2019年河南省中考数学试卷（含答案解析 ）

1、2019年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。1 （3 分） 的绝对值是（  ）A B C2 D22 （3 分）成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科学记数法表示为（  ）A4610 7 B4.610 7 C4.610 6 D0.4610 53 （3 分）如图，ABCD，B75，E27，则D 的度数为（  ）A45 B48 C50 D584 （3 分）下列计算正确的是（  ）A2a+3a6a B （3a） 26a 2C （x y） 2x

2、2y 2 D3 25 （3 分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（  ）A主视图相同 B左视图相同C俯视图相同 D三种视图都不相同6 （3 分）一元二次方程（x+1） （x1）2x +3 的根的情况是（  ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根7 （3 分）某超市销售 A，B，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1元某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（  ）第 2 页（共 33 页）A1.95 元 B

3、2.15 元 C2.25 元 D2.75 元8 （3 分）已知抛物线 yx 2+bx+4 经过（2，n）和（4，n）两点，则 n 的值为（  ）A2 B4 C2 D49 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D 90，AD 4，BC 3分别以点A，C 为圆心，大于 AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交AC 于点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（  ）A2 B4 C3 D10 （3 分）如图，在OAB 中，顶点 O（0，0） ，A（ 3，4） ，B（3，4） ，将OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺

4、时针旋转，每次旋转 90，则第 70 次旋转结束时，点D 的坐标为（  ）A （10，3） B （3，10） C （10，3） D （3，10）第 3 页（共 33 页）二、填空题（每小题 3 分，共 15 分。 ）11 （3 分）计算： 2 1     12 （3 分）不等式组 的解集是     13 （3 分）现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色外完全相同从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是     14 （3 分）如图，在扇形

5、 AOB 中，AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且OCOA若 OA2 ，则阴影部分的面积为       15 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BCa，点 E 在边 BC 上，且 BE a连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为     三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16 （8 分）先化简，再求值：（ 1） ，其中 x 17 （9 分）如图，在ABC 中，BABC ，ABC90 ，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，点 E 是

6、 上不与点 B，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G（1）求证：ADFBDG；（2）填空：若 AB4，且点 E 是 的中点，则 DF 的长为     ；第 4 页（共 33 页）取 的中点 H，当EAB 的度数为     时，四边形 OBEH 为菱形18 （9 分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下：a七年级成绩频数分布直方图：b七年级成绩在 70x80 这一组的是：70  

7、72   74   75   76   76   77   77   77   78   79c七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级 平均数 中位数七 76.9 m八 79.2 79.5根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有     人；（2）表中 m 的值为      ；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；第 5 页

8、（共 33 页）（4）该校七年级学生有 400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数19 （9 分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为 60，求炎帝塑像 DE 的高度（精确到 1m参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67， 1.73）20 （9 分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买 3 个 A 奖品和 2个 B 奖品共

9、需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元（1）求 A，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由21 （10 分）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具对于 m 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为 x，y，由矩形的面积为 4，得 xy4，即 y ；由周长为m，得 2（x+y）m，即 yx+ 满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第   &

10、nbsp; 象限内交点的坐标（2）画出函数图象函数 y （x0）的图象如图所示，而函数 yx+ 的图象可由直线 yx 平移得到请在同一直角坐标系中直接画出直线 yx（3）平移直线 yx ，观察函数图象第 6 页（共 33 页）当直线平移到与函数 y （x0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长 m 的值为     ；在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取值范围（4）得出结论若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为     22 （10 分）在ABC 中，CACB ，ACB 点 P 是平面内不与点 A，

11、C 重合的任意一点连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP（1）观察猜想如图 1，当 60时， 的值是      ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是     （2）类比探究如图 2，当 90时，请写出 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明理由（3）解决问题当 90时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点C，P，D 在同一直线上时 的值第 7 页（共 33 页）23 （11 分）如图，抛物线 yax

12、2+ x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C直线 yx2 经过点 A，C （1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m当 PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标；作点 B 关于点 C 的对称点 B'，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B到该直线的距离都相等当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线l：ykx+b 的解析式 （k ，b 可用含 m 的式子表示）第 8 页（共 33 页）2019 年河南省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题

13、3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。1 （3 分） 的绝对值是（  ）A B C2 D2【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可【解答】解：| | ，故选：B【点评】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0 是解题的关键2 （3 分）成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科学记数法表示为（  ）A4610 7 B4.610 7 C4.610 6 D0.4610 5【分析】本题用科学记数法的知识即可解答【解答】解：0.000

14、00464.610 6 故选：C【点评】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与 0的个数的关系要掌握好3 （3 分）如图，ABCD，B75，E27，则D 的度数为（  ）A45 B48 C50 D58【分析】根据平行线的性质解答即可第 9 页（共 33 页）【解答】解：ABCD，B1，1D+ E，DBE7527 48，故选：B【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答4 （3 分）下列计算正确的是（  ）A2a+3a6a B （3a） 26a 2C （x y） 2x 2y 2 D3 2【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘

15、方与积的乘方的运算法则进行运算即可；【解答】解：2a+3a5a，A 错误；（3a） 29a 2，B 错误；（xy） 2x 2 2xy+y2，C 错误；2 ，D 正确；故选：D【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键5 （3 分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（  ）A主视图相同 B左视图相同C俯视图相同 D三种视图都不相同【分析】根据三视图解答即可第 10 页（共 33 页）【解答】解：图的三视图为：图的三视图为：故选：A【点评】本题考查

16、了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力6 （3 分）一元二次方程（x+1） （x1）2x +3 的根的情况是（  ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【分析】先化成一般式后，在求根的判别式【解答】解：原方程可化为：x 22x40，a1，b2，c4，（2） 241（4）200，方程由两个不相等的实数根故选：A【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键7 （3 分）某超市销售 A，B，C ，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1元某天的销售情况如图所示，则

17、这天销售的矿泉水的平均单价是（  ）A1.95 元 B2.15 元 C2.25 元 D2.75 元【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是第 11 页（共 33 页）510%+315%+255%+120%2.25（元） ，故选：C【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义8 （3 分）已知抛物线 yx 2+bx+4 经过（2，n）和（4，n）两点，则 n 的值为（  ）A2 B4 C2 D4【分析】根据（2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴 x1，再由对称轴的 x即可求解；【解答】解：抛物线 yx 2+bx+

18、4 经过（2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴 x1， 1，b2；yx 2+2x+4，将点（2，n）代入函数解析式，可得 n4；故选：D【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键9 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D 90，AD 4，BC 3分别以点A，C 为圆心，大于 AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交AC 于点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（  ）A2 B4 C3 D【分析】连接 FC，根据基本作图，可得 OE 垂直平分 AC，由垂直平分线的性质得出AFFC再

19、根据 ASA 证明FOABOC，那么 AFBC3，等量代换得到第 12 页（共 33 页）FCAF3，利用线段的和差关系求出 FDADAF1 然后在直角FDC 中利用勾股定理求出 CD 的长【解答】解：如图，连接 FC，则 AFFC ADBC，FAOBCO在FOA 与BOC 中，FOABOC（ASA ） ，AFBC3，FCAF3， FDADAF431在FDC 中，D90，CD 2+DF2FC 2，CD 2+123 2，CD2 故选：A【点评】本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中求出 CF 与 DF 是解题的关键10 （3 分）如图，在O

20、AB 中，顶点 O（0，0） ，A（ 3，4） ，B（3，4） ，将OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 70 次旋转结束时，点D 的坐标为（  ）第 13 页（共 33 页）A （10，3） B （3，10） C （10，3） D （3，10）【分析】先求出 AB6，再利用正方形的性质确定 D（3，10） ，由于 70417+2，所以第 70 次旋转结束时，相当于OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转2 次，每次旋转 90，此时旋转前后的点 D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点 D 的坐标

21、【解答】解：A（3，4） ，B（3，4） ，AB3+36，四边形 ABCD 为正方形，ADAB6，D（3，10） ，70417+2，每 4 次一个循环，第 70 次旋转结束时，相当于OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2 次，每次旋转 90，点 D 的坐标为（3，10） 故选：D【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180二、填空题（每小题 3 分，共 15 分。 ）11 （3 分）计算： 2 1 1   【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指

22、数幂两个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果第 14 页（共 33 页）【解答】解： 2 121 故答案为：1 【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算12 （3 分）不等式组 的解集是 x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 1，得：x2，解不等式x+74，得：x 3，则不等式组的解集为 x2，故答案为：x2【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，

23、熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键13 （3 分）现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色外完全相同从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是    【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得【解答】解：列表如下：黄 红 红红 （黄，红） （红，红） （红，红）红 （黄，红） （红，红） （红，红）白 （黄，白） （红，白） （红，白）第 15 页（共 33 页）由表知，共有 9 种等可能结果，其中摸出的

24、两个球颜色相同的有 4 种结果，所以摸出的两个球颜色相同的概率为 ，故答案为： 【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大14 （3 分）如图，在扇形 AOB 中，AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且OCOA若 OA2 ，则阴影部分的面积为   + 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是AOD的面积与扇形 OBC 的面积之和再减去BDO 的面积，本题得以解决【解答】解：作 OEAB 于点 F，在扇形 AOB 中，AOB 120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且OCOAOA

25、2 ，AOD 90 ，BOC90 ，OA OB，OABOBA30，ODOA tan30 2，AD4，AB2AF22 6，OF ，BD2，阴影部分的面积是：S AOD +S 扇形 OBCS BDO +，故答案为： +第 16 页（共 33 页）【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答15 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BCa，点 E 在边 BC 上，且 BE a连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为  或   【分析】分两种情况：点 B落在 AD 边上，根据

26、矩形与折叠的性质易得 ABBE，即可求出 a 的值；点 B落在 CD 边上，证明ADBBCE，根据相似三角形对应边成比例即可求出 a 的值【解答】解：分两种情况：当点 B落在 AD 边上时，如图 1四边形 ABCD 是矩形，BADB90，将ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B落在 AD 边上，BAE BAE BAD45，ABBE， a1，a ；当点 B落在 CD 边上时，如图 2四边形 ABCD 是矩形，BADBC D90，ADBCa将ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B落在 CD 边上，BAB E90，ABAB1，EBEB a，第 17 页（共 33 页）DB ，ECBCBE

27、a a a在ADB与B CE 中，ADBB CE， ，即 ，解得 a1 ，a 20（舍去） 综上，所求 a 的值为 或 故答案为 或 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质进行分类讨论与数形结合是解题的关键三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）16 （8 分）先化简，再求值：（ 1） ，其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式（ ）第 18 页（共 33 页） ，当 x 时，原式 【点

28、评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则17 （9 分）如图，在ABC 中，BABC ，ABC90 ，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，点 E 是 上不与点 B，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G（1）求证：ADFBDG；（2）填空：若 AB4，且点 E 是 的中点，则 DF 的长为 42   ；取 的中点 H，当EAB 的度数为 30 时，四边形 OBEH 为菱形【分析】 （1）利用直径所对的圆周角是直角，可得ADBAEB90，再应用同角的余角相等可得DAFDBG，易得 AD

29、BD ，ADFBDG 得证；（2）作 FHAB ，应用等弧所对的圆周角相等得BAE DAE，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得 BEOB，结合三角函数特殊值可得EAB30【解答】解：（1）证明：如图 1，BABC，ABC 90，BAC45AB 是O 的直径，ADBAEB90，DAF+BGDDBG +BGD90DAFDBGABD+BAC90第 19 页（共 33 页）ABDBAC45ADBDADFBDG（ASA） ；（2） 如图 2，过 F 作 FHAB 于 H，点 E 是 的中点，BAE DAEFDAD ，FHABFHFD sinABD sin45 ， ，即 BF FDAB4，BD4

30、cos452 ，即 BF+FD2 ， （ +1）FD2FD 42故答案为 连接 OE，EH，点 H 是 的中点，OHAE，AEB 90BEAEBEOH四边形 OBEH 为菱形，BEOHOB ABsinEAB EAB 30故答案为：30第 20 页（共 33 页）【点评】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理18 （9 分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下：a七年级成绩频数分布直方图：第 2

31、1 页（共 33 页）b七年级成绩在 70x80 这一组的是：70   72   74   75   76   76   77   77   77   78   79c七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级 平均数 中位数七 76.9 m八 79.2 79.5根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有 23 人；（2）表中 m 的值为 77.5  ；（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自

32、年级的排名谁更靠前，并说明理由；（4）该校七年级学生有 400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数【分析】 （1）根据条形图及成绩在 70x80 这一组的数据可得；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数所占比例可得【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有 15+823 人，故答案为：23；（2）七年级 50 人成绩的中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据分别为 78、79，第 22 页（共 33

33、 页）m 77.5，故答案为：77.5；（3）甲学生在该年级的排名更靠前，七年级学生甲的成绩大于中位数 78 分，其名次在该班 25 名之前，八年级学生乙的成绩小于中位数 78 分，其名次在该班 25 名之后，甲学生在该年级的排名更靠前（4）估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数为 400 224（人） 【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用19 （9 分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得

34、塑像底部 E 的仰角为 34，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为 60，求炎帝塑像 DE 的高度（精确到 1m参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67， 1.73）【分析】由三角函数求出 AC 82.1m，得出 BCAC AB 61.1m，在 RtBCD 中，由三角函数得出 CD BC105.7m，即可得出答案【解答】解：ACE90，CAE 34，CE 55m，tanCAE ，AC 82.1m，AB21m，BCACAB61.1m，第 23 页（共 33 页）在 Rt BCD 中， tan60 ，CD BC1.7361.1 105.

35、7m，DECDEC105.75551m ，答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51m【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中20 （9 分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买 3 个 A 奖品和 2个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元（1）求 A，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由【分析】 （1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，

36、根据题意列出方程组 ，即可求解；（2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30z）个，购买奖品的花费为 W 元，根据题意得到由题意可知，z （30z） ，W 30z+15（30z）450+15z，根据一次函数的性质，即可求解；【解答】解：（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，根据题意，得， ，A 的单价 30 元，B 的单价 15 元；（2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30z）个，购买奖品的花费为 W 元，由题意可知，z （30z） ，z ，W30z+15（30 z ）450+15z，当 z8 时，W 有最小值为 570 元，即购买 A 奖品 8 个

37、，购买 B 奖品 22 个，花费最少；第 24 页（共 33 页）【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键21 （10 分）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具对于 m 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为 x，y，由矩形的面积为 4，得 xy4，即 y ；由周长为m，得 2（x+y）m，即 yx+ 满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标（2）画出函数图象函数 y （x0）的图象如图所示

38、，而函数 yx+ 的图象可由直线 yx 平移得到请在同一直角坐标系中直接画出直线 yx（3）平移直线 yx ，观察函数图象当直线平移到与函数 y （x0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长 m 的值为 8 ；在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取值范围（4）得出结论若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为 m 8 【分析】 （1）x，y 都是边长，因此，都是正数，即可求解；（2）直接画出图象即可；第 25 页（共 33 页）（3） 把点（ 2，2）代入 yx+ 即可求解；在直线平移过程中，交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况，联立

39、y 和 yx + 并整理得： x2 mx+40，即可求解；（4）由（3）可得【解答】解：（1）x，y 都是边长，因此，都是正数，故点（x，y）在第一象限，答案为：一；（2）图象如下所示：（3） 把点（ 2，2）代入 yx+ 得：22+ ，解得：m8；在直线平移过程中，交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况，联立 y 和 yx + 并整理得： x2 mx+40， m2440 时，两个函数有交点，解得：m8；（4）由（3）得：m8【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大22 （10 分）在ABC 中，

40、CACB ，ACB 点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP第 26 页（共 33 页）（1）观察猜想如图 1，当 60时， 的值是  1 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60 （2）类比探究如图 2，当 90时，请写出 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明理由（3）解决问题当 90时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点C，P，D 在同一直线上时 的值【分析】 （1）如图 1 中，延长

41、CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O证明CAPBAD（SAS） ，即可解决问题（2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E证明DAB PAC ，即可解决问题（3）分两种情形：如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H证明 ADDC 即可解决问题如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC 解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O第 27 页（共 33 页）PADCAB60，CAPBAD，CABA，PADA，CAPBA

42、D（SAS） ，PCBD，ACPABD，AOCBOE，BEOCAO60， 1，线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60，故答案为 1，60（2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 EPADCAB45，PACDAB， ，DABPAC，PCADBA， ，第 28 页（共 33 页）EOCAOB，CEOOABB45，直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45（3）如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 HCEEA，CFFB ，EFAB，EFCABC45，PAO45，PAOOFH，POAFOH，HAPO，A

43、PC90，EA EC，PEEAEC，EPA EAPBAH，HBAH，BHBA，ADPBDC45，ADB90，BDAH ，DBADBC22.5，ADBACB90，第 29 页（共 33 页）A，D，C，B 四点共圆，DACDBC22.5，DCAABD22.5，DACDCA22.5，DADC，设 ADa，则 DCADa，PD a， 2 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC，设 ADa，则CDADa，PD a，PCa a， 2+ 【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题

44、的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题23 （11 分）如图，抛物线 yax 2+ x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C直线 yx2 经过点 A，C （1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m当 PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标；第 30 页（共 33 页）作点 B 关于点 C 的对称点 B'，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B到该直线的距离都相等当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出

45、直线l：ykx+b 的解析式 （k ，b 可用含 m 的式子表示）【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A，C 的坐标，根据点 A，C的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2） 由 PMx 轴可得出PMC90，分MPC90及PCM90两种情况考虑：（i）当MPC90时，PC x 轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 P 的坐标；（ii）当PCM90时，设 PC 与 x 轴交于点 D，易证AOCCOD，利用相似三角形的性质可求出点 D 的坐标，根据点 C，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线 PC 的解析式，联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点 P 的坐标综上，此问得解；利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 B，P 的坐标，根据点 P，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线 PB 的解析式，结合题意可知：直线 l 过点 C，且直线 l直线PB，再结合点 C 的坐标即可求出直线 l 的解析式【解答】解：（1）当 x0 时，y x22，点 C 的坐标为（0，2） ；当 y0 时， x20，解得：x4，点 A 的坐标为（4，0） 将 A（4，0） ，C（0，2）代入 yax 2+ x+c，得