1、2019 年湖南省娄底市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 z 满足（1+ i）z|4i |，则 z（ ）A2+2i B1+2i C22i D12i2 （5 分）已知集合 Ax| 0，则 RA（ ）A3，1） B （，3（1，+）C （3，1） D （， 3）1 ，+）3 （5 分）对某两名高三学生在连续 9 次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为 130
2、 分；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110，120内；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步其中正确的个数为（ ）A4 B3 C2 D14 （5 分）如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为 8，则俯视图中三角形的高第 2 页（共 26 页）x 等于（ ）A1 B2 C3 D45 （5 分）已知 f（x ）是奇函数，当 x0 时，f（x ） ，则函数在 x1 处的切线方程是（ ）A2xy+10 Bx2y+20 C2xy10 Dx +2y206 （5 分）
3、如图，在矩形 OABC 中的曲线分别是 ysin x，ycosx 的一部分，A（ ，0） ，C（0，1） ，在矩形 OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为 P1，取自非阴影部分的概率为 P2，则（ ）AP 1P 2 BP 1P 2CP 1P 2 D大小关系不能确定7 （5 分）已知ABC 中，AB2，AC 3，A60，ADBC 于 D， + ，则 （ ）A3 B6 C2 D38 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0） ，以点 P（b，0）为圆心，a 为半径作圆 P，圆 P 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若MPN90，则 C 的离心率为（
4、 ）A B C D9 （5 分）若 m，n 均为非负整数，在做 m+n 的加法时各位均不进位（例如：第 3 页（共 26 页）2019+1002119，则称（m，n）为“简单的”有序对，而 m+n 称为有序对（m ，n）的值，那么值为 2019 的“简单的”有序对的个数是（ ）A100 B96 C60 D3010 （5 分）若 x1 是方程 xex1 的解，x 2 是方程 xlnx1 的解，则 x1x2 等于（ ）A1 B1 Ce D11 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0， ， ）的部分图象如图所示，且 f（x ）上0，2 上恰有一个最大值
5、和一个最小值，则 的取值范围是（ ）A ， ） B ， ） C （ ， D （ ， 12 （5 分）已知函数 f（x ）e xax1 在区间（1，1）内存在极值点，且 f（x）0 恰好有唯一整数解，则 a 的取值范围是（其中 e 为自然对数的底数，e2.71828） （ ）A ，e ）B ，1）（e1， C （e 1，e ）D ， ）（e 1，e ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知二项式（ax ） 6 的展开式中的常数项为160，则 a 14 （5 分）若实数 x，y 满足不等式组 则目标函数
6、z3xy 的最大值为 15 （5 分）在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳第 4 页（共 26 页）马如图，若四棱锥 PABCD 为阳马，侧棱 PA底面 ABCD，且PA3，BCAB4，设该阳马的外接球半径为 R，内切球半径为 r，则 16 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 c2b，ABC 的面积为 1，则 a 的最小值为 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作
7、答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题，共60 分17 （12 分）已知数列a n中，a 11，S n 是数列a n的前 n 项和，且对任意的 r、tN *，都有 （ ） 2（）判断a n是否为等差数列，并证明你的结论；（）若数列b n满足 2 n1 （n N*） ，设 Tn 是数列 bn的前 n 项和，证明：Tn618 （12 分）在 RtABC 中，ABC90，tanACB 已知 E，F 分别是 BC，AC的中点将CEF 沿 EF 折起，使 C 到 C的位置且二面角 CEFB 的大小是60连接 CB，CA，如图：（）求证：平面 CFA平面 ABC；（）求平面 AFC与
8、平面 BEC所成二面角的大小19 （12 分）已知平面上一动点 P 到定点 F（ ，0）的距离与它到直线 x 的距离之比为 ，记动点 P 的轨迹为曲线 C第 5 页（共 26 页）（）求曲线 C 的方程；（）设直线 l：y kx+m 与曲线 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若kOMkON ，求MON 面积的最大值20 （12 分）随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产运输销售一体化的直销供应模式，不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题（）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用
9、量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量 y（百斤）与使用堆沤肥料 x（千克）之间对应数据如表：使用堆沤肥料 x（千克） 2 4 5 6 8产量增加量 y（百斤） 3 4 4 4 5依据表中的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程；并根据所求线性回归方程 x+ ，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料 10 千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量 y 是多少百斤？（）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份 10元的价格销售到生鲜超市 “乐购”生鲜超市以每份 15 元的价格卖给顾客，如果当天前8 小时卖不完，则超市通过促销以每份 5 元的价格卖给顾客（根据经验，
10、当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货） 该生鲜超市统计了 100天有机蔬菜在每天的前 8 小时内的销售量（单位：份） ，制成如下表格（注：x，yN *，且 x+y30）：每日前 8 个小时销售量（单位：份）15 16 17 18 19 20 21频数 10 x 16 16 15 13 y若以 100 天记录的频率作为每日前 8 小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进 17 份比购进 18 份的利润的期望值大时，求 x 的取值范围第 6 页（共 26 页）附：回归方程系数公式 21 （12 分）已知 f（x 1）2ln （x1
11、） +k（x1） （）判断当1k0 时 f（x）的单调性；（）若 x1，x 2（x 1x 2）为 f（x ）两个极值点，求证： xf（x 1）+f （x 2） （x+1）f（x） +22x三、 （二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2（）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（）设 P 为曲线 C 上的点， PQl ，垂足为 Q，
12、若|PQ|的最小值为 2，求 m 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2a |xa| ，a R（）若 f（1）1，求 a 的取值范围；（）若 a0，对x ，y（ ，a，都有不等式 f（x）|（y+2020|+|ya| 恒成立，求 a 的取值范围第 7 页（共 26 页）2019 年湖南省娄底市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 z 满足（1+ i）z|4i |，则 z（ ）A2+2i B1+2i C22i D12i【分析】把
13、已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算得答案【解答】解：由（1+i）z | 4i|4，得 z 22i故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题2 （5 分）已知集合 Ax| 0，则 RA（ ）A3，1） B （，3（1，+）C （3，1） D （， 3）1 ，+）【分析】先求出集合 A，由此能求出 RA【解答】解：集合 Ax| 0 x|（x+3） （x1）0 且 x1x|3x1， RAx| x3 或 x1（，3）1，+ ） 故选：D【点评】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，是基础题3 （5 分）对某两名高三学生在连续 9 次数
14、学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为 130 分；第 8 页（共 26 页）根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110，120内；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步其中正确的个数为（ ）A4 B3 C2 D1【分析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可【解答】解：甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高 130 分，平均成绩为低于130 分， 错误；根据甲同学成
15、绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110，120内， 正确；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，正确；乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故不正确故选：C【点评】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力4 （5 分）如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为 8，则俯视图中三角形的高x 等于（ ）A1 B2 C3 D4【分析】画出几何体的直观图，利用几何体的体积，转化求解即可【解答】解：该几何体为四棱锥，体积为V x8，第 9 页（共 26 页）x4故选：D【点评】本题考查三
16、视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力5 （5 分）已知 f（x ）是奇函数，当 x0 时，f（x ） ，则函数在 x1 处的切线方程是（ ）A2xy+10 Bx2y+20 C2xy10 Dx +2y20【分析】求出函数的解析式，求出函数的导数，求出切点坐标，然后求解切线方程【解答】解：当 x0 时，x0，f （x） ，f（x） （x0） ，kf（1） 2，切点为（1，1） ，切线方程为 y+12（x+1） 切线方程为 2xy +10故选：A【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力6 （5 分）如图，在矩形 OABC 中的曲线分别是 ysin x，
17、ycosx 的一部分，A（ ，0） ，C（0，1） ，在矩形 OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为 P1，取自非阴影部分的概率为 P2，则（ ）AP 1P 2 BP 1P 2CP 1P 2 D大小关系不能确定【分析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得【解答】解：根据题意，阴影部分的面积的一半为： （cosxsinx）dx ，于是此点取自阴影部分的概率为 P12 第 10 页（共 26 页）又 P21P 1 ，故 P1P 2 故选：B【点评】本题考查了几何概型，属中档题7 （5 分）已知ABC 中，AB2，AC 3，A60，ADBC 于 D，
18、 + ，则 （ ）A3 B6 C2 D3【分析】利用已知条件通过向量的垂直，列出方程推出 即可【解答】解： ， ，（ + ）（ + ）0， 2+ 2+（） 0，可得4+9 +3（）0，6， 6故选：B【点评】本题考查向量的数量积判断向量的垂直的条件的应用，考查转化思想以及计算能力8 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0） ，以点 P（b，0）为圆心，a 为半径作圆 P，圆 P 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若MPN90，则 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆 P 与双曲线 C 的一条渐近线交于M，N 两点，
19、若MPN90，列出方程，求解离心率即可【解答】解：不妨设双曲线 C 的一条渐近线 bxay0 与圆 P 交于 M，N，因为MPN90，所以圆心 P 到 bxay 0 的距离为： a，即 2c22a 2 ac，e 1，解得 e 故选：A第 11 页（共 26 页）【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力9 （5 分）若 m，n 均为非负整数，在做 m+n 的加法时各位均不进位（例如：2019+1002119，则称（m，n）为“简单的”有序对，而 m+n 称为有序对（m ，n）的值，那么值为 2019 的“简单的”有序对的个数是（ ）A100 B96 C60 D
20、30【分析】值为 2019 的“简单的”有序对的个数是 3121060【解答】解：值为 2019 的“简单的”有序对的个数是 3121060故选：C【点评】本题考查了排列，组合及简单计数问题，属中档题10 （5 分）若 x1 是方程 xex1 的解，x 2 是方程 xlnx1 的解，则 x1x2 等于（ ）A1 B1 Ce D【分析】将方程方程 xex1 的解、方程 xlnx1 的解转化为函数 ye x、函数 yln x 与函数 y 的图象的公共点 A，B 的横坐标来求解【解答】解：考虑到 x1，x 2 是函数 ye x、函数 yln x 与函数 y 的图象的公共点A，
21、B 的横坐标，而 A ，B 两点关于 yx 对称，因此 x1x21故选：A【点评】本题考查函数的与方程的综合问题，正确转化是解题的关键，属于中档题目11 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x+） （0， ， ）的部分图象如图所示，且 f（x ）上0，2 上恰有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是（ ）A ， ） B ， ） C （ ， D （ ， 【分析】根据条件先求出 的值，结合 f（x）上0，2上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式进行求解即可【解答】解：由题意知，f（ x）sin（x+） ，f （0） ， ，）第 12 页（共 26 页） ，x0， 2，
22、x+ 2+ ，f（x）上0 ， 2上恰有一个最大值和一个最小值， 2+ ， 故选：B【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出 的值，结合一个周期性函数最大值和最小值对应的范围是解决本题的关键12 （5 分）已知函数 f（x ）e xax1 在区间（1，1）内存在极值点，且 f（x）0 恰好有唯一整数解，则 a 的取值范围是（其中 e 为自然对数的底数，e2.71828） （ ）A ，e ）B ，1）（e1， C （e 1，e ）D ， ）（e 1，e ）【分析】推导出 f（x ）e xa0 在（1，1）上有解，从而 ae，e xax+1 有唯一整数解设 g（x）e x，h（x
23、）ax +1，当 1ae 时，唯一整数解为 1，应满足当 a1 时，唯一整数解为1，应满足 由此能求出 a 的取值范围【解答】解：由题意得，f （x ）e xa0 在（1，1）上有解，f（x）在（ 1，1）上单调递增， ae，又f（x）0 恰好有唯一整数解，即 exax+1 有唯一整数解设 g（x）e x，h（x ）ax +1，结合题意可知：若 1 ae，则唯一整数解为 1，第 13 页（共 26 页）故应满足e1a ，故 e1ae；若 a1 ，则唯一整数解为1，故应满足 a ，故 a 由得 a 的取值范围为 ， ）（e1，e） 故选：D【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查利用导数研究函
24、数极值点问题、利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，是难题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知二项式（ax ） 6 的展开式中的常数项为160，则 a 2 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160 求得实数 a 的值【解答】解：二项式（ax ） 6 的展开式中的通项公式为 Tr+1 （1）ra6r x62r ，令 62r0，求得 r3，可得常数项为 a3160，a2，故答案为：2【点评】本题主要考查二项式定理的应
25、用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题第 14 页（共 26 页）14 （5 分）若实数 x，y 满足不等式组 则目标函数 z3xy 的最大值为 12 【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值【解答】解：作出实数 x，y 满足不等式组 可行域如图，由，解得 A（4，0）目标函数 y3x z，当 y3xz 过点（4，0）时，z 有最大值，且最大值为 12故答案为：12【点评】本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查15 （5 分）在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥 PABCD 为阳马，侧棱 PA底面 AB
26、CD，且PA 3，BCAB4，设该阳马的外接球半径为 R，内切球半径为 r，则 第 15 页（共 26 页）【分析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出 R ，内切球 O1 在侧面 PAD 内的正视图是PAD 的内切圆，从而内切球半径为 r1，由此能求出 【解答】解：四棱锥 PABCD 为阳马，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA3，BC AB 4，设该阳马的外接球半径为 R，该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，（2R） 2AB 2+AD2+AP2 16+16+941，R ，侧棱 PA底面 ABCD，且底面为正方形，内切球 O1 在侧面 PAD 内
27、的正视图是PAD 的内切圆，内切球半径为 r1，故 故答案为： 【点评】本题考查阳马的外接球半径和内切球半径之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 c2b，ABC 的面积为 1，则 a 的最小值为 【分析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角形面积的应用和三角函数关系式的恒等变换和导数的应用求出结果【解答】解：设 A，则：a 2b 2+c22bc cos，b 2+4b24b 2cos，由于 b 2sin1，第 16 页（共 26 页）所以： 则：
28、，设 y ，所以： ，当 45cos 0 时，y 的最小值为 3，故 a 的最小值为 ，故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题，共60 分17 （12 分）已知数列a n中，a 11，S n 是数列a n的前 n 项和，且对任意的 r、tN *，都有 （ ） 2（）判断a n是否为等差数列，并证明你的结论
29、；（）若数列b n满足 2 n1 （n N*） ，设 Tn 是数列 bn的前 n 项和，证明：Tn6【分析】 （）在 （ ） 2 中取 rn，t1 求得 Snn 2然后求出当 n2 时的通项公式，已知 n1 时成立后得到数列a n的通项公式，即可得到结论；（）求得 2 n1 ，可得 bn（2n1）（ ） n1 ，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证【解答】解：（）由对任意的 r、t N*，都有 （ ） 2得 n 2，而 a11S 1，第 17 页（共 26 页）S nn 2当 n2 时，a nS nS n1 n 2（n1） 22n1，当 n1 时该式成立，a
30、n2n1，即 an+1a n2，可得数列a n的公差为 2，首项为 1 的等差数列；（）证明： 2 n1 ，可得 bn（2n1）（ ） n1 ，即有 Tn1（ ） 0+3（ ） 1+（2n1）（ ） n 1，Tn1（ ）+3 （ ） 2+（2n1）（ ） n，两式相减可得 Tn1+2 （ ）+（ ） 2+（ ） n1 （2n1）（ ） n1+2 （2n1）（ ） n，化简可得 Tn6（2n+3 ）（ ） n1 ，由 n 为自然数，可得（2n+3）（ ） n1 0，则 Tn6【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，以及数列的错位相减
31、法，考查化简运算能力，属于中档题18 （12 分）在 RtABC 中，ABC90，tanACB 已知 E，F 分别是 BC，AC的中点将CEF 沿 EF 折起，使 C 到 C的位置且二面角 CEFB 的大小是60连接 CB，CA，如图：（）求证：平面 CFA平面 ABC；（）求平面 AFC与平面 BEC所成二面角的大小第 18 页（共 26 页）【分析】 （）法一：由 AFC F设 AC的中点为 G，连接 FG设 BC的中点为H，连接 GH，EH从而BEC即为二面角 CEF B 的平面角BEC 60，推导出 EHBCEF C E，EFBE，从而 EF平面 BEC由 EFAB，得AB平面 BEC
32、，从而 ABEH，即 EHAB进而 EH平面 ABC推导出四边形EHGF 为平行四边形从而 FGEH，FG平面 ABC，由此能证明平面 AFC平面 ABC法二：以 B 为原点，在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，BE 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面 AFC平面 ABC（）以 B 为原点，在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，BE 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 AFC与平面 BEC所成二面角大小【解答】证明：（）证法一：F 是 AC 的中点，AFCF设 AC的中点为 G，连接 FG设
33、BC的中点为 H，连接 GH，EH由题意得 CEEF，BE EF，BEC即为二面角 CEFB 的平面角BEC60，E 为 BC 的中点BE EC ，BEC为等边三角形， EH BC EFC E ， EFBE，C EBEE，EF平面 BECEFAB，AB平面 BEC，ABEH，即 EHABBCAB B，EH平面 ABCG，H 分别为 AC，BC的中点GH FE，四边形 EHGF 为平行四边形FG EH，FG平面 ABC，又 FG平面 AFC平面 AFC平面 ABC （6 分）法二：如图，以 B 为原点，在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，BE 为 y 轴，BA为 z 轴，建立空间
34、直角坐标系，设 AB2则 A（0，0，2） ，B（0，0，0） ，F（0，2，1） ，E（0，2，0） ，C（ ，1，0） 设平面 ABC的法向量为 （x，y，z） ， （0，0，2） ， （ ） ， ，令 x1，则 （1， ，0） ，设平面 AFC的法向量为 （x，y，z） ，第 19 页（共 26 页）（0，2，1） ， （ ，1，2） ， ，取 y1，得 （ ，1，2） 0，平面 AFC平面 ABC （6 分）解：（）如图，以 B 为原点，在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，BE 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB2，则 A（0，0，2） ，B（0
35、，0，0） ，F（0，2，1） ，E（0，2，0） ，C（ ，1，0） 平面 BEC的法向量 （0，0，1） ， （8 分）设平面 AFC的法向量为 （x，y，z） ，（ ） ， （0，2，1） ， ，取 y1，得 （ ） （9 分）cos ， （10 分）由图形观察可知，平面 AFC与平面 BEC所成的二面角的平面角为锐角平面 AFC与平面 BEC所成二面角大小为 45 （12 分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）已知平面上一动点 P 到定点 F（ ，0）的距离与它到直线 x 的距
36、离第 20 页（共 26 页）之比为 ，记动点 P 的轨迹为曲线 C（）求曲线 C 的方程；（）设直线 l：y kx+m 与曲线 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若kOMkON ，求MON 面积的最大值【分析】 （）设 P（x ，y ） ，由题意列式，化简得曲线 C 的方程；（）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求原点 O 到直线 l 的距离，写出三角形面积公式，再由换元法结合二次函数求最值【解答】解：（）设 P（x，y ） ，则 ，化简得 ，曲线 C 的方程为 ；（）设 M
37、（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，联立 ，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m240，依题意，（8km） 24（4k 2+1） （4m 24）0，化简得：m 24k 2+1， +m2，若 kOMkON ，则 ，即 4y1y25x 1x2， 即（4k 25） （m 21）8k 2m2+m2（4k 2+1）0，化简得： ，|MN|第 21 页（共 26 页） 原点 O 到直线 l 的距离 d ， ，设 4k2+1t，由得，0m 2 ， k 2 ， t6， ， 当 时，即 k 时，MON 面积最大为 1【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求
38、最值，考查计算能力，是中档题20 （12 分）随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产运输销售一体化的直销供应模式，不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题（）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量 y（百斤）与使用堆沤肥料 x（千克）之间对应数据如表：使用堆沤肥料 x（千克） 2 4 5 6 8产量增加量 y（百斤） 3 4 4 4 5依据表中的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程；并根据所求线性回归方程 x+ ，估计如果每个有机蔬
39、菜大棚使用堆沤肥料 10 千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量 y 是多少百斤？（）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份 10元的价格销售到生鲜超市 “乐购”生鲜超市以每份 15 元的价格卖给顾客，如果当天前8 小时卖不完，则超市通过促销以每份 5 元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货） 该生鲜超市统计了 100第 22 页（共 26 页）天有机蔬菜在每天的前 8 小时内的销售量（单位：份） ，制成如下表格（注：x，yN *，且 x+y30）：每日前 8 个小时销售量（单位：份）15 16 17 18 19
40、20 21频数 10 x 16 16 15 13 y若以 100 天记录的频率作为每日前 8 小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进 17 份比购进 18 份的利润的期望值大时，求 x 的取值范围附：回归方程系数公式 【分析】 （）根据公式计算可得；（）求出概率可得分布列可数学期望【解答】解：（） 5， 4，xi2 2+42+52+62+82145， 0.3， 40.352.5，所以 y 关于 x 的线性回归方程为：y 0.3x+2.5，当 x10 时，y0.310+2.55.5 百斤，所以如果每个有机蔬菜大概使用肥料 10 千克，估计每个有机蔬菜大概产
41、量的增加量是 5.5 百斤（）若该超市一天购进 17 份这种有机蔬菜，Y 1 表示当天的利润（单位：元） ，那么Y1 的分布列为Y1 65 75 85PY1 的数学期望 E（Y 1）65 +75 +85 ，若该超市一天购进 18 份这种有机蔬菜，Y 2 表示当天的利润（单位：元） ，那么 Y2 的分布列为：第 23 页（共 26 页）Y2 60 70 80 90P Y2 的数学期望 E（Y 2）60 ，又购进 17 份比购进 18 份的利润的期望值大，故 ，求得x24，故求得 x 的取值范围是24，30） ，【点评】本题考查了离散型随机变量的期
42、望和方差，属中档题21 （12 分）已知 f（x 1）2ln （x1） +k（x1） （）判断当1k0 时 f（x）的单调性；（）若 x1，x 2（x 1x 2）为 f（x ）两个极值点，求证： xf（x 1）+f （x 2） （x+1）f（x） +22x【分析】 （）求函数的导数，结合函数单调性和导数的关系进行判断即可（）根据极值的定义得到 f（x ）0 有两个不相等的正实数根 x1，x 2，利用根与系数之间的关系进行转化证明即可【解答】解：（）因为 f（ x1）2ln （x1）+ （x1） ，所以 f（x）2 lnx+ ， （x0） f（x ） + ，当1k0 时，（4+k） 216k （
43、k+8）0，2x 2+（4+k）x+20 恒成立于是，f（x）在定义域上为单调增函数（）证明：f（x ） + ，由题设知，f（x ）0 有两个不相等的正实数根 x1，x 2，则 ，即 ，得 k8而 f（x 1）+f（x 2）2lnx 1+ +2lnx2+ 2ln （x 1x2）+ k（ + ）第 24 页（共 26 页）2ln（x 1x2）+k k，又 k，故欲证原不等式等价于证明不等式： f（x）2（x1）也就是要证明：对任意 x0，有 lnxx 1令 g（x）lnxx +1（x 0） ，由于 g（1）0，并且 g （x） 1，当 x1 时，g（x ）0，则 g（x ）在（1，+）上为减函数
44、；当 0x1 时，g（x ）0，则 g（x ）在（0，1）上为增函数则 g（x）在（0，+）上有最大值 g（1）0，即 g（x）0，故原不等式成立【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数的单调性极值和导数之间的关系进行转化是解决本题的关键考查学生的运算能力三、 （二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2（）求直线 l 的普通方程和曲线 C
45、的直角坐标方程；（）设 P 为曲线 C 上的点， PQl ，垂足为 Q，若|PQ|的最小值为 2，求 m 的值【分析】 （）消去参数 t 可得直线 l 的普通方程，（）利用曲线 C 的参数方程设点 P，根据点到直线距离公式求出| PQ|，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得 m【解答】解（）因为曲线 C 的极坐标方程为 2 ，即 2+2sin24，将 2 x2+y2，sin y 代入上式并化简得 + 1，所以曲线 C 的直角坐标方程为 + 1，直线 l 的普通方程为 x m0第 25 页（共 26 页）（）设 P（2cos， sin） ，由点到直线的距离公式得|PQ| ，由题意知 m0，当 m0 时，|PQ| min 2，得 m2 ，当 m0 时，|PQ|min ，得 m2 2 ；所以 m2 +2 或 m2 2 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 2a
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