1、几何热点问题（解题指导）三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养直线方程、定值问题 2018，19；2018北京，19数学运算、逻辑推理椭圆方程、定点问题 2017，20；2017，20数学运算、逻辑推理直线与椭圆 2016 ，20；2016，20； 2018，20数学运算、逻辑推理直线与抛物线 2018 ，19；2017，20； 2016，20数学运算、逻辑推理审题答题指引1.教材与高考对接求曲线方程及直线与圆锥曲线【题根与题源】(选修 21 P 49 习题 A5(1)(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点 P(2 ，0)，Q(0， )；2 5(2)长轴长是短轴长的 3 倍，且经过
2、点 P(3，0).【试题评析】1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用椭圆的几何性质.2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出 a，b 的值，但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程.【教材拓展】设抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C ，AF 与 BC 相交于点 E，若| CF|2|AF|，且ACE 的面积为 3 ，则 p 的值为(72p，0) 2_.【探究提高】1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点
3、 A 的坐标，(2) 根据AEBFEC求出线段比，进而得到面积比并利用条件“S ACE 3 ”求解.22.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用平面几何的知识，能起到简化运算的作用.【链接高考】(2018天津卷)设椭圆 1(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B，已知椭圆的离心率为x2a2 y2b2，点 A 的坐标为(b，0) ，且 |FB|AB|6 .53 2(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l：ykx(k 0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若 |AQ|PQ|sinAOQ(O 为原点) ，求 k 的值.5242.教你如何审题直线与
4、椭圆的位置关系问题【例题】 (2018全国卷) 设椭圆 C： y 21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于x22A，B 两点，点 M 的坐标为(2 ，0).(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB.【审题路线】【自主解答】【探究提高】(1)解决本题的关键是分析图形，把图形中“角相等”关系转化为相关直线的斜率之和为零，类似的还有圆过定点问题，转化为在该点的圆周角为直角，进而转化为斜率之积为1；线段长度的比问题转化为线段端点的纵坐标或横坐标之比；(2)解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参 ”的推理及运算
5、，借助几何直观，达到证明的目的.【尝试训练】 已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，且过点 P ，F 为其x2a2 y2b2 12 (1，32)右焦点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过点 A(4，0)的直线 l 与椭圆相交于 M，N 两点( 点 M 在 A，N 两点之间)，是否存在直线 l 使AMF 与MFN 的面积相等？若存在，试求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.3.满分答题示范直线与抛物线的位置关系、定值问题【例题】 (12 分)(2018北京卷) 已知抛物线 C：y 22px 经过点 P(1，2). 过点 Q(0，1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，
6、且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点， ， ，求证： 为定值.QM QO QN QO 1 1【规范解答】4.高考状元满分心得得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢” ，求得满分 .如第(1)问中联立直线方程和抛物线方程 ，对直线斜率取值的讨论.得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分.如第(1)问中求抛物线的方程 ，第(2)问中求点 M 和 N 的纵坐标.得计算分：解题过程中计算准确是满分的根本保证.如第(2)中用 yM， yN表示 ， ，计算 的值.1 1【构建模板】【规范训练】 (2018昆明质
7、检) 设抛物线 C：y 22 px(p0)的焦点为 F，准线为 l.已知以 F 为圆心、4 为半径的圆与 l 交于 A，B 两点，E 是该圆与抛物线 C 的一个交点，EAB 90.(1)求 p 的值；(2)已知点 P 的纵坐标为1 且在抛物线 C 上，Q ，R 是抛物线 C 上异于点 P 的另外两点，且直线 PQ 和直线 PR 的斜率之和为1，试问直线 QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.解析几何热点问题（解题指导）三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养直线方程、定值问题 2018，19；2018北京，19数学运算、逻辑推理椭圆方程、定点问题 2017，20；20
8、17，20数学运算、逻辑推理直线与椭圆 2016 ，20；2016，20； 2018，20数学运算、逻辑推理直线与抛物线 2018 ，19；2017，20； 2016，20数学运算、逻辑推理审题答题指引1.教材与高考对接求曲线方程及直线与圆锥曲线【题根与题源】(选修 21 P 49 习题 A5(1)(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点 P(2 ，0)，Q(0， )；2 5(2)长轴长是短轴长的 3 倍，且经过点 P(3，0).【试题评析】1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用椭圆的几何性质.2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的
9、端点，这就告诉我们要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出 a，b 的值，但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程.【教材拓展】设抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 C ，AF 与 BC 相交于点 E，若| CF|2|AF|，且ACE 的面积为 3 ，则 p 的值为(72p，0) 2_.解析 易知抛物线的焦点 F 的坐标为 ，(p2，0)又|CF | 2|AF|且|CF| 3p，|72p p2|AB| |AF| p，32可得 A(p， p).2易知AEB FEC， ，|AE|FE| |AB|FC| 12故 SACE SACF
10、 3p p p23 ，13 13 2 12 22 2p 26，p0，p .6答案 6【探究提高】1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点 A 的坐标，(2) 根据AEBFEC求出线段比，进而得到面积比并利用条件“S ACE 3 ”求解.22.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用平面几何的知识，能起到简化运算的作用.【链接高考】(2018天津卷)设椭圆 1(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B，已知椭圆的离心率为x2a2 y2b2，点 A 的坐标为(b，0) ，且 |FB|AB|6 .53 2(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l：ykx(k 0)与椭
11、圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若 |AQ|PQ|sinAOQ(O 为原点) ，求 k 的值.524解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，c2a2 59又由 a2b 2c 2，可得 2a3b.由已知可得，|FB|a，| AB| b，2由|FB|AB|6 ，2可得 ab6，从而 a3，b2.所以，椭圆的方程为 1.x29 y24(2)设点 P 的坐标为(x 1，y 1)，点 Q 的坐标为(x 2，y 2).由已知有 y1y20，故|PQ |sinAOQy 1y 2.又因为|AQ| ，而 OAB ，y2sin OAB 4故|AQ | y2.2由 sinAOQ ，可
12、得 5y19y 2.|AQ|PQ| 524由方程组 消去 x，可得 y1 .y kx，x29 y24 1，) 6k9k2 4易知直线 AB 的方程为 xy 20，由方程组 消去 x，可得 y2 .y kx，x y 2 0，) 2kk 1代入 5y19y 2，可得 5(k1)3 ，9k2 4将等式两边平方，整理得 56k250k110，解得 k 或 k .12 1128所以，k 的值为 或 .12 11282.教你如何审题直线与椭圆的位置关系问题【例题】 (2018全国卷) 设椭圆 C： y 21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于x22A，B 两点，点 M 的坐标为(2 ，0).
13、(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB.【审题路线】【自主解答】(1)解 由已知得 F(1，0)，l 的方程为 x1.把 x1 代入椭圆方程 y 2 1，可得点 A 的坐标为 或 ，又 M(2，0) ，x22 (1，22) (1， 22)所以直线 AM 的方程为 y x 或 y x .22 2 22 2(2)证明 当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0.当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)( k0) ，A (x1，y 1)，B
14、(x 2，y 2)，则 x1b0)的离心率为 ，且过点 P ，F 为其x2a2 y2b2 12 (1，32)右焦点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过点 A(4，0)的直线 l 与椭圆相交于 M，N 两点( 点 M 在 A，N 两点之间)，是否存在直线 l 使AMF 与MFN 的面积相等？若存在，试求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)因为 ，所以 a2c，b c，ca 12 3设椭圆方程 1，x24c2 y23c2又点 P 在椭圆上，所以 1，(1，32) 14c2 34c2解得 c21，a 24，b 23，所以椭圆方程为 1.x24 y23(2)易知直线 l 的斜率存在，设
15、 l 的方程为 yk(x4)，由 消去 y 得(34k 2)x232k 2x64k 2120，y k（x 4），x24 y23 1，)由题意知 (32 k2)24(34k 2)(64k212)0，解得 0)的焦点为 F，准线为 l.已知以 F 为圆心、4 为半径的圆与 l 交于 A，B 两点，E 是该圆与抛物线 C 的一个交点，EAB 90.(1)求 p 的值；(2)已知点 P 的纵坐标为1 且在抛物线 C 上，Q ，R 是抛物线 C 上异于点 P 的另外两点，且直线 PQ 和直线 PR 的斜率之和为1，试问直线 QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.解 (1)由题意
16、及抛物线的定义，有|AF| |EF| AE|4，所以AEF 是边长为 4 的正三角形.设准线 l 与 x 轴交于点 D，则|DF |p |AE| 42.所以 p2.12 12(2)设直线 QR 的方程为 xmyt ，点 Q(x1，y 1)，R(x 2，y 2).由 得 y24my4t0，x my t，y2 4x )则 y1y 24m，y 1y24t，16m 216t 0.又因为点 P 在抛物线 C 上，则kPQ .yP y1xP x1 4yP y1 4y1 1同理可得 kPR .4y2 1因为 kPQk PR1，所以 1，解得 t3m .4y1 1 4y2 1 4（y1 y2） 8y1y2 （y1 y2） 1 16m 8 4t 4m 1 74由 16m2 16t0，t 3m 74，14 m（ 1） t，)解得 m (1，).( ， 72) (12，1)所以直线 QR 的方程为 xm (y3) ，74故直线 QR 过定点 .( 74， 3)
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