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    2018年江苏省南京市高考数学二模试卷(含答案解析)

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    2018年江苏省南京市高考数学二模试卷(含答案解析)

    1、2018 年江苏省南京市高考数学二模试卷一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分,不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1 (5 分)函数 f(x )lg(2x)定义域为     2 (5 分)已知复数 z 满足 1,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模为     3 (5 分)执行如图所示的算法流程图,则输出的值为     4 (5 分)某学生 5 次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为     5 (5 分)3 名教师被随机派往甲、乙两地支教,每名教师只能被派往其

    2、中一个地方,则恰有 2 名教师被派往甲地的概率为     6 (5 分)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn若 S1530 ,a 71,则 S9 的值为     7 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c若bsinAsinB+acos2B2c,则 的值为     8 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C: (b0)的两条渐近线与圆O:x 2+y22 的四个交点依次为 A,B,C,D 若矩形 ABCD 的面积为 b,则 b 的值为      第 2 页(共 33

    3、 页)9 (5 分)在边长为 4 的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图 1 中阴影部分) ,折叠成底面边长为 的正四棱锥 SEFGH(如图 2) ,则正四棱锥 SEFGH 的体积为      10 (5 分)已知函数 f(x )是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x)x 2+x若f(a)+ f(a)4,则实数 a 的取值范围为     11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y (m0)在 xl 处的切线为 l,则点(2,1)到直线,的距离的最大值为     12 (5 分)如图,在AB

    4、C 中,边 BC 的四等分点依次为 D,E,F若 ,则 AE 长为     13 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B 为圆 C:(x+4) 2+(y a) 216 上两个动点,且 AB2 ,若直线 l:y2x 上存在唯一的一个点 P,使得 + ,则实数 a 的值为     14 (5 分)已知函数 f(x ) ,t R若函数 g(x)f (f(x)1)恰有 4 个不同的零点,则 t 的取值范围为     二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指

    5、定区域内)第 3 页(共 33 页)15 (14 分)已知函数 f(x )2sin(x+) (0, )的部分图象如图所示,直线 x ,x 是其相邻的两条对称轴(1)求函数 f(x )的解析式;(2)若 f( ) ,且 ,求 cos 的值16 (14 分)如图,矩形 ABCD 所在平面与三角形 ABE 所在平面互相垂直,AE AB,M,N,H 分别为 DE,AB,BE 的中点(1)求证:MN平面 BEC;(2)求证:AHCE17 (14 分)调查某地居民每年到商场购物次数 m 与商场面积 S、到商场距离 d 的关系,得到关系式 mk ( k 为常数) 如图,某投资者计划在与商场 A 相距 10k

    6、m 的新区新建商场 B,且商场 B 的面积与商场 A 的面积之比为 (0 1) 记“每年居民到商第 4 页(共 33 页)场 A 购物的次数” 、 “每年居民到商场 B 购物的次数”分别为 m1、m 2,称满足 mlm 2 的区域叫做商场 B 相对于 A 的“更强吸引区域” (1)已知 P 与 A 相距 15km,且PAB60当 时,居住在 P 点处的居民是否在商场 B 相对于 A 的“更强吸引区域”内?,请说明理由;(2)若要使与商场 B 相距 2km 以内的区域(含边界)均为商场 B 相对于 A 的“更强吸引区域” ,求 的取值范围18 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

    7、 E: + 1(ab0)的离心率为 ,上顶点 A 到右焦点的距离为 过点 D(0, m) (m0)作不垂直于 x 轴,y轴的直线,交椭圆 E 于 P,Q 两点,C 为线段 PQ 的中点,且 ACOC(1)求椭圆 E 的方程;(2)求实数 m 的取值范围;(3)延长 AC 交椭圆 E 于点 B,记AOB 与AOC 的面积分别为 S1,S 2,若 ,求直线 l 的方程19 (16 分)已知函数 f(x )x(e x2) ,g(x)xlnx+k,kR,其中 e 为自然对数的底数记函数 F(x)f(x)+g(x) (1)求函数 yf(x)+2x 的极小值;(2)若 F(x) 0 的解集为(0,+) ,

    8、求 k 的取值范围;(3)记 F(x)的极值点为 m,求证:函数 G(x )|F( x)|+ lnx 在区间(0,m )上单第 5 页(共 33 页)调递增 (极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20 (16 分)对于数列a n,定义 bn(k)a n+an+k,其中 n,kN*(1)若 bn(2)b n(1)1,n N*,求 bn(4)b n(1)的值;(2)若 al2,且对任意的 n,k N*,都有 bn+1(k )2b n(k) (i)求数列a n的通项公式;(ii)设 k 为给定的正整数,记集合 Ab n(k)|n N*,B5b n(k+2)|nN*,求证:AB 【选做题】在 A、

    9、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 0 分,共计 20 分,请在答题纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4-1:几何证明选讲21如图,AB 是圆 D 的直径, AC 是弦,BAC 的平分线 AD 交圆 D 于点 D,DEAC 且交 AC 的延长线于点 E,求证: DE 是圆 D 的切线选修 4-2:矩阵与变换22已知 a 为矩阵 A 属于实数 的一个特征向量,求 和 A2选修 4-4:坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C 的参数方程为  (a0, 为参数) ,点 P 是圆 C 上的任意一点,若点 P

    10、 到直线 l 距离的最大值为 3,求 a 的值,选修 4-5:不等式选讲24对任意 x,y R,求|xl |+|x|+|y1|+|y +1|的最小值,【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共 20 分,请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤25甲,乙两人站在 P 点处分别向 A,B,C 三个目标进行射击,每人向兰个目标各射击一第 6 页(共 33 页)次,每人每次射击每个目标均相互独立,且两人各自击中 A,B,C 的概率分别都为 , (1)设 X 表示甲击中目标的个数,求随机变量 X 的分布列和数学期望;(2)求甲乙两人共击中目标数为 2 个的概率26

    11、已知 nN*,且 n4,数列 T:a 1,a 2,a n 中的每一项均在集合 Ml,2,n中,且任意两项不相等(1)若 n7,且 a2a 3a 4a 5a 6,求数列 T 的个数;(2)若数列 T 中存在唯一的 ak(k N*,且 kn) ,满足 aka k+1,求所有符合条件的数列 T 的个数第 7 页(共 33 页)2018 年江苏省南京市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分,不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1 (5 分)函数 f(x )lg(2x)定义域为 (,2) 【分析】直接利用对数的真数大于 0,求解即可

    12、【解答】解:要使函数有意义,可得 2x0,即 x2函数 f(x)lg(2x )定义域为:( ,2) 故答案为:(,2) 【点评】本题考查函数的定义域的求法,是基础题2 (5 分)已知复数 z 满足 1,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模为    【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案【解答】解:由 1,得 z1+2 i则 故答案为: 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题3 (5 分)执行如图所示的算法流程图,则输出的值为 3 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的第

    13、8 页(共 33 页)值,模拟程序的运行过程,可得答案【解答】解:当 i0 时,满足继续循环的条件, i1,a 3,当 i1 时,满足继续循环的条件, i2,a6,当 i2 时,满足继续循环的条件, i3,a3,当 i3 时,不满足继续循环的条件,故输出的 a 值为 3,故答案为:3【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答4 (5 分)某学生 5 次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为 16 【分析】由茎叶图知该学生的 5 次考试成绩,计算平均数和方差即可【解答】解:由茎叶图知,该学生 5 次考试成绩是 79、83、85、87、91

    14、;计算平均数为 (79+83+85+87)85,方差为 s2 (7985) 2+(8385) 2+(8585) 2+(8785) 2+(9185) 216故答案为:16【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数与方差的应用问题,是基础题5 (5 分)3 名教师被随机派往甲、乙两地支教,每名教师只能被派往其中一个地方,则恰有 2 名教师被派往甲地的概率为    【分析】基本事件总数 n2228,恰有 2 名教师被派往甲地包含的基本事件个数m 3,由此能求出恰有 2 名教师被派往甲地的概率【解答】解:3 名教师被随机派往甲、乙两地支教,每名教师只能被派往其中一个地方,基本事

    15、件总数 n2228,第 9 页(共 33 页)恰有 2 名教师被派往甲地包含的基本事件个数 m 3,恰有 2 名教师被派往甲地的概率为 p 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题6 (5 分)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn若 S1530 ,a 71,则 S9 的值为 9 【分析】根据题意,由等差数列的前 n 项和公式可得 S15 15a 830,解可得 a8 的值,进而计算可得公差 d 的值,结合等差数列的通项公式可得a1a 76d5,进而由等差数列的前 n 项和公式可得 S99a 1+ d,计算即可得

    16、答案【解答】解:根据题意,等差数列a n中,S 1530,则有 15a 830,解可得:a 82,则公差 da 8a 71,则 a1a 76d5,则 S99a 1+ d9;故答案为:9【点评】本题考查等差数列的性质以及应用,注意结合等差数列的性质求出公差7 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c若bsinAsinB+acos2B2c,则 的值为 2 【分析】根据正弦定理,结合题意即可求出 的值【解答】解:ABC 中,bsinAsinB +acos2B2c,sinBsinAsin B+sinAcos2B2sinC;sinA2sinC, 2故答案为:2【点评】本题考查了

    17、解三角形的应用问题,是基础题第 10 页(共 33 页)8 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C: (b0)的两条渐近线与圆O:x 2+y22 的四个交点依次为 A,B,C,D 若矩形 ABCD 的面积为 b,则 b 的值为 【分析】根据双曲线 C: (b0)的两条渐近线方程为 ybx,联立方程组可得 ,求出点 A,B 的坐标,再根据矩形 ABCD 的面积为 b,即可求出【解答】解:双曲线 C: (b0)的两条渐近线方程为 ybx,联立方程组可得 ,解得 或 ,|AD | ,| AB| ,矩形 ABCD 的面积为 b, b解得 b27,b故答案为:第 11 页(共 33 页)【点

    18、评】本题考查了双曲线的简单性质,以及直线和圆的交点问题,考查了运算能力,属于中档题9 (5 分)在边长为 4 的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图 1 中阴影部分) ,折叠成底面边长为 的正四棱锥 SEFGH(如图 2) ,则正四棱锥 SEFGH 的体积为 【分析】连结 EG、FH,交于点 O,连结 SO,由题意 EHGF 是边长为 的正方形,SESFSG SH ,从而 EO1,SO 2,由此能求出正四棱锥SEFGH 的体积【解答】解:连结 EG、FH,交于点 O,连结 SO,由题意 EHGF 是边长为 的正方形,SESFSG SH ,EO 1,SO 2,正四棱锥 SEFGH

    19、的体积:第 12 页(共 33 页)V 故答案为: 【点评】本题考查四棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题10 (5 分)已知函数 f(x )是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x)x 2+x若f(a)+ f(a)4,则实数 a 的取值范围为 (1,1) 【分析】根据 f(x )为 R 上的偶函数,以及 x0 时 f(x)的解析式,便可讨论 a0 和a0,分别求出 f(a)+f(a) ,即可得出关于 a 的不等式,解不等式即得实数 a 的取值范围【解答】解:f(x )是 R 上的偶函数,且 x0 时,f (

    20、x)x 2+x;a 0 时, f(a)+f(a)2f (a)2(a 2+a)4;整理得,a 2+a20;解得2a1;0a1;a0 时,f(a)+f(a)2f (a)2(a 2a)4;整理得,a 2a20;解得1a2;1a0;综上得,实数 a 的取值范围为(1,1) 故答案为:(1,1) 【点评】考查偶函数的定义,以及一元二次不等式的解法11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y (m0)在 xl 处的切线为 l,则点(2,1)到直线,的距离的最大值为    第 13 页(共 33 页)【分析】求得函数 y 的导数,可得切线的斜率和切点,可得切线方程,方法一、考虑

    21、切线恒过定点,可得定点和已知点的距离为最大值;方法二、运用点到直线的距离公式和基本不等式,可得最大值【解答】解:y (m 0)的导数为 y ,可得 x1 处切线的斜率为 k ,且切点为(1, ) ,可得切线 l 的方程为 y (x1) ,即为 mx+4y3m0,解法一、由于切线方程为 m( x3)+4y0,可得切线恒过定点 P(3,0) ,点(2,1)到直线 l 的距离的最大值即为: ,解法二、点(2,1)到直线 l 的距离为:d ,当且仅当 m4 时,取得最大值 ,故答案为: 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,考查点到直线的距离公式的运用,以及基本不等式的运用,考查运算能力,属于中档题

    22、12 (5 分)如图,在ABC 中,边 BC 的四等分点依次为 D,E,F若 ,则 AE 长为    【分析】用 和 表示出 得出 + + +6再根据第 14 页(共 33 页)的关系计算 + ,从而得出 AE 长【解答】解: 2 , 2 , , + +2 + +2 , + + +6 , , + 2 , + 2 , + 44 +4 40, + +644 +4 40, + 14,4 + +2 14+10 24,AE 故答案为: 【点评】本题考查了平面向量的基本定理和数量积运算,属于中档题13 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B 为圆 C:(x+4) 2+(y

    23、 a) 216 上两个动点,且 AB2 ,若直线 l:y2x 上存在唯一的一个点 P,使得 + ,则实数 a 的值为 2 或18 【分析】设 A(x 1,y 1) ,B( x2,y 2) ,圆 C:(x+4) 2+(ya) 216 的圆心C(4,a) ,半径 r4,求出圆心 C(4,a)到 AB 的距离为 ,设 P(x ,2x) ,则(x 1x,y 12 x)+(x 2x,y 22x )(4,a) ,AB 中点 M(x2,2x + ) ,|CM| ,从而 5x2+(42a)x+ ,由直线 l:y2x上存在唯一的一个点 P,使得 + , 0,由此能求出 a【解答】解:设 A(x 1,y 1) ,

    24、 B(x 2,y 2) ,AB 的中点 M( , ) ,第 15 页(共 33 页)圆 C:(x+4) 2+(y a) 2 16 的圆心 C(4,a) ,半径 r4,圆心 C(4,a)到 AB 的距离|CM| ,直线 l:y2x 上存在唯一的一个点 P,使得 + ,设 P(x ,2x) ,则(x 1x,y 12x )+ (x 2x,y 22x)(4,a) , , ,M(x2, 2x+ ) ,|CM | ,整理,得 5x2+(42a)x + ,直线 l:y2 x 上存在唯一的一个点 P,使得 + , 0,整理,得 a2+16a360,解得 a2 或 a18【点评】本题考查实数值的求法,考查点到直

    25、线的距离公式、直线与圆相切、中点坐标公式等基础知识,考查运用求解能力,考查函数与方程思想,是中档题14 (5 分)已知函数 f(x ) ,t R若函数 g(x)f (f(x)1)恰有 4 个不同的零点,则 t 的取值范围为 4,0) 【分析】若函数 g(x)f(f(x)1)恰有 4 个不同的零点,令 mf(x) ,即有f(m1)0,讨论 m1 或 s(0s1) ,由 s0,求得 t,结合图象进而得到答案【解答】解:函数 f(x ) ,当 x0 时,f( x)x 3+3x2+t 的导数为f(x)3 x2+6x 在 x0 恒成立,可得 f(x)在 x0 递减,可令 g(x)f(f(x )1) 0,

    26、再令 mf(x) ,即有 f(m1)0,当 t0 时,f(m1)0,只有 m1,g(x)0 只有两解;第 16 页(共 33 页)当 t0 时,f(m1)0 有两解,可得 m1 或 s(0s1) ,由 f(x)1 和 f(x )s 有两解,共 4 解,当 s0 时,m0,由x 3+3x2+t0,即有 f(1)0,解得 t4,可得 t 的范围是4,0) 故答案为:4,0) 【点评】本题考查函数的零点个数的解法,注意运用换元法和数形结合思想方法,考查运算能力,属于中档题二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15

    27、(14 分)已知函数 f(x )2sin(x+) (0, )的部分图象如图所示,直线 x ,x 是其相邻的两条对称轴(1)求函数 f(x )的解析式;(2)若 f( ) ,且 ,求 cos 的值第 17 页(共 33 页)【分析】 (1)由函数 f(x )的部分图象,求得 T、 和 的值,写出函数 f(x)的解析式;(2)根据题意,利用三角恒等变换和同角的三角函数关系,即可求得 cos 的值【解答】解:(1)由函数 f( x)2sin(x+)的部分图象知,T( )2 , 2;又 x 时,f(x)取得最大值 2,2 + +2k,kZ; +2k,kZ;又 ,解得 ;函数 f(x) 2sin(2x

    28、+ ) ;(2)若 f( ) ,sin(+ ) ;又 ,+ ,第 18 页(共 33 页)cos(+ ) ;coscos(+ ) cos(+ )cos +sin(+ )sin +( ) 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了三角函数求值的应用问题,是综合题16 (14 分)如图,矩形 ABCD 所在平面与三角形 ABE 所在平面互相垂直,AE AB,M,N,H 分别为 DE,AB,BE 的中点(1)求证:MN平面 BEC;(2)求证:AHCE【分析】 (1)取 CD 中点 F,连结 NF、MF 推导出 NF BC,MFCE,从而平面BCE平面 MNF,由此能证明 MN平面

    29、BEC(2)推导出 AHBE ,BC平面 ABE,BCAH ,由此能证明 AH平面 BCE,从而AHCE【解答】证明:(1)取 CD 中点 F,连结 NF、MF ,矩形 ABCD 所在平面与三角形 ABE 所在平面互相垂直,M,N,H 分别为 DE,AB , BE 的中点NFBC,MFCE,NFMFF,BCCEC,NF、MF 平面 MNF,BC、CE平面 BCE,第 19 页(共 33 页)平面 BCE平面 MNF,MN平面 MNF,MN平面 BEC(2)AEAB,H 为 BE 的中点,AHBE矩形 ABCD 所在平面与三角形 ABE 所在平面互相垂直,BC平面 ABE,BCAH ,BEBCB

    30、,AH平面 BCE,AHCE【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查函数与方程思想,考查函数与方程思想,是中档题17 (14 分)调查某地居民每年到商场购物次数 m 与商场面积 S、到商场距离 d 的关系,得到关系式 mk ( k 为常数) 如图,某投资者计划在与商场 A 相距 10km 的新区新建商场 B,且商场 B 的面积与商场 A 的面积之比为 (0 1) 记“每年居民到商场 A 购物的次数 ”、 “每年居民到商场 B 购物的次数”分别为 m1、m 2,称满足 mlm 2 的区域叫做商场 B 相对于 A 的“更强吸引区域” (1)已

    31、知 P 与 A 相距 15km,且PAB60当 时,居住在 P 点处的居民是否在商场 B 相对于 A 的“更强吸引区域”内?,请说明理由;(2)若要使与商场 B 相距 2km 以内的区域(含边界)均为商场 B 相对于 A 的“更强吸引区域” ,求 的取值范围第 20 页(共 33 页)【分析】 (1)设商场 A,B 的面积分别为 S1,S 2,点 P 到 A,B 的距离分别为 d1,d 2 则S2S 1, , ,k 为常数,k0,由余弦定理得 PB 2175.PA 2225,m 1m 2 kS 1( ) ,由此能求出当 时,居住在 P 点处的居民是不在商场 B 相对于 A 的“更强吸引区域”内

    32、(2)以 AB 所在直线为 x 轴,A 为原点,建立平面直角坐标系,由 m1m 2,得 ,将 S2S 1 代入,得 ,从而(1 )x 2+(1)y220x+100 0,推导出商场 B 相对于 A 的“更强吸引区是:圆心为 C( ,0) ,半径为 r1 的圆的内部,由此能求出 的取值范围【解答】解:(1)设商场 A,B 的面积分别为 S1,S 2,点 P 到 A,B 的距离分别为d1,d 2,则 S2S 1, , ,k 为常数,k0 ,在PAB 中,AB10,PA15,PAB60,由余弦定理得:PB 2AB 2+PA22AB PAcos6010 2+1522 175又 PA 2225,此时,m

    33、1m 2 kS1( ) ,将 代入,得 m1m 2kS 1( ) ,kS 10,m 1m 2,当 时,居住在 P 点处的居民是不在商场 B 相对于 A 的“更强吸引区域”内(2)以 AB 所在直线为 x 轴,A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,第 21 页(共 33 页)由 m1m 2,得 ,将 S2S 1 代入,得 ,代入坐标,得(x10) 2+y2(x 2+y2) ,化简,得(1)x 2+(1)y 220x+1000,01,配方得(x ) 2+y2( ) 2,商场 B 相对于 A 的“更强吸引区是:圆心为 C( ,0) ,半径为 r1 的圆的内部,与商场 B 相距 2km 的区域(含

    34、边界)是:圆心为 B(10, 0) ,半径为 r22 的圆的内部及圆周,由题设,圆 B 内含于圆 C,即 BC|r 1r 2|,01, 10 2,解得 的取值范围是( ) 【点评】本题考查函数在生产生活中的实际运用,考查函数、圆的性质,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题18 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: + 1(ab0)的离心率为 ,上顶点 A 到右焦点的距离为 过点 D(0, m) (m0)作不垂直于 x 轴,y轴的直线,交椭圆 E 于 P,Q 两点,C 为线段 PQ 的中点,且 ACOC(1)求椭圆 E 的方程;(2)求实数 m 的取

    35、值范围;第 22 页(共 33 页)(3)延长 AC 交椭圆 E 于点 B,记AOB 与AOC 的面积分别为 S1,S 2,若 ,求直线 l 的方程【分析】 (1)根据椭圆的性质即可求得 a 和 b 的值,即可求得椭圆方程;方法一:(2)利用点差法及直线垂直的关系,即可求得 y02m1,x 02(12m )(2m2)0,即可求得 m 的取值范围;(3)设 B 点坐标,代入椭圆方程,根据直线的斜率公式即可求得 x3 ,根据三角形的面积公式,即可求得 m 的值,求得直线 AB 的方程;方法二:(2)设直线 l 的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,中点坐标公式及直线的斜率公式求得 m,化简即可求得

    36、m 的取值范围;(3)求得直线 AB 的方程,代入椭圆方程,即可求得 B 点坐标,根据三角形的面积公式,即可求得 k 及 m 的值,即可求得直线 l 的方程【解答】解:(1)由椭圆的离心率 e ,则 a c,由上顶点 A 到右焦点的距离为 ,即 a ,则 bc1,椭圆的标准方程: ;解法一:(2)由 A(0,1) ,设 P(x 1,y 1) ,Q (x 2,y 2) ,C(x 0,y 0) ,且 x1x 2,由 P,Q 在椭圆上,x 12+2y122, x22+2y222, 2x0x 1+x2,2y 0y 1+y2,两式相减得: ,由 ,则 ,整理得:x 022y 0(m y 0) ,第 23

    37、 页(共 33 页)由 ACOC,则 1,整理得:x 02y 0(1y 0) ,由解得: y02m1,x 02(12m ) (2m 2)0 ,解得: m1,m 的取值范围:( ,1) ;(3)设 B(x 3,y 3) ,由 B 在椭圆 E 上,x 32+2y322,由 ACOC,则 1,即 y3 x3+1,代入上式消去 y3,得 x3 ,所以 | |,由(2)可知:y 02m 1,x 02(12m) (2m2)0, m1, | | | ,由 ,即 ,解得:m ,此时 y02m1 ,x 02(12m) (2m2) ,解得:x 0 ,此时 C 点坐标为( , ) ,D(0, ) ,直线方程为 y

    38、x+ 或 y x+ 方法二:(2)由(1)可得 A(0,1) ,设 P(x 1,y 1) ,Q(x 2,y 2) ,C(x 0,y 0) ,设直线 l 方程为 ykx+m, (k0) ,代入椭圆方程:(1+2k 2)x 2+4kmx+2m220, (*)x1+x2 ,则 x0 ,第 24 页(共 33 页)y0kx 0+m ,C( , ) ,则 kAC ,由 kOC ,由 ACOC,则 kACkOC1,整理得:m ,由 k0,则 m 1 1 ( ,1) ,m 的取值范围( ,1) ;(3)设 B(x 3,y 3) ,k AB 2k ,设直线 AB 的方程为 y2kx+1,与椭圆方程联立,解得:

    39、x 或 x0(舍去) ,即 x3 ,x0 ,则 | | ,由 ,即 ,解得:k ,m ,则 D(0, ) ,直线方程为 y x+ 或 y x+ 【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,中点坐标第 25 页(共 33 页)公式及“点差法”的应用,考查转化思想,属于中档题19 (16 分)已知函数 f(x )x(e x2) ,g(x)xlnx+k,kR,其中 e 为自然对数的底数记函数 F(x)f(x)+g(x) (1)求函数 yf(x)+2x 的极小值;(2)若 F(x) 0 的解集为(0,+) ,求 k 的取值范围;(3)记 F(x)的极值点为 m,求证:函数 G(

    40、x )|F( x)|+ lnx 在区间(0,m )上单调递增 (极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)【分析】 (1)yf(x)+2xxe x,由 y(x+1)e x0 ,得 x1,利用职权利用导数能求出函数 yf(x)+2x 的极小值(2)F(x) f(x)+g(x)xe xxlnx+k,F(x )(x+1) (e x ) ,设 h(x)e x , (x0) ,则 0 恒成立,由此利用导数性质能求出 k 的取值范围(3)mx 0,当 1+k0,即 k1 时,F(x)0 恒成立,函数 G(x)在(0,m)上单调递增;当 1+k0,即 k1 时,0e k m,F(x )在(0,m)上存在唯一的

    41、零点 x1,函数 G(x)在(0,x 1上单调递增,当 x1xm 时,F(x )0,G(x)F(x)+lnx,G(x)F(x)+ ,G(x)在 x1,m)上单调递增 设任意 s,t(0, m) ,且 st,总有 G(s) G(t ) ,由此能证明函数G(x)|F (x)|+lnx 在区间(0,m)上单调递增【解答】解:(1)函数 f( x)x(e x2) ,yf (x)+2xxe x,y(x+1)e x,由 y0,得 x1,列表如下:x  (,1) 1  (1,+)y  0 +y  极小值 当 x1 时,函数 yf(x)+2x 的极小值为 (2)函数 f

    42、(x )x(e x2) ,g(x)xlnx +k,kR,其中 e 为自然对数的底数记函数 F(x) f(x)+g(x) 第 26 页(共 33 页)F(x )f(x)+g(x)xe xxlnx+k,F(x )(x+1) (e x ) ,设 h(x)e x , (x 0) ,则 0 恒成立,函数 h(x)在(0,+)上单调递增,又 h( ) 20,h(1)e10,且 h(x)的图象在(0,+)上不间断,h(x)在(0,+)上存在唯一的零点 x0( ,1) ,且 ,当 x(0,x 0)时,h(x)0,即 F(x )0,当 x(x 0,+)时,h(x)0,即 F(x)0,F(x )在(0 ,x 0)

    43、上单调递减,在( x0,+)上单调递增,xx 0 时,函数 F(x)取极小值(即最小值)为 F(x 0) x 0lnx 0+k1x 0ln +k1+k,F(x )0 的解集为( 0,+) ,1+k0,解得中,k 的取值范围是(1,+) 证明:(3)由(2)知 mx 0,当 1+k0,即 k1 时,F(x)0 恒成立,G(x)F(x)+lnxxe xx+k,G(x )(x+1)e x1,x(0,m) ,x +11,e x1,G (x)0 恒成立,函数 G(x)在(0,m)上单调递增当 1+k0,即 k1 时,0e k m,F(e k)e k(e k1)0,F(m)F (x 0)1+k0,又 F(

    44、x )在( 0,m)上单调递减,且图象不间断,F(x )在(0 ,m)上存在唯一的零点 x1,当 0xx 1 时,F(x)0,G (x )F(x)+lnxxe xx+k,G (x)(x+1)ex1,0xx 1,x +11,e x1,G (x)0 恒成立,函数 G(x)在(0,x 1上单调递增,第 27 页(共 33 页)当 x1xm 时,F(x )0, G(x)F(x)+lnx,G(x )F(x)+ ,由(2)知,当 x1x m 时,F(x)0,G(x)0 恒成立,G (x )在 x1,m )上单调递增设任意 s,t(0,m) ,且 s t,若 tx 1,则由 知 G(s)G(t ) ,若 s

    45、x 1t,则由 知 G(s)G(x 1) ,由知 G(x 1) G(t ) ,G (s)G(t) 总有 G(s)G(t) ,G(x)在(0,m)上单调递增,综上,函数 G(x)| F(x )|+ lnx 在区间(0,m)上单调递增【点评】本题考查函数的极小值的求法,考查实数的取值范围的求法,考查函数的单调性的证明,考查导数性质、构造法等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题20 (16 分)对于数列a n,定义 bn(k)a n+an+k,其中 n,kN*(1)若 bn(2)b n(1)1,n N*,求 bn(4)b n(1)的值;(2)若 al2,且对任意的 n,k N*,都有 bn+1(k )2b n(k) (i)求数列a n的通项公式;(ii)设 k 为给定的正整数,记集合 Ab n(k)|n N*,B5b n(k+2)|nN*,求证:AB 【分析】 (1)推导出数列a n+1是公差为 1 的等差数列,由此能求出出 bn(4)b n(1) (2) (i)由 bn+1(k )2b n( k) ,a n+1+an+1+k2(a n+an+k) ,分别令 k1 及 k2,列出方程组


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