1、2019 年山东省德州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，把正确答案涂在答题卡上1 （5 分）设全集 UR，集合 Mx|x 2x ，N x|2x1，则 M UN（ ）A0，1 B （0，1 C0 ，1） D （，12 （5 分）已知复数 z1l+ ai（aR ） ，z 21+2 i（i 为虚数单位） ，若 为纯虚数，则a（ ）A2 B2 C D3 （5 分）如图，在边长为 2 的正方形中，随机撒 1000 粒豆子，若按 3 计算，估计落到阴影部分的豆子数为（ ）A125 B150 C175 D2004 （
2、5 分）已知椭圆 1（ab0）与双曲线 （a0，b0）的焦点相同，则双曲线渐进线方程为（ ）Ay x By x Cy x Dy x5 （5 分）港珠澳大桥于 2018 年 10 月 2 刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长 5 多千米桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上 1000 辆汽车的行驶速度进行抽样调查画出频率分布直方图（如图） ，根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间85，90）的车辆数和行驶速度超过 90km/h 的频率分别为（ ）第 2 页（共 23 页）A.300，0.25 B300，
3、0.35 C60，0.25 D60，0.356 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）在区间0，+）上单调递增，且 yf（x1）的图象关于 x1 对称，若实数 a 满足 f（log 2a）f （2） ，则 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （ ） C （ ，4） D （4，+）7 （5 分）设函数 f（x ） ，则 f（ 3）+f （log 23）（ ）A9 B11 C13 D158 （5 分）已知数列a n是公比不为 l 的等比数列，S n 为其前 n 项和，满足 a22，且16a1，9a 4，2a 7 成等差数列，则 S3（ ）A.5 B6
4、 C7 D99 （5 分）设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“log a2log b2”是“2 a2 b2”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件10 （5 分）已知函数 f（x ） （ x表示不超过 x 的最大整数） ，若 f（x ）ax0 有且仅有 3 个零点，则实数的取值范围是（ ）A （ B ） C ） D （ 11 （5 分）已知椭圆： 的左右焦点分别为 F1、F 2，P 为椭圆上的一点 PF2 与椭圆交于 Q若 PF1Q 的内切圆与线段 PF1 在其中点处相切，与 PQ 切于F2，则椭圆的离心率为（ ）A
5、 B C D12 （5 分）已知ABC 中，| 2点 P 为 BC 边上的动点，则的最小值为（ ）A2 B C2 D二、填空题；本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置13 （5 分）设向量 ， 不平行，向量 与 平行则实数 第 3 页（共 23 页）14 （5 分）设 x、y 满足约束条件 则 z2x+y 的最小值是 15 （5 分）如图网络纸上小正方形的边长为 1粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 16 （5 分）设数列a n的前 n 项和为
6、Sn，已知 a1l ，a 22，且 an+22S nS n+1+3，记bnlog 2a2n1 +log2a2n，则数列 （1） nbn2的前 10 项和为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说期、证明过程或演算步骤17 （12 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知sin（2A+ ）cos（B+C）1+2cosA（1）求角 A 的大小；（2）若ABC 的面积 S3 ，b3求 sinC 的值18 （12 分）某高校共有 10000 人，其中男生 7500 人，女生 2500 人，为调查该校学生每则平均体育运动时
7、间的情况，采用分层抽样的方法，收集 200 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时） 调查部分结果如下 22 列联表：男生 女生 总计每周平均体育运动时间不超过 4 小时 35 每周平均体育运动时间超过 4 小时 30 总计 200（1）完成上述每周平均体育运动时间与性别的 22 列联表，并判新是否有 95%把握认为“该校学生的每周平均体育
8、运动时间与性别有关” ；（2）已知在被调查的男生中，有 5 名数学系的学生，其中有 2 名学生每周平均体育运动时间超过 4 小时，现从这 5 名学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人“每周平均体育运动第 4 页（共 23 页）时间超过 4 小时”的概率附K 2 ，其中 na+b+c+dP（K 2k 0） 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.87919 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，E 为找段 AD 的中点，且 AEEDBC2PAPDPB4PBAC （1）证明，平面 PBE平面 PAC；（2）若 BCAD
9、求三棱锥 PACD 的体积20 （12 分）已知点 P 在抛物线 C：x 22py（p0）上，且点 P 的横坐标为 2，以 P 为圆心，| PO|为半径的圆（O 为原点） ，与抛物线 C 的准线交于 M，N 两点，且| MN|2（l）求抛物线 C 的方程；（2）若抛物线的准线与 y 轴的交点为 H过抛物线焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于A，B，且 ABHB，求|AF|BF| 的值21 （12 分）已知函数 f（x ）x 2+a （1）当 a 为何值时，x 轴为曲线 yf （x）的切线；（2）设函数 g（x）xf （x ） ，讨论 g（x）在区间（0，1 ）上零点的个数请考生在第 222
10、3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0，） ） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22 cos+3（l）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程：（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|AB |2 求直线 l 的方程23 （10 分）已知函数 f（x ）|x1| （1）求不等式 f（x ）x+|x +l|的解集；第 5 页（共 23 页）（2）若函数 g（x）log 2f（x+3）+f（x）2a的定义域为 R求实数 a
11、的取值范围第 6 页（共 23 页）2019 年山东省德州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，把正确答案涂在答题卡上1 （5 分）设全集 UR，集合 Mx|x 2x ，N x|2x1，则 M UN（ ）A0，1 B （0，1 C0 ，1） D （，1【分析】求出集合的等价条件，结合集合交集补集的定义进行计算即可【解答】解：Mx |x2x x|0x1，Nx|2 x1 x|x0 ，UNx|x0，则 M UNx |0x10，1，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键2 （5
12、 分）已知复数 z1l+ ai（aR ） ，z 21+2 i（i 为虚数单位） ，若 为纯虚数，则a（ ）A2 B2 C D【分析】把 z1l+ ai（aR） ， z21+2 i 代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解：z 1l+ ai（aR ） ，z 21+2 i， ， 为纯虚数， ，解得 a 故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （5 分）如图，在边长为 2 的正方形中，随机撒 1000 粒豆子，若按 3 计算，估计落到阴影部分的豆子数为（ ）第 7 页（共 23 页）A1
13、25 B150 C175 D200【分析】由题意求出阴影部分的面积为 ，则 ，求得 n 得答案【解答】解：圆的半径为 1，则圆的面积近似为 3，又正方形面积为 4，则阴影部分面积为 0.5设落到阴影部分的豆子数为 n，则 故选：A【点评】本题考查几何概型概率的求法，求阴影部分面积是关键，是基础题4 （5 分）已知椭圆 1（ab0）与双曲线 （a0，b0）的焦点相同，则双曲线渐进线方程为（ ）Ay x By x Cy x Dy x【分析】设双曲线的焦距为 2c，由题意可得 2a22b 2a 2+b2，即有 a，b 的关系，结合双曲线的基本量关系和离心率公式，计算可得所求值【解答】解：
14、依题意椭圆 1（ab0）与双曲线 （a0，b0）的焦点相同，可得：a 2b 2 a2+ b2，即 a23b 2， ，可得双曲线的渐近线方程为：y x故选：A第 8 页（共 23 页）【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查焦点坐标和渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题5 （5 分）港珠澳大桥于 2018 年 10 月 2 刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长 5 多千米桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上 1000 辆汽车的行驶速度进行抽样调查画出频率分布直方图（如图） ，根据直方图估计在此路段上汽车行驶
15、速度在区间85，90）的车辆数和行驶速度超过 90km/h 的频率分别为（ ）A.300，0.25 B300，0.35 C60，0.25 D60，0.35【分析】由频率分布直方图先求出在此路段上汽车行驶速度在区间85，90）的频率，从而能求出在此路段上汽车行驶速度在区间85，90）的车辆数，利用频率分布直方图能求出行驶速度超过 90km/h 的频率【解答】解：由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间85，90）的频率为 0.0650.3，在此路段上汽车行驶速度在区间85，90）的车辆数为：0.31000300，行驶速度超过 90km/h 的频率为：（0.05+0.02）50
16、.35故选：B【点评】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）在区间0，+）上单调递增，且 yf（x1）的图象关于 x1 对称，若实数 a 满足 f（log 2a）f （2） ，则 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （ ） C （ ，4） D （4，+）【分析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数 f（x）为偶函数，又由函数 f（x）在区间0，+ ）上单调递增，分析可得 f（log 2a）f （2 ）f（|log 2a|）f（2）|log2a|2，解可得 a 的取值范围，即可得
17、答案第 9 页（共 23 页）【解答】解：根据题意，yf （x1）的图象关于 x1 对称，则函数 f（x）的图象关于y 轴对称，即函数 f（x）为偶函数，又由函数 f（x）在区间 0，+）上单调递增，则 f（log 2a）f（2）f（|log 2a|）f（2）|log 2a|2，解可得： a4，即 a 的取值范围为（ ，4） ；故选：C【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意分析函数 f（x）的奇偶性，属于基础题7 （5 分）设函数 f（x ） ，则 f（ 3）+f （log 23）（ ）A9 B11 C13 D15【分析】推导出 f（3）+f（log 23）log 24+
18、 ，由此能求出结果【解答】解：函数 f（x ） ，f（3）+f（log 23）log 24+2+911故选：B【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8 （5 分）已知数列a n是公比不为 l 的等比数列，S n 为其前 n 项和，满足 a22，且16a1，9a 4，2a 7 成等差数列，则 S3（ ）A.5 B6 C7 D9【分析】设等比数列的公比为 q，且 q 不为 1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求值【解答】解：数列a n是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a22，且
19、16a1，9a 4，2a 7 成等差数列，第 10 页（共 23 页）可得 a1q2，18a 416a 1+2a7，即 9a1q38a 1+a1q6，解得 q2，a 11，则则 S3 7故选：C【点评】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题9 （5 分）设 a，b 都是不等于 1 的正数，则“log a2log b2”是“2 a2 b2”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由“ ”，得 ，得：
20、或 log2a log2b0 或 0log 2alog 2b，即 或 ab1 或 0ba1，由 2a2 b2，得：ab1，故“ ”是“2 a2 b2”的必要不充分条件，故选：C【点评】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，是基础题10 （5 分）已知函数 f（x ） （ x表示不超过 x 的最大整数） ，若 f（x ）ax0 有且仅有 3 个零点，则实数的取值范围是（ ）A （ B ） C ） D （ 【分析】根据x的定义先作出函数 f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为 f（x）第 11 页（共 23 页）与 g（x）ax 有三个不同的交点，
21、利用数形结合进行求解即可【解答】解：当 0x1 时，x0，当 1x2 时， x1，当 2x3 时， x2，当 3x4 时， x3，若 f（x）ax0 有且仅有 3 个零点，则等价为 f（x） ax 有且仅有 3 个根，即 f（x）与 g（ x）ax 有三个不同的交点，作出函数 f（x）和 g（x）的图象如图，当 a1 时，g（x）x 与 f（x）有无数多个交点，当直线 g（x）经过点 A（2，1）时，即 g（2）2a1，a 时，f（x）与 g（x）有两个交点，当直线 g（x）经过点 B（3，2）时，即 g（3）3a2，a 时，f（x）与 g（x）有三个交点，要使 f（x）与 g（x）ax 有三
22、个不同的交点，则直线 g（x）处在过 y x 和 y x 之间，即 a ，故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，求出 f（x ）的图象，利用函数与方程之间的关系转化为 f（x ）与 g（x）ax 有三个不同的交点，利用数形结合是解决本题的关第 12 页（共 23 页）键11 （5 分）已知椭圆： 的左右焦点分别为 F1、F 2，P 为椭圆上的一点 PF2 与椭圆交于 Q若 PF1Q 的内切圆与线段 PF1 在其中点处相切，与 PQ 切于F2，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】可设PF 1Q 的内切圆的圆心为 I，由切线的性质：切线长相等，可得 PF 1Q为等腰三角
23、形，设|PF 1|m， |PF2|n，可得 m+n2a，n m，解得 m，n，推得PF1Q 为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值【解答】解：可设PF 1Q 的内切圆的圆心为 I，M 为切点，且为中点，可得PF 1Q 为等腰三角形，设|PF 1| m，| PF2|n，可得 m+n2a，由切线的性质可得 n m，解得 m ，n ，设|QF 1|t，|QF 2|2at，由 t2at+ ，解得 t ，则PF 1Q 为等边三角形，即有 2c ，即有 e ，故选：D【点评】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，第 13 页（共 23 页）切线的性质，考
24、查化简运算能力，属于中档题12 （5 分）已知ABC 中，| 2点 P 为 BC 边上的动点，则的最小值为（ ）A2 B C2 D【分析】以 BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得 B（1，0） ，C （1，0） ，设 P（a，0） ，A（x ，y ） ，运用向量的坐标表示，求得 A 的轨迹，进而得到 a 的二次函数，可得最小值【解答】解：以 BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得 B（1，0） ，C（1，0） ，设 P（a，0） ，A（x，y） ，由 2，可得（x+1，y） （2，0）2x +22，即 x2，y 0，则 （1a，0）（xa1a+1a，y+0+0）
25、（1a） （x3a）（1a） （23a）3a 2a23（a ） 2 ，当 a 时， 的最小值为 故选：D【点评】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题二、填空题；本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置13 （5 分）设向量 ， 不平行，向量 与 平行则实数 4 【分析】根据条件可知， ，而又知 与 平行，从而得出，这样根据平面向量基本定理即可求出 第 14 页（共 23 页）【解答】解： 不平行； ；又 与 平行；存在实数 ，使 ；根据平面向量基本定理得， ；4故答案为：4【点评】考查共线向量基本定理，以及
26、平面向量基本定理，向量的数乘运算14 （5 分）设 x、y 满足约束条件 则 z2x+y 的最小值是 1 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2x+y 表示直线在 y轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可【解答】解：x、y 满足约束条件 的可行域如图：目标函数 z2x+y，目标函数经过可行域的 A 时取得最小值，点 A（1，1） ，z A1，故答案为：1【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法第 15 页（共 23 页）15 （5 分）如图网络纸上小正方形的边长为 1粗实线画出
27、的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 8+ 【分析】根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为VV 三棱柱 +V 半圆锥 224+ 1228+ 故答案为：8+ 【点评】本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题16 （5 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a1l ，a 22，且 an+22S nS n+1+3，记bnlog 2a2n1 +log2a2n，则数列 （1） nbn2的前 10 项和为 200 【分析】由已知可求 a
28、3，然后利用数列的递推公式可得数列a n的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为 2，从而可求 bn，然后代入即可求和【解答】解：a 1l，a 22 ，且 an+22S nS n+1+3，a 323+32，a n+22S nS n+1+3，n2 时，a n+12S n1 S n+3，两式相减可得，a n+2a n+12（s ns n1 ）（s n+1s n） ， （n2）即 n2 时，a n+2a n+12a na n+1 即 an+22a n，第 16 页（共 23 页）a 32a 1，数列a n的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为 2，a2n22 n1 2 n，a 2n1 12 n1
29、2 n1b nlog 2a2n1 +log2a2nn1+n2n1，则数列（1） nbn2的前 10 项和为 s（3 21 2）+（7 25 2）+（19 217 2）2（4+12+20+28+36）200故答案为：200【点评】本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说期、证明过程或演算步骤17 （12 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知sin（2A+ ）cos（B+C）1+2cosA（1）求角 A 的大小；（2）若ABC 的面积 S3 ，b
30、3求 sinC 的值【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cosA 的值，结合 A 的范围，可求 A 的值（2）利用三角形的面积公式可求 bc 的值，从而解得 c 的值，由余弦定理可求 a 的值，由正弦定理可求 sinC 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）sin（2A+ ） cos（B+C）1+2cosAcos2A+cosA1+2cos A，即：2cos 2A1+cos A1+2cosA，可得：2cos 2A cosA0，解得： cosA ，或 cosA0， 4 分ABC 为锐角三角形，cosA ，可得： A 6 分（2）S ABC bcsinA bc 3
31、，可得：bc 12，又 b3，可得：c4，8 分第 17 页（共 23 页）在ABC 中，由余弦定理可知，a2b 2+c22bc cosA16+92 251213，a ，在ABC 中，由正弦定理可知， ，可得：sin C 12 分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）某高校共有 10000 人，其中男生 7500 人，女生 2500 人，为调查该校学生每则平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 200 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时） 调查部分结
32、果如下 22 列联表：男生 女生 总计每周平均体育运动时间不超过 4 小时 35 20 55 每周平均体育运动时间超过 4 小时 115 30 145 总计 150 50 200（1）完成上述每周平均体育运动时间与性别的 22 列联表，并判新是否有 95%把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” ；（2）已知在被调查的男生中，有 5 名数学系的学生，其中有 2 名学生每周平均体育运动时间超过 4 小时，现从这 5 名学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人“每周平均体育运动时间超过 4
33、 小时”的概率附K 2 ，其中 na+b+c+dP（K 2k 0） 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879【分析】 （1）收集女生人数为 200 50，男生人数为 20050150，即应收集50 为女生，150 位男生的样本数据，由此数据可得列联表，再计算出观测值，并由临界值表可得结论；（2）由列举法以及古典概型可得概率第 18 页（共 23 页）【解答】解：（1）收集女生人数为 200 50，男生人数为 20050150，即应收集 50 为女生，150 位男生的样本数据，男生 女生 总计每周平均体育运动时间不超过
34、 4 小时35 20 55每周平均体育运动时间超过 4 小时 115 39 145总计 150 50 200K 2 5.223.841，所以有 95%把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”（2）设 ai 表示每周平均体育运动时间超过 4 小时的学生， i1，2，bj 表示每周平均体育运动时间不超过 4 小时的学生，j 1，2，3，从 5 名数学系学生任取 2 人的可能结果构成基本事件，（a 1，a 2） ， （a 1，b 1） ， （a 1，b 2） ， （a 1，b 3） ， （a 2，b 1） ， （a
35、2，b 2） ， （a 2，b 3） ，（b 1，b 2） ， （b 1，b 3） ， （b 2，b 3）， 由 10 个基本事件组成，且这些基本事件是等可能的，设 A 表示“2 人中恰有一人每周平均体育运动时间超过 4 小时” ，则 A（a 1， b1） ， （a 1，b 2） ， （a 1，b 3） ， （a 2，b 1） ， （a 2， b2） ， （a 2，b 3） ，A 由 6 个基本事件组成，由古典概型得，P（A） 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，E 为找段 AD 的中点，且 AEEDBC2PAPDP
36、B4PBAC （1）证明，平面 PBE平面 PAC；（2）若 BCAD求三棱锥 PACD 的体积第 19 页（共 23 页）【分析】 （1）由面面垂直的性质可得 PE平面 ABCD，故 PEAC，结合 PBAC 可得AC平面 PBE，于是平面 PBE平面 PAC；（2）根据四边形 BCDE 是平行四边形可证明 ACCD ，利用勾股定理计算各线段长度，带入棱锥的体积公式计算体积【解答】 （1）证明：PAPD，E 是 AD 的中点，PEAD，又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PE平面 ABCD，又 AC平面 ABCD，PEAC，又 PBAC，PEPBP，AC平面 PBE
37、，又 AC平面 PAC，平面 PBE平面 PAC（2）解：由（1）知 AC平面 PBE，故 ACBE，BCAD，BC ADDE，四边形 BCDE 是平行四边形，CDBE，CDBE，ACCD，PAPD PB4，AEDEBC 2，PE 2 ，BE 2，即 CD2，AC 2 V PACD SACD PE 4【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题20 （12 分）已知点 P 在抛物线 C：x 22py（p0）上，且点 P 的横坐标为 2，以 P 为圆心，| PO|为半径的圆（O 为原点） ，与抛物线 C 的准线交于 M，N 两点，且| MN|2（l）求抛物线 C 的方程；（2）若
38、抛物线的准线与 y 轴的交点为 H过抛物线焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于A，B，且 ABHB，求|AF|BF| 的值【分析】 （1）将点 P 横坐标代入抛物线中求得点 P 的坐标，利用点 P 到准线的距离 d 和勾股定理列方程求出 p 的值即可；（2）设 A、B 的坐标以及直线 AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，再计算|AF| |BF|的值【解答】解：（1）将点 P 横坐标 xP2 代入 x22py 中，求得 yP ，第 20 页（共 23 页）P（2， ） ，|OP| 2 +4，点 P 到准线的距离为 d + ，|OP |2 +d2，2 2
39、+ 1 2+ ，解得 p24，p2，抛物线 C 的方程为：x 24y；（2）抛物线 x24y 的焦点为 F（0，1） ，准线方程为 y 1，H （0，1） ；设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 AB 的方程为 ykx+1 ，代入抛物线方程可得 x24kx40，x 1+x24k，x 1x24，由 ABHB ，可得 kABkHB1，又 kABk AF ，k HB ， 1，（y 11） （y 2+1）+ x1x20 ，即（ 1） （ +1）+x 1x20， + （ ）1+x 1x20，把代入 得， 16，则|AF| |BF| y1+1y 21 （ ） 164【点评】本题考查了直
40、线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，也考查了转化思想以及计算能力，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）x 2+a （1）当 a 为何值时，x 轴为曲线 yf （x）的切线；（2）设函数 g（x）xf （x ） ，讨论 g（x）在区间（0，1 ）上零点的个数【分析】 （1）求得 f（x ）的导数，设切点为（x 0，0） ，可得 f（x 0）0，f（x 0）0，解方程可得所求值；第 21 页（共 23 页）（2）求得 g（x）的解析式和导数，讨论当 a3 时，当 a0 时，当 0a3 时，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可得到所求零点个数【解答】解：（1）f（x ）
41、x 2+a 的导数为 f（x）2x+ ，设切点为（x 0，0） ，可得 f（x 0）0，f（x 0）0，即x 02+a 0，2x 0+ 0，解得 x0 ，a ；（2）g（x）xf （x ）x 3+ax ，g（x）3x 2+a，0x1，当 a3 时，g（x）3x 2+a0，g（x ）在（0，1）递增，可得g（0） 0，g（1）a 0，g（x）有一个零点；当 a0 时，g（x）0，g（x）在（0，1）递减，g（0）0，g（1）0，g（x）在（0，1）无零点；当 0a3 时，g（x）在（0， ）递增，在（ ，1）递减，可得 g（x）在（0，1）的最大值为 g（ ） ，若 g（ ） 0，即 0a ，g
42、（x）在（0，1）无零点；若 g（ ） 0，即 a ，g（x）在（0，1）有一个零点；若 g（ ） 0，即 a3，g（0）0，g（1）a ，当 a 时，g（x）在（0，1）有两个零点；当 a3 时，g（x）在（0，1）有一个零点；综上可得，a 时，g（x）在（0，1）无零点；当 a 或 a 时，g（x）在（0，1）有一个零点；当 a 时，g（x）在（0，1）有两个零点【点评】本题考查导数的运用：求切线斜率和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想方法和函数零点存在定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于难题请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分第 22 页（共 23
43、 页）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0，） ） 以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22 cos+3（l）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程：（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|AB |2 求直线 l 的方程【分析】 （1）由 消去参数 t 得 xsinycos +cos0（ 0，） ，由2 2cos+3 得曲线 C 的直角坐标方程为：x 2+y22x30（2）利用点到直线的距离以及勾股定理可得【解答】解：（1）由 消去参数 t 得 xsinycos +co
44、s0（ 0，） ，由 2 2cos+3 得曲线 C 的直角坐标方程为：x 2+y22x30（2）由 x2+y2 2x30 得（ x1） 2+y22，得圆心为（ 1，0） ，半径为 2，圆心到直线的距离为 d |sin+cos| ，|AB| 2 ，即 ，整理得sin2 1， 0，） ，20 ，2 ） ，2 ， ，所以直线 l 的方程为：x y+10【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23 （10 分）已知函数 f（x ）|x1| （1）求不等式 f（x ）x+|x +l|的解集；（2）若函数 g（x）log 2f（x+3）+f（x）2a的定义域为 R求实数 a 的取值范围【分析】 （
45、1）分 3 段去绝对值解不等式组在相并；（2）要使函数 g（x）log 2f（x+3）+f（x）2a的定义域为 R，只要 h（x）f（x+3）+f（x）2a 的最小值大于 0 即可再根据绝对值不等式的性质可求得最小值【解答】解：（1）不等式 f（ x）x+|x+l |x1|x+|x +1| 或或 ，解得 x0，第 23 页（共 23 页）所以原不等式的解集为（0，+） （2）要使函数 g（x）log 2f（x+3）+f（x）2a的定义域为 R，只要 h（x）f（x+3）+ f（x）2a 的最小值大于 0 即可 ，又 h（x）|x+3|+|x1| 2a| （x+2）（x1）|2a32a，当且仅当 x2，1时取等，所以 32aa，即 a 所以实数 a 的取值范围是（， ） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
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