1、三角函数与解三角形热点问题(解题指导)三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养三角函数的图象与性质2018全国,10;2018全国,8;2018全国,6;2017浙江,17;2017山东,16;2017全国,14直观想象、逻辑推理三角恒等变换2018浙江,18;2018江苏,16;2018全国,15;2018全国,4; 2017全国,15;2016全国,14逻辑推理、数学运算解三角形2018全国,17;2018全国,6,2017全国,17;2018北京,15;2018天津,15;2016全国,17逻辑推理、数学运算审题答题指引1.教材与高考对接三角函数的图象与性质【题根与题源】(必修 4P14
2、7 复习参考题 A 组第 9 题、第 10 题)题目 9 已知函数 y(sin x cos x) 22cos 2x.(1)求函数的递减区间;(2)求函数的最大值和最小值.题目 10 已知函数 f(x)cos 4x2sin xcos xsin 4 x.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)当 x 时,求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的集合 .0,2【试题评析】两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质,题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为 yA sin(x)k 的形式,然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已知函数 f(x)4tan xsin cos .(2 x) (x
3、 3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性. 4,4【探究提高】1.将 f(x)变形为 f(x)2sin 是求解的关键,(1)利用商数关系统一函数名称; (2)活用和、(2x 3)差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“x ”视为一个整体,借助复合函数性质求 yAsin(x )B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】(2017山东卷)设函数 f(x)sin sin ,其中 03,已知 f 0.(x 6) (x 2) (6)(1)求 ;(2)将函数 yf(x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将得到的图象向
4、左平移 个单位,得到函数 yg(x) 的图象,求 g(x)在 上的最小值.4 4,342.教你如何审题三角函数、平面向量、解三角形交汇。【例题】 (2019青岛质检) 已知向量 m(2sin x,cos 2xsin 2x),n( cos x,1),3其中 0,x R.若函数 f(x)m n 的最小正周期为 .(1)求 的值;(2)在ABC 中,若 f(B)2,BC ,sin B sin A,求 的值.3 3 BA BC 【审题路线】【自主解答】【探究提高】 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”,即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数
5、进行巧“化简”;然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”;再活用正、余弦定理,对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”,转化为三角函数的相关知识进行求解.【尝试训练】 已知函数 f(x)a b,其中 a(2cos x, sin 2x),b(cos x,1),3xR.(1)求函数 yf(x )的单调递减区间;(2)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f(A)1,a ,且向量7m(3,sin B) 与 n(2,sin C)共线,求边长 b 和 c 的值.3.满分答题示范解三角形【例题】 (12 分)
6、(2017 全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知ABC 的面积为 .a23sin A(1)求 sin Bsin C;(2)若 6cos Bcos C1,a3,求 ABC 的周长.【规范解答】4.高考状元满分心得写全得分步骤:对于解题过程中是得分点的步骤有则给分,无则没分,所以得分点步骤一定要写全,如第(1)问中只要写出 acsin B 就有分,第(2)问中求出 cos Bcos C12 a23sin Asin Bsin C 就有分.12写明得分关键:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,所以在答题时要写清得分关键点,如第(1)问中由正弦定理得 sin Cs
7、in B ;第(2)问由余弦定理得12 sin A3sin Ab2c 2bc9.计算正确是得分保证:解题过程中计算准确,是得满分的根本保证,如 cos Bcos Csin Bsin C 化简如果出现错误,本题的第(2)问就全错了,不能得分.12【构建模板】【规范训练】 (2018全国卷) 在平面四边形 ABCD 中,ADC90,A45 ,AB2,BD 5.(1)求 cosADB;(2)若 DC2 ,求 BC.2三角函数与解三角形热点问题(解题指导)三年考情分析热点预测 真题印证 核心素养三角函数的图象与性质2018全国,10;2018全国,8;2018全国,6;2017浙江,17;2017山东
8、,16;2017全国,14直观想象、逻辑推理三角恒等变换2018浙江,18;2018江苏,16;2018全国,15;2018全国,4; 2017全国,15;2016全国,14逻辑推理、数学运算解三角形2018全国,17;2018全国,6,2017全国,17;2018北京,15;2018天津,15;2016全国,17逻辑推理、数学运算审题答题指引1.教材与高考对接三角函数的图象与性质【题根与题源】(必修 4P147 复习参考题 A 组第 9 题、第 10 题)题目 9 已知函数 y(sin x cos x) 22cos 2x.(1)求函数的递减区间;(2)求函数的最大值和最小值.题目 10 已知
9、函数 f(x)cos 4x2sin xcos xsin 4 x.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)当 x 时,求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的集合 .0,2【试题评析】两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质,题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为 yA sin(x)k 的形式,然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已知函数 f(x)4tan xsin cos .(2 x) (x 3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性. 4,4解 (1)f(x) 的定义域为 x|x k,kZ,2f(x)4tan xcos xcos
10、 (x 3) 34sin x cos (x 3) 34sin x (12cos x 32sin x) 32sin x cos x2 sin2x3 3sin 2x cos 2x32sin .(2x 3)所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)由 2k2x 2k(k Z),2 3 2得 kx k( kZ).12 512设 A ,B ,易知 AB . 4,4 x| 12 k x 512 k,k Z) 12,4所以当 x 时,f(x )在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. 4,4 12,4 4, 12【探究提高】1.将 f(x)变形为 f(x)2sin 是求解的关键,(1)利用商数关系统一函数
11、名称; (2)活用和、(2x 3)差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“x ”视为一个整体,借助复合函数性质求 yAsin(x )B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】(2017山东卷)设函数 f(x)sin sin ,其中 03,已知 f 0.(x 6) (x 2) (6)(1)求 ;(2)将函数 yf(x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将得到的图象向左平移 个单位,得到函数 yg(x) 的图象,求 g(x)在 上的最小值.4 4,34解 (1)因为 f(x)sin sin ,(x 6) (x 2)所以 f(x) sin x cos xco
12、s x32 12 sin x cos x32 32 3(12sin x 32cos x) sin .3 (x 3)由题设知 f 0,(6)所以 k (kZ),6 3故 6k2(kZ).又 03,所以 2.(2)由(1)得 f(x) sin ,3 (2x 3)所以 g(x) sin sin .3 (x 4 3) 3 (x 12)因为 x ,所以 x , 4,34 12 3,23当 x ,即 x 时,g( x)取得最小值 .12 3 4 322.教你如何审题三角函数、平面向量、解三角形交汇。【例题】 (2019青岛质检) 已知向量 m(2sin x,cos 2xsin 2x),n( cos x,1
13、),3其中 0,x R.若函数 f(x)m n 的最小正周期为 .(1)求 的值;(2)在ABC 中,若 f(B)2,BC ,sin B sin A,求 的值.3 3 BA BC 【审题路线】【自主解答】解 (1)f(x) m n2 sin xcos xcos 2xsin 2 x sin 2xcos 2x2sin .3 3 (2x 6)因为 f(x)的最小正周期为 ,所以 T .22|又 0,所以 1.(2)由(1)知 f(x)2sin .(2x 6)设ABC 中角 A,B ,C 所对的边分别是 a,b,c.因为 f(B)2,所以 2sin 2,(2B 6)即 sin 1,由于 0B,解得 B
14、 .(2B 6) 23因为 BC ,即 a ,又 sin B sin A,3 3 3所以 b a,故 b3.3由正弦定理,有 ,解得 sin A .3sin A 3sin 23 12由于 0A ,解得 A .3 6所以 C ,所以 ca .6 3所以 cacos B cos .BA BC 3 3 23 32【探究提高】 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”,即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”;然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”;再活用正、余弦定理,对三角形的边、角进行互化.2.
15、这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”,转化为三角函数的相关知识进行求解.【尝试训练】 已知函数 f(x)a b,其中 a(2cos x, sin 2x),b(cos x,1),3xR.(1)求函数 yf(x )的单调递减区间;(2)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f(A)1,a ,且向量7m(3,sin B) 与 n(2,sin C)共线,求边长 b 和 c 的值.解 (1)f(x) 2 cos2x sin 2x1cos 2x sin 2x1 2cos ,3 3 (2x 3)令 2k2x 2k(kZ ),3解得 k xk (kZ),6 3函数 yf
16、(x) 的单调递减区间为 (kZ ).k 6,k 3(2)f(A)12cos 1,(2A 3)cos 1,又 2A ,(2A 3) 3 3 732A ,即 A .3 3a ,由余弦定理得 a2b 2c 22bc cos A(bc) 23bc7.7向量 m(3,sin B)与 n(2,sin C)共线,2sin B3sin C,由正弦定理得 2b3c ,由得 b3,c2.3.满分答题示范解三角形【例题】 (12 分)(2017 全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知ABC 的面积为 .a23sin A(1)求 sin Bsin C;(2)若 6cos Bcos C1
17、,a3,求 ABC 的周长.【规范解答】4.高考状元满分心得写全得分步骤:对于解题过程中是得分点的步骤有则给分,无则没分,所以得分点步骤一定要写全,如第(1)问中只要写出 acsin B 就有分,第(2)问中求出 cos Bcos C12 a23sin Asin Bsin C 就有分.12写明得分关键:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,所以在答题时要写清得分关键点,如第(1)问中由正弦定理得 sin Csin B ;第(2)问由余弦定理得12 sin A3sin Ab2c 2bc9.计算正确是得分保证:解题过程中计算准确,是得满分的根本保证,如 cos Bcos Csin Bsin
18、C 化简如果出现错误,本题的第(2)问就全错了,不能得分.12【构建模板】【规范训练】 (2018全国卷) 在平面四边形 ABCD 中,ADC90,A45 ,AB2,BD 5.(1)求 cosADB;(2)若 DC2 ,求 BC.2解 (1)在ABD 中,由正弦定理得 ,即 ,所以BDsin A ABsin ADB 5sin 45 2sin ADBsinADB .由题设知,ADB90,所以 cosADB .25 1 225 235(2)由题设及(1)知,cosBDCsin ADB .在BCD 中,由余弦定理得25BC2BD 2DC 22BD DCcosBDC258252 25.所以 BC5.225