1、全等三角形 聚焦考点温习理解1、全等三角形的对应边相等， 对应角相等2、全等三角形的判定方法有：(1)、三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或 SSS(2)、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成边角边或 SAS(3)、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成角边角或 ASA(4)、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成角角边或 AAS(5)、对于直角三角形，除了上述四种判定方法外，还有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，即简写为斜边直角边或 HL名师点睛典例分类考向一：全等三角形的判定与性质的综合运用典例 1：（2018 恩施）如图 7，点
2、B，F，C，E 在一条直线上，FBCE ， AB ED，ACFD，AD 交 BE 于 O求证：AD 与 BE 互相平分考向二：平移、旋转、翻折中的全等变换典例 2：(2018荆门)如图，在 RtABC 中，ACB90，BAC30，E 为 AB 边的中点，以 BE 为边作等边BDE，连接 AD，CD(1)求证：ADECDB ；(2)若 BC ，在 AC 边上找一点 H，使得 BHEH 最小，并求出这个最小值3BDCEA典例 3：（2017莱芜）已知 ABC 与DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形（1 ）如图所示，连接 AE，DB，试判断线段 AE 和 DB 的数量和位置关系，并说明理由；（2
3、）如图所示，连接 DB，将线段 DB 绕 D 点顺时针旋转 90到 DF，连接 AF，试判断线段 DE 和 AF 的数量和位置关系，并说明理由考向三：与中点或角平分线相关全等问题典例 4：(2017.重庆)在ABC 中， ABM45 ，AMBM，垂足为 M，点 C 是 BM 延长线上一点，连接 AC（1 ）如图 1，若 AB3 ，BC5，求 AC 的长；2（2 ）如图 2，点 D 是线段 AM 上一点，MDMC，点 E 是ABC 外一点，ECAC ，连接 ED并延长交 BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证： BDFCEF课时作业能力提升一、单选题1 （2018巴中）下 列 各
4、图 中 a、 b、 c 为 三 角 形 的 边 长 ， 则 甲 、 乙 、 丙 三 个 三 角 形 和左 侧 ABC 全 等 的 是 （ ）A 甲 和 乙 B 乙 和 丙 C 甲 和 丙 D 只 有 丙2 (2018临沂)如图，ACB 90，ACBC ，ADCE ，BECE，垂足分别是点D，E .AD3 ，BE1.则 DE 的长是( )EDCBAA B2 C. D322103 (2018南京)如图，ABCD ，且 ABCD，E、F 是 AD 上两点， CEAD，BFAD若CE a，BFb，EF c ，则 AD 的长为( )Aac Bbc Cabc Da b c4 （ 2016达州）如图， P
5、是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AQ，连接 BQ若 PA=6，PB=8 ，PC=10，则四边形 APBQ 的面积为（ ）A 48+18 B 24+9 C 48 D 24 335 （ 2018安顺市）如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知AB AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定 ABE ACD（ ）ABC BAD AE CBDCE DBECD6 (2017 兰州)如图，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，点 G 在 CD 上，DE2，将正方形DEFG 绕点 D 顺时针旋转 60，得到正方形 DE
6、FG，此时点 G在 AC 上，连接 CE，则CECG( )A B 1 C D 26332367 （ 2017 鄂州）如图四边形 ABCD 中，ADBC，BCD90，AB BCAD，DAC 45 ，E 为 CD 上一点，且 BAE45若 CD4，则ABE 的面积为（ ）A B C D127247487507二、填空题8 （ 2017黑龙江）如图， BCEF，AC DF，添加一个条件 ，使得 ABCDEF9 （ 2017泸州）在 ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是边 AC、AB 上的中线，且 BDCE，垂足为 O若 OD=2cm，OE=4cm，则线段 AO 的长度为 cm ODCEBA10
7、（ 2017 无锡）如图，ABC 中，BAC 90，AB3 ，AC4，点 D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折得到AED，连 CE，则线段 CE 的长等于 三、解答题 11 （ 2018泰州）如图，A=D=90，AC =DB，AC、DB 相交于点 O.求证：OB=OC .12 (2018桂林)如图，点 A，D，C ，F 在同一条直线上，ADCF，AB DE，BCEF(1)求证ABC DEF；(2)若A55，B88，求F 的度数13 （ 2017 十堰）已知 O 为直线 MN 上一点，OP MN，在等腰 RtABO 中， BAO90，ACOP 交 OM 于 C，D 为 OB 的中点，D
8、E DC 交 MN 于 E（1 ）如图 1，若点 B 在 OP 上，则AC OE（填“ ”， “”或“”） ；线段 CA、CO、CD 满足的等量关系式是 ；（2 ）将图 1 中的等腰 RtABO 绕 O 点顺时针旋转 （0 45） ，如图 2，那么（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3 ）将图 1 中的等腰 RtABO 绕 O 点顺时针旋转 （4590） ，请你在图 3 中画出图形，并直接写出线段 CA、CO、CD 满足的等量关系式 14 .(2017 阜新)在菱形 ABCD 中，点 E 为对角线 BD 上一点，点 F，G 在直线 BC 上，且BE EG，AEFBEG（1 ）如图 1，求证：
9、ABEFGE；（2 ）如图 2，当ABC120时，求证：ABBEBF；（3 ）如图 3，当ABC90，点 F 在线段 BC 上时，线段 AB，BE，BF 的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)15(2018 泰安)如图，ABC 中，D 是 AB 上一点，DE AC 于点 E,，F 是 AD 的中点，FGBC，于点 G ，与 DE 交于点 H，若 FG=AF，AG 平分 CAB，连接 GE，GD.（1）求证：ECGGHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.（3）若B=30，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由 .16 （ 2017成都 A 卷
10、）问题背景：如图 1，等腰ABC 中， AB=AC，BAC=120，作 ADBC于点 D，则 D 为 BC 的中点， BAD= BAC=60，于是 ；迁移应用：如232ABDC图 2， ABC 和ADE 都是等腰三角形，BAC=DAE=120，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接 BD求证：ADBAEC；请直接写出线段 AD，BD，CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图 3，在菱形 ABCD 中，ABC=120，在ABC 内作射线 BM，作点 C 关于 BM的对称点 E，连接 AE 并延长交 BM 于点 F，连接 CE，CF证明CEF 是等边三角形；若 AE=5，CE=2，求 BF 的长全
11、等三角形 聚焦考点温习理解1、全等三角形的对应边相等， 对应角相等2、全等三角形的判定方法有：(1)、三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或 SSS(2)、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成边角边或 SAS(3)、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成角边角或 ASA(4)、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成角角边或 AAS(5)、对于直角三角形，除了上述四种判定方法外，还有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，即简写为斜边直角边或 HL名师点睛典例分类考向一：全等三角形的判定与性质的综合运用典例 1：（2018 恩施）如图 7，点 B
12、，F，C，E 在一条直线上，FBCE ， AB ED，ACFD，AD 交 BE 于 O求证：AD 与 BE 互相平分【分析】先根据已知条件证明ACB DFE 得出 ABDE然后证明四边形 ABDE 是平行四边形，即可证明 AD 与 BE 互相平分【解答】证明：连接 BD ，AE AB ED，ABC DEFACFD， ACB DFE FBCE， BC EF在ACB 和 DFE 中，.,DFEACBACB DFE(ASA) ABDEAB ED，四边形 ABDE 是平行四边形AD 与 BE 互相平分考向二：平移、旋转、翻折中的全等变换典例 2：(2018荆门)如图，在 RtABC 中，ACB90，B
13、AC30，E 为 AB 边的中点，以 BE 为边作等边BDE，连接 AD，CD(1)求证：ADECDB ；(2)若 BC ，在 AC 边上找一点 H，使得 BHEH 最小，并求出这个最小值3BDCEA【分析】(1)利用 “SAS”证明；(2) 根据两点之间线段最短,作点 B 关于 AC 的对称点 B，连接 EB交 AC 于点 H 构建“直线同侧两点和一线”的模型求解【解答】解：(1)证明：在 RtABC 中，BAC 90，E 为 AB 边的中点，BC EA，ABC 60 DEB 是等边三角形，DB DE， DEBDBE 60DEA DBC120ADE CDB(2)解：作点 B 关于 AC 的对
14、称点 B，连接 EB交 AC 于点 H，则点 H 即为所求连接 CE，则CBE 是等边三角形CECB CBBEB90BHEH 的最小值EB 32BEBBDCEA H典例 3：（2017莱芜）已知 ABC 与DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形（1 ）如图所示，连接 AE，DB，试判断线段 AE 和 DB 的数量和位置关系，并说明理由；（2 ）如图所示，连接 DB，将线段 DB 绕 D 点顺时针旋转 90到 DF，连接 AF，试判断线段 DE 和 AF 的数量和位置关系，并说明理由【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明 RtBCDRt ACE，根据全等三角形的性质解
15、答；（2 ）证明EBD ADF，根据全等三角形的性质证明即可【解答】解：（1）AE=DB，AEDB，证明：ABC 与DEC 是等腰直角三角形，AC=BC，EC=DC，在 Rt BCD 和 RtACE 中，ABCEDRtBCDRtACE，AE=BD，AEC=BDC ，BCD=90，DHE=90，AEDB；（2 ） DE=AF， DEAF，证明：设 DE 与 AF 交于 N，由题意得，BE=AD，EBD=C+BDC=90+BDC，ADF=BDF+BDC=90+BDC，EBD=ADF，在EBD 和ADF 中，BEADFEBDADF ，DE=AF，E=FAD，E=45，EDC=45，FAD=45，AN
16、D=90，即 DEAF考向三：与中点或角平分线相关全等问题典例 4：(2017.重庆)在ABC 中， ABM45 ，AMBM，垂足为 M，点 C 是 BM 延长线上一点，连接 AC（1 ）如图 1，若 AB3 ，BC5，求 AC 的长；2（2 ）如图 2，点 D 是线段 AM 上一点，MDMC，点 E 是ABC 外一点，ECAC ，连接 ED并延长交 BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证： BDFCEF【分析】 （1）先由 AMBMABcos45 3 可得 CM2，再由勾股定理可得 AC 的长；（2 ）延长 EF 到点 G，使得 FGEF，证 BMDAMC 得 ACBD，再证B
17、FGCFE 可得 BGCE ，GE，从而得 BDBGCE，即可得BDGGE 【答案】解：（1）ABM 45，AMBM，AMBMABcos453 3 ，2则 CMBC BM522 ，AC ；AMC231（2 ）延长 EF 到点 G，使得 FGEF，连接 BG由 DMMC，BMD AMC，BM AM，BMDAMC（SAS） ，ACBD，又 CE AC，因此 BDCE ，由 BFFC，BFGEFC ，FGFE，BFGCFE，故 BGCE ，GE，所以 BDCE BG，因此BDG GE课时作业能力提升一、单选题1 （2018巴中）下 列 各 图 中 a、 b、 c 为 三 角 形 的 边 长 ， 则
18、甲 、 乙 、 丙 三 个 三 角 形 和左 侧 ABC 全 等 的 是 （ ）A 甲 和 乙 B 乙 和 丙 C 甲 和 丙 D 只 有 丙【分析】由全等三角形判定即可求解【解答】解对于甲，a 是 50角的邻边，题图中 a 是 50角的对边，对应关系不对，甲不能和题图全等；对于乙根据 SAS 可证两三角形全等，对于丙，根据 AAS 可证两三角形全等.故答案：B2 (2018临沂)如图，ACB 90，ACBC ，ADCE ，BECE，垂足分别是点D，E .AD3 ，BE1.则 DE 的长是( )EDCBAA B2 C. D32210【分析】全等三角形的判定及运用. 【解答】解：ADCE，BE
19、CE， ADC=CEB=90，DACDCA=90，ACB90，ECB DCA=90，DCA=ECB，AC=CB ，ACDCBE，AD=CE =3，CD=BE=1， DE=CECD=31=2.故答案：D3 (2018南京)如图，ABCD ，且 ABCD，E、F 是 AD 上两点， CEAD，BFAD若CE a，BFb，EF c ，则 AD 的长为( )Aac Bbc Cabc Da b c【分析】利用三角形全等判定即可求解【解答】解：由 ABCD，BFAD 可得AB90，AD90，则BD，结合已知 ABCD，CEDBFA90，则 ABFCDE，所以 AFCE a，BFDEb，所以 ADabc，故
20、选 D 故答案：D4 （ 2016达州）如图， P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AQ，连接 BQ若 PA=6，PB=8 ，PC=10，则四边形 APBQ 的面积为（ ）A 48+18 B 24+9 C 48 D 24 33【分析】 考查三角形全等判定及性质，由勾股定理通过计算可得【解答】解：连 PQ，BAC=60,AB=AC,由旋转可得 AP=PQ=6, PAQ=60,APQ 是等边三角形，PQ=AP=6，在APC 和ABQ 中，AB=AC, CAP=BAQ,AP=PQ，APCABQ, PC=QB=10，在BPQ 中，,则BPQ 为直角三角形
21、，22222 ,10,6,8 BQPBQPBPBQ=90,3924632186APQBAPQSS故答案：B5 （ 2018安顺市）如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知AB AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定 ABE ACD（ ）ABC BAD AE CBDCE DBECD【分析】考查翻折全等变换【解答】解：ABAC， A 为公共角，A、如添加BC，利用 ASA 可证明ABEACD；B、如添加 ADAE，利用 SAS 可证明ABEACD C、如添加 BDCE，由等量关系可得 ADAE ，利用 SAS 可证明ABEACD；D、如添加 BE CD，因为
22、 SSA，不一定能证明ABEACD；故答案：D6 (2017 兰州)如图，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，点 G 在 CD 上，DE2，将正方形DEFG 绕点 D 顺时针旋转 60，得到正方形 DEFG，此时点 G在 AC 上，连接 CE，则CECG( )A B 1 C D 2633236【分析】作 GICD 于 I，GRBC 于 R，EHBC 交 BC 的延长线于 H连接 RF则四边形RCIG是正方形首先证明点 F在线段 BC 上，再证明 CH HE即可解决问题【解答】解：作 GICD 于 I，GR BC 于 R，EHBC 交 BC 的延长线于 H连接 RF则四边形 RCIG是正
23、方形DGFIGR 90，DGIRGF，在GID 和GRF 中，GIDGRF，GIDGRF90，点 F 在线段 BC 上，GDFIR在 Rt EFH 中，EF2，EFH30，EH EF1 ，FH ，23易证RGFHFE ，RFEH，RGRCFH，CH RF EH，CE ，2RG HF ，CG RG ，CECG 3266故答案:A 7 （ 2017 鄂州）如图四边形 ABCD 中，ADBC，BCD90，AB BCAD，DAC 45 ，E 为 CD 上一点，且 BAE45若 CD4，则ABE 的面积为（ ）A B C D127247487507【分析】如图取 CD 的中点 F，连接 BF 延长 BF
24、 交 AD 的延长线于 G，作 FHAB 于H，EKAB 于 K作 BTAD 于 T由BCF GDF，推出 BCDG ，BFFG，由FBC FBH，FAHFAD，推出 BCBH，ADAB ，由题意 ADDC4 ，设BC TDBHx ，在 RtABT 中，AB 2BT 2AT 2，可得（x4 ） 24 2（4x） 2，推出x1，推出 BCBHTD 1，AB5 ，设 AKEKy，DEz ，根据AE2AK 2EK 2AD 2DE 2，BE 2BK 2KE 2BC 2EC 2，可得 42z 2y 2， （5y）2y 21 2（4z） 2，由此求出 y 即可解决问题【解答】解：如图取 CD 的中点 F，
25、连接 BF 延长 BF 交 AD 的延长线于 G，作 FHAB 于H，EKAB 于 K作 BTAD 于 TBC AG，BCF FDG，BFCDFG，FCDF，BCFGDF，BC DG，BFFG，AB BCAD ，AGADDGADBC，ABAG，BFFG，BFBG，ABF GCBF，FHBA，FCBC，FHFC ，易证FBCFBH，FAHFAD ，BCBH，ADAB，由题意 ADDC4 ，设 BCTDBH x ，在 RtABT中，AB 2BT 2AT 2，（ x4） 24 2（4x ） 2， x1 ，BC BHTD1，AB5，设 AKEKy ，DEz，AE 2AK 2EK 2AD 2DE 2，B
26、E 2BK 2KE 2BC 2EC 2， 4 2z 2y 2，（5 y） 2y 2 12（4z） 2由可得 y ，S ABE 5 ，07107故答案：D二、填空题8 （ 2017黑龙江）如图， BCEF，AC DF，添加一个条件 ，使得 ABCDEF【分析】三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS 、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 【解答】解：BC EF，ABC=E， ACDF，A= EDF，在 ABC 和DEF 中，EABCDFABCDEF ，同理
27、，BC=EF 或 AC=DF 也可求证 ABCDEF故答案:AB=DE 或 BC=EF 或 AC=DF 均可9 （ 2017泸州）在 ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是边 AC、AB 上的中线，且 BDCE，垂足为 O若 OD=2cm，OE=4cm，则线段 AO 的长度为 cm ODCEBA【分析】连接 AO 并延长，交 BC 于 H，根据勾股定理求出 DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出 OH，根据重心的性质答案【解答】解：连接 AO 并延长，交 BC 于 H，由勾股定理得，DE= ，522ODEBD 和 CE 分别是边 AC、AB 上的中线，BC=2DE= ，
28、O 是ABC 的重心，54AH 是中线，又 BDCE，OH= ，O 是ABC 的重心，AO=2OH= ，21BC4ODCHEBA故答案： 5410 （ 2017 无锡）如图，ABC 中，BAC 90，AB3 ，AC4，点 D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折得到AED，连 CE，则线段 CE 的长等于 【分析】如图连接 BE 交 AD 于 O，作 AHBC 于 H首先证明 AD 垂直平分线段 BE，BCE是直角三角形，求出 BC、BE，在 RtBCE 中，利用勾股定理即可解决问题【解答】解：如图连接 BE 交 AD 于 O，作 AHBC 于 H在 RtABC 中，AC4，AB3，BC
29、 ，CDDB ，ADDCDB ， BCAH AB2345+=5212AC，AH ，AEAB，DEDBDC ，AD 垂直平分线段 BE，BCE 是直角三角形，125 ADBO BDAH，OB ，BE2OB ，125245在 RtBCE 中，EC ，2227()BCE-=-三、解答题 11 （ 2018泰州）如图，A=D=90，AC =DB，AC、DB 相交于点 O.求证：OB=OC .【分析】结合题中已知条件，要证 OB=OC，可以考虑证OBC =OCB，这个条件可以通过证明 RtABC RtDCB 而得到；也可以考虑证明ABODCO ，差一对相等的边，也可以通过证明 RtABC RtDCB 而
30、得到【解答】解：证明：法一：A=D=90，AC =DB，BC=CB ，RtABCRtDCB（HL） ，OBC=OCB，BO=CO 法二：A=D =90，AC =DB，BC=CB ，RtABCRtDCB（HL） ，AB=DC，又AOB =DOC，ABO DCO（AAS） ，BO=CO12 (2018桂林)如图，点 A，D，C ，F 在同一条直线上，ADCF，AB DE，BCEF(1)求证ABC DEF；(2)若A55，B88，求F 的度数【分析】(1)首先由 ADCF，证得 ACDF，再用“SSS”证得ABC DEF；(2)根据三角形内角和定理，求得ACB 的度数，再根据全等三角形的性质，求得F
31、 的度数【解答】解：(1)证明：ADCF，ADDCDCCF，即 ACDF在ABC 和DEF 中，,DFACEB，ABC DEF(SSS) （2 ） A55，B88，ACB 180A B180558837ABC DEF，F ACB37 13 （ 2017 十堰）已知 O 为直线 MN 上一点，OP MN，在等腰 RtABO 中， BAO90，ACOP 交 OM 于 C，D 为 OB 的中点，DE DC 交 MN 于 E（1 ）如图 1，若点 B 在 OP 上，则AC OE（填“ ”， “”或“”） ；线段 CA、CO、CD 满足的等量关系式是 ；（2 ）将图 1 中的等腰 RtABO 绕 O 点
32、顺时针旋转 （0 45） ，如图 2，那么（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3 ）将图 1 中的等腰 RtABO 绕 O 点顺时针旋转 （4590） ，请你在图 3 中画出图形，并直接写出线段 CA、CO、CD 满足的等量关系式 【分析】 （1）如图 1，证明 ACOC 和 OCOE 可得结论；根据勾股定理可得：AC 2 CO2CD 2；（2 ）如图 2， （1 ）中的结论 不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明 A、D 、O、C 四点共圆，得ACDAOB，同理得：EFO EDO，再证明 ACOEOF，得OEAC，AOEF ，根据勾股定理得：AC 2OC 2FO 2OE 2EF 2，由直角
33、三角形中最长边为斜边可得结论；（3 ）如图 3，连接 AD，则 ADOD 证明 ACDOED，根据 CDE 是等腰直角三角形，得CE22CD 2，等量代换可得结论(OCOE )2(OCAC) 22CD 2，开方后是：OC AC CD【解答】解：（1）AC OE，理由：如图 1，在等腰 RtABO 中，BAO90，ABO AOB45 ，OPMN ， COP90 ， AOC 45，ACOP ，CAOAOB45 ，ACOPOE 90 ，ACOC，连接 AD，BDOD，ADOD，ADOB， ADOC，四边形 ADOC 是正方形，DCO45 ，ACOD，DEO 45，CDDE ， OCOE，AC OE；
34、在 RtCDO 中，CD 2OC 2OD 2，CD 2AC 2OC 2；故答案为：AC 2CO 2CD 2；（2 ）如图 2， （1 ）中的结论 不成立，理由是：连接 AD，延长 CD 交 OP 于 F，连接 EF，ABAO，D 为 OB 的中点， ADOB，ADO90，CDE90，ADOCDE，ADOCDO CDE CDO，即 ADC EDO， ADOACO90，ADOACO180 ， A、 D、O、C 四点共圆，ACDAOB ，同理得：EFO EDO，EFOAOC，ABO 是等腰直角三角形，AOB45，DCO45 ，COF 和CDE 是等腰直角三角形，OCOF ， ACO EOF90 ，
35、ACOEOF，OEAC ，AOEF，AC 2OC 2FO 2OE 2EF 2，RtDEF 中，EFDEDC， AC2OC 2DC 2，所以（1）中的结论 不成立；（3 ）如图 3，结论：OCCA CD，理由是：连接 AD，则 ADOD，同理：ADC EDO， CABCAOCAOAOC 90，CAB AOC，DAB AOD45，DAB CABAOD AOC，即 DAC DOE， ACDOED，ACOE，CD DE，CDE 是等腰直角三角形，CE 22CD 2，(OCOE) 2( OCAC )22CD 2， OCAC CD，故答案为：OCAC CD214 .(2017 阜新)在菱形 ABCD 中，
36、点 E 为对角线 BD 上一点，点 F，G 在直线 BC 上，且BE EG，AEFBEG（1 ）如图 1，求证：ABEFGE；（2 ）如图 2，当ABC120时，求证：ABBEBF；（3 ）如图 3，当ABC90，点 F 在线段 BC 上时，线段 AB，BE，BF 的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)【分析】 （1）先判断出AEBFEG ，即可得出结论；（2 ）先判断出 BEBG，再借助（1） ABEFGE，即可得出结论；（3 ）先判断出AEB FEG，进而判断出ABEFGE(ASA)，再得出 BG BE，即可得2出结论【解答】解：（1） BD 是菱形 ABCD 的对角线， ABDCBD
37、，BEEG， CBDBGE，AEFBEG， AEB FEG，在ABE 和FGE 中， ， ABEFGE(ASA)；FGEAB（2 ） BD 是菱形 ABCD 的对角线， CBD ABC60， BEEG， BEG 是等边三角12形， BEBG ，由（1）知， ABEFGE，ABFGBFBGBFBE ；（3 ）结论：ABBF BE理由：ABC90，菱形 ABCD 是正方形，ABBC，BD2是正方形 ABCD 的对角线，ABD CBD45，BEEG， G CBE45 ABD， AEF BEG，AEB FEG，在ABE 和FGE 中， ， ABEFGE(ASA)， ABFG，GABEFABBCBFFC
38、，FG CFCG，BFCG ，BG BCCG ABBF，CBG G45，BEG90 ，BG BE，ABBF BE2215(2018 泰安)如图，ABC 中，D 是 AB 上一点，DE AC 于点 E,，F 是 AD 的中点，FGBC，于点 G ，与 DE 交于点 H，若 FG=AF，AG 平分 CAB，连接 GE，GD.（1）求证：ECGGHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.（3）若B=30，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由 .【分析】 （1）由条件得出C=DHG=90，CGE= GED，由 F 是 AD 的中点，FGAE ，即可得到
39、FG 是线段 ED 的垂直平分线，进而得到 GE=GD，CGE=GDE ，利用 AAS 即可判定ECGGHD；（2）过点 G 作 GPAB 于 P，判定CAG PAG，可得 AC=AP，由（1）可得 EG=DG，即可得到 RtECGRtGPD，依据 EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；（3）由B=30 ，可得ADE=30，进而得到 AE= AD，故AE=AF=FG，再根据四边形 AECF 是平行四边形，即可得到四边形 AEGF 是菱形【解答】解：（1）AF=FG，FAG=FGAAG 平分CAB，CAG= FGA， CAG=FGA，ACFG DEAC， FGDEFGBC， DEBC
40、，AC BC，C=DHG=90，CGE=GED F 是 AD 的中点，FGAE， H 是ED 的中点，FG 是线段 ED 的垂直平分线，GE=GD，GDE=GED ，CGE= GDE，ECGGHD；（2）过点 G 作 GPAB 于 P，GC=GP ，而 AG=AG，CAGPAG， AC=AP，由（1）可得 EG=DG，Rt ECGRtGPD，EC=PD，AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形 AEGF 是菱形证明如下：B=30 ， ADE=30，AE= AD，AE=AF=FG，由（1）得 AEFG， 四边形 AECF 是平行四边形，四边形AEGF 是菱形16 （ 2017成都 A 卷）问题
41、背景：如图 1，等腰ABC 中， AB=AC，BAC=120，作 ADBC于点 D，则 D 为 BC 的中点， BAD= BAC=60，于是 ；迁移应用：如232ABDC图 2， ABC 和ADE 都是等腰三角形，BAC=DAE=120，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接 BD求证：ADBAEC；请直接写出线段 AD，BD，CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图 3，在菱形 ABCD 中，ABC=120，在ABC 内作射线 BM，作点 C 关于 BM的对称点 E，连接 AE 并延长交 BM 于点 F，连接 CE，CF证明CEF 是等边三角形；若 AE=5，CE=2，求 BF 的长【分析】迁移应用：如图 中，只要证明DAB= CAE，即可根据 SAS 解决问题；结论：CD= AD+BD由 DABEAC，可知 BD=CE，在 RtADH 中，DH=ADcos30=3AD，由 AD=AE，AHDE ，推出 DH=HE，由 CD=DE+EC=2DH+BD= AD+BD，即可解决2 3问题；拓展延伸：如图 3 中，作 BHAE 于 H，连接 BE由 BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C 四点共圆，推出ADC= AEC=120，推出FEC=60，推出EFC 是等边三角形；由 AE=5，EC=EF=2，推出 AH=HE=2
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