1、2018 年江苏省徐州市铜山区高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1 （5 分）知集合 Ax|0 x2，Bx|x 21，则 AB 2 （5 分）知复数 z 满足 zi 1+i（i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面内对应的点在第 象限3 （5 分）人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如图（左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数） ，则该组数据的方差 s2 的值为
2、4 （5 分）据图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 5 （5 分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则向上的点数之差的绝对值是 2 的概率为 6 （5 分）设实数 x，y 满足 ，则 3x+2y 的最大值为 7 （5 分）直线 yx +2 与双曲线 的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为 8 （5 分）已知平面 ，直线 m，n给出下列命题：若 m ，n ，mn，则 ；若 ，m ，n ，则 mn；若 m ，n ，m
3、n，则 ；若 ，m ，n ，则 mn第 2 页（共 27 页）其中是真命题的是 （填写所有真命题的序号） 9 （5 分）设 Sn 是等比数列a n的前 n 项和，S 3，S 9，S 6 成等差数列，且 a2+a52a m，则m 10 （5 分）等边ABC 边长为 2，过边 BC 上一点 P 分别作 AB，AC 的垂线，垂足分别为M，N ，则 的最小值为 11 （5 分）已知圆 O：x 2+y2r 2（r0）及圆上的点 A（r，0） ，过点 A 的直线 l 交 y 轴于点 B（ 0，1） ，交圆于另一点 C，若
4、AB2BC ，则直线 l 的斜率为 12 （5 分）设函数 f（x ） ，则满足 f（f（a） ）（f（a） ） 2 的 a 的取值范围为 13 （5 分）正数 a，b，c 满足 ，若 恒成立，则实数 t 最大值为 14 （5 分）当 a0 时，若x R，使得 a3x4 成立，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
5、c已知a1，b2 ，BA （1）求 sinA 的值；（2）求 c 的值16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，平面 ABP平面BCP， APB90，BPBC ，M 为 CP 的中点求证：（1）AP平面 BDM；（2）BM平面 ACP17 （14 分）某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准第 3 页（共 27 页）确、安全，在门诊楼 AB 和综合楼 CD 的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离AC50m，在 A，C 之间取一导航标志观测点 P，当点 P 在 AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角BPD45，若ACB45（1）求两
6、导航标记距离地面的高度 AB、CD；（2）要使在点 P 处看两楼顶导航标记的张角BPD 最大，点 P 应在何处？18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A、B 分别是椭圆 + 1（ab0）的上、下顶点，点 M（0， ）为线段 AO 的中点，AB a（1）求椭圆的方程；（2）设 N（t，2） （t0） ，直线 NA，NB 分别交椭圆于点 P，Q，直线 NA，NB ，PQ 的斜率分别为 k1，k 2，k 3求证： P，M，Q 三点共线；求证： k1k3+k2k3k 1k2 为定值19 （16 分）已知数列a n的首项 a1a（a0） ，其前 n 项和为 Sn，设bna n+an+1（
7、nN*） 数列b n的前 n 项和为 Tn，满足 Tnn 2（1）求证：数列b n的任意连续三项不成等比数列；第 4 页（共 27 页）（2）求数列a n的通项公式；（3）若对nN*且 n2，不等式（ an1） （a n+11）2（1n）恒成立，求 a 的取值范围20 （16 分）已知函数 f（x ）xa，g（x）lnxb，a，bR（1）若 b0，f（x ）g（x）0 恒成立，求实数 a 的值；（2）若 a0， ，求证：函数 h（x）在（0，+）上有唯一的零点；（3）若 a0， ，若 f（x 1）g（x 1）f（x 2）g（x 2） ，x 1x 2，求证：【选做题】本题包括 21、22、23、
8、24 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）21 （10 分）AB 是O 的直径，D 为O 上一点，过点 D 作 O 的切线交 AB 延长线于C，若 DADC，求证：AB2BC选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）22 （10 分）已知 a，bR，向量为 是矩阵 A 的属于特征值3 的一个特征向量（1）求矩阵 A 的另一个特征值；（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A1 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 0 分）23在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极
9、轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos（） 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 0 分）第 5 页（共 27 页）24已知实数 x，y ，z 满足 x+y+z2，求 2x2+3y2+z2 的最小值【必做题】第 25 题、第 26 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答25 （10 分）某小组共 10 人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3的人数分别为 3，3，4现从这 10 人中选出 2 人作为该组代表参加座谈会（1）记“选出 2 人参加义工活动的次数之和为 4”为事件 A，求事件 A 发生的概率；（2
10、）设 X 为选出 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望26 （10 分）在各项均不相同的数列 a1，a 2，a 3，a n（nN*）中，任取 k（kN，且kn）项变动位置，其余 nk 项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为 Pn（k） （1）求 P4（0）+P 4（1）+P 4（2）+P 4（3）的值；（2）求 P5（5）的值；（3）设 An kPn（nk ） ，求证：A n+1（n+1） Pn（nk） 第 6 页（共 27 页）2018 年江苏省徐州市铜山区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题
11、 5 分，共计 70 分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1 （5 分）知集合 Ax|0 x2，Bx|x 21，则 AB x |0x1 【分析】可求出 B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx| 1x 1；ABx|0 x1故答案为：x|0x 1【点评】考查描述法表示集合的概念，以及交集的运算2 （5 分）知复数 z 满足 zi 1+i（i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面内对应的点在第 四 象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 在复平面内对应的点的坐标得答案【解答】解：由 zi1+ i，得 ，则复数 z 在复平面内对应
12、的点的坐标为：（1，1） ，在第四象限故答案为：四【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如图（左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数） ，则该组数据的方差 s2 的值为 【分析】由茎叶图得该组数据的平均数，由此能求出该组数据的方差【解答】解：由茎叶图得该组数据的平均数为： （18+17+22+21+22）20，第 7 页（共 27 页）该组数据的方差为：s2 （1820） 2+（1720） 2+（2220） 2+（2120）
13、2+（2220） 2 故答案为： 【点评】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4 （5 分）据图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 7 【分析】模拟程序语言的运行过程知该程序运行后输出 S3+4+5【解答】解：模拟程序的运行过程如下，I2 时，S3；I3 时，S3+4 7；，该程序运行后输出 S7故答案为：7【点评】本题考查了程序语言的应用问题，是基础题5 （5 分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则向上的点数之差的绝对值是 2 的概率为 &
14、nbsp;【分析】基本事件总数 n6636，向上的点数之差的绝对值是 2 包含的基本事件有8 个，由此能求出向上的点数之差的绝对值是 2 的概率【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，基本事件总数 n6636，向上的点数之差的绝对值是 2 包含的基本事件有 8 个，分别为：（1，3） ， （3，1） ， （2，4） ， （4，2） ， （3，5） ， （5，3） ， （4，6） ， （6，4） ，则向上的点数之差的绝对值是 2 的概率为：第 8 页（共 27 页）p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、
15、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6 （5 分）设实数 x，y 满足 ，则 3x+2y 的最大值为 3 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：设 z3x+2y，则 y ，平移直线 y ，由图象可知当直线 y ，经过点 C 时，直线 y 的截距最大，此时 z 最大，由 ，解得 ，即 C（1，0） ，此时 zmax31+203，故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键7 （5 分）直线 yx +2 与双曲线 的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为
16、 第 9 页（共 27 页）【分析】求出双曲线的渐近线方程，得到 a，b 关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 的一条渐近线：y ，直线 yx+2 与双曲线 的一条渐近线平行，可得： ，所以 c22a 2，则双曲线的离心率为： 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查8 （5 分）已知平面 ，直线 m，n给出下列命题：若 m ，n ，mn，则 ；若 ，m ，n ，则 mn；若 m ，n ，mn，则 ；若 ，m ，n ，则 mn其中是真命题的是 （填写所有真命题的序号） 【分析】对各个命题分别判断真假，即可得出结论【解答】解：若 m，n ，
17、m n，则 或 、 相交，是假命题；若 ，m ，n ，则 mn 或 m，n 相交或异面，是假命题；若 m ，n ，mn，则 ，是真命题；若 ，m ，n ，则 mn，是真命题，故答案为： 【点评】本题考查空间直线与平面之间的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础9 （5 分）设 Sn 是等比数列a n的前 n 项和，S 3，S 9，S 6 成等差数列，且 a2+a52a m，则m 8 【分析】由 S3，S 9，S 6 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的前 n 项和公式化简，得到关于 q 的关系式，再利用等比数列的性质化简 a2+a52a m 的左右两边，将得到的关于
18、 q 的关系式整理后代入，即可得出 m 的值【解答】解：S n 是等比数列a n的前 n 项和，且 S3，S 9，S 6 成等差数列，第 10 页（共 27 页）2S 9S 3+S6，即 + ，整理得：2（1q 9）1q 3+1q 6，即 1+q32q 6，又 a2+a5a 1q+a1q4a 1q（1+q 3）2a 1q7，2a m2a 1qm1 ，且 a2+a52a m，2a 1q72a 1qm1 ，即 m17，则 m8故答案为：8【点评】此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键10 （5 分）等边ABC 边长为 2，过边 BC 上一点 P 分
19、别作 AB，AC 的垂线，垂足分别为M，N ，则 的最小值为 【分析】设 PBx ，则 PC2x，可得PMBPsin B x，PNCPsin C （2x） ，再根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】解：等边ABC 边长为 2，PMAB，PNAC ，MPN120设 PBx，则 PC2x，PMBPsin B x，PNCP sinC （2x） ， | | |cos120 （2xx 2）（ ） （x 22x+11） （x1） 2 ，故答案为：【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和解三角形，属于中档题第 11 页（共 27 页）11 （5 分）已知圆 O：x 2+y
20、2r 2（r0）及圆上的点 A（r，0） ，过点 A 的直线 l 交 y 轴于点 B（ 0，1） ，交圆于另一点 C，若 AB2BC ，则直线 l 的斜率为 或 【分析】直线 l 的方程为 xry +r0，联立直线与圆的方程，得 C（ ， ） ，由 AB2BC，求出 r 或 r ，由此能求出直线 l 的斜率【解答】解：由题意直线 l 的方程为 ，即 xry +r0，联立直线与圆的方程： ，得 C（ ， ） ，AB2BC， 2 ，解得 r 或 r ，直线 l 的斜率 k 或 k 故答案为： 或 【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查直线、圆、斜率公式等基础知识，考查运算
21、求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12 （5 分）设函数 f（x ） ，则满足 f（f（a） ）（f（a） ） 2 的 a 的取值范围为 a1 【分析】由已知函数解析式可知需对 a 分段，然后把 f（f （a） ）（f（a） ） 2 的转化为关于 a 的不等式求解【解答】解：若 a1，则 f（ a）a 21由 f（f（a） ）（f（a） ） 2，得 a4a 4，此不等式无解；若 a1，则 f（a）2a1 1，由 f（f（a） ）（f（a） ） 2，得 2（2a1）1（2a1） 2，即（a1） 20，此不等式对于任意 a1 恒成立满足 f（f（a） ）（f（a） ） 2 的 a 的取值范围为
22、 a1第 12 页（共 27 页）故答案为：a1【点评】本题考查分段函数的应用，考查不等式的解法，是中档题13 （5 分）正数 a，b，c 满足 ，若 恒成立，则实数 t 最大值为 2 【分析】由题意可得 a ，0 1，化简 + ，结合不等式的性质，求得取值范围，即可得到 t 的最大值【解答】解：正数 a，b，c 满足 ，可得 a ，0 1，则 + + 2，可得 t2，即 t 的最大值为 2故答案为：2【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查不等式的性质和变形能力，属于中档题14 （5 分）当 a0 时，若x R，使得 a3x4 成立，则实数 a 的取值范围是 或 a2 【分析】
23、将不等式转化为对数形式，然后利用换元法结合基本不等式的性质进行求最值即可【解答】解：若xR，使得 a3x4 成立，则 log2a3x4 log 2 成立，即（3x4）log 2ax 2x，若 3x40，得 x 时，不等式等价为 0（ ） 2 ，此时不等式不成立，若 3x40，得 x 时，不等式等价为 log2a ，设 t3x4，则 x ，第 13 页（共 27 页）则 （t+ +5） （2 +5） 9 1，若 log2a 有解，则 log2a1，即 a2 即可若 3x40，得 x 时，不等式等价为 log2a ，设 t3x4，则 x ，则 （t+ +5） （2 +5） ，若 log2a 有解，
24、则 log2a ，即 0a 即可综上 a2 或 0a ，故答案为：a2 或 0a 【点评】本题主要考查不等式的求解，利用取对数法，以及利用基本不等式转化求最值是解决本题的关键二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知a1，b2 ，BA （1）求 sinA 的值；（2）求 c 的值【分析】 （1）由已知结合正弦定理可得 ，整理后与平方关系联立求得 sinA 的值；（2）由同角三角函数基本关系式及倍角公式求得 sin2A，cos2A 的值，然后结合si
25、nCsin （ ） ，展开两角差的正弦求解【解答】解：（1）在ABC 中，a1，b2 ，BA ，由正弦定理得， ，于是 ，即 ，第 14 页（共 27 页）又 sin2A+cos2A1，sinA ；（2）由（1）知，cosA ，则 sin2A2sinAcosA ，cos2 A12sin 2A ，在ABC 中，A+B+C ，BA ，C 则 sinCsin （ ）sin 由正弦定理得，c 【点评】本题考查三角形的解法，考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，平面 ABP平面BCP， APB90，
26、BPBC ，M 为 CP 的中点求证：（1）AP平面 BDM；（2）BM平面 ACP【分析】 （1）设 AC 与 BD 交于点 O，连结 OM，证明 APOM，然后证明 AP平面BDM（2）平面 ABP平面 BCP，交线为 BP，证明 APBP，APBM推出 BMCP然后证明 BM平面 ACP【解答】 （本小题满分 14 分） （第 16 题）证明：（1）设 AC 与 BD 交于点 O，连结 OM，因为 ABCD 是平行四边形，所以 O 为 AC 中点，（2 分）因为 M 为 CP 的中点，所以 APOM，（ 4 分）又 AP平面 BDM，OM 平面 BDM，所以 AP平面 BDM（7 分）第
27、 15 页（共 27 页）（2）平面 ABP平面 BCP，交线为 BP，因为APB 90，故 APBP，因为 AP平面 ABP，所以 AP平面 BCP，（ 9 分）因为 BM平面 BCP，所以 APBM （11 分）因为 BPBC， M 为 CP 的中点，所以 BMCP（12 分）因为 APCP P，AP，CP平面 ACP，所以 BM平面 ACP，（14 分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力17 （14 分）某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼 AB 和综合楼 CD
28、的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离AC50m，在 A，C 之间取一导航标志观测点 P，当点 P 在 AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角BPD 45，若ACB45（1）求两导航标记距离地面的高度 AB、CD；（2）要使在点 P 处看两楼顶导航标记的张角BPD 最大，点 P 应在何处？【分析】 （1）在 RtABC 中，求得 ABAC 50，在 RtAPB 中，tanAPB2，在RtCPD 中， ，通过APB+DPC135 ，利用tan（APB+DPC）1，解得 CD75（2）设 APx，则 PC50x，通过 tanBPD tan（180 0APBDPC）第 16 页（共 27 页）tan
29、（APB+DPC） ，设 100+xt， ，利用基本不等式求解函数 f（ t）取最大值，从而 ，而正切函数在上为增函数，推出结果【解答】 （本小题满分 14 分）解：（1）因为点 P 是 AC 中点，AC 50，所以 APPC25，在 Rt ABC 中，AC50，ACB45，可得 ABAC50，在 Rt APB 中， ，在 Rt CPD 中， ，因为BPD45，所以APB+DPC135，于是 ，解得 CD75（2）设 APx，则 PC50x，在 Rt APB 中， ，在 Rt CPD 中， ，于是 tanBPDtan（180 0 APBDPC）tan （APB+DPC），设 100+xt，则
30、，当且仅当 不等式取等号，于是当 时，函数 f（t ）取最大值，此时 ， ，又因为 t2250t+25 2300 恒成立，所以 tanBPDf （t）0从而 ，而正切函数在 上为增函数，第 17 页（共 27 页）所以当 f（t）取最大值时BPD 也最大，答：（1）两导航标记距离地面的高度 AB、CD 分别为 50m，75m ；（2）当 时，在点 P 处看两楼顶导航标记的张角BPD 最大【点评】本题考查三角函数的实际应用，基本不等式在最值中的应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力18 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A、B 分别是椭圆 + 1（ab0）的上、下顶点，点 M
31、（0， ）为线段 AO 的中点，AB a（1）求椭圆的方程；（2）设 N（t，2） （t0） ，直线 NA，NB 分别交椭圆于点 P，Q，直线 NA，NB ，PQ 的斜率分别为 k1，k 2，k 3求证： P，M，Q 三点共线；求证： k1k3+k2k3k 1k2 为定值【分析】 （1）由题意知 2b4（b ） ，由此能求出椭圆的方程（2） 由 N（t，2） ，A（0， 1） ，B（0，1） ，得直线 NA 的方程为 y ，直线NB 的方程为 ，联立方程组求出 P（ ， ） ，Q（ ，） ，从而 kPMk QM，由此能证明 P，M ，Q 三点共线由 ， ， ，能证明 k1k3+k2k3k 1k
32、2 为定值【解答】解：（1）A、B 分别是椭圆 + 1（ab0）的上、下顶点，点第 18 页（共 27 页）M（0， ）为线段 AO 的中点，AB a，由题意知 2b4（b ） ，解得 a ，b1，椭圆的方程为 证明：（2）由 N（t，2） ， A（0，1） ，B（0，1） ，得直线 NA 的方程为 y ，直线 NB 的方程为 ，由 ，解得 ，P（ ， ） ，由 ，解得 ，Q （ ， ） ，直线 PM 的斜率 kPM ，直线 QM 的斜率 kQM ，k PMk QM，P，M，Q 三点共线由知： ， ， ，k 1k3+k2k3k 1k2 k 1k3+k2k3k 1k2 为定值 【点评】本题考查椭
33、圆方程的求法，考查三点共线的证明，考查代数式的和为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线方程的合理运用第 19 页（共 27 页）19 （16 分）已知数列a n的首项 a1a（a0） ，其前 n 项和为 Sn，设bna n+an+1（nN*） 数列b n的前 n 项和为 Tn，满足 Tnn 2（1）求证：数列b n的任意连续三项不成等比数列；（2）求数列a n的通项公式；（3）若对nN*且 n2，不等式（ an1） （a n+11）2（1n）恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （1）根据数列的递推公式可得 bn2n1，假设存在b n的连续三项bk 1，b k，b k+1（
34、kN *，k2）成等比数列，则 ，即（2k1）2（2k3） （2k +1） ，得出矛盾，（2）a n+an+1b n2n1可得 an+1na n（n1），即可得到数列an（n1）为等比数列，公比为1，首项为 a，问题得以解决（3）不等式（a n1） （a n+11）2（1n）恒成立化为：a nan+1（a n+an+1）+12（1n） ，由 an+an+12n1不等式化为：a nan+10对分类讨论即可得出【解答】证明：（1）由 Tnn 2，n2 时，b nT nT n1 n 2（n1） 22n1n1 时，b 1T 11bn2n1， （nN*） ，假设存在b n的连续三项 bk1 ，b k，b
35、 k+1（k N*，k2）成等比数列，则 ，即（2k1） 2（2k3） （2k +1）可得 4k24k+14k 24k3，这不可能，假设不成立，从而数列b n的任意连续三项不成等比数列解：（2）由（1）得，a n+an+1b n2n1a n+1na n（n1），数列a n（n1）为等比数列，公比为1，首项为 aa n（n1）a（1） n1 ，即 ann1+a（1） n1 ，（3）不等式（a n1） （a n+11）2（1n）恒成立，化为：a nan+1（a n+an+1）+12（1n） ，第 20 页（共 27 页）由 an+an+12n1不等式化为：a nan+10，当 n 为奇数时，a n
36、a+（n1） ，a n+1a+n，a nan+1 a+（n1）（ a+n）a 2+a+n（n1）0，即a 2+an（n1）对nN*，且 n2 恒成立a 2+a6，解得2a3当 n 为偶数时，a na+（n1） ，a n+1a+n，a nan+10，即a 2+an （n1）对 nN*，且 n2 恒成立a 2+a2，解得2a1又 a0，可得 a 的取值范围为：0a1【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20 （16 分）已知函数 f（x ）xa，g（x）lnxb，a，bR（1）若 b0，f（x ）g（x）0 恒成立，
37、求实数 a 的值；（2）若 a0， ，求证：函数 h（x）在（0，+）上有唯一的零点；（3）若 a0， ，若 f（x 1）g（x 1）f（x 2）g（x 2） ，x 1x 2，求证：【分析】 （1）若 b0，f（x ）g（x）（xa）lnx0 恒成立，对 lnx 分类讨论，得出a 的范围，再合并，对定义域内所有 x 都成立的 a 的范围即可；（2）利用导数求得函数 h（x）的单调性，根据函数值判定零点个数（3）可得 ，要证明 ，只要证lnx1x2t，即证 lnx1+lnx2t，从而只要证 ，即证 ，不妨设 x1x 2，于是只要证当 u1 时， ，只要证（u+1）lnu2（u1） ，即证第 21
38、 页（共 27 页）（u+1）lnu2 u2 即可【解答】解：（1）若 b0，f（x ）g（x）（xa）lnx0 恒成立，当 lnx0 时，即 x1 时，x a0 恒成立，于是 xa， a（x ） min，从而 a1；当 lnx0 时，即 0x 1 时，x a0 恒成立，于是 x a，a（x ） max，从而 a1；综上所述，a1（2）若 a0， ，因为 ，令 ，解得 xe b+1，于是 h（x）在（0，e b+1）上递增，在（e b+1，+）上递减，从而在 xe b+1 处取极大值，这样 ，又 ，所以 h（x）在（0，e b+1）上有唯一零点；而在（e b+1，+）上，因为 lnxblne
39、b+1b10，于是 ，从而 h（x）在（e b+1，+）上没有零点，综上所述，函数 h（x）在（0，+）上有唯一的零点（3）证明：若 a0，f（x ）g（x）x（lnxb）由 f（x 1）g（x 1）f（x 2）g（x 2）得 x1（lnx 1b）x 2（lnx 2b） ，即x1lnx1x 2lnx2（x 1x 2）b，一方面 x1lnx1x 2lnx1+x2lnx1x 2lnx2（x 1x 2）b，即，另一方面 x1lnx1x 1lnx2+x1lnx2x 2lnx2（x 1x 2）b，即，两式相加得 ，因为 x1x 2，所以第 22 页（共 27 页）要证明 ，只要证 lnx1x2t ，即证
40、 lnx1+lnx2t，从而只要证又因为 ，所以只要证 ，即证不妨设 x1x 2， ，于是只要证当 u1 时，只要证（u+1）lnu2（u1 ） ，即证（u+1）lnu 2u 2记 p（u）（u+1）lnu2u，则 ，记 ，因为 ，所以 q（u）在（1，+）上递增，从而 q（u）q（1）0，即 p'（u）0，于是 p（u）在（1，+）上递增，p（u）p（1）2，这样（u+1）lnu 2u2 得证，所以 【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、运算能力，属于难题【选做题】本题包括 21、22、23、24 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答选修 4-1：几何证明选讲（本小题
41、满分 10 分）21 （10 分）AB 是O 的直径，D 为O 上一点，过点 D 作 O 的切线交 AB 延长线于C，若 DADC，求证：AB2BC【分析】证法一、可以连接 OD，构造直角三角形，然后求出 DCO，然后根据 30所对的直角边等于斜边的一半，得出结论；证法二、连接 OD，DB，再证明ADBCDO，得到 ABOC，转化为证明CO2BC【解答】证明：法一：连接 OD，则：ODDC，第 23 页（共 27 页）又 OAOD ，DA DC，所以DAO ODADCO，DOCDAO+ODA2DCO，所以DCO30，DOC60，所以 OC2OD，即 OBBCODOA，所以 AB2BC 证法二：
42、连接 OD、BD因为 AB 是圆 O 的直径，所以 ADB90，AB2OB 因为 DC 是圆 O 的切线，所以CDO 90又因为 DADC，所以DAC DCA，于是ADBCDO，从而 ABCO即 2OBOB +BC，得 OBBC 故 AB2BC【点评】本题考查的知识点是切线的性质，即切线垂直过切点的半径，将问题转化为直角三角形问题，解直角三角形即可得到答案选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）22 （10 分）已知 a，bR，向量为 是矩阵 A 的属于特征值3 的一个特征向量（1）求矩阵 A 的另一个特征值；（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A1 【分析】 （1）由已知得， 3 ，解出
43、a，b 值后，可得特征多项式，令第 24 页（共 27 页）其为 0，可得矩阵 A 的另一个特征值；（2）先求得 det（A ）6，进而可求矩阵 A 的逆矩阵 A1 【解答】解：（1）由条件得， 3 ， ，解得 （2 分）因为矩阵 A ，所以特征多项式为 f（） （+2） （ 1 ）4 2+6（4 分）令 f（）0，解得 3，或 2所以矩阵 A 的另一个特征值为 2 &nbs
44、p; （5 分）（2）因为 det（A ） 21226，（7 分）所以矩阵 A 的逆矩阵 A1 （10 分）【点评】本题考查的知识点是矩形的特征值，特征多项式，及逆矩阵的求法，难度中档选修 4-4：坐标系与参数
45、方程（本小题满分 0 分）23在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos（） 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长【分析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出结果【解答】解：把曲线 C 的极坐标方程为 cos（ ） 化为直角坐标方程为：x 2+y22x 2y0，即（x1） 2+（y 1） 22，所以曲线 C 是以（1，1）为圆心， 为半径的圆第 25 页（共 27 页）直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，
46、化为普通方程为：3x+4y 10所以圆心 C（1，1）到直线 l 的距离为 d ，直线 l 被曲线 C 所截得的弦长为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用，勾股定理的应用选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 0 分）24已知实数 x，y ，z 满足 x+y+z2，求 2x2+3y2+z2 的最小值【分析】由柯西不等式知：（x+y+z） 2（ x） 2+（ y） 2+z2（ ） 2+（ ）2+12故 2x2+3y2+z2 ，由此能求出 2x2+3y2+z2 的最小值【解答】解：由柯西不等式可知：（x+y+ z） 2（ x） 2+（ y） 2+z2（ ） 2+（ ） 2+12，（5 分）故 2x2+3y2+z2 ，当且仅当 ，即：x ，y ，z 时，2x2+3y2+z2 取得最小值为 【点评】考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用，属于基础题【必做题】第 25 题、第 26 题
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