1、特殊三角形 聚焦考点温习理解1、等腰三角形：（1 ） 概念：有两条边相等的三角形是等腰三角形（2 ） 性质：等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴；等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角” ） ；等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高和底边上的中线相互重合（简写成“三线合一” ）（3 ） 判定：等角对等边2、等边三角形的性质：等边三角形有三条对称轴；三个内角都为 60；判定一个三角形是等边三角形的方法有两种：一是直接证三个内角都相等；二是先证它是等腰三角形，再证一个内角是 603、线段垂直平分线上一点到这条线段的两个端点的距离 相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上4
2、、直角三角形：（1 ） 概念：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（2 ） 性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的 一半；勾股定理：在直角三角形中，两条直角边 a,b 的平方和等于斜边 c 的平方，即22cba5、角平分线上的点到角的两边的距离相等；角的内部到角的两边的距离 相等的点在这个角的角平分线上;6、三大几何变换： 平移及性质： 把一个图形整体沿一方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。 平移变换的性质 ： 对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连结的线段
3、平行且相等， 对应角分别相等，且对应角的两边分别平行，方向一致.平移后的图形与原图形全等 ，因为平移只改变图形位置 ，不改变图形的形状和大小 轴对称及性质：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点。 轴对称变换的性质： 关于直线对称的两个图形是全等图形. 如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线. 两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.旋
4、转及性质：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转。点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角；性质：图形通过旋转，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化7、 轴对称图形与中心对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折 后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时,我们也说这个图形关于这条直线对称；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 名师点睛典例分类考向一：轴对称图形及性质典例 1:（2018徐州） 如图
5、，将等腰直角三角形 ABC 对折，折痕为 CD展平后，再将点 B折叠再边 AC 上， （不与 A、C 重合）折痕为 EF，点 B 在 AC 上的对应点为 M，设 C D 与 EM交于点 P，连接 PF已知 BC4（1 ）若点 M 为 AC 的中点，求 CF 的长；（2 ）随着点 M 在边 AC 上取不同的位置PFM 的形状是否发生变化？请说明理由； 求PFM 的周长的取值范围.考向二：线段垂直平分线及角平分线性质典例 2（2018东营）如图，在 RtABC 中，B90，以顶点 C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，BC 于点 E， F，再分别以点 E，F 为圆心，大于12EF 的长为半径
6、画弧，两弧交于点 P，作射线 CP 交 AB 于点 D若 BD3，AC 10，则ACD 的面积是 典例 3（2018淮安）如图，在 RtABC 中，C=90 ， AC=3，BC=5，分别以 A、B 为圆心，大于 21AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q，过 P、Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长是_.考向三：特殊三角形的性质与判定典例 4：(2016呼和浩特)已知，如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB= ECD=90，D 为 AB 边上一点（1 ）求证：ACEBCD ；（2 ）求证：2CD 2=AD2+DB2典例 5:(2018广安) 如图 11 有 4
7、张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是 1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：(1)画一个直角边长为 4，面积为 6 的直角三角形；(2)画一个底边长为 4，面积为 8 的等腰三角形；(3)画一个面积为 5 的等腰直角三角形；(4)画一个一边长为 2 ，面积为 6 的等腰三角形考向四：利用勾股定理列方程解题典例 6：（2017宜昌）.阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 ,abc，称为勾股数. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算术 ，其勾股数组公式为：A PC D BQ(1)
8、(2) (3) (4)图 11221,.amnbc其中 0n， m是互质的奇数.应用，当 1n时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长.考向五：特殊三角形与中点问题典例 7：(2013江西)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现在等腰三角形 ABC 中，AB AC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 4-2-47(1)，其中 DFAB 于点 F，EG AC 于点 G，M 是 BC 的中点，连接 MD 和ME，则下列结论： AFAG AB；MDME；整个图形是轴对称图形；12DABDMB.其中正确的是_(填序号即可)
9、数学思考在任意ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图(2)，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程类比探索在任意ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图(3)，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，试判断 MED 的形状答：_.考向六：特殊三角形与几何模型模型一：一线三等角典例 8：(2013东营) (1)如图 4(1)，已知：在 ABC 中，BAC 90，AB AC ，直线 m 经过点 A，BD 直线 m, CE直线 m，垂足分别为点
10、 D，E.证明：DEBDCE；(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在 ABC 中，ABAC，点 D，A ，E 三点都在直线 m 上，并且有BDA AEC BAC，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DEBDCE 是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 拓展与应用：如图(3)，点 D，E 是 D，A，E 三点所在直线 m 上的两动点(D ，A，E 三点互不重合)，点 F 为 BAC 平分线上的一点，且 ABF 和 ACF 均为等边三角形，连接BD，CE，若BDAAEC BAC ，试判断 DEF 的形状模型二：共点等边旋转典例 9：（2016北京四中八下期中） CDE 和 A
11、OB 是两个等腰直角三角形,=0CDEAOB， 1D， 1aO(D)M 图1 图2AB CEO(D)AB CE（1 ）将 CE 的顶点 与点 重合，连接 A， BC，取线段 的中点 M，连接 OM如图 1，若 D， 分别与 O， 边重合，则线段 O与 AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果计算（2 ）如图 2，若 C在 AB 内部，请你在图 2 中画出完整图形，判断 M与 AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明（3 ）将 DE 绕点 O任意转动，写出 OM的取值范围（用含 a式子表示） （4 ）是否存在边长最大的 AB ，使 CDE 的三个顶点分别在 AOB 的三条边上（都不
12、与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长 的值；如果不存在，请说明理由模型三：倍半角典例 10：（2016武汉九上调研）如图， ABC 是边长为 a 的等边三角形，将三角板的30角的顶点与 A 重合，三角板 30角的两边与 BC 交于 D、E 两点，则 DE 长度的取值范围是 .模型四：对角互补典例 11：ABC 中，AB=AC, BAC=120,ABM=ACN=90,MAN=60,BC=4BM=4,求MN EDNSCBAM典例 12:如图，ABC 是等边三角形， BDC 是顶角BDC=120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角NDM，角的两边分别交 AB、AC 边于 M、
13、N 两点，连接 MN试探究BM、MN、CN 之间的数量关系，并加以证明考向七：隐圆与最值问题典例 13（2017*锦州）已知： ABC 和ADE 均为等边三角形，连接 BE，CD ，点 F，G ，H分别为 DE，BE，CD 中点（1 ）当ADE 绕点 A 旋转时，如图 1，则FGH 的形状为 ，说明理由；（2 ）在ADE 旋转的过程中，当 B，D ，E 三点共线时，如图 2，若 AB=3，AD=2，求线段FH 的长；（3 ）在ADE 旋转的过程中，若 AB=a，AD=b（ab0） ，则FGH 的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由课时作业能力提升一、单
14、选题1.(2018永州)誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林” ，摩崖上铭刻着 500 多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是( )2 （ 2018安顺） 已知ABC（AC BC） ，用尺规作图的方法在 BC 上确定一点 P，使PAPCBC，则符合要求的作图痕迹是（ ）3 （ 2017河池）已知等边 ABC 的边长为 12，D 是 AB 上的动点，过 D 作 DEAC 于点 E，过 E 作 EFBC 于点 F，过 F 作 FGAB 于点 G当 G 与 D 重合时，AD 的长是（ ）A3 B4 C8 D94 （ 2017海南）已知 AB
15、C 的三边长分别为 4、4、6 ，在ABC 所在平面内画一条直线，将ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条A3 B4 C5 D65 （ 2018 宿迁）若实数 m， n 满足等式 042n，且 m，n 恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC 的周长是 （ ）A12 B10 C8 D66 （ 2017聊城）如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA、PB，那么使ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个7 (2018荆门)如图，等
16、腰 RtABC 中，斜边 AB 的长为 2，O 为 AB 的中点，P 为 AC 边上的动点，OQ OP 交 BC 于点 Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长为( )A24 B2 C1 D2二、填空题8 (2018常德) 如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 G 处，点 C 落在点 H 处，已知DGH30 ，连接 BG，则AGB QP MBCOA9 如图，RtABC 中，AB 3，AC6 ，点 D，E 分别是边 BC，AC 上的动点，则 DADE2的最小值为 ACBED10 （ 2018通辽）如图，在 ABC 中
17、，按以下步骤作图：分别以点 A 和点 C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点；作直线 MN 交 BC 于点 D，连接12AD若 ABBD，AB6，C30 ，则 ACD 的面积为 三、解答题 11 (2018 北京东城模考)如图 1，在等边三角形 ABC 中，CD 为中线，点 Q 在线段 CD 上运动，将线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转，使得点 A 的对应点 E 落在射线 BC 上，连接 BQ，设DAQ=（0 60且 30）.（1 ）当 030时，在图 1 中依题意画出图形，并求 BQE（用含 的式子表示） ；探究线段 CE，AC ，CQ 之间的数量关系，并加以证明；
18、（2 ）当 3060 时，直接写出线段 CE，AC，CQ 之间的数量关系. 12 （ 2018广州）如图 11，在四边形 ABCD 中， BC90 ，AB CD，AD ABCD（1 ）利用尺规作ADC 的角平分线 DE，交 BC 于点 E.连接 AE（保留作图痕迹，不写作法） ；（2 ）在（1 ）的条件下，证明：AEDE；若 CD2 ，AB4，点 M，N 分别是 AE，AB 上的动点，求 BMMN 的最小值. DA BC13 已知： ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， ABC=ADE=90，点 M 是 CE 的中点，连接 BM（1 ） 如图，点 D 在 AB 上，连接 DM，并延长 DM
19、交 BC 于点 N，可探究得出 BD 与 BM的数量关系为_；（2 ） （2）如图，点 D 不在 AB 上， （1 ）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由14（ 2017 赤峰）OPA 和OQB 分别是以 OP、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点C、 D、E 分别是 OA、OB、AB 的中点（1 ）当 AOB=90时如图 1，连接 PE、QE，直接写出 EP 与 EQ 的大小关系；（2 ）将OQB 绕点 O 逆时针方向旋转，当AOB 是锐角时如图 2， （1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明（3 ）仍将OQB 绕点 O 旋转，当AOB 为钝角时，延
20、长 PC、QD 交于点 G，使ABG 为等边三角形如图 3，求AOB 的度数15 在等腰直角ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，（1 ） 如图 1，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，AFBE 交 BC 于点 F，连结 EF、CD 交于点 H.求证，EFCD ；（2 ） （2）如图 2，AD=AE，AFBE 于点 G 交 BC 于点 F，过 F 作 FPCD 交 BE 的延长线于点 P，试探究线段 BP,FP,AF 之间的数量关系，并说明理由.16（ 2017 郴州）如图 1，ABC 是边长为 4cm 的等边三角形，边 AB 在射线 OM 上，且OA6cm ，点 D 从 O 点出发，
21、沿 OM 的方向以 1cm/s 的速度运动，当 D 不与点 A 重合时，将ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60得到 BCE，连结 DE（1 ）求证：CDE 是等边三角形；（2 ）如图 2，当 6t10 时，BDE 的周长是否存在最小值？若存在，求出BDE 的最小周长；若不存在，请说明理由；（3 ）如图 3，当点 D 在射线 OM 上运动时，是否存在以 D、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由特殊三角形 聚焦考点温习理解1、等腰三角形：（4 ） 概念：有两条边相等的三角形是等腰三角形（5 ） 性质：等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴；等腰
22、三角形的两底角相等（简写成“等边对等角” ） ；等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高和底边上的中线相互重合（简写成“三线合一” ）（6 ） 判定：等角对等边2、等边三角形的性质：等边三角形有三条对称轴；三个内角都为 60；判定一个三角形是等边三角形的方法有两种：一是直接证三个内角都相等；二是先证它是等腰三角形，再证一个内角是 603、线段垂直平分线上一点到这条线段的两个端点的距离 相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上4、直角三角形：（3 ） 概念：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（4 ） 性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三
23、角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的 一半；勾股定理：在直角三角形中，两条直角边 a,b 的平方和等于斜边 c 的平方，即22cba5、角平分线上的点到角的两边的距离相等；角的内部到角的两边的距离 相等的点在这个角的角平分线上;6、三大几何变换： 平移及性质： 把一个图形整体沿一方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。 平移变换的性质 ： 对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连结的线段平行且相等， 对应角分别相等，且对应角的两边分别平行，方向一致.平移后的图形与原图形全等 ，因为平移只改变图形位置 ，不改变图形的形状和大小 轴对称及性质
24、：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点。 轴对称变换的性质： 关于直线对称的两个图形是全等图形. 如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线. 两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.旋转及性质：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转。点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角；性质：图形通过旋转，对应点到旋转中心的距离相
25、等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化7、 轴对称图形与中心对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折 后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时,我们也说这个图形关于这条直线对称；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 名师点睛典例分类考向一：轴对称图形及性质典例 1:（2018徐州） 如图，将等腰直角三角形 ABC 对折，折痕为 CD展平后，再将点 B折叠再边 AC 上， （不与 A、C 重合）折痕为 EF，点 B 在 AC 上的对应点为
26、M，设 C D 与 EM交于点 P，连接 PF已知 BC4（1 ）若点 M 为 AC 的中点，求 CF 的长；（2 ）随着点 M 在边 AC 上取不同的位置PFM 的形状是否发生变化？请说明理由； 求PFM 的周长的取值范围.【分析】(1)利用轴对称性质和勾股定理求解:(2) 利用导角和等腰直角三角形判定确定形状,分 M 与 C 或 A 重合两种临界情况解直角三角形即可【解答】解：（1）根据题意，设 BFFMx ，则 CF4 x，M 为 AC 中点，ACBC4 ， CM 12AC2 ，ACB 90，CF 2+CM2FM 2，(4x )2+22x 2，解得x 52， CF4 52 3； PFM
27、的形状不变，始终是以 PM、PF 为腰的等腰直角三角形，理由如下：等腰直角三角形 ABC 中， CDAB ，ADDB，CD 12ABDB，BDCB45，由折叠可得PMF B45 ，PMFDCB，P、M、F 、C 四点共圆，FPM+ FCM 180 ，FPM 180FCM90，PFM90 PMF45PMF，PFM 的形状不变，始终是以 PM、PF 为腰的等腰直角三角形；当 M 与 C 重合时，F 为 BC 中点，CF 12BC2 ，PMPF 2cos45F，此时PFM的周长为 22 ；当 M 与 A 重合时，F 于 C 重合，E 与 D 重合，FMAC4 ，PM PFACcos452 ，此时PF
28、M 的周长为 44 2，又 B 不与 A、C重合，所以PFM 的周长的取值范围是大于 22 且小于 44 .考向二：线段垂直平分线及角平分线性质典例 2（2018东营）如图，在 RtABC 中，B90，以顶点 C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，BC 于点 E， F，再分别以点 E，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 CP 交 AB 于点 D若 BD3，AC 10，则ACD 的面积是 【分析】利用角平分线性质求解【解答】解：由作图知 CD 是ACB 的平分线，点 D 到 ACB 两边的距离相等，又B90，BD3，点 D 到 AC 边的距离为 3，ACD 的
29、面积1105.2AC故答案：15典例 3（2018淮安）如图，在 RtABC 中，C=90 ， AC=3，BC=5，分别以 A、B 为圆心，大于 21AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q，过 P、Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长是_.【分析】利用线段垂直平分线性质和勾股定理求解【解答】解：PQ 垂直平分 AB，AD=BD，ACB=90 ,AC=3，BC=5，设 CD=x，则 AD=BD=5-x，在 R tACD 中，AC 2+CD2=AD2，9+x 2=(5-x)2，解得 CD= 85.DAC B考向三：特殊三角形的性质与判定典例 4：(2016呼和浩特)已知，如图，
30、ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB= ECD=90，D 为 AB 边上一点（1 ）求证：ACEBCD ；（2 ）求证：2CD 2=AD2+DB2【分析】 （1）本题要判定ACEBCD，已知ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB= ECD=90，则 DC=EA，AC=BC，ACB= ECD，又因为两角有一个公共的角ACD，所以 BCD=ACE ，根据 SAS 得出ACE BCD（2 ）由（1 ）的论证结果得出DAE=90，AE=DB，从而求出 AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2【解答】证明：（1）ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，ACB
31、=DCE=90，ACE+ACD=BCD+ACD ，ACE= BCD，在ACE 和BCD 中，A PC D BQCEDBA，AEC BDC（SAS） ；（2 ） ACB 是等腰直角三角形，B=BAC=45 度 ACEBCD，B=CAE=45 DAE=CAE+ BAC=45+45=90 ，AD 2+AE2=DE2由（1 ）知AE=DB，AD 2+DB2=DE2，即 2CD2=AD2+DB2典例 5:(2018广安) 如图 11 有 4 张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是 1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下
32、：(1)画一个直角边长为 4，面积为 6 的直角三角形；(2)画一个底边长为 4，面积为 8 的等腰三角形；(3)画一个面积为 5 的等腰直角三角形；(4)画一个一边长为 2 ，面积为 6 的等腰三角形思路分析：(1)画两条直角边是 4，3 的直角三角形；(2)画底边是 4，底边上的高是 4 的等腰三角形；(3)画两直角边都是 10的等腰直角三角形；(4)2 2是直角边为 2 的等腰直角三角形的斜边画底边是 2 ，底边上的高是 3 2的等腰直角三角形解：所画图形如图# 所示考向四：利用勾股定理列方程解题典例 6：（2017宜昌）.阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 ,abc，称为勾股
33、数. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算术 ，其勾股数组公式为：(1) (2) (3) (4)图 11(1) (2) (3) (4)图221,.amnbc其中 0n， m是互质的奇数.应用，当 1n时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长.【分析】以中国数学文化为背景，借助数形结合、分类思想等，从方程角度考查勾股定理的运用【解答】解：当 1n时， )1(2ma， b， )1(2mc因为直角三角形有一边长为 5，分情况如下：情况一：当 a时，即 )(2，解得 1（舍）情况二：当 b时，即 ，再将它分别代入得12)5(2a，13)5(2c情况三：当 ，即 m，解得 3
34、,0,m把 3m分别代入得 4)(2a， b综上所述，直角三角形的另两边长为 12，13 或 3，4考向五：特殊三角形与中点问题典例 7：(2013江西)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现在等腰三角形 ABC 中，AB AC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 4-2-47(1)，其中 DFAB 于点 F，EG AC 于点 G，M 是 BC 的中点，连接 MD 和ME，则下列结论： AFAG AB；MDME；整个图形是轴对称图形；12DABDMB.其中正确的是_(填序号即可)数学思考在任意ABC 中，分别以 AB 和
35、AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图(2)，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程类比探索在任意ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图(3)，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，试判断 MED 的形状答：_.【分析】 （1） 由图形的对称性易知 、都正确， DAB=DMB=45也正确；（2 ）直觉告诉我们 MD 和 ME 是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图 1DFMMGE 的启发，应想到取中点构造全等来证 MD=ME，证 MDME 就是要证DME=
36、90，由DFMMGE 得EMG= MDF, DFM 中四个角相加为 180，FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得DME=90 （3）只要结论，不要过程，在（2 ）的基础易知为等腰直角三解形.【解答】解：操作发现 ：数学思考：答：MD=ME ，MDME， 、MD=ME；如图 2，分别取 AB，AC 的中点 F，G，连接 DF，MF，MG ，EG，M 是 BC 的中点，MF AC，MF= 21AC又EG 是等腰 RtAEC 斜边上的中线，EGAC 且 EG= 21AC，MF=EG同理可证DF=MGMFAC，MFABAC=180同理可得MGA+BAC=180，MFA= MGA又EG AC，EGA
37、=90同理可得DFA=90，MFA+DFA=MGA=EGA ，即DFM=MEG，又MF=EG， DF=MG，DFM MGE（SAS） ，MD=ME 2、 MD ME；MGAB，MFA+FMG=180，又DFMMGE，MEG= MDF. MFA+FMD+DME+MDF=180 ，其中MFA+ FMD+MDF=90，DME=90.即 MDME；类比探索 答：等腰直角三解形考向六：特殊三角形与几何模型模型一：一线三等角典例 8：(2013东营) (1)如图 4(1)，已知：在 ABC 中，BAC 90，AB AC ，直线 m 经过点 A，BD 直线 m, CE直线 m，垂足分别为点 D，E.证明：D
38、EBDCE；(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在 ABC 中，ABAC，点 D，A ，E 三点都在直线 m 上，并且有BDA AEC BAC，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DEBDCE 是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 拓展与应用：如图(3)，点 D，E 是 D，A，E 三点所在直线 m 上的两动点(D ，A，E 三点互不重合)，点 F 为 BAC 平分线上的一点，且 ABF 和 ACF 均为等边三角形，连接BD，CE，若BDAAEC BAC ，试判断 DEF 的形状【分析】：直接利用一线三等角模型可求解；【解答】解：(1)BD 直线 m,CE直线 m，BD
39、ACEA=90BAC 90BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD 又 AB=AC ADB CEA，AE=BD ，AD=CE，DE=AE+AD= BD+CE (2)BDA =BAC=，DBA+BAD=BAD +CAE=180DBA=CAE，BDA=AEC= ，AB=AC，ADBCEA，AE=BD，AD=CE ，DE=AE+AD=BD+CE（3 ）由（2 ）知，ADBCEA， BD=AE，DBA =CAE，ABF 和ACF 均为等边三角形，ABF= CAF=60DBA+ABF=CAE+CAF， DBF=FAE，BF=AF ，DBFEAF，DF=EF，BFD= AFE，DFE=D
40、FA+AFE= DFA+BFD=60，DEF 为等边三角形模型二：共点等边旋转典例 9：（2016北京四中八下期中） CDE 和 AOB 是两个等腰直角三角形,=0CDEAOB， 1D， 1aO(D)M 图1 图2AB CEO(D)AB CE（1 ）将 CE 的顶点 与点 重合，连接 A， BC，取线段 的中点 M，连接 OM如图 1，若 D， 分别与 O， 边重合，则线段 O与 AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果计算（2 ）如图 2，若 C在 AB 内部，请你在图 2 中画出完整图形，判断 M与 AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明（3 ）将 DE 绕点 O任意转动，
41、写出 OM的取值范围（用含 a式子表示） （4 ）是否存在边长最大的 AB ，使 CDE 的三个顶点分别在 AOB 的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长 的值；如果不存在，请说明理由【分析】 本题以共直有顶点的等腰直角三角形为背景，在旋转中考查等腰直角三角形的相关性质，在图形旋转变化中，发现规律，进行综合解答，涉及方程思想、思化思想、分类思想等多种能力【解答】解：（1） CDE 和 AOB 是两个等腰直角三角形， 1DE，AOB， =，在 和 中，CAOB，CDEAOB ， CAE， M为 中点，12，12OMAE（2 ）猜想：=证明：如图 2，延长 B到 F
42、，使 OB，连接 CF， M为BC中点，12OCF， DE 和 A 是两个等腰直角三角形， DE，A， ， 90OCE，OCBE， FOCAE，在 F 和 A 中，CFOA，FA ， ，12M（3 ）1122aaM 、如图 3，当 OC与 B重合时， O最大，1、如图 4，当 在 的延长线上时， M最小，1=2aO，22aaOM （4 ） 的最大值为 5 根据 CDE 的对称性，只需分两种情况：如图 5，当顶点 在斜边 AB上时，设点 ，点 分别在 OB， A上，作 FB于点F，取 CE的中点 ，连接 O， M， 和 CDE 是等腰直角三角形，90AOBD， 1ABa， 1DCE， 2ABa，
43、12FABa， 2CE，12CE，在 RtO 中，C，在 RtDOE 中，DMO，又 ODF ， MF ，即2a， 2a ，直角边 的最大值为 2如图 6，当顶点 在直角边 A上时，点 C，点 E分别在 OB， A上，作 EHAO于点 H 90AOBCDEH， 90EDHCOEDH，E， ，在 和 O 中，HDOC ，设 =Dx， EHAx， 2Dax，在 RtDHE 中，22， 221a，整理得， 25410， x是实数， 24504a ， ， a的最大值为 5， a的最大值为5综上所述， a的最大值为 5FMECB AO(D)图2图5 EABFMCDO模型三：倍半角典例 10：（2016武
44、汉九上调研）如图， ABC 是边长为 a 的等边三角形，将三角板的30角的顶点与 A 重合，三角板 30角的两边与 BC 交于 D、E 两点，则 DE 长度的取值范围是 .【分析】 角含半角可翻折可旋转解决，考查了等边三角形的相关性质与判定【解答】解：沿 AD翻折 B，得 AFD，连 E，则 ACBFDB,60,21F, 3041302,60C,EC43, aDEaEBDDE 2, 取 A的外心 P，连 PA,PD,PE，作 PGDE 于 G,AHDE 于 H，则 P为等边三角形，AHG)3(,23, 综上所述， aDE21)32(故答案： aDE21)32(模型四：对角互补典例 11：ABC 中，AB=AC, BAC=120,ABM=ACN=90,MAN=60,BC=4BM=4,求MNEDNSCBAM【分析】 以含特殊角的等腰三角形为例，借助对角互补模型考查旋转变换等空间想象能力，考查等腰三角形的相关性质【解答】解：如图作旋转变换：得ABMACP，PAN=60，CQP=CRN
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