1、2019 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设全集 UR，集合 Mx|1x 4 ，N x|log 2（x2）1，则M（ UN）（ ）A Bx|1x2 C x|4x3 D x|4x22 （5 分）已知复数 z 满足 z（2i）1+i ，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型结构的满
2、意程度，用分层抽样的方法抽取 30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）A240，18 B200，20 C240，20 D200，184 （5 分）已知函数 f（x ） ，则 f（ 3）（ ）A B C1 D75 （5 分）在ABC 中，BAC60，AB3，AC 4，点 M 满足 2 ，则等于（ ）A7 B8 C9 D106 （5 分）若实数 x，y 满足 ，如果目标函数 zxy 的最大值为 3，则实数a 的值为（ ）A1 B2 C3 D47 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
3、第 2 页（共 25 页）A8 B8 C8 D88 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 N2018，则输出的结果是（ ）A2018 B2018 C1009 D10099 （5 分）已知点 M（0， 1）在抛物线 C：x 22py（p0）的准线上，F 为 C 的焦点，过 M 点的直线与 C 相切于点 N，则FMN 的面积为（ ）A1 B2 C D410 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2019x+ ）+cos（2019 x ）的最大值为 M，若存在实数 m，n，使得对任意实数 x 总有 f（m ）f（x）f（n）成立，则 M|mn|的最小值为（
4、）A B C D11 （5 分）已知 A（x，y）|x2|+|y 2|2，0x2 （x，y）|（x2）2+（y 2） 24，x2，若 P（x，y） A，且使 zx 2+y22 x2 y2a 的最大值为 b， （a0，b0） ，则 的最小值为（ ）A4 B2 C D12 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，A、B 分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点 O 对称的两点，且直线 AB 的斜率为2 M、N 分别为 AF2、BF 2 的中点，若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）第 3 页（共 25 页）A B C
5、D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分） （ ） 10 的展开式中 x2 的系数是 14 （5 分）在ABC 中，B120，BC 1，且ABC 的面积为 ，则 AC 15 （5 分）已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AB3，PAB 是等边三角形，且平面 PAB平面 ABCD，若四棱锥 PABCD 的外接球的表面积为 28，则 AD 16 （5 分）已知函数 f（x ） ，若 f（x）的所有零点之和为2，则实数 m 的取值范围为
6、三、解答题：共 70 分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17 题-21 题为必考题，,每个试题考生都必须作答22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）已知数列a n和b n满足 a1a2a3an2 （nN*） ，若数列a n为等比数列，且 a12，b 3b 2+3（）求数列a n和b n的通项公式；（）设 cna n+ （nN*） ，求数列c n的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 交于点 F，侧面 SBC 是边长为 2 的等边三角形， E 为 SB 的中点（）证明：SD平面 AEC；（
7、）若侧面 SBC底面 ABCD，求斜线 AE 与平面 SBD 所成角的正弦值19 （12 分）中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道某机构随机抽取了年龄介于 10 岁到 60 岁的消费者 200 人，对他们的主要购物方式进行问卷调査现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如第 4 页（共 25 页）图表：主要购物方式年龄阶段网络平台购物 实体店购物 总计40 岁以下 7540 岁或 40 岁以上 55总计（）根据已知条件完成上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？（）用分层抽样的方
8、法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取 8 人，然后再从这 8名消费者抽取 5 名进行座谈设抽到的消费者中 40 岁以下的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望附：参考公式：K 2临界值表：P（K 2k 0） 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820 （12 分）已知点 E 在椭圆 C： 1（ab0）上，以 E 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点 F2，与 y 轴相交于 A，B 两点，且ABE 是边长为 2 的正三角形（）求椭圆 C 的方程；（）已知圆 O：x 2+y2 ，设圆 O 上任意一点 P
9、 处的切线交椭圆 C 于 M，N 两点，试判断|PM| |PN|是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由21 （12 分）设函数 f（x ）2x2alnx，aR（）讨论函数 f（x ）的单调性；第 5 页（共 25 页）（）设 a0，若存在正实数 m，使得对任意 x（1，m）都有|f（x）|2lnx 恒成立，求实数 a 的取值范围选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知极坐标系中，点 M（4 ， ） ，曲线 C 的极坐标方程为 2，点 N 在曲线 C 上运动，以极点为坐标原点，
10、极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 1 的参数方程为 （t 为参数） （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的参数方程；（）求线段 MN 的中点 P 到直线 l 的距离的最小值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +1|+2|x1| （）求不等式 f（x ）3 的解集；（）若函数 yf（x）的图象最低点为（m，n） ，正数 a，b 满足 ma+nb2，求的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
11、的1 （5 分）设全集 UR，集合 Mx|1x 4 ，N x|log 2（x2）1，则M（ UN）（ ）A Bx|1x2 C x|4x3 D x|4x2【分析】由全集 U 及 M 求出 N 的补集，找出 N 补集与 M 的交集即可【解答】解：全集 UR，集合 Mx|1x 4 ，N x|log 2（x2）1x|2 x4 ， UN x|x2 或 x4 ，则（ UN）M x|1x2，故选：B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2 （5 分）已知复数 z 满足 z（2i）1+i ，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象
12、限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z（2i） 1+i，得 z ，复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） ，在第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）第 7 页（共 25 页）A240，18 B200，20 C240，20 D200
13、，18【分析】利用扇形统计图和分层抽样的性质能求出样本容量；由扇形统计图、分层抽样和条形统计图能求出抽取的户主对四居室满意的人数【解答】解：样本容量 n（250+150+400）30%240，抽取的户主对四居室满意的人数为：15030%40%18故选：A【点评】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，考查扇形统计图、分层抽样和条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）已知函数 f（x ） ，则 f（ 3）（ ）A B C1 D7【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（3）f （ 1）f（1） ，又由 f（1）2 111，即可得答案【解答】解：根据
14、题意，函数 f（x ） ，当 x1 时，f（x）f（x +2） ，则 f（3）f（1）f（1） ，又由 f（1）2 111，则 f（3）1；故选：C【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的性质，属于基础题5 （5 分）在ABC 中，BAC60，AB3，AC 4，点 M 满足 2 ，则等于（ ）A7 B8 C9 D10第 8 页（共 25 页）【分析】利用已知条件，表示出向量则 ，然后求解向量的数量积【解答】解：在ABC 中，BAC 60，AB3，AC 4，点 M 满足 2 ，可得 + ，则 （ + ） + 3+ 7故选：A【点评】本题考查向量的数量积的运算，向量的几何中的应用，
15、是基本知识的考查6 （5 分）若实数 x，y 满足 ，如果目标函数 zxy 的最大值为 3，则实数a 的值为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】先画出可行域，结合图形分析出目标函数 zxy 取得最大值时对应点的坐标，把其代入目标函数再结合目标函数 zxy 的最大值为 3，即可求出实数 a 的值【解答】解：实数 x，y 满足 的可行域如图，由图可知，当 xa+1，y 1 时，目标函数 zxy 取得最大值，即 3a+1+1 ，解得：a1故选：A【点评】本题主要考查简单线性规划的应用以及数形结合思想的应用在求目标函数的最值时，一般是在可行域的特殊点处，所以一般在解选择和填空题时，常用特殊
16、点代入第 9 页（共 25 页）法7 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A8 B8 C8 D8【分析】根据三视图知该几何体是正方体截去一个 球体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为 2 的正方体，截去一个 球体，如图所示；该几何体的体积为 V2 3 238 故选：B【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 N2018，则输出的结果是（ ）A2018 B2018 C1009 D1009【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并
17、输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案第 10 页（共 25 页）【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S12+34+2017 2018 的值，由于 S12+34+ +20172018（12）+（34）+（56）+（20172018）1009故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9 （5 分）已知点 M（0， 1）在抛物线 C：x 22py（p0）的准线上，F 为 C 的焦点，过 M 点的直线与 C 相切于点 N，则FMN 的面积为（ ）A
18、1 B2 C D4【分析】利用已知条件求出 P，得到抛物线方程，利用函数的导数，求出取得的横坐标，然后求解三角形的面积【解答】解：点 M（0，1）在抛物线 C：x 22py（p0）的准线上，可得 p2，抛物线方程为：x 24y，即 y ，过 M 点的直线与 C 相切于点 N，设 N（a，f（a） ） ，y ，所以 ，解得 a2，则FMN 的面积为： 2故选：B【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力10 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2019x+ ）+cos（2019 x ）的最大值为 M，若存在实数 m，n，使得对任意实数 x 总有 f
19、（m ）f（x）f（n）成立，则 M|mn|的最小值为（ ）A B C D【分析】f（x） sin（2019x+ ）+cos（2019x ）2sin （2019x+ ） ，故M2，又对任意实数 x 总有 f（m ）f（x ）f（n）成立，|mn|的最小值为函数f（x）2sin（2019x + ）最小正周期的一半，可得第 11 页（共 25 页）【解答】解：f（x ）sin（2019x+ ）+cos（2019x ） ，（2019x+ ）（2019x ） ，（2019x ）（2019x+ ） ，cos（2019x ）cos （2019x+ ） sin （2019x+ ） ，f（x）2s
20、in（2019x + ） ，f （x）的最大值为 2，即 M2，要使 M| mn|最小，M2，故只须|mn|的最小，对任意实数 x 总有 f（m）f （x）f（n）成立，|m n |的最小值为函数 f（x）2sin（2019x + ）周期的一半，即|m n |的最小值为： ，则 M| mn|的最小值为：2 故选：B【点评】本题考查了三角恒等变换，三角函数的性质等知识，属于基础题11 （5 分）已知 A（x，y）|x2|+|y 2|2，0x2 （x，y）|（x2）2+（y 2） 24，x2，若 P（x，y） A，且使 zx 2+y22 x2 y2a 的最大值为 b， （a0，b0） ，则 的最小
21、值为（ ）A4 B2 C D【分析】根据题意，分析集合 A 的几何意义，作出集合 A 表示的区域，分析可得zx 2+y22 x2 y2 a（x ） 2+（y ） 26a，设 t，结合图形分析其几何意义可得 t 的最大值，进而可得 z 的最大值，即可得 2ab，即 a+b2，变形可得（a+1）+ b3，又由 （a+1）+ b（ ） 2+ + ，结合基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，A（x，y）|x2|+|y 2|2，0x2 （x，y）|（x 2） 2+（y 2） 24，x2 ，设右半部分半圆的圆心为 M（ 2，2） ，第 12 页（共 25 页）其几何意义为如图的区域
22、：zx 2+y22 x2 y2 a（x ） 2+（y ） 26a，设 t ，其几何意义为区域中任意一点到点（ ， ）的距离，则 zt 26a，设点（ ， ）为点 N，则 t 的最大值为|MN|+22 ，故 z 的最大值为（2 ） 26a2a，则有 2ab，即 a+b2，变形可得（a+1）+ b3，则 （a+1）+ b（ ） 2+ + 2+2 ，故 的最小值为 ，故选：C【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及基本不等式的性质以及应用，关键是求出集合 A 以及分析 Z 的几何意义，属于基础题12 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，A、B 分别是双曲线左、右两
23、支上关于坐标原点 O 对称的两点，且直线 AB 的斜率为2 M、N 分别为 AF2、BF 2 的中点，若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A B C D第 13 页（共 25 页）【分析】设 B（x 0，2 x0） ，表示出 M，N 的坐标，根据 OMON 得出 x0 与 c 的关系，代入双曲线方程化简即可得出离心率【解答】解：设 B（x 0，2 x0） （x 00） ，则 A（x 0， 2 x0） ，F 2（c，0） ，M，N 分别为 AF2、BF 2 的中点，M（ ， x0） ，N（ ， x0） ，原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，OM ON
24、， 0， 2x 020，即 x0 ，故 B（ ， ） ，把 B（ ， ）代入双曲线方程 1 可得： 1，c 2（c 2a 2）8c 2a29a 2（ c2a 2）0，9a 418a 2c2+c40，即 e4 18e2+90，解得 e29+6 或 e296 （舍） e + 故选：C【点评】本题考查了双曲线的简单性质，离心率计算，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分） （ ） 10 的展开式中 x2 的系数是 45 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2的系数【解答】解：（ ） 10 的展开式的通项
25、公式为 Tr+1 ，第 14 页（共 25 页）令 2，求得 r2，故展开式中 x2 的系数是 45，故答案为：45【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14 （5 分）在ABC 中，B120，BC 1，且ABC 的面积为 ，则 AC 【分析】由已知利用三角形的面积公式可求 AB 的值，进而根据余弦定理可求 AC 的值【解答】解：B120，BC1，且ABC 的面积为 ABBCsinB，解得：AB2，由余弦定理可得：AC 故答案为： 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化
26、思想，属于基础题15 （5 分）已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AB3，PAB 是等边三角形，且平面 PAB平面 ABCD，若四棱锥 PABCD 的外接球的表面积为 28，则 AD 4 【分析】利用外接球的表面积为 28，求出四棱锥 PABCD 的外接球的半径，利用勾股定理，建立方程，即可求出 AD【解答】解：如图，O 是四棱锥 PABCD 的外接球（半径为 R）的球心，则|OA|OP|R设|OM| h，ADa，外接球的表面积为 28， R ， ，解得：h ，即 a4第 15 页（共 25 页）故答案为：4【点评】本题考查外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确建立方程是关
27、键，是中档题16 （5 分）已知函数 f（x ） ，若 f（x）的所有零点之和为2，则实数 m 的取值范围为 （ 2e2，e 4+1 【分析】由分段函数的零点个数问题得：令 x22x0（x0） ，解得 x2，又函数f（x） ，若 f（x）的所有零点之和为2，则方程ex+4+ex m 0（x0）的解之和为4，由函数图象的对称性得：g（x）e x+4+ex m（x0） ，则 g（4x）g（x） ，即yg（x）的图象关于直线 x 2 对称，由复合函数的单调性的：函数 yg（x）在（，2）为减函数，在（2，0 为增函数，所以 g（x） ming（2）2e 2m ，要方程 ex+4+ex m0（x0）的
28、解之和为4，则需 ，解得：2e 2m e 4+1，得解【解答】解：令 x22x 0（x 0） ，解得 x2，又函数 f（x） ，若 f（x）的所有零点之和为2，则方程 ex+4+ex m0（x0）的解之和为4，设 g（x）e x+4+ex m（x0） ，则 g（4x）g（x ） ，即 yg（x）的图象关于直线 x2 对称，第 16 页（共 25 页）由复合函数的单调性可得：函数 yg（x）在（，2）为减函数，在（2，0 为增函数，所以 g（x） maxg（2）2e 2m ，要方程 ex+4+ex m0（x0）的解之和为4，则需 ，解得：2e 2me 4+1，故答案为：（2e 2，e 4+1【点
29、评】本题考查了分段函数的零点个数问题、函数图象的对称性及复合函数的单调性，属难度较大的题型三、解答题：共 70 分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17 题-21 题为必考题，,每个试题考生都必须作答22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）已知数列a n和b n满足 a1a2a3an2 （nN*） ，若数列a n为等比数列，且 a12，b 3b 2+3（）求数列a n和b n的通项公式；（）设 cna n+ （nN*） ，求数列c n的前 n 项和 Tn【分析】 （I）由条件可判断a n的公比 q0，计算 a3 可得 q2，从而得出通项公式；（II）分别使用等比数列的
30、求和公式和裂项法求和得出c n的前 n 项和【解答】解：（I）设a n的公比为 q，则 an2q n1 ，a 1a2a3an2 nq0+1+2+（n1） 2 nq ，又 a1a2a32 ，a 1a22 ，a 32 2 38，由 a10，a 1a22 0 可得 a20，故 q0，又 q2 4，故 q2a n2 n，b nn+ （II）c n2 n+ 2 n+2（ ） ，T n2+2 2+23+2n+2（1 + + ） +2（1 ）第 17 页（共 25 页）2 n+1 【点评】本题考查了数列通项公式的求法，数列求和，属于中档题18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是正
31、方形，对角线 AC 与 BD 交于点 F，侧面 SBC 是边长为 2 的等边三角形， E 为 SB 的中点（）证明：SD平面 AEC；（）若侧面 SBC底面 ABCD，求斜线 AE 与平面 SBD 所成角的正弦值【分析】 （）连结 EF，推导出 EFBS，由此能证明 SD平面 AEC（）取 BC 的中点为 O，AD 的中点为 M，连结 MO，则 MOBC，推导出 OM面SBC，OSBC，以 O 为原点，OS ，OC ，OM 分别为 x， y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出斜线 AE 与平面 SBD 所成角的正弦值【解答】证明：（）连结 EF，由题意得 EF 是BDS 的中位线，E
32、FBS ，SD平面 AEC，EF 平面 AEC，SD平面 AEC解：（）取 BC 的中点为 O，AD 的中点为 M，连结 MO，则 MO BC，侧面 SBC底面 ABCD，OM 面 SBC，又 OSBC，以 O 为原点， OS，OC，OM 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，1，2） ，E（ ， ，0） ，S（ ，0，0） ，B（0，1，0） ，D（0，1，2） ， （ ， ） ， （0，2，2） ， （ ） ，设平面 BDS 的法向量 （x，y，z） ，第 18 页（共 25 页）则 ，取 x1，得 （1， ） ，设斜线 AE 与平面 SBD 所成角的正弦值为：sin|s
33、in（ ）| |cos| 斜线 AE 与平面 SBD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道某机构随机抽取了年龄介于 10 岁到 60 岁的消费者 200 人，对他们的主要购物方式进行问卷调査现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如图表：主要购物方式年龄阶段网络平台购物 实体店购物 总计40 岁以下 7540 岁或 40 岁以上 55总计（）根据已知条件完成
34、上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？（）用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取 8 人，然后再从这 8名消费者抽取 5 名进行座谈设抽到的消费者中 40 岁以下的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望第 19 页（共 25 页）附：参考公式：K 2临界值表：P（K 2k 0） 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【分析】 （）根据直方图可知 40 岁以下的消费者共有 120 人，40 或 40 岁以上的消费者有 80 人，作出
35、列联表求出 K2 的观测值：K ，从而可以在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关（）从通过网络平台购物的消费者中随机抽取 8 人，其中 40 岁以下有 6 人，40 岁或40 岁以上的有 2 人，从这 8 名消费者中抽取 5 人进行答谢，设抽到的消费者中 40 岁以下的人数为 X，则 X 的可能取值为 3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X ） 【解答】解：（）根据直方图可知 40 岁以下的消费者共有：200（0.1+0.2+0.3）120 人，40 或 40 岁以上的消费者有 80 人，故根据数据完成列联表如下：主要购物方式年龄
36、阶段网络平台购物 实体店购物 总计40 岁以下 75 45 12040 岁或 40 岁以上 25 55 80总计 100 100 200依题意 K2 的观测值：K ，可以在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关第 20 页（共 25 页）（）从通过网络平台购物的消费者中随机抽取 8 人，其中 40 岁以下有 6 人，40 岁或 40 岁以上的有 2 人，从这 8 名消费者中抽取 5 人进行答谢，设抽到的消费者中 40 岁以下的人数为 X，则 X 的可能取值为 3，4，5，P（X3） ，P（X4） ，P（X5） ，则 X 的分布列为：X 3 &nbs
37、p;4 5P E（X） 3.75【点评】本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20 （12 分）已知点 E 在椭圆 C： 1（ab0）上，以 E 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点 F2，与 y 轴相交于 A，B 两点，且ABE 是边长为 2 的正三角形（）求椭圆 C 的方程；（）已知圆 O：x 2+y2 ，设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于 M，N 两点，试判断|PM| |PN|是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是定值，请
38、说明理由【分析】 （）由题意可得 EF2x 轴，求得 E 的坐标，由等边三角形的定义和性质可得a，b 的方程，解方程可得椭圆方程；（）讨论当过点 P 且与圆 O 相切的切线的斜率不存在，当过点 P 且与圆 O 相切的切线的斜率存在，可设切线方程为 ykx+m，结合向量的数量积的性质，垂直的条件：数量积为 0，以及直角三角形的射影定理可得所求定值第 21 页（共 25 页）【解答】解：（）由题意可得 EF2x 轴，可得 E（c， ） ，ABE 是边长为 2 的正三角形，可得 c 2 ，2，且 a2b 23，解得 a3，b ，可得椭圆方程为 + 1；（）当过点 P 且与圆 O 相切的切线的斜率不存
39、在，可设切线方程为 x ，可得 M（ ， ） ，N（ ， ） ， 0，可得 OMON，此时|PM| |PN|OP| 2r 2 ；当过点 P 且与圆 O 相切的切线的斜率存在，可设切线方程为 ykx +m，M（x 1， y1） ，N（x 2，y 2） ，由直线和圆相切可得 ，即 5m218（1+ k2） ，联立直线方程 ykx+m 和椭圆方程 2x2+3y218，可得（2+3k 2）x 2+6kmx+3m2180，即有0，x 1+x2 ，x 1x2 ， x 1x2+y1y2x 1x2+（kx 1+m） （kx 2+m）（1+k 2）x 1x2+km（x 1+x2） +m2（1+k 2） +km（
40、 ）+m 20，可得 OMON，此时|PM|PN| |OP| 2r 2 综上可得|PM| |PN|为定值 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在椭圆中的应用，并结合向量运算一起考查，考查计算能力，属于难题21 （12 分）设函数 f（x ）2x2alnx，aR（）讨论函数 f（x ）的单调性；第 22 页（共 25 页）（）设 a0，若存在正实数 m，使得对任意 x（1，m）都有|f（x）|2lnx 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出函数的单调区间，（）分类讨论，若 0a2，|f （x）|2lnx 等
41、价于 2x 2（a+2）lnx0，构造函数，再求导，求出函数的最值，即可判断，若 a2，|f（x）|2lnx 2x2（a+2）lnx0，构造函数，再求导，求出函数的最值，即可判断【解答】解：（）f（ x）2 ，x0，若 a 0，则 f（x ）0，故 f（x）在（0，+）为增函数，若 a 0，则 f（x ）0，即 x ，f（x）0，即 0x ，函数 f（x）在（ 0， ）为减函数，在（ ，+）为增函数，（） 若 0 a2，则 1，由（）知 f（x）在（1 ，+）为增函数，f（1）0，f（x）0，对 x（1，+ ）恒成立，则|f（ x）| 2lnx 2x2（a+2）lnx0，设 g（x）2x2（a
42、+2）lnx，x 1，则|f（ x）| 2lnx 等价于 g（x）0，g（x）2 ，当 g（x）0 时，即 x ，当 g（x ）0 时，即 1x ，g（x）在（1， ）递减，在（ ，+）递增，而 g（1）0，显然当 x（1， ）时，g（x）0，故不存在正实数 m，使得对任意 x（1，m ）都有|f （x）|2lnx 恒成立，故 0a2 不满足条件若 a 2，则 1，由（）知，f（x）在（1， ）为减函数，在（ ，+）为增函数，f（1）0，第 23 页（共 25 页）当 x（1， ）时，f（x ） 0，此时| f（x ）|2lnx f（x）2lnx2x2+（2a）lnx0，设 h（x）2x2+（
43、2a）lnx，x （1， ） ，则|f（ x）| 2lnx 等价于 h（x）0，h（x）2+ ，x（1， ） ，（i）若 2a4，x 1，2x+2a0，h（x）在（1， ）为增函数，h（1）0，x（1， ） ，h（x ）0，故不存在正实数 m，使得对任意 x（1，m ）都有|f （x）|2lnx 恒成立，故 2a4 不满足条件（ii）若 a4，易知函数 h（x）在（1， ）递减，在（ ， ）递增，而 h（1）0，x（1， ） ，h（x ） 0，故存在正实数 m（可取 m ） ，使得对任意 x（1，m）都有| f（x）|2lnx 恒成立，故 a4 满足条件综上所述 a4【点评】本题考查了利用导数
44、研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知极坐标系中，点 M（4 ， ） ，曲线 C 的极坐标方程为 2，点 N 在曲线 C 上运动，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 1 的参数方程为 （t 为参数） （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的参数方程；（）求线段 MN 的中点 P 到直线 l 的距离的最小值【分析】 （）消去参数 t 可得直线 l 的普通
45、方程，先把曲线 C 化成普通方程，再化成参第 24 页（共 25 页）数方程；（）利用点到直线的距离公式和三角函数的性质可得【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线的普通方程为xy60，曲线 C 的极坐标方程为 2+22sin2120，曲线 C 的直角坐标方程为 x2+3y2120，即 + 1曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （）设 N（2 cos，2sin） ， （0 2） ，点 M 的极坐标为（4 ， ）化为直角坐标为（4，4） ，则 P（ cos+2，sin +2） ，点 P 到直线 l 的距离 d ，当 cos（+ ）1 时，等号成立点 P 到 l 的距离得最小值为 2 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +1|+2|x1| （）求不等式 f（x ）3 的解集；（）若函数 yf（x）的图象最低点为（m，n） ，正数 a，b 满足 ma+nb2，求的取值范围【分析】 （）分段去绝对值解不等式组，再相并；（）根据分段函数的图象得到最低点为（1，2） ，可得 a+2b2，再变形+ （a+2b） （ + ） （4+ + ）后用基本不等式可得【解答】解：（）当 x1 时，f （x）3x+13，得 x ，所以 x；当1x1
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