2019年高考数学（含解析)之空间中的平行与垂直

1、空间中的平行与垂直1若 m，n 是两条不同的直线， ， 是 三个不同的平面：mn，m n； ，m ，n mn；，mn，mn ；若 m，n ，mn ，则 .则以上说法中正确的个数为( )A1 B2 C3 D42如图，G，H，M，N 分 别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 GH，MN 是异面直线的图形的序号为( )来 源:学A B C D 3给出下列四个命题：如果平面 外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行，那么 a过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面， 则这两个平面的交线垂直

2、于第三个平面其中真命题的个数为( )A1 B2 C3 D44已知 m，n，l 1，l 2 表示不同的直线， 表示不同的平面，若m，n ，l 1，l 2，l 1l2M，则 的一个充分条件是 ( )Am 且 l1 Bm 且 n 来源 :Z。 xx。 k.ComC m 且 n l2 Dm l1 且 nl 25如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 BC，CC 1 的中点，P 是侧面 BCC1B1 内一点，若 A1P平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是( )A. B.(324， 52) 324， 52C. D.1， 52 0， 526在正方体 AB

3、CDA 1B1C1D1 中，E 为线段 B1D1 上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE ；B 1E平面 ABCD；三棱锥 EABC 的体积为定值；直线 B1E直线 BC1.7.如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形，AC2 a，BB 13 a，点 D 是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上，当AF_ _时，CF 平面 B1DF.8已知 ABC 中，ABBC，BC2 ，AB4，分别取边 AB，AC 的中点 D，E，将ADE沿 DE 折起到 A1DE 的 位置，使 A1DBD.设点 M 为棱 A1D 的

4、中点，点 P 为棱 A1B 的中点，棱 BC 上的点 N 满足 BN3NC.(1)求证：MN平面 A1EC；(2)求三棱锥 NPCE 的体积9已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长都相等，M，N 分别为 B1C1，BB 1 的中点现有下列四个结论：p1： AC1MN；p2： A1CC 1N；p3： B1C平面 AMN；p4：异面直线 AB 与 MN 所成角的余弦值为 .24其中正确的结论是( )Ap 1，p 2 Bp 2， p3C p2， p4 Dp 3，p 410.如图，多面体 ABCB1C1D 是由三棱柱 ABCA 1B1C1 截去一部分后而成， D 是 AA1 的中点(1)若 F

5、 在 CC1 上，且 CC14CF，E 为 AB 的中点，求证：直线 EF平面 C1DB1；(2)若 ADAC1，AD平面 ABC，BCAC，求点 C 到平面 B1C1D 的距离11如图，矩形 ABDE(AE6，DE5)，被截去一角(即BBC )，AB3 ，ABC 135，平面 PAE平面 ABCDE，PAPE 10.(1)求五棱锥 PABCDE 的体积的最大值；(2)在(1)的情况下，证明：BCPB.12. 如图(1) ，在正ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 边上的点，且 BEAF2 CF.点 P 为边BC 上的点，将AEF 沿 EF 折起到 A1EF 的位置，使平面 A1EF平面 B

6、EFC，连接A1B，A 1P，EP，如图(2)所示来源:Zxxk.Com(1)求证：A 1E FP； (2)若 BPBE ，点 K 为棱 A1F 的中点，则在平面 A1FP 上是否存在过点 K 的直线与平面A1BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由1若 m，n 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面：mn，m n；，m ，n mn；，mn，mn ；若 m，n， mn ，则 .则以上说法中正确的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 对于，mn，m n ，正确；对于，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误；对于，mn，mn，正确；对于，若m，n，mn，则 ，错误，如

7、三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交故选 B.2如图，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 GH，MN 是异面直线的图形的序号为( )A B C D答案 D解析 由题意可得图中 GH 与 MN 平行，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意；图中 GH 与 MN 相交，不合题意；图中 GH 与 MN 异面，符合题意则表示 GH，MN 是异面直线的图形的序号为 .3给出下列四个命题：如果平面 外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行，那么 a；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直

8、线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面其中真命题的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 C4已知 m，n，l 1，l 2 表示不同的直线， 表示不同的平面，若m，n ，l 1，l 2，l 1l2M，则 的一个充分条件是 ( )Am 且 l1 Bm 且 nC m 且 nl 2 D ml 1 且 nl 2答案 D解析 对于选项 A，当 m 且 l1 时， ， 可能平行也可能相交，故 A 不是 的充分条件；对于选项 B，当 m 且 n 时，若 mn，则 ， 可能平行也可能相交，故 B不是 的充分条件；对于选项 C，当 m 且 nl 2 时， ， 可能

9、平行也可能相交，故C 不是 的充分条件；对于选项 D，当 ml 1，nl 2 时，由线面平行的判定定理可得l1，l 2，又 l1l2M，由面面平行的判定定理可以得到 ，但 时，ml 1 且nl 2 不一定成立，故 D 是 的一个充分条件故选 D.5如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 BC，CC 1 的中点，P是侧面 BCC1B1 内一点，若 A1P平面 AEF，则线段 A1P 长度的取值范围是( )A. B.(324， 52) 324， 52C. D.1， 52 0， 52答案 B解析 如图所示，分别取棱 BB1，B 1C1 的中点 M，N，连接

10、 MN，BC 1，NE， A1N，A 1M，M ，N，E ，F 分别为所在棱的中点，MN BC1，EFBC 1，MN EF，又 MN平面 AEF，EF平面 AEF， 来源:ZXXKMN 平面 AEF.AA 1 NE，AA 1NE，四边形 AENA1 为平行四边形，A 1NAE， 来源:Z*xx*k.Com又 A1N平面 AEF，AE 平面 AEF，A 1N平面 AEF，又 A1NMNN ，A 1N，MN 平面 A1MN，平面 A1MN平面 AEF.P 是侧面 BCC1B1 内一点，且 A1P平面 AEF，点 P 必在线段 MN 上在 RtA1B1M 中，A1M .A1B21 B1M21 (12

11、)2 52同理，在 RtA1B1N 中，可得 A1N ，52A 1MN 为等腰三角形当点 P 为 MN 中点 O 时，A 1PMN，此时 A1P 最短；点 P 位于 M，N 处时，A 1P 最长A 1O A1M2 OM2 (52)2 ( 24)2 ，A 1M A1N .324 52 线段 A1P 长度的取值范围是 .324， 526在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为线段 B1D1 上的一个动点，则下列结论中正确的是_( 填序号 )ACBE ；B 1E平面 ABCD；三棱锥 EABC 的体积为定值；直线 B1E直线 BC1.答案 7.如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧棱

12、AA1底面 ABC，底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形，AC2 a，BB 13a，点 D 是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上，当 AF_时，CF 平面 B1DF.答案 a 或 2a解析 由题意易知，B 1D平面 ACC1A1，又 CF平面 ACC1A1，所以 B1DCF .要使 CF平面 B1DF，只需 CFDF 即可令 CF DF，设 AFx，则 A1F3ax .易知 RtCAF RtFA1D，得 ，即 ，ACA1F AFA1D 2a3a x xa整理得 x23ax2a 20，解得 xa 或 x2a.8已知ABC 中，ABBC，BC 2，AB4 ，分别取边 AB，AC 的中

13、点 D，E ，将 ADE 沿DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1DBD.设点 M 为棱 A1D 的中点，点 P 为棱 A1B 的中点，棱BC 上的点 N 满足 BN3NC.(1)求证：MN平面 A1EC；(2)求三棱锥 NPCE 的体积(1)证明 取 A1E 的中点 F，连接 MF，CF， M 为棱 A1D 的中点，MF DE 且 MF DE，在ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，12DE BC 且 DE BC，12MF BC，即 MFNC，且 MF BCNC，14四边形 MFCN 为平行四边形，MN FC，MN 平面 A1EC，FC 平面 A1EC，MN 平面 A1EC.(

14、2)解 取 BD 的中点 H，连接 PH，则 PH 为A 1BD 的中位线，PHA 1D，在ABC 中，AB BC ，DEBC，在空间几何体中，DEDA 1，A 1DBD ，DBDED，DB，DE平面 BCED，A 1D平面 BCED，PHA 1D， PH平面 BCED，PH 为三棱锥 PNCE 的高，PH A1D AB1，S NCE NCBD 2 ，12 14 12 1212 12V NPCE V PNCE PHSNCE13 1 .13 12 169已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长都相等，M，N 分别为 B1C1，BB 1 的中点现有下列四个结论：p1： AC1MN；p2： A

15、1CC 1N；p3： B1C平面 AMN；p4：异面直线 AB 与 MN 所成角的余弦值为 .24其中正确的结论是( )Ap 1，p 2 Bp 2，p 3C p2， p4 D p3，p 4答案 C解析 正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长都相等，M， N 分别为 B1C1，BB 1 的中点对于 p1：如图所示，MN BC1，BC 1AC1C 1，AC 1 与 MN 不平行，是异面直线，p 1 错误；对于 p2：如图所示，连接 AC1，交 A1C 于点 O，连接 ON，易知 A1CAC 1，ON平面 ACC1A1，ONA 1C，又 ONAC1O，ON，AC 1平面 ONC1，A 1C平面

16、ONC1，又 C1N平面 ONC1，A 1CC 1N，p 2 正确；来源:对于 p3：如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO，BC 1，过点 O 作 OPBC 1，交 CC1 于点 P，连接 AP，则 AO平面 BCC1B1，又 B1C平面 BCC1B1，AOB 1C，又 BC1 OP，BC 1B 1C，B 1C OP，又 AOOPO ， AO，OP 平面 AOP，B 1C 平面 AOP，又平面 AMN 与平面 AOP 有公共点 A，B 1C 与平面 AMN 不垂直，p 3 错误；对于 p4：如图所示，连接 BC1，AC 1，则 MNBC 1，ABC 1是异面直线 AB 与 MN 所成的角

17、，设 AB 1，则 AC1BC 1 ，2cosABC 1 ，p 4 正确来源:Zxxk.Com 22 12 222 21 24综上，其中正确的结论是 p2， p4.10.如图，多面体 ABCB1C1D 是由三棱柱 ABCA 1B1C1 截去一部分后而成，D 是 AA1 的中点(1)若 F 在 CC1 上，且 CC14CF，E 为 AB 的中点，求证：直线 EF平面 C1DB1；(2)若 ADAC1，A D平面 ABC，BC AC，求点 C 到平面 B1C1D 的距离(1)证明 方法一 取 AC 的中点 G，CC 1 的中点 H，连接 AH，GF，GE，如图所示ADC 1H 且 ADC 1H，四

18、边形 ADC1H 为平行四边形，AHC 1D，又 F 是 CH 的中点，G 是 AC 的中点，GF AH，GFC 1D，又 GF平面 C1DB1，C 1D平面 C1DB1，GF 平面 C1DB1，又 G，E 分别是 AC，AB 的中点，GEBC B 1C1，又 GE平面 C1DB1，B 1C1平面 C1DB1，GE平面 C1DB1，又 GEGFG ，GE平面 GEF，GF平面 GEF，平面 GEF平面 C1DB1，又 EF平面 GEF，EF平面 C1DB1.方法二 取 B1D 的中点 M，连接 EM，MC 1，则 EM 是梯形 ABB1D 的中位线，EMBB 1CC 1AD ，EM (AD B

19、B1)12 CC1，12(12CC1 CC1) 34又 C1FCC 1CF CC1，34 EMC 1F 且 EMC 1F，故四边形 EMC1F 为平行四边形，C 1MEF ，又 EF平面 C1DB1，C 1M平面 C1DB1，EF平面 C1DB1.(2)解 AD平面 ABC，AC平面 ABC，ADAC ，又 ADAC1，CC 12AD，ADCC 1，C 1D2DC 2 AC2AD 22 AD22，C 1C24，故 CC CD 2 C1D2，即 C1DCD，21又 BCAC，ADBC，AC ADA，AC，AD 平面 ACC1D，BC 平面 ACC1D，又 CD平面 ACC1D，BC CD ，又

20、B1C1BC ， B1C1CD，又 DC1B1C1C 1，DC 1，B 1C1平面 B1C1D，CD平面 B1C1D， 点 C 到平面 B1C1D 的距离为 CD 的长，即为 .211如图，矩形 ABDE(AE6，DE5)，被截去一角(即BBC )，AB3 ，ABC 135，平面 PAE平面 ABCDE，PAPE10.(1)求五棱锥 PABCDE 的体积的最大值；(2)在(1)的情况下，证明：BCPB.在平面 PAE 内，PAPE10AE 6 ，P 在以 A，E 为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，由椭圆的几何性 质知，当点 P 为短轴端点时，P 到 AE 的距离最大，此时 PAPE 5，OAO

21、E 3，所以 POmax4，所以(V PABCDE )max SABCDEPOmax 284 .13 13 1123(2)证明 连接 OB，如图，由(1) 知，OAAB 3，故OAB 是等腰直角三角形，所以ABO45，所以OBCABC ABO 1354590，即 BCBO.由于 PO平面 ABCDE，BC 平面 ABCDE，所以 POBC ，又 POBOO，PO，BO平面 POB，所以 BC平面 POB，又 PB平面 POB，所以 BCPB.12. 如图(1)，在正ABC 中， E，F 分别是 AB，AC 边上的点，且 BEAF2CF .点 P 为边 BC上的点，将AEF 沿 EF 折起到 A

22、1EF 的位置，使平面 A1EF平面 BEFC，连接A1B，A 1P，EP，如图(2)所示(1)求证：A 1E FP；(2)若 BPBE ，点 K 为棱 A1F 的中点，则在平面 A1FP 上是否存在过点 K 的直线与平面 A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由(1)证明 在正 ABC 中，取 BE 的中点 D，连接 DF，如图所示因为 BEAF2CF ， 所以 AFAD，AEDE，而A60，所以ADF 为正三角形又AEDE，所以 EFAD .所以在题图(2)中，A 1EEF，又 A1E平面 A1EF，平面 A1EF平面 BEFC，且平面 A1EF平面 BEFCEF，所以 A1E 平面 BEFC.因为 FP平面 BEFC，所以 A1EFP.来源:ZXXK(2)解 在平面 A1FP 上存在过点 K 的直线与平面 A1BE 平行理由如下：如题图(1)，在正 ABC 中，因为 BPBE，BEAF ，所以 BPAF ，所以 FPAB ，所以 FPBE.如图所示，取 A1P 的中点 M，连接 MK，因为点 K 为棱 A1F 的中点，所以 MKFP.因为 FPBE，所以 MKBE .因为 MK平面 A1BE，BE平面 A1BE，所以 MK平面 A1BE.故在平面 A1FP 上存在过点 K 的直线 MK 与平面 A1BE 平行