1、空间几何体1已知 ， 是两个不同的平面， l 是一条直线，给出下列说法：若 l，则 l；若 l， ，则 l ；若 l，则 l；若 l， ，则 l .其中说法正确的个数为( )A3 B2 C1 D42如图，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 GH，MN 是异面直线的图形的序号为( )A B C D3给出下列四个命题：如果平面 外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行，那么 a；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面其中真命题的
2、个数为( )A1 B2 C3 D44对于四 面体 ABCD，有以下命题：若 ABACAD ，则 AB，AC，AD 与底面所成的角相等；若 ABCD ，ACBD，则点 A 在底面 BCD 内的射影是BCD 的内心；四面体 ABCD 的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体 ABCD 的 6 条棱长都为 1，则它的内切球的表面积为 .6其中正确的命题是( )A BC D5已知 m，n，l 1，l 2 表示不同的直线， 表示不同的平面，若m，n ，l 1，l 2，l 1l2M，则 的一个充分条件是 ( )Am 且 l1 Bm 且 n&X&X&KC m 且 nl 2 Dm l 1 且 nl 26某几何
3、体的正(主) 视图和侧( 左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是AB C，如图(2) 所示，其中 OAO B2，OC ，则该几何体的表面积为( )3A36 12 B24 83 3C 2412 D3683 37已知如图所示的三棱锥 D ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，ABC 和DB C 所在的平面互相垂直，AB3， AC ，BCCDBD2 ，则球 O 的表 面积为( )3 3A4 B12C 16 D368已知正四棱锥 PABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 ，若该2正四棱锥的体积为 2，则此球的体积为 ( )A. B. C. D.1243 62581 50081 2
4、5699在三棱锥 SABC 中，侧棱 SA底面 ABC，AB5，BC8，ABC60，SA2 ，则该三棱锥的外接球的表面积为( )5A. B. 643 2563C. D. 4363 2 04832710一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A16 B8 82C 2 2 8 D4 4 82 6 2 611在正三棱锥 SABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AM SB，底面边长 AB2 ，则2正三棱锥 SABC 的外接球的表面积为( )A6 B12C 32 D3612若四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，则该四棱 锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 来源:
5、Zxxk.Com815 8120 1015 1012013如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )A(1,2) B(1,2来源:C (0,2 D(0,2)14已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为 120的等腰三角形，侧(左)视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为_ ，该三棱锥的外接球的体积为_15.如图所示，三棱锥 PABC 中，ABC 是边长为 3 的等边三角形， D 是线段 AB 的中点，DE PBE ，且 DEAB，若EDC120，PA ，PB ，则三棱锥 PABC 的外接32 332球的表面积为_16已知半
6、径为 1 的球 O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_ 17某几何体的正( 主)视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧( 左)视图的图形是_(写出所有可能的序 号)18设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值 为_319已知二面角 l 的大小为 ，点 P，点 P 在 内的正投影为点 A， 过点 A3作 AB l，垂足 为点 B，点 Cl，BC2 ，PA2 ，点 D ，且四边形 ABCD 满足2 3BCD DAB.若四面体 PACD 的四个顶点都在同一球面上，则
7、该球的体积为_20.如图所示的多面体中，底面 ABCD 为正方形， GAD 为等边三角形，BF 平面ABCD， GD C90，点 E 是线段 GC 上除两端点外的一点，若点 P 为线段 GD 的中点21在梯形 ABCD 中(图 1)，ABCD，AB2 ，CD5，过 A，B 分别作 CD 的垂线，垂足分别为 E，F ，已知 DE1，AE2，将梯形 ABCD 沿 AE，BF 同侧折起，使得AFBD，DE CF，得空间几何体 ADEBCF (图 2)(1)证明：BE平面 ACD；(2)求三棱锥 EACD 的体积22.如图，多面体 ABCB1C1D 是由三棱柱 ABCA 1B1C1 截去一部分后而成，
8、 D 是 AA1 的中点(1)若 F 在 CC1 上，且 CC14CF，E 为 AB 的中点，求证：直线 EF平面 C1DB1；(2)若 ADAC1，AD平面 ABC，BCAC，求点 C 到平面 B1C1D 的距离1已知 ， 是两个不同的平面， l 是一条直线，给 出下列说法：若 l，则 l；若 l， ，则 l ；若 l，则 l；若 l， ，则 l .其中说法正确的个数为( )A3 B2 C1 D4答案 C解析 若 l，则 l 或 l，不正确；若 l，则 l 或 l，不正确；若 l， ，则 l，正确；若 l， ，则 l 或 l 或 l 与 相交且 l与 不垂直，不正确，故选 C.2如图，G，H
9、，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 GH，MN 是异面直线的图形的序号为( )A B C D答案 D解析 由题意可得图中 GH 与 MN 平行，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意；图中 GH 与 MN 相交，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意则表示 GH，MN 是异面直线的图形的序号为 .3给出下列四个命题：如果平面 外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行，那么 a；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面
10、其中真命题的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 C4对于四面体 ABCD，有以下命题：若 ABACAD ，则 AB，AC，AD 与底面所成的角相等；来源:若 ABCD ，ACBD，则点 A 在底面 BCD 内的射影是BCD 的内心；四面体 ABCD 的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体 ABCD 的 6 条棱长都为 1，则它的内切球的表面积为 .6其中正确的命题是( )A BC D答案 D解析 正确，若 ABAC AD，则 AB，AC，AD 在底面上的射影相等，即与底面所成角相等；不正确，如图，点 A 在平面 BCD 内的射影为点 O，连接 BO，CO ，可得BOCD，COBD，所以点
11、 O 是 BCD 的垂心；正确，如图，AB平面 BCD，BCD90，其中有 4 个直角三角形；正确，设正四面体的内切球的半径为 r，棱长为 1，高为 ，根据等体积公式 S63 13BCD 4SBCDr，解得 r ，那么内切球的表面积 S4r 2 ，故选 D.63 13 612 65已知 m，n，l 1，l 2 表示不同的直线， 表示不同的平面，若m，n ，l 1，l 2，l 1l2M，则 的一个充分条件是( )Am 且 l1 Bm 且 nC m 且 nl 2 Dm l 1 且 nl 2答案 D解析 对于选项 A，当 m 且 l1 时， ， 可能平行也可能相交，故 A 不是 的充分条件；对于选项
12、 B，当 m 且 n 时，若 mn，则 ， 可能平行也可能相交，故 B不是 的充分条件；对于选项 C，当 m 且 nl 2 时， ， 可能平行也可能相交，故C 不是 的充分条件；对于选项 D，当 ml 1，nl 2 时，由线面平行的判定定理可得l1，l 2，又 l1l2M，由面面平行的判定定理可以得到 ，但 时，ml 1 且nl 2 不一定成立，故 D 是 的一个充分条件故选 D.6某几何体的正(主) 视图和侧( 左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是AB C，如图(2)所示，其中 OAOB2，O C ，则该几何体的表面积为 ( )3A36 12 B24 83 3C 2412 D3683
13、 3答案 C解析 由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为 4，高为 2 的等腰三角形，即3该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为 4,2 ，6，三视图还3原为几何体是图中的三棱锥 PABC ，且 SPABS PBC 4612 ，S 12ABC 42 4 ，PAC 是腰长为 ，底面边长为 4 的等腰三角形， SPAC8 .综上可12 3 3 52 3知，该几何体的表面积为 2124 8 2412 .故选 C.3 3 37已知如图所示的三棱锥 DABC 的四个顶点均在球 O 的球面上， ABC 和 DBC 所在的平面互相垂直，AB3，AC ，BCCDBD2 ，则球
14、O 的表面积为( )3 3A4 B12C 16 D36答案 C解析 如图所示，AB 2AC 2BC 2，CAB 为直角，即ABC 外接圆的圆心为 BC 的中点O.ABC 和DBC 所在的平面互相垂直，则球心在过 DBC 的圆面上，即DBC 的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径 R2 ，球的表面积为S4 R216，故选 C.8已知正四棱锥 PABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 ，若该正四2棱锥的体积 为 2，则此球的体积为( )A. B. C. D.1243 62581 50081 2569答案 C解析 如图所示，设底面正方形 ABCD 的中心为 O，正
15、四棱锥 PABCD 的外接球的球心为O，底面正方形的边长为 ，2O D1 ，正四棱锥的体积为 2，V PABCD ( )2PO2，解得 PO3，13 2OO|PO PO| |3R|，在 RtOOD 中，由勾股定理可得 OO2OD 2OD 2，即(3R) 21 2R 2，解得 R ，53V 球 R3 3 .43 43 (53) 500819在三棱锥 SABC 中，侧棱 SA底面 ABC，AB5，BC8，ABC60，SA2 ，则5该三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. 643 2563C. D. 4363 2 048327答案 B解析 由题意知，AB5，BC8，ABC60，则根据余弦定理可得A
16、C2 AB2BC 22 ABBCcosABC，解得 AC7，来源:ZXXK设ABC 的外接圆半径为 r，则ABC 的外接圆直径 2r ，r ，ACsin B73273又侧棱 SA底面 ABC，三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离 d SA ，则外接球的半径 R 12 5 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 S4R 2 .(73)2 ( 5)2 643 256310一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A16 B8 82C 2 2 8 D4 4 82 6 2 6答案 D解析 由三视图知，该几何体是底面边长为 2 的正方形，高 PD2 的四棱锥22 22 2PABCD ，
17、因为 PD平面 ABCD，且四边形 ABCD 是正方形，易得 BCPC， BAPA，又 PC 2 ，PD2 CD2 22 222 3所以 SPCDS PAD 22 2 ，12 2 2SPABS PBC 2 2 2 .12 2 3 6所以几何体的表面积为 4 4 8.6 211在正三棱锥 SABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AM SB，底面边长 AB2 ，则正三2棱锥 SABC 的外接球的表面积为( )A6 B12C 32 D36答案 B解析 因为三棱锥 SABC 为正三棱锥，所以 SBAC，又AM SB，ACAM A ，AC，AM 平面 SAC，所以 SB平面 SAC，所以 SBSA，
18、SBSC，同理 SASC，即 SA，SB，SC 三线两两垂直，且 AB2 ，所以 SASB SC2，所以(2R)2232 212 ，所以球的表面积 S4R 212，故选 B.12若四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.815 8120 1015 10120答案 C解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥 PABCD，如图所示，平面 PAD平面 ABCD，由于PAD 为等腰三角形，PAPD3，AD 4，四边形 ABCD 为矩形，CD 2 ，过PAD 的外心 F 作平面 PAD 的垂线，过矩形 ABCD 的中心 H 作平面 ABCD 的垂线，两
19、条垂线交于一点 O，则 O 为四棱锥外接球的球心，在 PAD 中，co sAPD ，则32 32 42233 19sinAPD ，4592PF ，PF ，ADsin APD4459 955 9510PE ，OHEF ，9 4 5 59510 510BH ，1216 4 5OB ，OH2 BH25100 5 50510所以 S4 .505100 101513如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )A(1,2) B(1,2C (0,2 D(0,2)答案 D解析 设四棱锥一个侧面为APQ，APQx ，过点 A 作 AHPQ ，则 AH
20、 PQtan x 12 AC PQ2 22 PQ2 PQ，212PQ ，AH ，221 tan x 2tan x1 tan xS 4 PQAH2 PQAH122 ，x ，221 tan x 2tan x1 tan x 8tan x1 tan x2 4， 2)S 8tan x1 tan x2 8tan x1 tan2x 2tan x 2，81tan x tan x 2 82 2，(当 且 仅 当 tan x 1， 即 x 4时 取 等 号 )而 tan x0，故 S0，S 2 时，APQ 是等腰直角三角形，顶角PAQ90 ，阴影部分不存在，折叠后 A 与 O 重合，构不成棱锥，S 的取值范围为(
21、0,2)，故选 D.14已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为 120的等腰三角形，侧( 左)视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为_ _，该三棱锥的外接球的体积为_答案 4 3 152053解析 由三视图得几何体的直观图如图所示，S 表 2 22 2 2 112 12 3 5 12 34 .15 3以 D 为原点，DB 所在直线为 x 轴，DE 所在直线为 y 轴，DA 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C (1， ，0)，3设球心坐标为(x ，y，z )，(x2) 2y 2z 2x 2y 2z 2，x2y
22、 2( z2) 2x 2y 2z 2，(x1) 2(y )2z 2x 2y 2z 2，3x1， y ，z1，3球心坐标是(1， ，1)，3球的半径是 .12 ( 3)2 12 5球的 体积是 3 .43 ( 5) 205315.如图所示，三棱锥 PABC 中，ABC 是边长为 3 的等边三角形， D 是线段 AB 的中点，DEPBE，且 DEAB，若EDC120，PA ，PB ，则三棱锥 PABC 的外接球的32 332表面积为_答案 1316已知半径为 1 的球 O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_答案 423解析 如图所示，设圆柱的底面半径为 r，则圆柱
23、的侧面积为S2 r2 1 r24r 4 21 r2r2 1 r22.(当 且 仅 当 r2 1 r2， 即 r 22时 取 等 号 )所以当 r 时， .22 V球V圆 柱4313( 22)2 2 42317某几何体的正( 主)视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧( 左)视图的图形是_(写出所有可能的序号 )答案 解析如图 a 三棱锥 CABD，正(主) 视图与俯视图符合题意，侧 (左)视图为；如图 b 四棱锥 PABCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧( 左)视图为；如图 c 三棱锥 PBCD ，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为.18 设 A，B ， C，D 是
24、同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为 _3答案 18 3解析 由等边ABC 的面积为 9 ，可得 AB29 ，334 3所以 AB6 ，所以等边ABC 的外接圆的半径为 r AB2 .33 3设球的半径为 R，球心到等边 ABC 的外接圆圆心的距离为 d，则 d 2.R2 r2 16 12所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246，所以三棱锥 DABC 体积的最大值为 9 618 .13 3 319已知二面角 l 的大小为 ，点 P，点 P 在 内的正投影为点 A，过点 A 作3AB l，垂足为点 B，点 Cl，BC2 ，P
25、A2 ，点 D，且四边形 ABCD 满足2 3BCD DAB.若四面体 PACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为_答案 8 6解析 BCDDAB，A，B，C，D 四点共圆，直径为 AC.PA平面 ，ABl ，由三垂线定理得 PBl ，即PBA 为二面角 l 的平面角，即PBA ，3PA2 ，BA 2，3BC 2 ， AC2 .2 3设球的半径为 R，则 2 ，3 R2 ( 3)2 R2 ( 3)2R ，V ( )38 .643 6 620.如图所示的多面体中，底面 ABCD 为正方形，GAD 为等边三角形，BF平面ABCD，GDC90 ，点 E 是线段 GC 上除两端点外的一点，若点
26、 P 为线段 GD 的中点(1)求证：AP 平面 GCD；(2)求证：平面 ADG平面 FBC.证明 (1)因为 GAD 是等边三角形，点 P 为线段 GD 的中点，所以 APGD .因为 ADCD，GDCD，且 ADGDD，AD，GD平面 GAD，故 CD平面 GAD，又 AP平面 GAD，故 CDAP，又 CDGDD， CD，GD平面 GCD，故 AP平面 GCD.(2)因为 BF平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 BFCD，因为 BCCD ， BFBCB ，BF，BC 平面 FBC，所以 CD平面 FBC，由(1)知 CD平面 GAD，所以平面 ADG平面 FBC.21在梯形 AB
27、CD 中(图 1)，ABCD，AB2 ，CD5，过 A，B 分别作 CD 的垂线，垂足分别为 E，F，已知 DE1，AE2，将梯形 ABCD 沿 AE，BF 同侧折起，使得AFBD，DE CF，得空间几何体 ADEBCF (图 2)(1)证明：BE平面 ACD； (2)求三棱锥 EACD 的体积(1)证明 连接 BE 交 AF 于点 O，取 AC 的中点 H，连接 OH，DH ，则 OH 是AFC 的中位线，所以 OHCF 且 OH CF，12由已知得 DE CF 且 DE CF，12所以 DEOH 且 DEOH，所以四边形 DEOH 为平行四边形，DH EO，又因为 EO平面 ACD，DH平
28、面 ACD，所以 EO平面 ACD，即 BE平面 ACD.(2)解 由已知得，四边形 ABFE 为正方形，且边长为 2，则 AFBE，由已知 AF BD，BEBD B，BE，BD平面 BDE，可得 AF平面 BDE，又 DE平面 BDE，所以 AFDE，又 AEDE，AFAE A，AF，AE 平面 ABFE，所以 DE平面 ABFE，又 EF平面 ABEF，所以 DEEF ，四边形 DEFC 是直角梯形，又 AEEF，DE EFE，DE ，EF平面 CDE，所以 AE平面 CDE，所以 AE 是三棱锥 ADEC 的高，VEACD V AECD V AEFD AE DEEF .13 12 232
29、2.如图，多面体 ABCB1C1D 是由三棱柱 ABCA 1B1C1 截去一部分后而成， D 是 AA1 的中点(1)若 F 在 CC1 上，且 CC14CF，E 为 AB 的中点，求证：直线 EF平面 C1DB1；(2)若 ADAC1，AD平面 ABC，BCAC，求点 C 到平面 B1C1D 的距离(1)证明 方法一 取 AC 的中点 G，CC 1 的中点 H，连接 AH，GF，GE，如图所示ADC 1H 且 ADC 1H，四边形 ADC1H 为平行四边形，AHC 1D， 又 F 是 CH 的中点，G 是 AC 的中点，GF AH，GFC 1D，又 GF平面 C1DB1，C 1D平面 C1D
30、B1，GF 平面 C1DB1，又 G，E 分别是 AC，AB 的中点，GEBC B 1C1，又 GE平面 C1DB1，B 1C1平面 C1DB1，GE平面 C1DB1，又 GEGFG ，GE平面 GEF，GF平面 GEF，平面 GEF平面 C1DB1，又 EF平面 GEF，EF平面 C1DB1.又 C1FCC 1CF CC1，34 EMC 1F 且 EMC 1F，故四边形 EMC1F 为平行四边形，C 1MEF ，又 EF平面 C1DB1，C 1M平面 C1DB1，EF平面 C1DB1.(2)解 AD平面 ABC，AC平面 ABC，ADAC ，又 ADAC1，CC 12AD，ADCC 1，C 1D2DC 2 AC2AD 22 AD22，C 1C24，故 CC CD 2 C1D2，即 C1DCD，21又 BCAC，ADBC，AC ADA，AC，AD 平面 ACC1D，BC 平面 ACC1D，又 CD平面 ACC1D，BC CD ，又 B1C1BC ， B1C1CD，又 DC1B1C1C 1，DC 1，B 1C1平面 B1C1D，CD平面 B1C1D，点 C 到平面 B1C1D 的距离为 CD 的长，即为 .2
浙公网安备33030202001339号