1、二次函数聚焦考点温习理解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果 )0,(2 acbaxy是 常 数 ， ，那么 y 叫做 x 的二次函数。),(2cbxay是 常 数 ，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 cbxay2与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起
2、来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）顶点式： )(kh是 常 数 ，（3）当抛物线 cxy2与 x 轴有交点时，即对应二次好方程02cbxa有实根 1和 2存在时，根据二次三项式的分解因式)(xa，二次函数 cbxay2可转化为两根式)(21xy。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 abx2时， abcy42最 值。如果自变量的取值范围是 21x，那么，首先要看 ab2是否在自变量取值范
3、围21x内，若在此范围内，则当 x= ab时， cy4最 值 ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 21x范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 2x时， cbay最 大 ，当 1x时， cbay12最 小 ；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当 1x时， x12最 大 ，当 2x时，cba2最 小。四、二次函数的性质 1、二次函数的性质2、二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 ， 中， cb、 的含义：a表示开口方向： 0 时，抛物线开口向上, 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0 时，抛物线开口向上, 0
4、时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0 时，图像与 x 轴没有交点。名师点睛典例分类考向一：求二次函数解系式典例 1：（2017宜宾）如图，抛物线 1)(221xy与 3)4(22xay交于点A（1 ，3 ） ，过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于 B、C 两点，且 D、E 分别为顶点则下列结论：a 2；ACAE；ABD 是等腰直角三角形；当 x1 时， 21y其中正确结论的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】用待定系数法求二次函数解析式有三种方法：三点式、交点式、顶点式，灵活选择可使计算简洁本题给出的是顶点式，只要把点
5、A 坐标代入 y2，求出 a 的值，即可得到函数解析式；令 y3，求出 A、B、C 的横坐标，然后求出 BD、AD 的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案【解答】解：抛物线 1)(221x与 3)4(22xay交于点 A（1，3） ， 3)41(32a，解得：a 3，故正确；E 是抛物线的顶点，AEEC ，无法得出 ACAE ，故错误；当 y3 时， )1(22x，解得： ,21x，故 B（3 ，3） ，D（1，1） ，则 AB4 ，ADBD ， ABDABD 是等腰直角三角形，正确； )1(22x3)4(2x12（x1 ）2 1 3（x 4 ）23 时，解得： 7,21，
6、当 37 x1 时， y，故 错误故答案：B考向二：二次函数图象和性质典例 2：（2017荆门）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 cbxay2（a0）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）Aa 0，b0，c0 B 2ba1C abc0 D关于 x 的方程 12cbx有两个不相等的实数根【分析】根据二次函数的性质一一判断即可【解答】解：A、错误a 0，b0，c 0B、错误 2a1C、错误x1 时，yab c 0 D 、正确观察图象可知抛物线 cby与直线 y1 有两个交点，所以关于 x 的方程 12x有两个不相等的实数根故答案：D考向三：二次函数图象与系数的关系典例 3：（2017日
7、照）已知抛物线 cbxay2 (a0)的对称轴为直线 x2 ，与 x 轴的一个交点坐标为(4，0) ，其部分图象如图所示，下列结论：抛物线过原点；4ab c 0；a bc0；抛物线的顶点坐标为(2，b) ；当 x2 时，y 随 x 增大而增大其中结论正确的是（ ）A B C D【分析】由抛物线的对称轴结合抛物线与 x 轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论正确；由抛物线对称轴为 2 以及抛物线过原点，即可得出 b4a 、c0 ，即4abc0 ，结论 正确； 根据抛物线的对称性结合当 x5 时 y0，即可得出a bc0，结论错误；将 x2 代入二次函数解析式中结合 4abc0，即可求出抛物线
8、的顶点坐标，结论正确； 观察函数图象可知，当 x2 时，y 随 x 增大而减小，结论错误综上即可得出结论【解答】解：抛物线 y ax2bxc(a0)的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线与 x 轴的另一交点坐标为 (0，0)，结论正确；抛物线 y cba2 (a0)的对称轴为直线 x2，且抛物线过原点， 2ba2，c 0，b4a，c 0，4ab c0，结论 正确；当 x1 和 x5 时，y 值相同，且均为正，abc0，结论错误；当 x2 时， 24a2bc(4abc)bb，抛物线的顶点坐标为(2 ，b)，结论 正确；观察函数图象可知：当 x2 时，yy 随 x 增大
9、而减小，结论 错误综上所述，正确的结论有：故答案：C考向四：纯二次函数代数推理典例 4：（2017泰安）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：x 1 0 1 3y 3 1 3 1下列结论：抛物线的开口向下； 其图象的对称轴为 x=1； 当 x1 时，函数值 y 随x 的增大而增大；方程 ax2+bx+c=0 有一个根大于 4，其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为 x= 23，再由图象中的数据可以得到当 x= 2取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x 23
10、时， y 随 x 的增大而增大，当 x 3时，y 随 x 的增大而减小，然后跟距 x=0 时，y=1，x= 1 时， y=3，可以得到方程 ax2+bx+c=0 的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题【解答】解：由表格可知，二次函数 y=ax2+bx+c 有最大值，当 x= 203= 时，取得最大值，抛物线的开口向下，故正确，其图象的对称轴是直线 x= ，故错误，当 x 23时，y 随 x 的增大而增大，故正确，方程 ax2+bx+c=0 的一个根大于 1，小于0，则方程的另一个根大于 3，小于 3+1=4，故错误，故答案：B考向五：二次函数与几何综合推理典例 5：（2017泸州）已知抛物线
11、 142xy具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F（0，2）的距离与到 x 轴的距离始终相等，如图，点 M 的坐标为（ 3，3） ，P 是抛物线 14xy上一个动点，则 PMF 周长的最小值是（ ）A3 B4 C5 D6【分析】过点 M 作 MEx 轴于点 E，交抛物线 y= 142xy于点 P，由 PF=PE 结合三角形三边关系，即可得出此时PMF 周长取最小值，再由点 F、M 的坐标即可得出 MF、ME的长度，进而得出PMF 周长的最小值【答案】解：过点 M 作 MEx 轴于点 E，交抛物线 142xy于点 P，此时PMF 周长最小值，F （0 ，2） 、M（ 3，3 ） ，ME=3，
12、FM=2(30)()，PMF 周长的最小值=ME+FM=3+2=5故答案：C考向六：动态问题类的二次函数典例 6：（2017武汉）已知点 A（1 ，1） 、B（4 ，6）在抛物线 bxay2上 （1 ）求抛物线的解析式； （2 ）如图 1，点 F 的坐标为（0 ，m） （m2） ，直线 AF 交抛物线于另一点 G，过点 G 作 x轴的垂线，垂足为 H设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连接 FH、AE，求证：FHAE； （3 ）如图 2，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 C、D 两点点 P 从点 C 出发，沿射线 CD 方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点 Q 从原点 O 出发，
13、沿 x 轴正方向匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点，当运动到 t 秒时，QM=2PM，直接写出 t 的值【分析】以动态几何为背景，考查二次函数与一次函数关系、图象上点的坐标求法、用待定系数法求解析式，涉及函数、方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法的考查【解答】 （1）解：将点 A（1，1） 、B（4 ，6）代入 bxay2中，解得： ，抛物线的解析式为 xy21（2 ）证明：设直线 AF 的解析式为 y=kx+m，将点 A（1，1 ）代入 y=kx+m 中，即k+m=1 ，k=m1，直线 AF 的解析式为 y=（m1）x+m联立直线 AF 和抛物线解
14、析式得方程组，解得： ， ，点 G 的坐标为（2m， 2） GH x 轴，点 H 的坐标为（2m ，0 ） 抛物线的解析式为 y= )1(1x，点 E 的坐标为（1，0） 设直线 AE 的解析式为 1bky ， 将 A（1，1） 、E（1，0 ）代入 x中，解得： ，直线 AE 的解析式为 21xy设直线 FH 的解析式为 2bxky ，将 F（0 ，m） 、H（2m，0 ）代入 2bky中，解得： ，直线 FH 的解析式为 mxy21FHAE （3 ）设直线 AB 的解析式为 0bxky ， 将 A（1 ，1） 、B（4 ，6）代入 0bxky ，解得： ，直线 AB 的解析式为 y=x+2
15、当运动时间为 t 秒时，点 P的坐标为（t2 ，t） ，点 Q 的坐标为（ t，0） 当点 M 在线段 PQ 上时，过点 P 作 PPx 轴于点 P，过点 M 作 MMx 轴于点 M，则PQPMQM，如图 2 所示 QM=2PM， = = ， QM= ，MM= t， 点M 的坐标为（t ， t） 又点 M 在抛物线 y= x2 x 上， t= （t ）2 （t ） ，解得：t= ；当点 M 在线段 QP 的延长线上时，同理可得出点 M 的坐标为（t 4，2t） ，点 M 在抛物线y= x2 x 上，2t= （t4）2 （t 4） ，解得：t= 综上所述：当运动时间为 秒、 秒、 秒或 秒时，Q
16、M=2PM 课时作业能力提升一选择题1 （ 2018岳阳，4，3 分）抛物线 y3( x2) 25 的顶点坐标是 ( )A(2 ，5) B(2，5) C(2，5) D(2，5)【分析】抛物线顶点式 ya(xh) 2k 的顶点坐标为(h,k).【解答】解：y3(x 2) 25 的顶点坐标是(2，5) 故答案：C2 （ 2017广安）如图所示，抛物线 yax 2bx c 的顶点为 B(1，3) ，与 x 轴的交点 A 在点(3，0)和( 2，0)之间，以下结论：b24ac0；ab c 0；2ab0 ；c a3其中正确的有( )A1 B2 C3 D4【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断【解答】解：
17、抛物线与 x 轴有两个交点， 0，b 24ac0 ，故 错误；由于对称轴为 x 1，x 3 与 x1 关于 x1 对称， x3 时，y 0，x 1 时，yab c 0 ，故 错误；对称轴为 x 2ba1， 2ab0 ，故 正确；顶点为 B(1，3) ，ya bc3 ， ya2ac3，即 ca3，故正确；故答案：B3 （ 2018黄冈）当 axa1 时，函数 yx 22x 1 的最小值为 1，则 a 的值为（ ）A1 B2 C0 或 2 D1 或 2【分析】考查二次函数增减性,先配方再分情况进行计算即可【解答】解：当 x0 或 2 时，函数 yx 22x1 2的值为 1，当 x0 时，y有最小值
18、 1，当 0x 2 时，y 有最小值 0，当 x2 时， y 有最小值 1；当 axa1时，函数 yx 22x 1 的最小值为 1，a1 0 或 a2 ，a1 或 2故答案： D4 （ 2017扬州）如图，已知 ABC 的顶点坐标分别为 A(0，2) 、B(1，0) 、C(2，1)，若二次函数 y=x2+bx +1 的图象与阴影部分(含边界) 一定有公共点，则实数 b 的取值范围是( )Ab 2 Bb2 Cb2 Db 2【分析】抛物线经过 C 点时 b 的值即可【解答】解：把 C(2，1) 代入 y=x2+bx +1，得 4+2b+1=1，解得 b=2故 b 的取值范围是 b2故答案：C6 (
19、2018荆门)二次函数 yax 2bxc( a0) 的大致图象如图所示，顶点坐标为(2，9a )，下列结论： (1)4a2bc0 ；(2)5abc0；(3) a(x5)(x1)1 有两个根 x1 和 x2，且 x1x 2，则5 x 1x 21；(4)若方程ax 2bx c1 有四个根，则这四个根的和为4其中正确的结论有 ( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c (a0)，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴
20、的位置：当 a 与 b 同号时( 即 ab0) ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时( 即 ab0)，对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与 y 轴交于(0，c) ；考查二次函数增减性及二次函数与一元二次方程的关系【解答】解：抛物线的开口向上，a0 抛物线的对称轴是y2， 2ba2，即 b4a将顶点坐标( 2，9a )代入抛物线的解析式，得4a2 bc9 ac2b13 a将代入上式，得 c5a 抛物线的解析式为ya (x24x5)，即 ya(x 5)(x1)(1)当 x2 时，y4 a2bc4 a8a5 a7a0 ，可见结论(1)正确；(2)5abc5a4a5
21、a 4a0 ，可见结论(2) 错误；(3)将方程变形，得 x24x51a0 由求根公式，得 x219a当原方程有实数根时，19a 3， 93 x 12 5，x 2215x 1x 21可见结论(3)正确(4)方程ax 2bxc 1 可变形为 ax2bxc1每个一元二次方程的两根之和都等于ba4此方程的四个根之和是8可见结论 (4)错误综上所述，结论(1)、(3) 正确，即正确结论有 2 个，故答案：B6 (2018青岛)已知一次函数byxca的图象如图，则二次函数 yax 2bxc 在平面直角坐标系中的图象可能是( )A B C D【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系可得答案【解答】解：一
22、次函数byxca的图像从左往右是下降的，且与 y 轴的交点在 x 轴上方，ba0，c0 对于二次函数 yax 2bxc，c0， 2ba0 ，它的图像与 y 轴的交点在 x 轴上方，对称轴在 y 轴右侧，故只有选项 A 符合题意故选：A7 （ 2017恩施）如图，在平面直角坐标系中 2 条直线为 l1：y= 3x+3，l2：y= 3x+9，直线 l1交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，直线 l2 交 x 轴于点 D，过点 B 作 x 轴的平行线交 l2 于点 C，点 A、E 关于 y 轴对称，抛物线 y=ax2+bx+c 过 E、B 、C 三点，下列判断中：ab+c=0；2a+b+c=5 ；
23、抛物线关于直线 x=1 对称；抛物线过点（b，c） ；S 四边形 ABCD=5，其中正确的个数有（ ）A5 B4 C3 D2【分析】考查抛物线与 x 轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 【解答】解：直线 l1：y=3x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B， A（1，0） ，B（0 ，3） ，点 A、E 关于 y 轴对称，E （1，0 ） 直线 l2：y= 3x+9 交 x 轴于点 D，过点 B 作 x 轴的平行线交 l2 于点 C，D（3， 0） ，C 点纵坐标与 B 点纵坐标相同都是 3，把 y=3 代入 y=3x+9
24、，得 3=3x+9，解得 x=2， C（2 ，3） 抛物线 y=ax2+bx+c 过 E、B、C 三点，0342abc，解得123abc， y=x2+2x+3抛物线 y=ax2+bx+c 过 E（ 1，0 ） ，ab+c=0，故 正确；a=1，b=2，c=3 ，2a+b+c=2+2+3=35，故 错误；抛物线过 B（0，3） ，C（2，3 ）两点，对称轴是直线 x=1，抛物线关于直线 x=1 对称，故 正确；b=2，c=3 ，抛物线过 C（ 2，3）点，抛物线过点（b，c） ，故正确；直线 l1l2，即 ABCD，又 BCAD，四边形 ABCD 是平行四边形，S 四边形 ABCD=BCOB=2
25、3=65，故错误综上可知，正确的结论有 3 个故答案：C二、填空题8 (2018广安)已知二次函数 yax 2bxc 的图象如图 6 所示，对称轴为直线 x1，则下列结论正确的有_( 填写结论的序号) abc0；方程 ax2bx c0 的两根是 x11 ，x 2 3；2 ab 0 ；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小【分析】考查二次函数图象与性质,由图象和特殊点确点 a,b,c 的符号及函数增减性【解答】解：(1)抛物线开口向下，a0对称轴在 y 轴右边， 2b0b0抛物线与 y 轴的负半轴相交，c 0abc 0可见结论错误；(2)由抛物线的对称性可知，抛物线与横轴的另一个交点是(1 ，0
26、) ，可见结论正确；(3)抛物线的对称轴是 x1， 2ba1 变形得 2ab 0可见结论正确；(4)当 0x 1 时，y 随 x 的增大而增大，可见结论错误综上所述，正确的结论是9 （ 2018巴中）己知：二次函数 yax 2bxc 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表格所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 .x 1 0 1 2 y 0 3 4 3 【分析】依据抛物线的对称性即可解答【解答】利用抛物线的对称性，抛物线 yax 2bx c 经过（0，3） 、 （2，3）两点，对称轴 x 1；点（1，0）关于对称轴对称点为（3，0） ，因此它的图象与 x 轴的另一个交点坐
27、标是1yxO 3（3，0） 故答案为（3，0） 10 （ 2018镇江）已知二次函数 y 24xk的图像的顶点在 x轴下方，则实数 k的取值范围是_【分析】根据二次函数图象与一元二次方程和等式关系解答即可【解答】解：二次函数 y 24xk的图像的顶点在 x轴下方，二次函数 y24xk的图像与 轴有两个公共点 24bac0，即2(4)1k0解得4故答案： 4三、解答题 11（ 2018孝感改编）如图，抛物线 yax 2 与直线 ybxc 的两个交点坐标分别为 A(2,4) ，B(1,1)，求方程 ax2=bx+c 的解【分析】考查待定系数法求函数解析式,二次函数与方程的关系,会根据解析式求直线与
28、抛物线的交点坐标【解答】解:由题意得2yaxbc的解为 124xy， 1，易得关于 x 的方程ax2bxc=0 的解为 x1=2，x 2=1所以方程 ax2=bx+c 的解是 x1=2，x 2=112（ 2018淄博改编）已知抛物线 yx 22 x3 与 x 轴交于 A、B 两点( 点 A 在点 B 的左侧) ，将这条抛物线向右平移 m(m 0）个单位，平移后的抛物线与 x 轴交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左侧） 若 B，C 是线段 AD 的三等分点，求 m 的值.【分析】考查二次函数图象平移规律,要注意线段分情况解答【解答】解:抛物线 yx 22x3（x 3）(x 1)，所以 A
29、点坐标为（3 ，0） ，B 点坐标O xABy为（1，0 ）.抛物线平移后，当点 C 在 B 点右侧时，由 B，C 是线段 AD 的三等分点，知 m8.抛物线平移后，当点 C 在 B 点左侧时，由 B，C 是线段 AD 的三等分点，知 m213（ 2018襄阳改编）已知二次函数 yx 2x 14m1 的图象与 x 轴有交点，求 m 的取值范围Am5 Bm2 Cm5 Dm2【分析】考查二次函数图象与一元二次方程关系【解答】解:抛物线 yax 2bxc 与 x 轴有交点，意即有两个交点或一个交点，所以b2 4ac0 ，则(1) 241( m1) 0 ，解得 m514 （ 2018南通）在平面直角坐
30、标系 xOy 中，已知抛物线 yx 22(k1)xk 25k（k 为常数） （1）若抛物线经过点 (1，k 2)，求 k 的值（2 ）若抛物线经过点(2k，y 1)和点(2，y 2)，且 y1y 2，求 k 的取值范围（3 ）若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线，当 1x2 时，新抛物线对应的函数有最小值32，求 k 的值【分析】 （1）根据抛物线 yx 22(k 1)x k 25k（k 为常数）经过点(1 ，k 2)，可以将点(1，k 2)的坐标代入抛物线的解析式，得到关于 k 的方程，从而求出 k；（2 ）根据抛物线经过点(2k，y 1)和点(2，y 2)，可以代入抛物线解析式得
31、到 y1，y 2 关于 k 的表达式，在根据 y1y 2 列出关于 k 的不等式，从而求出 k 的取值范围；（3 ）先利用顶点坐标的变化求出平移后的抛物线的解析式，再根据对称轴的位置，结合二次函数的增减性，分三种情况进行分类讨论【解答】 （1）抛物线 yx 22(k 1)x k 25k（k 为常数）经过点(1 ，k 2)，1 2(k1) k25kk 2解得 k 3（2 ） 抛物线经过点(2k，y 1)和点(2，y 2)，y 1(2k) 24k (k1) k 2 kk 2 k，y 244(k 1) k 25kk 213k8；又y 1 y2， k23kk 2 k8，k1（3 ） 抛物线 yx 22
32、(k1)x k 25k(xk1) 21k1，平移后的解析式为 y(x k) 21k1该抛物线的对称轴为直线 xk 若 k 1，则当 x1 时，y 有最小值3(1k) 21k132，解得 k11，k 232k1，k 11 ，k 2 都不符合题意，舍去若 1k 2，则当 xk 时，y 有最小值32 k132，解得 k1若 k 2，则当 x2 时，y 有最小值 (2k) 2 k132，解得 13， 2 k1，k3综上，k 的值为 1 或 3 15 （ 2018泰州）平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2-2mx+m2+2m+2 的图象与 x 轴有两个交点.（1）当 m=-2 时，求二次函数的
33、图象与 x 轴交点的坐标；（2）过点 P(0，m-1)作直线 ly 轴，二次函数图像的顶点 A 在直线 l 与 x 轴之间(不包含点 A 在直线 l 上)，求 m 的范围；（3）在（2）的条件下，设二次函数图像的对称轴与直线 l 相交于点 B，求ABO 的面积最大时 m 的值. yxO【分析】 （1）先将 m=-2 代入，得出函数解析式，在列一元二次方程即可求解；（ 2）先对函数图像大概位置有个初步的认识，结合题干中的条件“图象与 x 轴有两个交点”知道抛物线的顶点在 x 轴下方，且在直线 l 上方，这样可以根据 A 的纵坐标列不等式组求解；（3）在（2）的基础上进一步明确抛物线顶点 A 在第
34、三象限，用含 m 的代数式表示出ABO 的底 AB 和高，就可以列出其面积关于 m 的函数关系式，从而利用二次函数的最值解决问题.【解答】解：（1）当 m=-2 时，函数为 y= x2+4x+2，令 y=0，则 x2+4x+2=0，解得 x1=-2+2，x 2=-2- ，函数图象与 x 轴交点的坐标为（-2+ ，0） ， （-2- ，0）.（2）y=x 2-2mx+m2+2m+2=（x-m） 2+2m+2，A（m，2m+2） ，抛物线与 x 轴有两个交点，且开口向上，点 A 在 x 轴下方，由题意得 120m，解得 m 的取值范围是-3m-1.（3） （3）由（2）知抛物线对称轴为直线 x=m
35、，顶点为 A（m，2m+2） ，-3m-1，A 在第三象限，B 为抛物线对称轴与 l 的交点， B（m，m-1）且点 m 在点 A 下方，AB =2m+2-(m-1)=m+3，S ABO = 21（-m）(m+3)=- 21(m+3)2+89，当 m=- 23时，SABO 最大 =89，综上，ABO 的面积最大时 m 的值为- .16 (2018 宜昌 )如图，在平面直角坐标系中，矩形 OADB 的顶点 A,B 的坐标分别为 A(-6,0),B(0,4),过点 C(-6,1)的双曲线 y= )0(kx与矩形 OADB 的边 BD 交于点 E.(3) 填空：OA=_,K=_,点 E 的坐标为_;
36、(4) 当 61t时，经过点 M（ )2351,2tt与点 N（ )2731,2tt的直线交 y 轴于点 F，点 P 是过 M,N 两点的抛物线 cbxy21的顶点。 当点 P 在双曲线 y= xk上时，求证：直线 MN 与双曲线 y= k没有公共点 当抛物线 cby21与矩形 OADB 有且只有三个公共点，求 t 的值； 当点 F 和点 P 随着 t 的变化同时向上运动时，求 t 的取值范围，并求在运动过程中直线MN 在四边形 OAEB 中扫过的面积【解答】解：综合考查二次函数图象与性质,二次函数定轴动区间及二次函数与方程,图形面积等问题,会用临界分析等办法进行合情推理与计算说理.【解答】解
37、：（1）填空： OA=6,k=-6,点 E 的坐标为（ 23，4） ；（2 ） 通法是：设直线 MN： 1bxky，由题意得 112)3(7315btkt，解之得 1k， 242tb，直线 MN： 42txy（或分别过 M,N 作坐标轴的平行线，由 K 的几何意义，由纵横比得k= 12)3(1)72522 tttt,再把 M 或 N 的坐标代入 1bxy求出直线解析式 2142txy，从而避开繁杂运算）抛物线 cy21过M,N， ctbtt )3()(2173211522，解得 1b， 25tc，抛物线 5txy，顶点 P(-1, 5t)顶点 P(-1, 2t)在双曲线 xy6上， 61(2(
38、， 23t，此时直线MN： 83xy，联立 83和 并消去 y 得： 048582x，OADCBE此时 01536248352 ，直线 MN 与双曲线 xy6没有公共点；抛物线 1txy的顶点 P(-1, 23t)，抛物线开口向下且顶点 P 在直线 x=-1 上，而 06，抛物线与矩形 OADB 有且只有三个公共点时，有二种情形：情形 1：当抛物线过 B 点时，此时有 254t，解得 56t；（或当抛物线过 B 点时，由对称性知，抛物线与 BD 有另一个交点（ 2，4） ， 25)(21t，得56t抛物线此时必与 AD 相交于 M（6 ， ） ， 此时 M 的横坐标为6 ，得 M 的纵坐标为0
39、85)(212 ，此时 M 在 DA 延长线上， 此时，令 y=0,得40x，解之得 x= 2或 7，即抛物线与 x 轴有两个交点为（ )0,25或),7(，故此时抛物线与矩形有三个交点，即 B 点（0，4）和(-2,4)及 7(，故56t符合题意；情形 2：当 P 不过 B 点时，抛物线与矩形 OADB 有且只有三个公共点，则必有 P 必在 DB 上，且抛物线右侧必与线段 BO 相交，其左侧必与线段 AD 相交或有一个交点在 AO 上，则有435t，得 10t，当 t时，有 271xy，抛物线与线段 OB 交于（0 ， 27）与 DB 交于（1，4） ，与线段 AD 交于（6 ， 5） ，此
40、时，令 y=0,得x，解之得 21x，即抛物线与有两个交点，但这两个交点有一个 ),(在线段 AO 上故此时抛物线与矩形有三个交点，即（0， 27） ， （1，4） ，021故 1t符合题意； 综上所述，存在 10t或值 56t使得抛物线与矩形OADB 有且仅有三个交点解法二：由于抛物线 252txy知抛物线开口向下，其顶点 P(-1, 235t)，抛物线与 y 轴的交点为（0，5t-2）, 当抛物线与矩形 OADB 有且仅有三个交点时，必有以下结论：即 35t即 10t时，抛物线必与 x 轴有两个交点，设这两个交点的横坐标为21,x， 21， 4tx，故有以三种情形：情形 1： 42503t
41、，解之得 1052t， 0721x，即抛物线与 x 轴交点一个在原点左边，一个在原点右边，此时抛物线与矩形的一个交点 K（0 ，5t-2）正好在 OB上，由抛物线对称性知，K 关于 x=-1 的对称点为（2 ，5t-2）却没能落在 AD 上，即此时抛物线与矩形只有两个交点，故此种情形不成立，应舍去；情形 2： 当 435t时，解之得 10t，此时 074102tx，即即抛物线与 x 轴交点一个在原点左边，一个在原点右边，此时抛物线与矩形的一个交点 K（0 ，5t-2）正好在 OB 上，K 关于 x=-1 的对称点为 5t却没能落在 AD 上，由 071x解得 21x，知 )0,21(恰好落在线
42、段 OA 上，故t时，抛物线与矩形 OADB 有且仅有三个交点；情形 3： 425t时，解之得 56t时，此时 0412tx，即抛物线与 x 轴交点一个在原点左边，一个在原点右边，此时 t,即抛物线与 y 轴交点 K（0，5t-2）或与 B 重合或在 B 点上方，当 K 与 B 重合时，有 56，此时抛物线与矩形的一个交点K（0，5t-2）正好在 OB 上，即抛物线恰好过 B 点，即与矩形有且仅有三个交点，分别是（0 ， 4） 、 （2，0） ， )0,27(当 K 在 B 点上方时，即 56t，抛物线开口向上，由 4235t知顶点 P 在直线 BD 上方，故此时，抛物线最多与矩形有两个交点，故此情形不成立，应舍去，综上所述，存在 10t或值 t使得抛物线与矩形 OADB 有且仅有三个交点点 P 的坐标为 P(-1, 235)， 235typ，当 61t时， py随着 t 的增大而增大，此时，当 6t时，随着 t 的增大，点 P 在直线 x=-1 上向上运协，而点 F(0, 2142t)， 1)4(2yF，由二次函数性质可知，当 41t时，Fy随着 t 的增大而增大，此时，当 t时，随着 t 的增大 F 点沿着 y 轴向上运动，综上所述， 1；
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