2019年高考数学（含解析)之解三角形（跟踪知识梳理）

1、解三角形跟踪知识梳理考纲解读：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦 、余弦、正切公式 ，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导 出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）考点梳理：掌握正弦定理、余弦定理及其应用。1.测量距离问题；2.测量高度问题；3.测量角度问题.4.主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真理解题意. 从浙江卷来看，三角形中的应用问题，主要是结合直角三角

2、形，考查边角的计算，也有与导数结合考查的情况.5.备考重点：（1 ） 掌握正弦定理、余弦定理；（2 ）掌握几种常见题型的解法.（3 ）理解三角形中的有关术语.核心能力必练一、选择题1 (2018 湖南衡阳 2 月调研,6) 在 ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B 、C 所对的边,若 2sin C=sin A+sin B,cos C= 且 SABC =4,则 c= ( ) 35A. B.4 C. D.5 46362 (2018 山东菏泽 3 月联考,8) 在 ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a cos B-c-=0,a2= bc,bc,则 = ( ) 7

3、A. B.2 C.3 D. 3523 (2018 江西赣州 2 月联考,7) 在 ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 2acos A=bcos C+ccos B,且 b+c=4,则 a 的最小值为 ( ) 来源:ZXXKA.2 B.2 C.3 D.2 来源:ZXXK34 (2017 湖南长郡中学六模,6)若ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 2bsin 2A=asin B,且 c=2b,则 等于( ) aA.2 B.3 C. D. 235若 的对边分别为 ，且 ， ， ，则 （ ）Cca,145B2ABCSbA5 B25 C D6在 中，若

4、 ， ， ，则 （ ）1b3c6AcosA B C. 或 D 或232212307在 中，如果 ，那么角 等于（ ）C 3abcabcAA B C D3060101508在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 （ ） ,A,c 2bB， cosA B C D5354569在 中，角 的对边为 ，若 ，则角 为（ ）C,abc223acA B C D633或 5或10在 中， ， 边上的高等于 ，则 （ ）41BcosAA B C D31010031011在 中，若 ，则 的形状是（ ）C 222sinisinAABA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定12满足 的 恰有一个，则 的

5、取值范围是（ ）60 12 ABCBCk， ， A kA B C. D 或83k120128313在 中， 分别为内角 的对边，若 ， ，则 的最cba,3aAcb大值为（ ）A4 B C D233214关于三角形满足的条件，下列判断正确的是（ ）A ，有两解 B ，有一解7 14 0abA， ， 0 5 10abA， ，C. ，有两解 D ，无解695， ， 96cB， ，15某观察站 与两灯塔 的距离分别为 米和 米，测得灯塔 在观察站 西偏北C、 C，灯塔 在观察站 北偏东 ，则两灯塔 间的距离为 ( )0B60，A. 米 B. 米 C. 米 D. 米2ab2ab2ab23ab16 在

6、中，已知 ， ， ，则 的面积为（ ）A383ABCA B16 C 或 16 D 或32221617在 中，内角 所对的边分别是 ,若 ，则C, abc,3ab的面积是（ ）A. B. C. D.393232318锐角三角形 中，若 ，则下列叙述正确的是（ ）ABCB ； ； ； .sin3i3tan12643,2abA B C. D来源:Zxxk.Com二、填空题19在 中，角 的对边分别为 ， , ， ，则 C,A,abc62a60BA20已 知 中， 分别为内角 的对边，且 ，B,abc,ABCcos3cosbC则 cos21已知 三边 上的高分别为 ，则 ABC,abc12,cosA2

7、2在 中， 为 边上一点，若 是等边三角形，且 ，则DBD43C的面积的最大值为 .23在 中，角 的对边分别是 ，若 成等差数列， ，ABC , ,abc, 0B的面积为 ，则 32b24为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“ 弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到 空中进行气候观测，如图所示， 三地位于同一水平面上，CBA,这种仪器在 地进行弹射实验，观测点 两地相距 100 米， ，在 地听CBA, 60A到弹射声音比 地晚 秒（已知声音传播速度为 340 米/秒） ，在 地测得该仪器至点B172处的仰角为 ，则这种仪器的垂直弹射高度 H30 HC三、解答题25在

8、中，内角 ， ， 对边的长分别是 ， ， ，已知 ， ABCBCabc23C（1 ）若 的面积等于 ，求 ， ；3ab（2 ）若 ，求 的面积sin2iA26在 中，角 的对边分别为 .ABC, ,2sincos,5cAaBb（1 ）若 ，求 ；csi（2 ）求 面积的最大值 .27在 中，内角 的对边分别为 .已知 ., ,abcos2cCaBb（1 ）求 的值；sinCA（2 ）若 ，求 的面积 .1co,24BbABCS28已知向量 ，向量 ，函数 .1,sinxm21,cos3xn()fxmn（1 ）求 单调递减区间；f（2 ）已知 分别为 内角 的对边， 为锐角， ， 且cba,AB

9、C,A4,32ca恰是 在 上的最大值，求 和 的面积 .Afxf0,2b,BCS29在 中，角 所对的边分别是 ，已知, ,ac.cos3sinco0CAB（1 ）求角 的大小.B（2 ）若 ，求 的取值范围.1ab30如图，我海监船在 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 处，此时测得其东北方向DA与它相距 海里的 处有一外国船只，且 岛位于海监船正东 海里处.6 142（1 ）求此时该外国船只与 岛的距离；（2 ）观测中发现，此外国船只正以每小时 海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截4在离 岛 海里处，不让其进入 岛 海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速DD12度的最小值 （参考数

10、据： ， ）sin3650.sin5380.解三角形跟踪知识梳理考纲解读：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）考点梳理：掌握正弦定理、余弦定理及其应用。来源:1.测量距离问题；2.测量高度问题；3.测量角度问题.4.主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真理解题意. 从浙江卷

11、来看，三角形中的应用问题，主要是结合直角三角形，考查边角的计算，也有与导数结合考查的情况.来源 5.备考重点：（1 ）掌握正弦定理、余弦定理；（2 ）掌握几种常见题型的解法.（3 ）理解三角形中的有关术语.核心能力必练来源:ZXXK一、选择题1 (2018 湖南衡阳 2 月调研,6) 在 ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B 、C 所对的边,若 2sin C=sin A+sin B,cos C= 且 SABC =4,则 c= ( ) 35A. B.4 C. D.5 4636【答案】A【解析】因为 2sin C=sin A+sin B,所以由正弦定理可得 2c=a+b,由 cos C=

12、可得 c2=a2+b2-352abcos C=(a+b)2- ab,又由 cos C= ,得 sin C= ,所以 SABC = absin C= =4,ab=10. 1653541由解得 c= ,故选 A. 432 (2018 山东菏泽 3 月联考,8) 在 ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acos B-c-=0,a2= bc,bc,则 = ( ) 7A. B.2 C.3 D. 352【答案】B3 (2018 江西赣州 2 月联考,7) 在 ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 2acos A=bcos C+ccos B,且 b+c=

13、4,则 a 的最小值为 ( ) A.2 B.2 C.3 D.2 3【答案】A【解析】由正弦定理及题意可得 2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B.又知在ABC 内,sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,2sin Acos A=sin A,sin A0 ,cos A= . 12又A(0,),A = . 3a 2=b2+c2-2bccos A=( b+c)2-3bc=16-3bc,b,c 均为正数, b+c2 ,bc4,当且仅当 b=c时取“=”.a 2=16-3bc16-12=4,又a0,a2. a 的最小值为 2,故选 A. 4

14、(2017 湖南长郡中学六模,6)若ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 2bsi n 2A=asin B,且 c=2b,则 等于( ) aA.2 B.3 C. D. 23【答案】A【解析】由 2bsin 2A= asin B,得 4bsin Acos A=asin B,由正弦定理得 4sin Bsin Acos A=sin Asin B, sin A0,且 sin B0,cos A= ,由余弦定理得 a2=b2+4b2-b2,a 2=4b2, =2.故选 A.15若 的对边分别为 ，且 ， ， ，则 （ ）Cc45ABCSA5 B25 C D412【答案】A6在 中，

15、若 ， ， ，则 （ ）ABC1b3c6AB5cosA B C. 或 D 或23221230【答案】A【解析】 ，所以三角形222 cos131cos16abAa为等腰三角形，所以 ，则 ，故选 A.6B5cs67在 中，如果 ，那么角 等于（ ）AC 3abcabAA B C D3060120150【答案】B【解析】由 得 ，即3abcabc3abcb，整理得 ，所以 ，因为23bc22221osaA，所以 ，故选 B.0,18A60A8在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 （ ）BC , ,abc5 2bAB， cosA B C D5354 6【答案】B【解析】由 ，得 ，又因为 ，所以

16、，则2absinsi2AB2ABsin2AB，即 ，因为 ，所以 ，故5sini2B5iicosi05co4选 B.9在 中，角 的对边为 ，若 ，则角 为（ ）AC,abc223bacBA B C D633或 56或【答案】A【解析】因为 ，所以 ，又22acbac223osacbacB，所以 (0,)B6B10在 中， ， 边上的高等于 ，则 （ ）AC413BCcosAA B C D310100310【答案】C11在 中，若 ，则 的形状是（ ）ABC 222sinisinABCABA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【答案】C【解析】 ，则 ，又因为22222sinis

17、inabc22os0bcaA为三角形内角，所以 ，因此 为钝角三角形，故选 C.A(,)ABC12满足 的 恰有一个，则 的取值范围是（ ）60 12 BCk， ， kA B C. D 或83k1201283【答案】D【解析】 ， ， ，根据正弦定理可知，当 时，三角形有一解，12baksinbaB此时 ， ，当 时，三角形有一解，此时 ，故选 D.312k8b012k13在 中， 分别为内角 的对边，若 ， ，则 的最ABCca,CBA,3aAcb大值为（ ）A4 B C D2332【答案】C14关于三角形满足的条件，下列判断正确的是（ ）A ，有两解 B ，有一解7 14 30abA， ，

18、 30 25 10abA， ，C. ，有两解 D ，无解695， ， 96cB， ，【答案】B【解析】 ，根据正弦定理 可得30,25,10abAosiniabAB，由于 及 可知，角 的值是唯一的，sini51si2B所以此时三角形有唯一解，故选 B.15某观察站 与两灯塔 的距离分别为 米和 米，测得灯塔 在观察站 西偏北CA、 abAC，灯塔 在观察站 北偏东 ，则两灯塔 间的距离为 ( )60B60A，A. 米 B. 米 C. 米 D. 米来源:Zxxk.Com2ab2ab223ab【答案】A【解析】作图如下，ACB=30+60=90， ，,ACaB 2 2cos90.Babab16

19、在 中，已知 ， ， ，则 的面积为（ ）ABC308a3bABCA B16 C 或 16 D 或3222316【答案】D17在 中，内角 所对的边分别是 ,若 ，则,Aabc22,3abABC的面积是（ ）A. B. C. D.3932323【答案】C【解析】因为 ， ，所以226,3cabC222coscabCab，即 ，所以 ，故选 C.6ab13sinABS18锐角三角形 中，若 ，则下列叙述正确的是（ ）ABC2B ； ； ； .sin3i3tan1643,2abA B C. D【答案】B【解析】因为 为锐角三角形，所以 即 所以 ，ABC0,2,2AB0,2,3,64B所以正确；

20、，所以错误；由sini2cos(,)abB可知 ，所以正确；根据 可得siniACi3inC1tan2taABC，所以正确，故选 B.3ta12二、填空题19在 中，角 的对边分别为 ， , ， ，则 ABC, ,abc62a60BA【答案】 45【解析】由正弦定理可得 ，即 ，解得 ，又 ，siniABC62sin3A2siba所以 .45A20已知 中， 分别为内角 的对边，且 ，BC,abc,Bcos3cosaBbAC则 cos【答案】 31【解析】由正弦定理可得 ，即 .sin()3sincoABC13cscos3C21已知 三边 上的高分别为 ，则 ABC,abc12,A【答案】 2

21、422在 中， 为 边上一点，若 是等边三角形，且 ，则ABCDABD43AC的面积的最大值为 .【答案】 43【解析】在 中， ，整ACD222481cosACADCD理得 ，所以 ，当且仅当24816时等号成立，所以 的面积为.13sin4324SADCADC23在 中，角 的对边分别是 ，若 成等差数列， ，B , ,abc, 30B的面积为 ，则 32b【答案】 124为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“ 弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气 候观测，如图所示， 三地位于同一水平面上，CBA,这种仪器在 地进行弹射实验，观测点 两地相距 100 米，

22、 ，在 地听CBA, 60A到弹射声音比 地晚 秒（已知声音传播速度为 340 米/秒） ，在 地测得该仪器至点B172处的仰角为 ，则这种仪器的垂直弹射高度 H30 HC【答案】 米3140【解析】设 米，则 米在 中，由余弦定理，可得BCx234017AxxABC，即 ，解22BCAcosBAC22110(4)10(4)2xxx得 ，所以 米因为 ，所380x38043HAC以 在 中，由正弦定理，得 ，即96HsinsiHCA，所以 米.420sin6i3C14203三、解答题25在 中，内角 ， ， 对边的长分别是 ， ， ，已知 ， ABBCabc23C（1 ）若 的面积等于 ，求

23、， ；C3ab（2 ）若 ，求 的面积sin2iA【答案】 （1） （2）ab3S（2 ）由 得 ，siniBa联立 解得 ， ，24,ab34b又 ，所以 的面积 3sin2CABC123sinSaC26在 中，角 的对边分别为 ., ,icos,5bcAaBb（1 ）若 ，求 ；csin（2 ）求 面积的最大值 .ABC【答案】 （1） (2)2si354【解 析】 （1） ， ，siniinco,5ABab2sin5cosB即 ， ， ， .5tan2B5si32si3cC（2 ）由（1 ）得 ， ，co423acaac即 ，则 面积的最大值为 .5acABC1527在 中，内角 的对边

24、分别为 .已知 .ABC, ,abcos2cACaBb（1 ）求 的值；sin（2 ）若 ，求 的面积 .1co,24bABCS【答案】 （1） （2） 5（2 ）由 ，得 ，sinCAca由余弦定理 及 ，得 ，解得22osbB1c,24b221+4a，从而 1ac又因为 ，且 ，所以 os4B05sin因此 .115in224Sac28已知向量 ，向量 ，函数 .,sixm21,cos3xn()fxmn（1 ）求 单调递减区间；f（2 ）已知 分别为 内角 的对边， 为锐角， ，且cba,ABC,A4,32ca恰是 在 上的最大值，求 和 的面积 .Afxf0,2b,BCS【答案】 （1）

25、 （2 ） ， ，5,()36kkZ3A2b3【解析】 （1） 1()sin1sincofxmxx，22i32si2cos si26x由 得 ，6kxkZ5kxkZ所以 的单调递减区间为 .f 5,()3629在 中，角 所对的边分别是 ，已知ABC, ,abc.cos3sinco0B（1 ）求角 的大小.（2 ）若 ，求 的取值范围.1ab【答案】 （1） （2）31【解析】 （1）由 ，可得cos3sinco0CAB.sinin0AB， .又 ， .0s3cos cos0tan3又 ， .（2 ） ， ， ， ，1ac22cosbaB1222134ba又 ， ，即 . 024 1b30如图

26、，我海监船在 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 处，此时测得其东北方向DA与它相距 海里的 处有一外国船只，且 岛位于海监船正东 海里 处.16B142（1 ）求此时该外国船只与 岛的距离；（2 ）观测中发现，此外国船只正以每小时 海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截4在离 岛 海里处，不让其进入 岛 海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速DD12度的最小值 （参考数据： ， ）sin3650.sin5380.【答案】 （1） 海里 （2 ）海监船的航向为北偏东 ，速度的最小值为 海里0 20小时/（2 ）过点 作 于点 ，在 中， ，BCADRtABC82，62D设以 为圆心， 为半径的圆交 于点 ，连接 ，来源:Z&xx&k.Com1E,D在 中， ， ，RtEC262DC2B又 ， ，2102AEC3sin36525CEAA外国船只到达点 的时间 （小时） ， 海监船的速度 （海里4BEt 0Evt小时）./故海监船的航向为北偏东 ，速度的最小值为 海里 小时.90365282/