1、2018 年江苏省高考数学二模预测卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）设集合 Ax| y ，By|y4x 2，1x2，则 AB 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z13+yi（y R） ，z 22i，且 ，则 y 3 （5 分）某单位有 842 名职工，现采用系统抽样方法抽出 5%的人做问卷调查，剔除适当人数后从 1 开始随机编号，现抽取的人中，编号落在区间481，720 内的人数为 4 （5 分）某公共汽车站每隔 15 分钟有一
2、辆汽车到站，在出发前在车站停靠 3 分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则乘客候车时间不超过 10 分钟的概率为 5 （5 分）如图是计算 的值的一个流程图，则常数 a 的取值范围是 6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设点的集合 A （x，y）|（x1） 2+（y1） 2a 2，且 AB，则实数 a 的取值范围是 7 （5 分）函数 f（x ）（x1）sin x1（1x3）的所有零点之和为 8 （5 分）已知一个正三棱锥的高和底面边长都等于 6，则其外接球的表
3、面积为 9 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，a n+1 2Sn（nN +） ，则数列a n的通项第 2 页（共 23 页）公式 an 10 （5 分）函数 ycos xx tanx 的定义域为 ， ，其值域为 11 （5 分）已知 ，其中| |a，| |b， 3 ，则 cosMBA 的最小值为 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x 2+y21，圆 M：（x +a+3） 2+（y2a）21（a 为实数） 若圆 O 和圆 M 上分别存在点 P
4、，Q，使得OQP30，则 a 的取值范围为 13 （5 分）已知函数 f（x）是函数 f（x）在定义域上的导数，f （0）1 且 f（x）2f（x ）2，则不等式 f（ln （x 2x） ）7 的解集是 14 （5 分）若实数 a，b，c 满足 2a+4b2 c，4 a+2b+14 c，则 c 的最小值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答15 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sinC+cosC1sin，（1）求 si
5、nC 的值；（2）若ABC 的外接圆面积为（4+ ） ，试求 的取值范围16 （14 分）如图，一个平面与四面体 ABCD 的棱 AB，BC，CD，DA 分别相交于点M，N ，P，Q，且截面四边形 MNPQ 是正方形（1）求证：AC平面 MNPQ；（2）求证：ACBD，并求异面直线 MP 与 BD 所成角的值17 （14 分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆 O 的圆心与矩形 ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点） ，与左右两边相交（F，G为其中两个交点） ，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为 1m 且 ，设EOF ，透光区域的面积
6、为 S（1）求 S 关于 的函数关系式，并求出定义域；第 3 页（共 23 页）（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边 AB 的长度18 （16 分）已知椭圆 C： 的左焦点为 F（1，0） ，左准线为x2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点 F，交 y 轴于点 P，且满足 ，求证：+为常数；若 OAOB（O 为原点） ，求 AOB 的面积的取值范围19 （16 分）已知函数 f（x ）lnxax，g（x）ex，aR （e 是自然对数的底数）（1）若直线 yex 为曲线 y f（x
7、）的一条切线，求实数 a 的值；（2）若函数 yf（x）g（x）在区间（1，+）上为单调函数，求实数 a 的取值范围；（3）设 H（x）| f（x）| g（x） ，x 1，e，若 H（x）在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值） ，求实数 a 的取值范围20 （16 分）设数列a n的首项为 1，前 n 项和为 Sn，若对任意的 nN*，均有第 4 页（共 23 页）Sna n+kk（k 是常数且 kN*）成立，则称数列a n为“P（k）数列” （1）若数列a n为“P（1）数列” ，求数列a n的通项公式；（2）是否存在数列a n既是“P（k）数列” ，也是“P （k+
8、2）数列”？若存在，求出符合条件的数列a n的通项公式及对应的 k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列a n为“P（2）数列” ，a 22，设 ，证明：Tn3第 5 页（共 23 页）2018 年江苏省高考数学二模预测卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）设集合 Ax| y ，By|y4x 2，1x2，则 AB （3，4） 【分析】化简集合 A、B，根据交集的定义写出 AB【解答】解：集合 Ax| y x|lg （x3） 0x|x3 且 x4，B y|y4x 2，1x2 y|0x4 ，则 ABx|3
9、x 4（3，4） 故答案为：（3，4） 【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z13+yi（y R） ，z 22i，且 ，则 y 1 【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解：复数 z13+ yi（yR） ，z 22i ，且 ， 1+i，化为： 3+yi（ 2i ） （1+i）3+i，y1故答案为：1【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分）某单位有 842 名职工，现采用系统抽样方法抽出 5%的人做问卷调查，剔除适当人数后从 1 开始随机编号，现抽取的人中，编号落在区间481
10、，720 内的人数为 12 【分析】抽取人数为：8405%42 人，即从 20 人中抽取 1 人，由此能求出现抽取的人中，编号落在区间481，720内的人数第 6 页（共 23 页）【解答】解：某单位有 842 名职工，采用系统抽样方法抽出 5%的人做问卷调查，剔除适当人数后从 1 开始随机编号，抽取人数为：8405%42 人，即从 20 人中抽取 1 人，现抽取的人中，编号落在区间481，720 内的人数为：12 人故答案为：12【点评】本题考查抽取的样本单元数的求法，考查系统抽样等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题4 （5 分）某公共汽车站每隔 15 分钟有一辆
11、汽车到站，在出发前在车站停靠 3 分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则乘客候车时间不超过 10 分钟的概率为 【分析】根据几何概型的概率公式，求出基本事件总数包含的时间长度与满足条件的事件包含的时间长度，计算比值即可【解答】解：根据题意知这是一个几何概型，公共汽车站每隔 15 分钟有一辆汽车到达，基本事件总数包含的时间长度是 15，又乘客到达车站的时刻是任意的，且出发前在车站停靠 3 分钟，满足一个乘客候车时间大于 10 分钟的事件包含的时间长度是 15132，满足一个乘客候车时间不超过 10 分钟的事件包含的时间长度是 13，由几何概型公式得所求的概率为 P 故
12、答案为： 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题5 （5 分）如图是计算 的值的一个流程图，则常数 a 的取值范围是 （19，21 第 7 页（共 23 页）【分析】根据程序的功能是求 S + + + 的值，从而求得 n21 程序运行终止，再根据不满足条件 na 时输出 S，可得 a 的范围【解答】解：程序的运行功能是求 的值，程序最后一次运行后 S + + + ，n21 终止程序运行，19a21，故答案为：（19，21【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断终止运行的 n 值是解答本题的关键6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设点的集合 A （x，y）|（
13、x1） 2+（y1） 2a 2，且 AB，则实数 a 的取值范围是 0， 【分析】 当 a0 时显然满足题意，当 a 0 时，因为 AB，由圆与直线的位置关系可知：圆（x1） 2+（y1） 2a 2 与直线 x3，x+y 40，xy+2a0 的位置如图所示，又圆心到直线 x+y40 的距离为： ，圆心到直线 xy+2a0 的距离为： |a| ，由图得：，即 0 ，综合可得解【解答】解：当 a0 时显然满足题意，第 8 页（共 23 页）当 a 0 时由图可知：圆（x1） 2+（y 1） 2a 2与直线 x3，x +y40，xy+2a0 的位置如图，圆心到直线 x+y40 的距离为： ，圆心到直
14、线 xy +2a0 的距离为： | a|，由图得： ，即 0 ，综合得：实数 a 的取值范围是：0 ，故答案为：0， 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系及集合的包含关系，属中档题7 （5 分）函数 f（x ）（x1）sin x1（1x3）的所有零点之和为 4 【分析】画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出【解答】解：由（x）（x 1）sin x10（1x3）可得 sinx令 g（x）sinx ，h（x ） ， （ax3）则 g（x） ，h（x ）都是关于（1，0）点对称的函数第 9 页（共 23 页）故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数 g（x）与 h（x）
15、有 4 个交点，分别记为 A，B，C，D则 xA+xB+xC+xD4故答案为：4【点评】熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键8 （5 分）已知一个正三棱锥的高和底面边长都等于 6，则其外接球的表面积为 64 【分析】判断球心的位置，求出球的半径，然后求解球的表面积【解答】解：由题意可知，球的球心一定位于，正三棱锥的高上，设球的半径玩 R，则 R2（6R） 2（ ） 2，解得 R4，外接球的表面积为：4R 264故答案为：64【点评】本题考查球的内接体，正三棱锥的特征，球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力9 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，a n
16、+1 2Sn（nN +） ，则数列a n的通项公式 an 【分析】先看 n2 根据题设条件可知 an2S n1 ，两式想减整理得 an+13a n，判断出此时数列a n为等比数列，a 22a 12，公比为 3，求得 n2 时的通项公式，最后综合第 10 页（共 23 页）可得答案【解答】解：当 n2 时，a n2S n1 ，a n+1a n2S n2S n1 2a n，即 an+13a n，数列a n为等比数列，a 22a 12，公比为 3，a n23 n2 ，当 n1 时，a 11数列a n的通项公式为 故答案为： 【点评】本题主要考查了数列的递推式求数列通项公式解
17、题的最后一定要验证 a1是基础题10 （5 分）函数 ycos xx tanx 的定义域为 ， ，其值域为 ，1 【分析】判断函数的奇偶性，利用导数求解 x0 时的单调性，然后求解函数的值域即可【解答】解：函数 ycos xxtan x 的定义域为 ， ，函数是偶函数，当 x（0， ）时，y 0，函数的减函数，所以 x0 时函数取得最大值：1；x ，y ，所以函数的值域为： ，1 故答案为： ，1【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力11 （5 分）已知 ，其中| |a，| |b， 3 ，则 cosMBA 的最小值为 第 11 页（共 23
18、 页）【分析】根据勾股定理和余弦定理解基本不等式即可求出【解答】解：如图， ，AOB90，| | a，| |b， 3 ，| | a， | | a，|BM |2|OM| 2+|OB|2 a2+b2，|AB |2|OA| 2+|OB|2a 2+b2，|AM |2 a2，由余弦定理可得 cosABM ， + 2 6，当且仅当 a3b 时取等号，cosABM ，故答案为：【点评】本题考查了余弦定理和勾股定理以及基本不等式，考查了转化能力和运算能力，属于中档题12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x 2+y21，圆 M：（x +a+3） 2+（y2a）21（a 为实数） 若圆 O 和圆
19、M 上分别存在点 P，Q，使得OQP30，则 a 的取第 12 页（共 23 页）值范围为 a0 【分析】从圆 M 上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP1，利用圆 O 和圆 M 上分别存在点 P，Q，使得OQP30，可得|OM|2，进而得出答案【解答】解：由题意，圆 M：（ x+a+3） 2+（y 2a） 21（a 为实数） ，圆心为M（a3，2a）圆 M 上任意一点 Q 向圆 O 作切线，切点为 P，PQO 30，所以 x2+y24 与圆 M 有交点 1 3，解得 a0，故答案为： a0，【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、两点间的距离的计算公式
20、、数形结合思想方法，属于中档题13 （5 分）已知函数 f（x）是函数 f（x）在定义域上的导数，f （0）1 且 f（x）2f（x ）2，则不等式 f（ln （x 2x） ）7 的解集是 （1，0）（1，2） 【分析】根据题意，f（x ）2e 2x1，x R，则 f（x ）在 R 上是单调增函数，把不等式f（ln（x 2x） ）4 化为 ln（x 2x）ln 2，从而求出不等式的解集【解答】解：因为 f（x ）2e 2x1，满足 f（0）1 且 f（x）2f（x）2，f（ln2）2e 2ln217又 f（x）2e 2x1，xR，则 f（x）4 e2x0，所以 f（x）在 R 上
21、是单调增函数；所以不等式 f（ln（x 2x ） ） 7 等价于 ln（x 2x）ln 2，可得即 ，解得 ，即1x0 或 1x 2；第 13 页（共 23 页）所以该不等式的解集为（1，0）（1，2） 故答案为：（1，0）（1，2） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了构造函数的解题方法，是综合性题目已知函数 f （x ）是函数 f（x）在定义域上的导数，14 （5 分）若实数 a，b，c 满足 2a+4b2 c，4 a+2b+14 c，则 c 的最小值为 【分析】2 a+4b2 c，4 a+2b+14 c，2 a4 b+2c，4 a2 b+1+
22、4c，化为：22c ，令 t2 b0，则 22ct 2+ f （t） ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：2 a+4b2 c，4 a+2b+14 c，2 a4 b+2c，4 a2 b+1+4c，2 b+1+4c（2 c4 b） 2，化为：22 c ，令 t2 b0，则 22ct 2+ f （t） ，f（t）2t ，可得 t1 时，f（t ）取得极小值即最小值3（b0） 22 c3，c c 的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分
23、请在答题卡指定区域内作答15 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sinC+cosC1sin，（1）求 sinC 的值；（2）若ABC 的外接圆面积为（4+ ） ，试求 的取值范围第 14 页（共 23 页）【分析】 （1）根据二倍角公式与同角的三角函数关系，即可求得 sinC 的值；（2）由（1）判断出 C 是钝角，利用正弦、余弦定理，结合基本不等式求得 ab 的取值范围，再求 的取值范围【解答】解：（1）ABC 中，由 sinC+cosC1sin ，得 2sin cos 2sin 2 sin ，sin 0，cos sin ，两边平方得 1sinC ，
24、解得 sinC ；（2）由（1）知 sin cos ， ，C ；cosC ；由正弦定理得，c2R sinC，c 24R 2sin2C （4+ ） ；由余弦定理得，c 2 （4+ ）a 2+b22ab（ ）2ab（1+ ） ，0ab ； abcosC ，0） ，即 的取值范围是 ，0） 【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题16 （14 分）如图，一个平面与四面体 ABCD 的棱 AB，BC，CD，DA 分别相交于点M，N ，P，Q，且截面四边形 MNPQ 是正方形（1）求证：AC平面 MNPQ；（2）求证：ACBD，并求异面直线 MP 与 BD 所成角的值第 15 页（共
25、 23 页）【分析】 （1）需证 ACMN，先证 MN平面 DAC，利用 MNPQ；（2）利用第一步结果，求异面直线 AC，BD 所成角，为 90，得证，MP 与 BD 所成角也在正方形内得解【解答】解：（1）证明：MNPQ 为正方形，MNPQ，又 MN平面 ADC，PQ 平面 ADC，MN平面 ADC，又 MN平面 BAC，平面 BAC平面 DACAC，MNAC，AC平面 MNPQ，AC平面 MNPQ（2）证明：由（1）知 AC MN，同理 BDNP，MNP 即为 AC，BD 所成的角，ACBD，MPN 即为 MP 与 BD 所成的角，且 【点评】此题考查了线线平行，线面平行，异面直线所成角
26、等，难度不大17 （14 分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆 O 的圆心与矩形 ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点） ，与左右两边相交（F，G为其中两个交点） ，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为 1m 且 ，设EOF ，透光区域的面积为 S（1）求 S 关于 的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求第 16 页（共 23 页）边 AB 的长度【分析】 （1）过点 O 作 OHFG 于 H，写出透光面积 S 关于 的解析式 S，并求出 的取值范围；（2）计算透光区域与
27、矩形窗面的面积比值，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出比值最大时对应边 AB 的长度【解答】解：（1）过点 O 作 OHFG 于 H，OFH EOF；又 OHOF sinsin ，FHOFcos cos，S4S OFH +4S 阴影 OEF2sin cos+4 sin2+2 ； ，sin ， ， ） ；S 关于 的函数关系式为 Ssin2 +2， ， ） ；（2）由 S 矩形 ADAB 22sin4sin ， + ，设 f（） + ， ， ） ，则 f（） sin+第 17 页（共 23 页） ； ， sin2 ， sin20，f（）0，f（）在 ， ）上是单调减函数；当 时 f（ ）取
28、得最大值为 + ，此时 AB2sin1（m） ；S 关于 的函数为 Ssin2+2， ， ） ；所求 AB 的长度为 1m【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了三角恒等变换以及三角函数最值的应用问题，是综合题18 （16 分）已知椭圆 C： 的左焦点为 F（1，0） ，左准线为x2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点 F，交 y 轴于点 P，且满足 ，求证：+为常数；若 OAOB（O 为原点） ，求 AOB 的面积的取值范围第 18 页（共 23 页）【分析】 （1）由椭圆的左焦点为 F（1，0） ，左准线
29、为 x2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆 C 的标准方程（2） 设直线 l 的方程为 y k（x+1） ，则 P（0，k） ，代入椭圆得（1+2k 2）x2+4k2x+2k220，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能证明 +为常数4当直线 OA， OB 分别与坐标轴重合时，AOB 的面积 ，当直线 OA，OB的斜率均存在且不为零时，设 OA：ykx，OB ：y ，将 ykx 代入椭圆 C，得到x2+2k2x22，由此利用换元法结合已知条件能求出 AOB 的面积的取值范围【解答】解：（1）椭圆 C： 的左焦点为 F（1，0） ，左准线为 x2，由题设知 c1， 2，a 22c，a 2
30、2，b 2a 2c 21，椭圆 C 的标准方程为 1证明：（2）由题设知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk （x+1） ，则P（0，k） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 l 代入椭圆得 x2+2k2（x +1） 22，整理，得（1+2k 2）x 2+4k2x+2k220， ， ，由 ， ，知 ， ，+ （定值） + 为常数4解： 当直线 OA，OB 分别与坐标轴重合时，AOB 的面积 ，第 19 页（共 23 页）当直线 OA，OB 的斜率均存在且不为零时，设 OA：ykx ，OB：y ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，将 ykx
31、代入椭圆 C，得到 x2+2k2x22， ， ，同理， ， ，AOB 的面积 SAOB ，令 tk 2+11， +） ，则 S AOB ，令 （0，1） ，则 ， ） 综上所述，AOB 的面积的取值范围是 ， 【点评】本题考查椭圆方程、韦达定理、向量知识、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题19 （16 分）已知函数 f（x ）lnxax，g（x）ex，aR （e 是自然对数的底数）（1）若直线 yex 为曲线 y f（x）的一条切线，求实数 a 的值；（2）若函数 yf（x）g（x）在区间（1，
32、+）上为单调函数，求实数 a 的取值范围；（3）设 H（x）| f（x）| g（x） ，x 1，e，若 H（x）在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值） ，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）设切点 P（x 0，y 0） ，根据导数和几何意义即可求出，（2）分离参数，构造函数，求导，根据导数和函数的最值的关系即可求出，（3）化简 H（x） ，求导，令 t（x） a，再求导，再分类讨论，根据导数和函数的最值即可求出实数 a 的取值范围【解答】解：（1）设切点 P（x 0，y 0） ，则 y0lnx 0ax 0，y 0ex 0，lnx 0（a+e）x0（*）第 20 页（共
33、 23 页）又 ， ， 代入（*）lnx 01，x 0e，（2）设 h（x）f（x）g（x）lnx（a+e）x （x1） ，当 h（x ）单调递增时则 ，又 ，a+e0，ae当 h（x）单调递减时 ，a1e综上 h（x）单调时，a（，e1 e，+） （3） ，令 ，当 x1，e 时，t '（x）0， ，当 a0，即 a0 时，t（x）0，H（x）e（xlnx ax 2） ，x 1，e，H'（x） e（lnx+12ax）0，H（x）在 x1，e 上无极值点当 ，即 时，t（x）0，H（x）e（xlnxax 2） ，x 1，e，i）当 2a1 即 时 H''（x）0
34、H '（x ）在1 ，e 递增，H'（1）e（ 2a1）0， H （x）在1，e上递增，第 21 页（共 23 页）H（x）在1 ， e上无极值点ii）当 时 ，H'（x ）在 递减， 递增，H'（1）e（ 2a1）0，H'（e ）e（2ae2）2e（ae 1）0，x 0（ 1，e）使得 H'（x 0）0，H（x）在（1，x 0）递减， （x 0，e递增，H（x）在1 ， e上有一个极小值点当 时， ，H'（x ）在 递减， 递增，又 ，H'（x ）0 在1，e 上恒成立，H（x）无极值点当 时，t（x）在1 ， e递增，x 0（
35、 1，e）使得 ，当 x1，x 0时，t（x）0，当 xx0，e时，t（x）0， ，令 ax2xlnx k（x） ，x 1， e，k '（x ）2axlnx1，下证 k'（ x） 0，即证 ，又 ，即证 ，所以结论成立，即 k'（x）0，（1，x 0） 1，e ，H（x）在1，x 0）递减， （x 0，e递增，第 22 页（共 23 页）x 0 为 H（x）的极小值综上， 或 时 H（x）在1 ，e 上有极值点【点评】本题考查函数的极值，考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性的证明，考查导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难题20
36、（16 分）设数列a n的首项为 1，前 n 项和为 Sn，若对任意的 nN*，均有Sna n+kk（k 是常数且 kN*）成立，则称数列a n为“ P（k）数列” （1）若数列a n为“P（1）数列” ，求数列a n的通项公式；（2）是否存在数列a n既是“P（k）数列” ，也是“P （k+2）数列”？若存在，求出符合条件的数列a n的通项公式及对应的 k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列a n为“P（2）数列” ，a 22，设 ，证明：Tn3【分析】 （1）根据新定义，即可求出数列的通项公式，（2）假设存在这样的数列a n，则有 Sna n+kk ，根据数列的递推公式可得Sn+2S
37、 n2，两者矛盾，故不存在这样的数列 an既是“ P（k ）数列” ，也是“P（k +2）数列” （3）数列a n为“P（2）数列” ，a 22，可得 an+2a n+1+an 对任意正整数 n 恒成立，数列的前几项为：1，2，3，5，8，利用错位相减法即可求出 Tn，再放缩即可证明【解答】解：（1）数列a n为“P（1）数列” ，则 Sna n+11故 Sn+1a n+21，两式相减得：a n+22a n+1，又 n1 时，a 1a 21，所以 a22，故 an+12a n 对任意的 nN*恒成立，即 （常数） ，故数列a n为等比数列，其通项公式为 （2）假设存在这样的数列a n，则有 S
38、na n+kk ，故有 Sn+1a n+k+1k两式相减得：a n+1a n+k+1a n+k，故有 an+3a n+k+3a n+k+2同理由a n是“P（k +2）数列 ”可得：a n+1a n+k+3a n+k+2，所以 an+1a n+3 对任意 nN*恒成立所以 Sna n+kk a n+k+2k Sn+2，即 SnS n+2，第 23 页（共 23 页）又 Sna n+k+2k2S n+2 2，即 Sn+2S n2，两者矛盾，故不存在这样的数列a n既是“P（k）数列” ，也是“P （k+2）数列” 证明：（3）因为数列a n为“P（2）数列” ，所以 Sna n+22所以 Sn+1a n+32故有，a n+1a n+3a n+2，又 n1 时，a 1a 32，故 a33，满足：a 3a 2+a1所以 an+2a n+1+an 对任意正整数 n 恒成立，数列的前几项为： 1，2，3，5，8故所以，两式相减得： ，显然 ，故 ，即 Tn3【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、放缩方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题
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