1、2019 年山东省济宁市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）已知全集 UR，集合 A x|x23x+20，则 RA（ ）A （1，2） B1 ，2C （，12，+） D （， 1）（2，+）2 （3 分）已知复数 z 满足（1i）z2+3i ，则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （3 分）要得到函数 ysin （2x+ ）的图象，只需将函数 y2sinxcosx 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位
2、D向右平移 个单位4 （3 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值等于（ ）A30 B31 C62 D635 （3 分）已知双曲线 1（a0，b0）的离心率为 2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D6 （3 分）已知等差数列a n的公差为 4，且 a2，a 3，a 6 成等比数列，则 a10（ ）A26 B30 C34 D38第 2 页（共 23 页）7 （3 分）已知向量 ， 满足| |1，| | ，且（ ）（3 ） ，则 与 的夹角为（ ）A B C D8 （3 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的周期为 4
3、的奇函数，当 x（0，2）时，f（x）x 2+lnx，则 f（2019）（ ）A1 B0 C1 D29 （3 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A3 B4 C2 D210 （3 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分 100 分） ，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）A B C D11 （3 分）已知拋物线 y28x 的焦点为 F，过点的直线与该抛物线交于 A、B 两点，且16| AB|2
4、4，O 为坐标原点，记直线 OA、OB 的斜率分别为 k1、k 2，则 的取值范围是（ ）A2， ，2 B ，1 1， C 2，11 ，2 D ， 第 3 页（共 23 页）12 （3 分）已知函数 f（x ） ，若不等式|f （x）|mx2 恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ）A32 ，3+2 B0 ，32 C （32 ，3+2 ） D0，3+2 二、填空题.13 （3 分）已知 alog 49，b log 25，则 22a+b 14 （3 分）若变量 x，y 满足 ，则目标函数 z3x+y 的最小值为 15
5、（3 分）已知数列a n的前 n 项和为 Snn 2，若 bn ，则数列b n的前 100 项的和为 16 （3 分）已知三棱锥 PABC 的四个顶点均在体积为 36 的球面上，其中 PA平面ABC，底面 ABC 为正三角形，则三棱锥 PABC 体积的最大值为 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsin（A+ ）asinB（）求角 A 的大小；（）已知 b3，S ABC 3 ，求 a 的值18如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，A
6、B CD，AB BC，AB2CD2BC 2，PD底面 ABCD，PD2，E 是 PA 的中点（）求证：平面 EBD平面 PAD；（）求点 C 到平面 EBD 的距离19某大型超市公司计划在 A 市新城区开设分店，为确定在新城区开设分店的个数，该公第 4 页（共 23 页）司对该市已开设分店的其他区的数据统计后得到下列信息（其中 x 表示在该区开设分店的个数，y 表示这 x 个分店的年收入之和）：分店个数 x（个） 2 3 4 5 6年收入 y（万元） 250 300 400 450 600（）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的回归方程；（）假设该
7、公司每年在新城区获得的总利润 w（单位：万元）与 x，y 之间的关系为wy 5x2140，请根据（）中的线性回归方程，估算该公司在新城区开设多少个分店时，才能使新城区每年每个分店的平均利润最大参考公式：回归方程 x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 20在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是圆 F1：（x+ ） 2+y216 上的动点，定点 F2（） ，线段 PF2 的垂直平分线交 PF1 于 Q，记 Q 点的轨迹为 E（）求轨迹 E 的方程；（）若动直线 l：y kx+m（k0）与轨迹 E 交于不同的两点 M、N，点 A 在轨迹 E 上，且四边形 OMAN 为平行四边形证明：四边
8、形 OMAN 的面积为定值21已知函数 f（x ）lnx xe x+ax（aR ） （）若函数 f（x ）在1 ，+）上单调递减，求实数 a 的取值范围；（）若 a1，求 f（x ）的最大值22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （）以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程；（）若射线 与曲线 C 有两个不同的交点 A，B，求 的取值范围23已知函数 f（x ）|x 1|+|x+2|，记 f（x）的最小值为 m（）解不等式 f（x ）5；第 5 页（共 23 页）（）若正实数 a，b 满足 ，求证： 2m第 6 页（共
9、 23 页）2019 年山东省济宁市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）已知全集 UR，集合 A x|x23x+20，则 RA（ ）A （1，2） B1 ，2C （，12，+） D （， 1）（2，+）【分析】由题意结合补集的定义求解不等式即可确定补集【解答】解：Ax| x23x+20 ， RAx| x23x +20 x|1x2（1，2） 故选：A【点评】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力2 （3 分）已知复数 z 满足（1i）z2+3i ，则复
10、数 z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】由题意首先求得复数 z 的值，然后结合复数对应的点即可确定其所在的象限【解答】解：由复数的运算法则可得：z ，故复数 z 在复平面内对应的点为（ ， ） ，所在的象限是第二象限故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （3 分）要得到函数 ysin （2x+ ）的图象，只需将函数 y2sinxcosx 的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【分析】利用二倍角公式化函数 y2
11、sin xcosx，再根据图象平移得出正确的结论【解答】解：函数 y2sinxcos xsin2x，第 7 页（共 23 页）函数 ysin （2 x+ ）sin2（x+ ） ，要得到函数 ysin（2x+ ）的图象，只需将函数 y2sinxcosx 的图象向左平移 个单位故选：C【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角函数图象平移的应用问题，是基础题4 （3 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值等于（ ）A30 B31 C62 D63【分析】首先确定流程图的功能，然后计算其输出的结果即可【解答】解：由流程图可知该算法的功能为计算 S1+2 1+22+23+2
12、4 的值，即输出值为：S1+2 1+22+23+241+2+4+8+1631故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟计算法是解决本题的关键5 （3 分）已知双曲线 1（a0，b0）的离心率为 2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为 y x，再由双曲线离心率为 2，得到c2a，由定义知 b a，代入即得此双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线 C 方程为： 1（a0，b0）第 8 页（共 23 页）双曲线的渐近线方程为 y x又双曲线离心率为 2，c2a，可得 b a因此，双曲线的渐近线方程为 y x故选：D【点评】本题
13、给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题6 （3 分）已知等差数列a n的公差为 4，且 a2，a 3，a 6 成等比数列，则 a10（ ）A26 B30 C34 D38【分析】由题意首先求得 a2 的值，然后结合等差数列的性质即可确定 a10 的值【解答】解：由题意可得：a 2，a 3，a 6 成等比数列， a 2a6， a 2（a 2+44） ，解得 a22则 a102+8434故选：C【点评】本题主要考查等差数列的性质，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题7 （3 分）已知向量 ， 满足| |
14、1，| | ，且（ ）（3 ） ，则 与 的夹角为（ ）A B C D【分析】根据| |1，| | ，且（ ）（3 ） ，即可得出，进行数量积的运算即可求出 ，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角【解答】解：| |1，| | ，且（ ）（3 ） ； ；又 ；第 9 页（共 23 页） 故选：D【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围8 （3 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的周期为 4 的奇函数，当 x（0，2）时，f（x）x 2+lnx，则 f（2019）（ ）A1 B0 C1 D2【分析】由题意结合函数的周期性和函数的奇偶性计算
15、函数值即可【解答】解：由题意可得：f（2019）f（50541）f（1）f （1）（1 2+ln1）1故选：A【点评】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力9 （3 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A3 B4 C2 D2【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求得每条棱的棱长，据此即可确定最大的棱长【解答】解：如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 M 为边 CD 的中点，则题中的三视图所对应的几何体为四棱锥 A1ABCM，第 10 页（共 23 页）易知其棱长分别为： ，
16、则最长的棱长为 故选：D【点评】本题主要考查由三视图还原所给的几何体，棱锥的空间结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力10 （3 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分 100 分） ，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）A B C D【分析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可【解答】解：由题意可得 （88+87+85+92+93+95）90，设被污损的数字为 x，则 （
17、85+86+88+90+99+x）89+ ，第 11 页（共 23 页）满足题意时， 即：9089+ ，解得 x6，即 x 可能的取值为 0，1，2，3，4，5，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p 故选：C【点评】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力11 （3 分）已知拋物线 y28x 的焦点为 F，过点的直线与该抛物线交于 A、B 两点，且16| AB|24，O 为坐标原点，记直线 OA、OB 的斜率分别为 k1、k 2，则 的取值范围是（ ）A2， ，2 B ，1 1， C 2，11 ，2 D
18、， 【分析】由题意首先对一般情况确定 + 的解析式，然后结合抛物线的弦长公式和三角函数的性质即可确定其取值范围【解答】解：对于一般的抛物线方程 y22px，设过焦点的直线方程为 xmy + ，与抛物线方程联立可得：y 22pmyp 20，故 y1+y22pm，设 A（ ，y 1） ，B（ ，y 2） ，则：+ + m ，其中 k 为直线 AB 的斜率，由抛物线的焦点弦公式可知：|AB | 16，24 ，则 sin2 ， ，tan 2 1 1 ，1 ，故（ + ） 21，2，+ 的取值范围是 ，11， 故选：B第 12 页（共 23 页）【点评】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，直线
19、斜率的计算，抛物线中设点的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力属中档题12 （3 分）已知函数 f（x ） ，若不等式|f （x）|mx2 恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ）A32 ，3+2 B0 ，32 C （32 ，3+2 ） D0，3+2 【分析】作出|f（x）|的图象，利用数形结合进行转化，结合基本不等式的性质进行求解即可【解答】解：作出函数|f（x）| 的图象如图：直线 g（x）mx2 过定点（0，2） ，由图象知当 m0 时，|f（x ）|mx2 不恒成立，不满足条件当 m0 时，|f （x ）|mx 2 恒成立，满足条件，当 m0 时，要使|f（x ）
20、|mx2 恒成立，则只要想 x0 时，|f（x ）| mx2，即 x2+3xmx 2 即可，得 x2+3x+2mx，得 x+ +3m，即可，当 x0 时，x+ +33+2 3+2 ，即 m3+2 ，m0，0m3+2 ，综上 0m3+2 ，即实数 m 的取值范围是0，3+2 ，故选：D第 13 页（共 23 页）【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，结合分段函数的解析式，利用数形结合进行转化，结合基本不等式的性质是解决本题的关键二、填空题.13 （3 分）已知 alog 49，b log 25，则 22a+b 45 【分析】由题意利用对数的运算法则和指数的运算法则计算可得 22a+b 的值【解答
21、】解：由题意可得：alog 49log 23，由对数恒等式可知：2 a2 3，2 b 5，则 22a+b3 2545故答案为：45【点评】本题主要考查对数的运算法则及其应用，属于基础题14 （3 分）若变量 x，y 满足 ，则目标函数 z3x+y 的最小值为 3 【分析】首先画出可以域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可【解答】解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，第 14 页（共 23 页）目标函数即：y3x +z，其中 z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最小值，联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为：
22、A（2，3） ，据此可知目标函数的最小值为：z min3（2）+33故答案为：3【点评】求线性目标函数 zax+by（ab0）的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大15 （3 分）已知数列a n的前 n 项和为 Snn 2，若 bn ，则数列b n的前 100 项的和为 【分析】首先对数列的通项公式进行变换，进一步利用裂项相消法求出结果【解答】1 解：数列a n的前 n 项和为 Snn 2，若 bn ，则：
23、 ，所以：+ + ， 第 15 页（共 23 页）所以： 故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的转换的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型16 （3 分）已知三棱锥 PABC 的四个顶点均在体积为 36 的球面上，其中 PA平面ABC，底面 ABC 为正三角形，则三棱锥 PABC 体积的最大值为 9 【分析】求出球的半径，三角形 ABC 的外接圆的半径，求出 PA，然后写出棱锥的体积，利用基本不等式求解最值即可【解答】解：三棱锥 PABC 的四个顶点均在体积为 36 的球面上，可得球的半径为：3，底面 ABC 为正三角形，外接圆的半
24、径为 r 三棱锥的高 PA2 则三棱锥 PABC 的体积：V AB2sin60 ，令 AB2x，则 V2 V9当且仅当 x18，即 AB 时取等号故答案为：9【点评】本题考查了几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，属于中档题三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsin（A+ ）asinB第 16 页（共 23 页）（）求角 A 的大小；（）已知 b3，S ABC 3 ，求 a 的值【分析】 （）由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质即可确定角的大小；（）由题意首先由面积公式确定 c 的值，然后
25、结合余弦定理即可求得边长 a 的值【解答】解：（）因为 bsin（A+ ）asin B由正弦定理得 sinBsin（A+ ）sinAsin B，因为 0B，所以 sinB0，所以： ，所以 sinAsinAcos +cosAsin ，所以 tanA ，因为 0A，所以 A （）因为 ，所以 3 ，所以 c4，所以 ，解得：a 【点评】本题考查的知识要点：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18如图，四棱锥 PABCD 中
26、，底面 ABCD 为梯形，AB CD，AB BC，AB2CD2BC 2，PD底面 ABCD，PD2，E 是 PA 的中点（）求证：平面 EBD平面 PAD；（）求点 C 到平面 EBD 的距离第 17 页（共 23 页）【分析】 （）由题意利用几何关系首先证得 BD平面 PAD，然后利用面面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（）由题意首先求得相应三棱锥的体积，然后利用等体积法即可求得点 C 到平面EBD 的距离【解答】证明：（）PD底面 ABCD，BD 底面 ABCD，PDBD 由题意，ABCD，且 AB2CD2，BCD 是等腰直角三角形，BD ，AD ，AD 2+BD2AB 2，AD BD，
27、又PDAD D，且 PD平面 PAD，AD 平面 PAD， BD平面 PAD，BD平面 EBD，平面 EBD平面 PAD解：（）由（）得平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD ，作 EHAD ，垂足为 H，EH平面 ABCD，E 是 PA 的中点， EH ，DE ，三棱锥 EBCD 的体积为 设点 C 到面 EBD 的距离为 h，由（）知，BD ED，EBD 的面积为 V CEBD ，V EBCD V CEBD ，即 ，h 点 C 到平面 EBD 的距离为 【点评】本题主要考查面面垂直的判定定理，点面距离的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力
28、19某大型超市公司计划在 A 市新城区开设分店，为确定在新城区开设分店的个数，该公第 18 页（共 23 页）司对该市已开设分店的其他区的数据统计后得到下列信息（其中 x 表示在该区开设分店的个数，y 表示这 x 个分店的年收入之和）：分店个数 x（个） 2 3 4 5 6年收入 y（万元） 250 300 400 450 600（）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的回归方程；（）假设该公司每年在新城区获得的总利润 w（单位：万元）与 x，y 之间的关系为wy 5x2140，请根据（）中的线性回归方程，估算该公司在新城区开设多少个分店时，才能使新
29、城区每年每个分店的平均利润最大参考公式：回归方程 x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 【分析】 （）由题意结合回归方程系数的计算公式即可确定直线的回归方程；（）结合（）的结论首先求得利润函数，然后结合均值不等式的结论即可确定利润取得最大值的分店个数和最大的利润值【解答】解：（） （2+3+4+5+6）4， （250+300+400+450+600 ）400；由公式计算 85， 40085460，回归方程为 85x+60；（）由题意知总利润 w 与 x，y 之间的关系为 wy 5x 21405x 2+85x80，所以年平均利润 5x+85 855（x+ ）45，当且仅当 x4 时，取
30、得等号，第 19 页（共 23 页）所以，该公司在新城区开设 4 个分店时，新城区每年每个分店的平均利润最大为 45 万元【点评】本题主要考查了线性回归方程的计算及其应用，均值不等式在实际问题中的应用等知识，也考查了转化和计算求解能力20在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是圆 F1：（x+ ） 2+y216 上的动点，定点 F2（） ，线段 PF2 的垂直平分线交 PF1 于 Q，记 Q 点的轨迹为 E（）求轨迹 E 的方程；（）若动直线 l：y kx+m（k0）与轨迹 E 交于不同的两点 M、N，点 A 在轨迹 E 上，且四边形 OMAN 为平行四边形证明：四边形 OMAN 的面积为定值
31、【分析】 （）由题意利用图形的几何性质和椭圆的定义即可确定轨迹方程；（）联立直线方程与（）中求得的轨迹方程，结合韦达定理和平行四边形的性质得到面积的表达式，进一步计算即可证得其面积为定值【解答】解：（）由题意：|QF 1|+|QF2| PF1|4，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹 E 是以 F1、F 2 为焦点的椭圆，其中2a4，2c2 a2，c ，b 2a 2c 21，轨迹 E 的方程为： ；（）证明：设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，联立方程组 ，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m240，64k 2m24（1+4 k2） （4m 24）0，m 21+4k 2，x1+x
32、2 ，x ，MN 的中点（ ， ） ，A（ ， ） ，点 A 在椭圆上， ，4m 21+4k 2，|MN | ，第 20 页（共 23 页）点 O 到直线 ykx +m 的距离 d ，S OMAN| MN|d 四边形 OMAN 的面积为定值 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21已知函数 f（x ）lnx xe x+ax（aR ） （）若函数 f（x ）在1 ，+）上单调递减，求
33、实数 a 的取值范围；（）若 a1，求 f（x ）的最大值【分析】 （）由题意分离参数，将原问题转化为函数求最值的问题，然后利用导函数即可确定实数 a 的取值范围；（）结合函数的解析式求解导函数，将其分解因式，利用导函数研究函数函数的单调性，最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最值【解答】解：（）由题意知，f（x ） 0 在1，+ ）上恒成立，所以 a 在1， +）上恒成立令令 g（x） ，则 0，所以 g（x）在1 ，+ ）上单调递增，所以 g（x） ming（1）2e 1，所以 a2e1（）当 a1 时，f（x ）lnxxe x+x，则 f（x） ex+1（x +1） （ ）
34、 ，令 m（x） ，则 m （x ） 0，所以 m（x）在（0，+ ）上单调递减由于 m（ ）0，m（1）0，所以存在 x00 满足 m（x 0）0，即 第 21 页（共 23 页）当 x（0，x 0） ，m（x ）0， f（x）0；当 x（x 0，+）时，m（x）0，f（x）0所以 f（x）在（ 0，x 0）上单调递增，在（x 0，+）上单调递减所以 f（x） maxf（x 0） ，因为 ，所以 x0lnx 0，所以 f（x 0）x 01+x 01，所以 f（x） max1【点评】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，零点存在定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学
35、生的转化能力和计算求解能力22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （）以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程；（）若射线 与曲线 C 有两个不同的交点 A，B，求 的取值范围【分析】 （）将所给的参数方程消去参数 即可确定曲线的直角坐标方程，然后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可；（）联立（）中的极坐标方程和直线的极坐标方程，结合韦达定理和参数的几何意义即可确定 + 的取值范围【解答】解：（）曲线 C 的直角坐标方程为（ x+1） 2+（y ） 21，即 x2+y2+2x2 +30，又 x2+y2 2，x cos，y
36、 sin曲线 C 的极坐标方程为 2+2（cos ）+30（）把 代入 0 得2+2（cos +30设 A（ 1，） ，B（ 2，）则 1+22（ ， 123所以 + + sin（ ） ，又射线 与曲线 C 有两个不同的交点 A，B， ，第 22 页（共 23 页） ， ）1， + ，的取值范围为（ ， ） 【点评】本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力属中档题23已知函数 f（x ）|x 1|+|x+2|，记 f（x）的最小值为 m（）解不等式 f（x ）5；（）若正实数 a，b 满足 ，求证： 2
37、m【分析】 （）由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；（）首先确定 m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式【解答】解：（）当 x1 时，f（x ）（x1）+（x+2）2x+15，即 x2，1x 2；当 2x1 时，f（x ）（1x）+（x+2）35，2x1；当 x2 时，f（x ）（1x）（x+2）2x15，即 x3，3x 2综上所述，原不等式的解集为x|3x2；（）f（x） |x1|+|x+2|（x 1）（x+2）|3，当且仅当2x1 时，等号成立f（x）的最小值 m3 ，即 ，当且仅当 即 3a2b 时，等号成立又 ，a ，b 时，等号成立 2m第 23 页（共 23 页）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属中档题
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