1、2019 年山东省青岛市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A2 ，1，0，1，2 ，Bx|x 2x20，则 AB（ ）A 1，2 B2，1 C1 ，2 D2 （5 分） “a2”是“复数 z（a+2i） （1+i） （aR）为纯虚数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）A3 B9 C12 D154 （5 分）函数 f（x ）xsinx +ln|x|在区
2、间 2 ，0）（0，2上的大致图象为（ ）ABC第 2 页（共 25 页）D5 （5 分）已知在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，A 为最小角，且 ，b2， ，则ABC 的面积等于（ ）A B C D6 （5 分）已知 O 为坐标原点，点 F1，F 2 分别为椭圆 的左、右焦点，A 为椭圆 C 上的一点，且 AF2F 1F2，AF 1 与 y 轴交于点 B，则|OB|的值为（ ）A B C D7 （5 分）若 ，b3log 83， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Acba Babc Cbac Dc ab8 （5 分）已知
3、圆 C：x 2+y21 和直线 l：yk （x+2） ，在 上随机选取一个数k，则事件“直线 l 与圆 C 相交”发生的概率为（ ）A B C D9 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面为等腰直角三角形个数为（ 第 3 页（共 25 页）A1 B2 C3 D410 （5 分）将函数 f（x ）sin（2x+） （ ）的图象向右平移 （0）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，若 f（x） ，g（x）的图象都经过点 P（0， ） ，则 的值可以是（ ）A B C D11 （5 分）已知函数 ，若 f（2）4，且函数 f（x ）存在最小值，则实
4、数 a 的取值范围为（ ）A B （1，2 C D12 （5 分）已知三棱锥 O ABC 的底面ABC 的顶点都在球 O 的表面上，且 AB6， ，且三棱锥 OABC 的体积为 ，则球 O 的体积为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分13 （5 分）已知 cos（ ） ，则 sin2 14 （5 分）已知实数 x，y 满足条件 ，则 x+y 的最大值为 15 （5 分）直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 B，C第 4 页（共 25 页）两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若
5、 OC 平分AOB，则该双曲线的离心率为 16 （5 分）设函数 f（x ）e xx 的图象上任意一点处的切线为 l1，若函数 g（x）ax+cosx 的图象上总存在一点，使得在该点处的切线 l2 满足 l1l 2，则 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求解答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的各项均为正数，a 13，且对任意 nN*，2a n 为 an+12+3 和
6、 1的等比中项，数列b n满足 bna n21（n N*） （1）求证：数列b n为等比数列，并求a n通项公式；（2）若 cnlog 2bn，c n的前 n 项和为 Tn，求使 Tn 不小于 360 的 n 的最小值18 （12 分）如图，在圆柱 W 中，点 O1、O 2 分别为上、下底面的圆心，平面 MNFE 是轴截面，点 H 在上底面圆周上（异于 N、F） ，点 G 为下底面圆弧 的中点，点 H 与点 G在平面 MNFE 的同侧，圆柱 W 的底面半径为 1（1）若平面 FNH平面 NHG，证明：NGFH；（2）若直线 O1H平面 FGE，求 H 到平面 FGE 的距离19 （12 分）鲤
7、鱼是中国五千年文化传承的载体之一，它既是拼搏进取、敢于突破自我、敢于冒险奋进精神的载体，又是富裕、吉庆、幸运的美好象征某水产养殖研究所为发扬传统文化，准备进行“中国红鲤”和“中华彩鲤”杂交育种实验研究所对 200 尾中国红鲤和 160 尾中华彩鲤幼苗进行 2 个月培育后，将根据体长分别选择生长快的 10 尾中国红鲤和 8 尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育为了解培育 2 个月后全体幼鱼的体长情况，按照品种进行分层抽样，其中共抽取 40 尾中国红鲤的体长数据（单位：cm）如下：第 5 页（共 25 页）5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.35 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5
8、 5.5 5.73.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.46.9 4.8 5.6 5 5.6 6.5 3 6 7 6.6（1）根据以上样本数据推断，若某尾中国红鲤的体长为 8.3cm，它能否被选为种鱼？说明理由；（2）通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为 5.1cm，中华彩鲤样本数据平均值为4.875cm，求所有样本数据的平均值；（3）如果将 8 尾中华彩鲤种鱼随机两两组合，求体长最长的 2 尾组合到一起的概率20 （12 分）已知圆 F：（x 1） 2+y21，动点 Q（x，y） （x0） ，线段 QF 与圆 F 相交于点 P，线段 PQ 的长度与点 Q 到 y 轴的距离
9、相等（1）求动点 Q 的轨迹 W 的方程；（2）过点 F 的直线 l 交曲线 W 于 A，D 两点，交圆 F 于 B，C 两点，其中 B 在线段 AF上，C 在线段 DF 上求|AB|+4|CD|的最小值及此时直线 l 的斜率21 （12 分）已知函数 ， （1）若 g（x）在（0，e 2上为单调递增，求实数 m 的取值范围；（2）若 m1，且 f（x）g（x）h（x ） ，求证：对定义域内的任意实数 x，不等式恒成立（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）已知平面直角坐标系
10、xOy，直线 l 过点 ，且倾斜角为 ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为（1）求直线 l 的参数方程和圆 C 的标准方程；（2）设直线 l 与圆 C 交于 M、N 两点，若 ，求直线 l 的倾斜角的 值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）第 6 页（共 25 页）23已知 a0，b0，c0，函数 f（x）|ax |+|x+b|+c（1）当 abc2 时，求不等式 f（x）8 的解集；（2）若函数 f（x ）的最小值为 1，证明： 第 7 页（共 25 页）2019 年山东省青岛市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小
11、题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A2 ，1，0，1，2 ，Bx|x 2x20，则 AB（ ）A 1，2 B2，1 C1 ，2 D【分析】首先转化 B1， 2，然后得 AB1，2【解答】解：B1，2，AB1，2故选：A【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题2 （5 分） “a2”是“复数 z（a+2i） （1+i） （aR）为纯虚数”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】判断“a2 时复数 z 为纯虚数，复数 z 为纯虚数时 a2”是否成立即可【解答】解：a2 时
12、，复数 z（2+2i） （1+i）2（1+i） （1+i）2（12i+i 2）4i，是纯虚数，充分性成立；复数 z（a+2 i） （1+i）（a2）+（a2）i 为纯虚数时， ，解得a2，必要性成立；所以是充要条件故选：C【点评】本题利用复数的定义考查了充分与必要条件的应用问题，是基础题3 （5 分）已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）A3 B9 C12 D15【分析】先计算 ，再根据平面向量的数量积运算律计算【解答】解： 32cos 3，第 8 页（共 25 页） 2 92（3）15故选：D【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题4 （5 分）函数 f（x ）xs
13、inx +ln|x|在区间 2 ，0）（0，2上的大致图象为（ ）ABCD【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数 f（x ）为偶函数，据此可以排除A、D；又由 x0 时，xsinx +lnx0，分析可得答案【解答】解：根据题意，f（ x）xsinx +ln|x|，其定义域为x|x0，有 f（x）（ x）sin（ x）+ ln|（x）| xsinx +ln|x|f（x） ，即函数 f（x）为偶函第 9 页（共 25 页）数，在区间2，0）（0，2上关于 y 轴对称，排除 A、D；又由 x0 时，x sinx+lnx0，排除 C；故选：B【点评】本题考查函数图象的判断，此类题目一般
14、用排除法分析5 （5 分）已知在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，A 为最小角，且 ，b2， ，则ABC 的面积等于（ ）A B C D【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】解：ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边， A 为最小角，且 ，b2， ，所以：sinA 则： ，解得：（2c1） （c 2）0，解得：c 或 2，根据大边对大角，整理得：c2，故： 故选：C【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型6 （5 分）已知 O 为坐标原点，点 F1，F 2
15、 分别为椭圆 的左、右焦点，A 为椭圆 C 上的一点，且 AF2F 1F2，AF 1 与 y 轴交于点 B，则|OB|的值为（ ）A B C D【分析】直接利用椭圆的性质，以及三角形的中位线求解即可第 10 页（共 25 页）【解答】解：O 为坐标原点，点 F1，F 2 分别为椭圆 的左、右焦点，A 为椭圆 C 上的一点，且 AF2F 1F2，AF 1 与 y 轴交于点 B，则|OB | |AF2| 故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力7 （5 分）若 ，b3log 83， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Acba Babc Cbac Dc a
16、b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解： ，b3log 83log 23 ，（ ） 01，a，b，c 的大小关系是 cab故选：D【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8 （5 分）已知圆 C：x 2+y21 和直线 l：yk （x+2） ，在 上随机选取一个数k，则事件“直线 l 与圆 C 相交”发生的概率为（ ）A B C D【分析】直线 l 与圆 C 相交 1，解得 k 范围，再利用几何概率计算公式即可得出【解答】解：直线 l 与圆 C 相交 1，解得 k 第 11 页（共 25 页）在
17、上随机选取一个数 k，则事件“直线 l 与圆 C 相交”发生的概率 故选：C【点评】本题考查了直线与圆相交问题、几何概率、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面为等腰直角三角形个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由空间几何体的三视图得：主视图中能确定一个等腰直角三角形，左视图中能确定一个等腰直角三角形，从俯视图中可以确定另外一个侧面不是直角三角形，即该四棱锥的侧面为等腰直角三角形个数为 2 个，得解【解答】第 12 页（共 25 页）解：在这个四棱锥的四个侧面中，主视图中能确定ADE 为直角三角形，左视图中能
18、确定ABE 为直角三角形，从俯视图中可以确定另外一个侧面不是直角三角形，即该四棱锥的侧面为等腰直角三角形个数为 2 个，故选：B【点评】本题考查了空间几何体的三视图，属中档题10 （5 分）将函数 f（x ）sin（2x+） （ ）的图象向右平移 （0）个单位长度后得到函数 g（x）的图象，若 f（x） ，g（x）的图象都经过点 P（0， ） ，则 的值可以是（ ）A B C D【分析】由条件利用函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，求得 的值，可得 的值【解答】解：将函数 f（x ）sin（2x+） （ ）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数 g（x）sin（2x 2+
19、 ）的图象，若 f（x） ，g（x）的图象都经过点 P（0， ） ，则 sin ， ，再根据 sin（2+ ）sin（ 2 + ） ，则 的值可以是 ，故选：B【点评】本题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，属于基础题11 （5 分）已知函数 ，若 f（2）4，且函数 f（x ）存在最小值，则实数 a 的取值范围为（ ）A B （1，2 C D【分析】先得 m2，然后根据题意得 x3 时，f（x）必为增函数且 f（3）2解不等式可得【解答】解：f（2）2m+84，解得 m2，f （x） ，当 x3 时，f（ x）2x+8 是递减函数，f （x）f（3）2，此段无最小
20、值，第 13 页（共 25 页）所以当 x3 时，f（x）必存在最小值，所以 f（x ）log a x 必为3，+）上的递增函数，所以 a1，且 f（3）2，log a 32，解得 a 综上得 a 故选：D【点评】本题考查了函数的最值及其几何意义，属中档题12 （5 分）已知三棱锥 O ABC 的底面ABC 的顶点都在球 O 的表面上，且 AB6， ，且三棱锥 OABC 的体积为 ，则球 O 的体积为（ ）A B C D【分析】由 OAOBOCR，且ABC 为 AC 斜边的直角三角形，O 在底面 ABC 的射影为斜边 AC 的中点 M，有棱锥的体积公式，可得 OM，由勾股定理可得球
21、的半径，运用球的体积公式计算可得【解答】解：由 O 为球心， OAOBOCR，可得 O 在底面 ABC 的射影为ABC 的外心，AB6， ， ，可得ABC 为 AC 斜边的直角三角形，O 在底面 ABC 的射影为斜边 AC 的中点 M，可得 OM ABBC OM12 4 ，解得 OM2，R2OM 2+AM24+12 16，即 R4，球 O 的体积为 R3 64 故选：D【点评】本题考查球的截面性质和体积的计算，考查点在平面上的射影，考查化简计算能力，属于基础题二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分第 14 页（共 25 页）13 （5 分）已知 cos（ ） ，则 sin2 &nbs
22、p; 【分析】先利用二倍角的余弦公式求得 cos（2+ ）的值，再利用诱导公式求得sin2 的值【解答】解：cos（ ） ，cos （2 + ）2 12 1 ，即sin2 ，sin2 ，故答案为： 【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式，属于基础题14 （5 分）已知实数 x，y 满足条件 ，则 x+y 的最大值为 3 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 zx +y 得 yx +z，平移直线 yx +z，由图象可知当直线 yx +z 经过点 A 时，直线 yx+z 的
23、截距最大，此时 z 最大由 ，解得 A（1，2） ，代入目标函数 zx+y 得 z1+23即目标函数 zx+y 的最大值为 3故答案为：3第 15 页（共 25 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键15 （5 分）直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 B，C两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若 OC 平分 AOB，则该双曲线的离心率为 【分析】根据对称性和角平分线性质可得AOC60，进而可求出 C 点坐标，代入双曲线方程得出 a，b 的关系，从而可计算双曲线的离心
24、率【解答】解：OC 平分AOB，AOCCOB，由双曲线的对称性可知BOyCOy ，AOC2COy，AOC60，故直线 OC 的方程为 y x，令 x b 可得 xb，即 C（b， b） ，代入双曲线方程可得 31，即 2，b2a，c a，e 故答案为： 第 16 页（共 25 页）【点评】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题16 （5 分）设函数 f（x ）e xx 的图象上任意一点处的切线为 l1，若函数 g（x）ax+cosx 的图象上总存在一点，使得在该点处的切线 l2 满足 l1l 2，则 a 的取值范围是 0，1 【分析】求出函数 f（x ）e xx 的导函数，进一步求得
25、 （0，1） ，再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线 f（x）e xx 上任意一点的切线为 l1，总存在过曲线 g（x）ax +cosx 上一点处的切线 l2，使得 l1l 2 转化为集合间的关系求解【解答】解：由 f（x ）e xx，得 f（x ）e x1，e x+11， （0，1） ，由 g（x）ax+cosx ，得 g （x）asinx ，又sinx 1， 1，asinx 1+a，1+a，要使过曲线 f（x ）e xx 上任意一点的切线为 l1，总存在过曲线 g（x）ax +cosx 上一点处的切线 l2，使得 l1l 2，则 ，解得 0a1即 a 的取值范围为0，1，故答案为：0
26、，1【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求解答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的各项均为正数，a 13，且对任意 nN*，2a n 为 an+12+3 和 1第 17 页（共 25 页）的等比中项，数列b n满足 bna n21（n N*） （1）求证：数列b n为等比数列，并求a n通项公式；（2）若 cnlog 2b
27、n，c n的前 n 项和为 Tn，求使 Tn 不小于 360 的 n 的最小值【分析】 （1）根据等比中项的定义列方程并化简，从而判断b n为等比数列，写出b n的通项公式，由此求得数列a n的通项公式；（2）写出数列c n的通项公式与前 n 项和公式 Tn，计算 Tn 不小于 360 时 n 的取值范围，从而求得 n 的最小值【解答】 （1）证明：对任意 nN*，2a n 都为 和 1 的等比中项，所以 ，即 ，也即 ；（2 分）所以 ，因为 ，所以 bn+14b n，所以数列b n成等比数列，首项为 ，公比为 4，所以 ；（5 分）所以 ，又a n为正项数列，所以 ；（6 分）（2）解：由
28、 ，（7 分）所以 Tnc 1+c2+cn（21+1）+（22+1 ）+（2 n+1）2（1+2+3+n）+ n2 +nn 2+2n；（10 分）由 Tn 不小于 360，即 ，即 n2+2n3600，也即（n+20） （n18）0，解得 n18 或 n20（不合题意，舍去） ；第 18 页（共 25 页）所以 Tn 不小于 360 的 n 的最小值为 18（12 分）【点评】本题考查了数列求和与递推数列的应用问题，也考查了等差与等比数列的应用问题，是中档题18 （12 分）如图，在圆柱 W 中，点 O1、O 2 分别为上、下底面的圆心，平面 MNFE 是轴截面，点 H 在上底面圆周上（异于
29、N、F） ，点 G 为下底面圆弧 的中点，点 H 与点 G在平面 MNFE 的同侧，圆柱 W 的底面半径为 1（1）若平面 FNH平面 NHG，证明：NGFH；（2）若直线 O1H平面 FGE，求 H 到平面 FGE 的距离【分析】 （1）由面 FNH面 NHG 得出 FH平面 NHG，即可证明 FHNG；（2）连接 O1O2，由 O1O2EF 得出 O1O2平面 FGE，再证明平面 O1HO2平面 FGE，得出 H 到平面 FGE 的距离等于 O2 到平面 FGE 的距离，取线段 EG 的中点 V，证明 O2V平面 FGE，得出 H 到平面 FGE 的距离为 O2V，利用等腰 Rt EO2G
30、 求出 O2V 的值【解答】 （1）证明：由题知面 FNH面 NHG，面 FNH面 NHGNH，因为 NHFH，又因为 FH平面 FHN，所以 FH平面 NHG，（3 分）所以 FHNG；（4 分）（2）解：连接 O1O2，如图所示，因为 O1O2EF，O 1O2平面 FGE，EF平面 FGE，所以 O1O2平面 FGE；（ 6 分）又因为直线 O1H平面 FGE，O 1HO 1O2O 1，所以平面 O1HO2平面 FGE，第 19 页（共 25 页）所以 H 到平面 FGE 的距离等于 O2 到平面 FGE 的距离；（9 分）取线段 EG 的中点 V，因为 O2VEG，O 2VEF，EGEF
31、E，所以 O2V平面 FGE，所以 H 到平面 FGE 的距离为 O2V，（11 分）在等腰直角三角形 EO2G 中，O 2EO 2G1，所以 O2V ，所以所求的距离为 （12 分）【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了点、线、面之间的距离计算问题，是中档题19 （12 分）鲤鱼是中国五千年文化传承的载体之一，它既是拼搏进取、敢于突破自我、敢于冒险奋进精神的载体，又是富裕、吉庆、幸运的美好象征某水产养殖研究所为发扬传统文化，准备进行“中国红鲤”和“中华彩鲤”杂交育种实验研究所对 200 尾中国红鲤和 160 尾中华彩鲤幼苗进行 2 个月培育后，将根据体长分别选择生长快的
32、10 尾中国红鲤和 8 尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育为了解培育 2 个月后全体幼鱼的体长情况，按照品种进行分层抽样，其中共抽取 40 尾中国红鲤的体长数据（单位：cm）如下：5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.35 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.73.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.46.9 4.8 5.6 5 5.6 6.5 3 6 7 6.6（1）根据以上样本数据推断，若某尾中国红鲤的体长为 8.3cm，它能否被选为种鱼？说第 20 页（共 25 页）明理由；（2）通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为 5.1cm，中华彩鲤样
33、本数据平均值为4.875cm，求所有样本数据的平均值；（3）如果将 8 尾中华彩鲤种鱼随机两两组合，求体长最长的 2 尾组合到一起的概率【分析】 （1）根据分层抽样原理，结合题意判断能被选为种鱼；（2）根据分层抽样原理，计算抽取中华彩鲤样本数和样本平均值；（3）利用列举法计算所求的基本事件数，求出对应的概率值【解答】解：（1）能被选为种鱼；因为 200 尾中国红鲤中有 10 尾能被选为种鱼，所以 40 尾中国红鲤样本中有 2 尾能被选为种鱼；（2 分）样本数据中身长为 8.4cm 和 8cm 的中国红鲤能被选为种鱼，身长为 7.5cm 以下的中国红鲤不能被选为种鱼，由于 8.38，所以该尾中国
34、红鲤能被选为种鱼；（4 分）（2）根据分层抽样的原则，抽取中华彩鲤样本数为 32 尾，（6 分）所有样本数据平均值为 （cm） ； （8 分）（3）记体长最长的 2 尾中华彩鲤为 A1，A 2，其他 6 尾中华彩鲤为B1，B 2，B 3，B 4，B 5，B 6；考虑与 A1 组合的中华彩鲤，共有 A2，B 1，B 2，B 3，B 4，B 5，B 6 七种情况，（10 分）所以，体长最长的 2 尾组合到一起的概率为 （12 分）【点评】本题考查了分层抽样原理与应用问题，也考查了平均数与古典概型的概率计算问题，是基础题20 （12 分）已知圆 F：（x 1） 2+y21，动点 Q（x，y） （x0
35、） ，线段 QF 与圆 F 相交于点 P，线段 PQ 的长度与点 Q 到 y 轴的距离相等（1）求动点 Q 的轨迹 W 的方程；（2）过点 F 的直线 l 交曲线 W 于 A，D 两点，交圆 F 于 B，C 两点，其中 B 在线段 AF上，C 在线段 DF 上求|AB|+4|CD|的最小值及此时直线 l 的斜率【分析】 （1）推导出点 Q 到 F 的距离|QF|等于 Q 到 y 轴的距离加 1，从而|QF|等于 Q 到直线 x1 的距离，由抛物线的定义可知点 Q 的轨迹 W 是以 F 为焦点，以 x1 为准线的抛物线，由此能求出动点 Q 的轨迹 W 的方程第 21 页（共 25 页）（2）推导
36、出 与 共线，从而 y1y24，由抛物线的定义：，推导出成立，由此能求出|AB |+4|CD|的最小值为及此时直线 l 的斜率【解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）由题知点 Q 到 F 的距离 |QF|等于 Q 到 y 轴的距离加 1所以|QF|等于 Q 到直线 x1 的距离（2 分）由抛物线的定义可知点 Q 的轨迹 W 是以 F 为焦点，以 x1 为准线的抛物线（3 分）所以动点 Q 的轨迹 W 的方程为 y24x （5 分）（2）设 ，因为 A，F ，D 三点共线，所以 与 共线所以 ，得 y1y24（*） （7 分）由抛物线的定义：（8 分）由基本不等式： ，等号当且仅当|AB|4
37、| CD|时成立，即也即 成立（10 分）第 22 页（共 25 页）又因为 y1y21，所以 ，所以 或 （11 分）所以 或所以|AB|+4|CD| 的最小值为 4，此时直线 l 的斜率为 （12 分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查线段和的最小值及相应的直线的斜率的求法，考查抛物线、直线、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题21 （12 分）已知函数 ， （1）若 g（x）在（0，e 2上为单调递增，求实数 m 的取值范围；（2）若 m1，且 f（x）g（x）h（x ） ，求证：对定义域内的任意实数 x，不等式恒成立【分析】 （1）推导出 g（x
38、）的定义域为（0，+） ， ，由 g（x）在（0，e 2上单调递增，从而对任意 x（0，e 2，都有 ，进而mx（1lnx） ，令 h（x）x（1lnx ） ，h'（x）lnx，利用导数性质能求出实数 m的取值范围（2）当 m1 时， ，只须证：当 x1 时，2xlnxx 21；当 0x1 时，2xlnxx 2（17 分）令 G（x）x 212xlnx，mjG'（x ） 2（x lnx1） ，令 m（x）xlnx1，则 m（x），从而 m（x）有极小值 m（1）0，进而 G'（x）2（xlnx1）0 恒成立，由此能证明对定义域内的任意实数 x，不等式 恒成立【解答】 （
39、本小题满分 12 分）解：（1）由已知 的定义域为（0，+） ，所以 （1 分）因为 g（x）在（0，e 2上单调递增，第 23 页（共 25 页）所以对任意 x（0，e 2，都有所以 ，所以即 mx（1lnx） ， （3 分）令 h（x）x（1lnx） ，h'（ x）lnx所以当 0x1 时，h'（x ）lnx 0；当 x1 时，h'（ 1）0，当 x1 时，h'（x ）0，所以函数 h（x）x （1lnx）在（0，1）上单调递增，在（1，e 2上单调递减，因为 0x1 时，总有 h（x ）x （1lnx）0，所以所以 me 2，故实数 m 的取值范围是（ ，
40、e 2 （5 分）证明：（2）当 m1 时，对定义域内的任意正数 x，不等式 恒成立，即 x0 时，因为当 x1 时，x 210；当 0x 1 时，x 210所以只须证：当 x1 时，2xlnx x 21；当 0x1 时， 2xlnxx 2（17 分）令 G（x）x 212xlnx所以 G'（x）（ x212xlnx）'2x（2xlnx ）'2x2lnx22（xlnx1）令 m（x）xlnx1，则所以 x1 是 m（x）的极值点，从而 m（x）有极小值 m（1）0（10 分）所以 G'（x） 2（xlnx1）0 恒成立所以 G（x）x 212xlnx 在（ 0，
41、+）上单调递增，又因为 G（1）0，所以当 x1 时，G （x）x 212xlnx 0，即 2xlnxx 21 恒成立；当 0x1 时，G （x）x 212xlnx 0，即 2xlnxx 21 恒成立所以，对定义域内的任意实数 x，不等式 恒成立 （12 分）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查函数与方程思想，是中档题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第 24 页（共 25 页）的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （
42、10 分）已知平面直角坐标系 xOy，直线 l 过点 ，且倾斜角为 ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为（1）求直线 l 的参数方程和圆 C 的标准方程；（2）设直线 l 与圆 C 交于 M、N 两点，若 ，求直线 l 的倾斜角的 值【分析】 （1）根据直线参数方程的几何意义得出参数方程，根据极坐标与直角坐标的关系化简得出圆的标准方程；（2）把直线 l 的参数方程代入圆的标准方程，根据参数的几何意义及根与系数的关系得出 【解答】解：（1）因为直线 l 过点 ，且倾斜角为 ，所以直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 因为圆 C 的极坐标方程为 ，所以 ，
43、所以圆 C 的普通方程为： ，圆 C 的标准方程为： （2）直线 l 的参数方程为 ，代入圆 C 的标准方程得（tcos1） 2+（tsin ） 25整理得 t22tcos40设 M、N 两点对应的参数分别为 t1、t 2，则 t1+t22cos ，所以|PM| |PN | ， ，因为 0 ，所以 或 【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 a0，b0，c0，函数 f（x）|ax |+|x+b|+c第 25 页（共 25 页）（1）当 abc2 时，求不等式 f（x）8 的解集；（2）若函数
44、f（x ）的最小值为 1，证明： 【分析】 （1）根据题意，当 abc2 时，f （x）|x 2|+|x+2|+2，据此可得 f（x）8 或 或 ，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得 f（x ）的最小值为 1，所以 a+b+c1，进而可得（a+b+c） 2a 2+b2+c2+2ab+2ac+2bc1，结合基本不等式的性质分析可得结论【解答】解：（1）当 abc2 时，f （x）|x 2|+|x+2|+2所以 f（x）8 或 或所以不等式的解集为x| 3x3；（2）因为 a0，b0，c0所以 f（x）|ax |+|x+b|+c| ax+x+b|+c|a+b|+ca+b+c因为 f（x）的最小值为 1，所以 a+b+c1所以（a+b+c） 2a 2+b2+c2+2ab+2ac+2bc1因为 2aba 2+b2，2bcb 2+c2，2aca 2+c2所以 1a 2+b2+c2+2ab+2ac+2bc3（a 2+b2+c2）所以 【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题
浙公网安备33030202001339号