22bccosA3b 2+4c22bccosA3b 2+4c2 ，3b 2+4c22bc cosA2bc（ cosA） ，当且仅当 时取等号由
23、cosA+ sinA ，cosA sinA即 a2+2b2+3c22bc sinA故答案为：【点评】本题考查余弦定理和基本不等式的综合应用属于中档题二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15 （14 分）在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，已知底面 ABCD 是菱形，AA 1平面ABCD， M、N 分别是棱 A1D1、D 1C1 的中点（1）证明：AC平面 DMN；（2）证明：平面 DMN平面在 BB1D1D【分析】 （1）连接 A1C1，推导出 A1ACC1 为平行四边形，从而 A1C1AC推导出MNA 1C1，从而 ACMN由此能证明 AC平面 DMN（2）推导出 MNDD 1
24、A1C1B 1D1，由 MNA 1C1，得 MNB 1D1，再由MNDD 1，得 MN平面 A1B1C1D1由此能证明平面 DMN平面 BB1D1D【解答】证明：（1）连接 A1C1，在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，因为 ， ，第 15 页（共 30 页）所以 ，所以 A1ACC1 为平行四边形，所以 A1C1AC （2 分）又 M，N 分别是棱 A1D1，D 1C1 的中点，所以 MNA 1C1，所以 ACMN （4 分
25、）又 AC平面 DMN，MN平面 DMN，所以 AC平面 DMN （6 分）（2）因为四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 是直四棱柱，所以 DD1平面 A1B1C1D1，而 MN平面 A1B1C1D1，所以 MNDD 1
26、 （8 分）又因为棱柱的底面 ABCD 是菱形，所以底面 A1B1C1D1 也是菱形，所以 A1C1B 1D1，而 MNA 1C1，所以 MNB 1D1（10 分）又 MNDD 1，DD 1，B 1D1平面 A1B1C1D1，且 DD1B 1D1D 1，所以 MN平面 A1B1C1D1 &nbs
27、p; （12 分）而 MN平面 DMN，所以平面 DMN平面 BB1D1D （14分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是中档题16 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为边 BC 上的中线（1）若 a4，b2，AD1 ，求边 c 的长；（2）若 ，求角 B 的大小【分析】
28、 （1）在ADC 中根据余弦定理计算 cosC，再在ABC 中计算 c；第 16 页（共 30 页）（2）把 代入 化简即可得出 bcosAc，故 ABBC 【解答】解：（1）在ADC 中，因为 ，由余弦定理： 故在ABC 中，由余弦定理，得 ，所以 （2）因为 AD 为边 BC 上的中线，所以 ，所以 ，cbcos A ABBC， B90【点评】本题考查了余弦定理解三角形，平面向量的应用，属于中档题17 （14 分）如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为 400 米， ，且半径 OC 平分AOB 现拟在 OC 上选取一点 P，修建三条路 PO，PA，PB 供游人行走观赏，设PAO （1）
29、将三条路 PO，PA ，PB 的总长表示为 的函数 l（） ，并写出此函数的定义域；（2）试确定 的值，使得 l（）最小【分析】 （1）利用正弦定理求出 PO，PA，然后求解三条路 PO，PA，PB 的总长表示为的函数 l（） ，写出此函数的定义域；（2）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值即可【解答】解：（1）在APO 中，由正弦定理，得 ，即 ，从而 ， 第 17 页（共 30 页）（4 分）所以 l（） ，故所求函数为 ， &
30、nbsp; （6 分）（2）记 ，因为 ，（10 分）由 f'（）0，得 ，又 ，所以 （12 分）列表如下：f'（） 0 +f（） 递减 极小 递增所以，当 时，l（）取得最小值答：当 时，l（）最小 &
31、nbsp; （14 分）【点评】本题考查函数与导数的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力，题目比较新颖18 （16 分）如图，已知 F1，F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，点P（2 ，3）是椭圆 C 上一点，且 PF1x 轴（1）求椭圆 C 的方程；（2）设圆 M：（xm） 2+y2r 2（r0） 第 18 页（共 30 页）设圆 M 与线段 PF2 交于两点 A，B，若 ，且 AB2，求 r 的值；设 m2，过点 P 作圆 M 的两条切线分别交椭圆 C 于 G，H 两点（异于点 P） 试问：是否存在这样的正数 r，使得 G，H 两点恰好关于坐标原点 O 对称？若存在
32、，求出r 的值；若不存在，请说明理由【分析】 （1）利用已知条件转化求解 a4，b 212，得到椭圆方程（2） 通过斜率关系推出 ，求出 ，通过圆 M 与线段 PF2 交于两点A，B，推出 ，求解 m 然后求解 r 即可由 G，H 两点恰好关于原点对称，设 G（x 0，y 0） ，则 H（x 0，y 0） ，不妨设x00，因 P（ 2，3） ，m2，所以两条切线的斜率均存在，设过点 P 与圆 M 相切的直线斜率为 k，则切线方程为 y3k （x+2） ，利用点到直线的距离就是半径，转化求解即可【解答】解：（1）因点 P（2，3）是椭圆 C 上一点，且 PF1x 轴，所以椭圆的半焦距 c2，由
33、，得 ，所以 ，（2 分）化简得 a23a40，解得 a4，所以 b212，所以椭圆 C 的方程为 （4 分）（2） 因 ，所以 ，即 ，第 19 页（共 30 页）所以线段 PF2 与线段 AB 的中点重合（记为点 Q） ，由（1）知 ，（6 分）因圆 M 与线段 PF2 交于两点 A，B，所以 ，所以 ，解得 ，（8 分）所以 ，故 （10 分）由 G，H 两点恰好关于原点对称，设 G（x 0，y 0） ，则 H（x 0，y 0） ，不妨设x00，因 P（2，3） ，m2，所以两条切线的斜率均存在，设过点 P 与圆 M 相切的直线斜率为 k，则切线方程为 y 3k（x+2） ，即 kxy+
34、2k+30，由该直线与圆 M 相切，得 ，即 ，（12分）所以两条切线的斜率互为相反数，即 kGPk HP，所以 ，化简得 x0y06，即 ，代入 ，化简得 ，解得 x02（舍） ， ，所以 ，（14分）所以 ， ，所以 ，所以 故存在满足条件的 ，且 （16 分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求
35、法，考查转化思想以及计算能力存在性问题的解决方法，考查分类讨论思想的应用19 （16 分）若对任意实数 k，b 都有函数 yf （x）+kx+b 的图象与直线 ykx+b 相切，则称函数 f（x ）为 “恒切函数” 设函数 g（x）ae xxpa，a，pR第 20 页（共 30 页）（1）讨论函数 g（x）的单调性；（2）已知函数 g（x）为“恒切函数” 求实数 p 的取值范围；当 p 取最大值时，若函数 h（x）g（x）e xm 也为“恒切函数” ，求证： （参考数据：e 320）【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2） 设切点为（ x0，y 0）
36、 ，求出 ，设 m（x）e x（1x ） ，根据函数的单调性求出 p 的范围即可；求出 p，a 的值，求出 h（x）的导数，设 n（x）2e xx2，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）g'（x）ae x1，（2 分）当 a0 时，g'（x）0 恒成立，函数 g（x）在 R 上单调递减；当 a0 时，由 g'（x）0 得 xlna，由 g'（x）0 得 xlna，由 g'（x）0 得xlna，得函数 g（x）在（，lna）上单调递，在（lna ， +）上单调递增 &
37、nbsp;（4 分）（2） 若函数 f（x ）为“恒切函数 ”，则函数 yf（x） +kx+b 的图象与直线 ykx +b 相切，设切点为（x 0，y 0） ，则 f'（x 0）+kk 且 f（x 0）+kx 0+bkx 0+b，即 ，f（x 0）0因为函数 g（x）为“恒切函数” ，所以存在 x0，使得 g'（x 0）0，g（x 0）0，即 ，得 ， ，设 m（x）e x（1x） ，（6 分）则 m'（x） xex，m '（x）0，得 x0，m '（x）0，得 x0，故 m（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，从而 m（x）maxm（0）
38、 1，故实数 p 的取值范围为（，1 （8 分）第 21 页（共 30 页）当 p 取最大值时， p1，x 00， ，h'（x）（ 2exx 2）e x，因为函数 h（x）也为“恒切函数” ，故存在 x0，使得 h'（x 0）0，h（x 0）0，由 h'（x 0）0 得
39、 ， ，设 n（x）2e xx2，（10 分）则 n（x）2e x1，n'（x ）0 得 xln2，n'（x）0 得 xln2，故 n（x）在（，ln2）上单调递减，在（ln 2，+ ）上单调递增，1在单调递增区间（ln2， +）上，n（0）0，故 x00，由 h（x 0）0，得m0；（12 分）2在单调递减区间（，ln 2）上，n（2）2e 2 0，又 n（x）的图象在（，ln2）上不间断，故在区间 上存在唯一的 x0，使得 ，故 ，此时由 h（x 0）0，得 ，函数 在 上递增，r（2）0， ，故 综上 12所述， &
40、nbsp; （16 分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题20 （16 分）在数列a n中，已知 a11，a 2，满足是等差数列（其中 n2，nN） ，且当 n 为奇数时，公差为 d；当 n 为偶数时，公差为d（1）当 1，d1 时，求 a8 的值；第 22 页（共 30 页）（2）当 d0 时，求证
41、：数列 是等比数列；（3）当 1 时，记满足 ama 2 的所有 m 构成的一个单调递增数列为b n，试求数列bn的通项公式【分析】 （1）由 1，d1 ，利用等差数列以及性质求解 a8 即可（2）当 n2k+1 时， 是等差数列且公差为 d，推出 ；当 n2k 时，推出 ，求，说明数列 是以 2 为公比的等比数列（3）推出 ，当 22k+1n2 2k+2 时，由 ama 2，推出 ，得到 （ n 为奇数） ；推出（n 为偶数） 方法二：由题意知，当 n 为奇数时， 的公差为d，的公差为 d，推出 当 n 为偶数时，也有 转化求解即可【解答】解：（1）由 1， d1，所以 a21，a 2，a
42、3，a 4 为等差数列且公差为1，所以 a4a 221，又 a4，a 5，a 8 为等差数列且公差为 1，所以 a8a 4+43 （2 分）（2）当 n2k+1 时， 是等差数列且公差为 d，所以 ，同理可得 ，（4 分）两式相加，得 ；第 23 页（共 30 页）当 n2k 时，同理可得 ，（6 分）所以 又因为 d0，所以 ，所以数列 是以 2 为公比的等比数列 &nb
43、sp; （8 分）（3）因为 a2，所以 a4 a22d 2d，由（2）知 ，所以 ，依次下推，得 ，所以 ，（10 分）当 22k+1n2 2k+2 时， ，由 ama 2，得 ，所以 ，所以 （n 为奇数） ； （12 分）由（2）知 ，依次下推，
44、得 ，所以 ，（14 分）当 22k+2n2 2k+3 时， ，由 ama 2，得 ，所以 所以 （n 为偶数） 综上所述， （16 分）方法二：由题意知，第 24 页（共 30 页），（10 分）当 n 为奇数时， 的公差为d，的公差为 d，所以 ， ，则由 ，得 ，即 同理，当 n 为偶数时，也有 故恒有 （12 分）当 n 为奇
45、数时，由 ， ，相减，得 ，所以 （14 分）当 n 为偶数时，同理可得 综上所述， （16 分）【点评】本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想，分类讨论思想的应用选做题 （在 21、22、23、24 四小题中只能选做 2 题，每小题 0 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）选修 4-1：几何证明选讲21如图，已知半圆 O 的半径为 5，
46、AB 为半圆 O 的直径， P 是 BA 延长线上一点，过点 P作半圆 O 的切线 PC，切点为 C，CDAB 于 D若 PC 2PA，求 CD 的长第 25 页（共 30 页）【分析】连 AC，BC，推导出PCAPBC ，从而 2ACBC，由 AB 为半圆 O 的直径，得 AB2AC 2+BC25AC 2，由半圆 O 的半径为 5，得到 1005AC 2，由射影定理，得AC2ADAB，求出 AD2，由此能求出 CD 的长【解答】解：连 AC，BC，因 PC 为半圆 O 的切线，所以PCAB又P P，所以PCAPBC，所以 ，即 2ACBC
47、; （5 分）因 AB 为半圆 O 的直径，所以 AB2AC 2+BC25AC 2，因半圆 O 的半径为 5，所以 1005AC 2，所以 ，由射影定理，得 AC2ADAB，解得 AD2，所以 （10 分）【点评】本题考查线段长的求法，考查弦切角定理、三角形相似、射影定理等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-2：矩阵与变换22已知矩阵 M 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ，求矩阵 M 的另一个特征值和对应的一个特征向量【
48、分析】直接利用矩阵的运算求出它的特征值【解答】解：由题意知： ，解得： ，所以：M 第 26 页（共 30 页）矩阵 M 的特征多项式 f（） （ 2） （ 1） ，由 f（）0，解得：1，2，所以：矩阵 M 的另一个特征值为 2此时 f（） ，对应的方程组为： ，解得：y0所以：另一个特征值 2 对应的特征向量为： 【点评】本题考查的知识要点：矩阵的运算问题的应用选修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同） ，设曲线 C 的极坐标方程为2，求直线 l 被曲线 C 截得的弦
49、长【分析】首先利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，进一步利用点到直线的距离公式求出结果【解答】解：直线 l 的参数方程为 （t 为参数）转换为直线的普通方程为 x+y10；由曲线 C 的极坐标方程为 2，得曲线 C 的普通方程为 x2+y24，所以圆心到直线的距离为： ，所以直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用选修 4-5：不等式选讲）第 27 页（共 30 页）24已知正数 x，y ，z 满足 x+2y+3z2，求 x2+y2+z2 的最小值【分析】利用已知条件转化为柯西不等式
50、的表达式的形式，求解即可【解答】解：根据柯西不等式，有（x+2y+3z） 2（1 2+22+32） （x 2+y2+z2） ，因 x+2y+3z2，所以 ，（5 分）当且仅当 时等号成立，解得 ，即当 时，x 2+y2+z2 取最小值 （10分）【点评】本题考查柯西不等式在最值中的应用，是基本知识的考查必做题 （第 25、26 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题纸的指定区域内）25 （10 分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经
51、过三个独立项目 A，B，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用若甲、乙、丙三人通过 A，B，C 每个项目测试的概率都是 （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 X，求 X 的概率分布和数学期望【分析】 （1）利用二项分布计算甲恰好有 2 次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量 X 的概率分布，计算数学期望值【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为； （4 分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以 ，；故随机变量 X 的概率分布表为：X 0 1 2 3第 28 页（共 30 页）P（8 分）所以，X 的数学期望为 （10 分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题26 （10 分） （1）已知 ，比较 与 的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证： 【分析】 （1）通过 ，利用基本不等式推出 ，推广：已知 ai0，b i0 （iN *，1in） ，则利用数学归纳法的证明步骤证明即可（2）证明：由（1）中所得的推广命题知 ，记，利用倒序相加法以及数列求和求解即可
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