2019年黑龙江省大庆一中高考数学二模试卷（理科）含答案解析

1、2019 年黑龙江省大庆一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| y ，Bx|ylog 2x1） ，则 AB（  ）A （0，+） B （，0）（2，+）C （，0）（0，+ ） DR2 （5 分）已知 z ，其中 i 为虚数单位，则| z|（  ）A B1 C D23 （5 分）设 a，b 为正数，且 a+b4，则（  ）A 1 B 2 Cab4 Dab84 （5 分）已知数列a n是等差数列，a 10，a 8+a90，a 8a90

2、则使 Sn0 的 n 的最小值为（  ）A8 B9 C15 D165 （5 分）已知函数 f（x ）log 2（ +m）是奇函数，则实数 m（  ）A2 B1 C1 D26 （5 分）设 F1，F 2 是双曲线 1（b0）的左，右焦点，过 F1 的直线 1 交双曲线的左支于 A，B 两点，若|AF 2|+|BF2|的最小值为 13，则双曲线的离心率为（  ）A B C D7 （5 分）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们定理涉及的是数的整除问题，其数学思

3、想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将 1 到2019 这 2019 个整数中能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列a n，那么此数列的项数为（   ）A58 B59 C60 D61第 2 页（共 26 页）8 （5 分）执行下面框图对应的程序，输出的 s ，则判断框内应填入的条件是（  ）Ai49？ Bi 49？ Ci99？ Di99？9 （5 分）已知函数（x）e x+ +2（其中 xR，e 为自然对数的底数） ，则下列说法错误的是（  ）A函数 f

4、（x）的图象关于 y 轴对称B函数 f（x ）的极小值为 4C函数 f（x ）在 R 上为增函数D函数 ye xf（x ）的值域为（1，+）10 （5 分）在三棱锥 SABC 中，已知 SA4，ABAC1，BAC ，若S，A， B，C 四点均在球 O 的球面上，且 SA 恰为球 O 的直径，则三棱锥 SABC 的体积为（  ）A B C D11 （5 分）已知 x1，x 2 是函数 f（x） x3+ ax2+bx（a，bR）的两个极值点，且x1（0，1） ，x 2（1，2） ，则a2+（b4） 2 的取值范围是（  ）A （ ，+） B （17，20） C （13，20）

5、D （ ，20）12 （5 分）已知点 P 是椭圆 M： 1 上的动点，过 P 作圆 N：x 2+y21 的两条切线 PA，PB （A，B 分别为切点） ，直线 AB 与 x，y 轴分别相交于 C，D 两点，则第 3 页（共 26 页）COD（O 为坐标原点）的最小面积为（  ）A1 B C D二、填空题：本共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知向量 （m ，8） ， （3，2） ，且（ + ） ，则实数 m     14 （5 分）已知直线 1：ax+by30 与圆 M：x 2+y2+4x10 相切于点 P（1，2） ，则直线 1 的方

6、程为     15 （5 分）在正项等比数列a n中，a n+1a n，a 2a86， a4+a65，则     16 （5 分）用 maxa，b，c 表示三个数 a，b，c 中的最大值，则函数 f（x）max ， ，log 2x在（0， +）上的最小值为      三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。17 （12 分）在BC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c

7、，且满足2acosC2bc （1）求角 A；（2）若 a2b（b+c） ，试判断ABC 的形状18 （12 分）如图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，SA平面 ABCD，二面角 SDC A 的大小为 ，E、F、G 分别是 SA、SB、BC 的中点（1）求证：SD平面 EFG；（2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得点 A 到平面 EFM 的距离为 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19 （12 分）已知抛物线 C： x22py（p0）的焦点为 F，直线 1；ykx +b（b0）与 C相交于 A，B 两点第 4 页（共 26 页）（1）记直线 OA

8、，OB 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1+k2k；（2）若抛物线 C 上异于 A， B 的一点 P（x 0，2） （x 00）到 C 的准线的距离为 ，且APB 90，问：直线 l 是否恒过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由20 （12 分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克） ，重量值落在（495，510的产品为合格品，否则为不合格品表 1 是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图表 1：甲流水线样本频数分布表产品重量（克） 频数（ 490，495 6（ 4

9、95，500 8（ 500，505 14（ 505，510 8（ 510，515 4（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取 1 件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面 22 列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” 甲流水线 乙流水线 合计合格品 a b不合格品 c d合 计 n第 5 页（共 26 页）参考公式： 其中 na+b+c+d；临界值表供参考：P（k 2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2

10、.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821 （12 分）已知函数 f（x ）e x+ax+a，其中 aR，e 为自然对数的底数（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）当 a0 时，对于x R，都有 f（x）0 成立求 a 的取值范围；证明： 1+ + + ln（n+1） （nN *） (二)选考题;共 10 分,请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。选修 44:坐标系与参数方程(10 分)22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C：p 22acos+a 24

11、0（a0） ，过点 P（2，4）的直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，直线与曲线 C 分别相交于 M、N 两点（1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）是否存在实数 a，使得|PM |、|MN| 、|PN| 成等比数列，并对你的结论说明理由选修 45:不等式选讲(10 分)23已知函数 f（x ）|x +a|，aR（1）若 a1，解不等式 f（ x）5|x2| ；第 6 页（共 26 页）（2）若关于 x 的不等式 f（x）5 的解集为9，1 ，且 a（m0，n0） ，求证：m+2n1第 7 页（共 26 页）2019 年黑龙江省大庆一中高考数学二模试卷（理科）参考答

12、案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| y ，Bx|ylog 2x1） ，则 AB（  ）A （0，+） B （，0）（2，+）C （，0）（0，+ ） DR【分析】可解出集合 A，B，然后进行并集的运算即可【解答】解：Ax| x0，Bx|x0） ；AB（，0）（0，+） 故选：C【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及并集的运算2 （5 分）已知 z ，其中 i 为虚数单位，则| z|（  ）A B1 C D2【分析】求出 z，求出 z 的模

13、即可【解答】解：z + i，故|z| ，故选：A【点评】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题3 （5 分）设 a，b 为正数，且 a+b4，则（  ）A 1 B 2 Cab4 Dab8【分析】根据基本不等式即可求出【解答】解：设 a，b 为正数，且 a+b2ab（ ） 24，当且仅当 ab2 时取等号，第 8 页（共 26 页）故选：C【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题4 （5 分）已知数列a n是等差数列，a 10，a 8+a90，a 8a90则使 Sn0 的 n 的最小值为（  ）A8 B9 C15 D16【分析】推导出8da 17d，从而（

14、 ， ） ，由此能求出使 Sn0 的 n 的最小值【解答】解：数列a n是等差数列，a 10，a 8+a90，a 8a90a 80，a 90，8da 17d，（ ， ） ，使 Sn0 的 n 的最小值为 16故选：D【点评】本题考查使等差数列的前 n 项和最小时 n 的值的求法，考查等差数列的性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5 （5 分）已知函数 f（x ）log 2（ +m）是奇函数，则实数 m（  ）A2 B1 C1 D2【分析】根据奇函数的定义得 f（x ）+f（x）0 恒成立【解答】解：依题意：f（ x）+f（x）log 2（ +m）+log 2（

15、 +m）0 恒成立，即（m+ ） （ m+ ） 1，即 （m +1）+m 21 0， ，解得 m1故选：B【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题第 9 页（共 26 页）6 （5 分）设 F1，F 2 是双曲线 1（b0）的左，右焦点，过 F1 的直线 1 交双曲线的左支于 A，B 两点，若|AF 2|+|BF2|的最小值为 13，则双曲线的离心率为（  ）A B C D【分析】根据双曲线的标准方程可得 a2，再由双曲线的定义可得|AF2|AF 1|2 a4，|BF 2| |BF1|2a4，得到| AF2|+|BF2|（|AF 1|+|BF1|）8，再根据 A、B 两点的

16、位置特征得到答案【解答】解：如图，根据双曲线的标准方程 1（b0） ，得 a2，由双曲线的定义可得：|AF 2|AF 1|2a4 ，|BF2|BF 1|2 a4 ，+可得：|AF 2|+|BF2|（ |AF1|+|BF1|）8，过双曲线的左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 A，B 两点，|AF 1|+|BF1|AB|，当| AB|是双曲线的通经时| AB|最小|AF 2|+|BF2|（|AF 1|+|BF1|）|AF 2|+|BF2|AB|8|BF2|+|AF2|AB|+12 +813解得 b ，则 e 故选：A【点评】本题考查两条线段和的最小值的求法，解题时要合理运用双曲线的简单性质，是中

17、档题7 （5 分）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理” ，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活第 10 页（共 26 页）都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将 1 到2019 这 2019 个整数中能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列a n，那么此数列的项数为（  ）A58 B59 C60 D61【分析】由数能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数就是能被 35

18、 整除余 2 的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数【解答】解：由数能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数就是能被 35 整除余 2 的数，故 an2+（n1）3535n33由 an35n332019得 n58+ ，nN +，故此数列的项数为：58故选：A【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基本知识的考查8 （5 分）执行下面框图对应的程序，输出的 s ，则判断框内应填入的条件是（  ）Ai49？ Bi 49？ Ci99？ Di99？【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质然后对循环体进行分析

19、，找出循环规律判断输出结果与循环次数以及 i 的关系最终得出选项【解答】解：经判断此循环为“直到型“结构，判断框内为跳出循环的语句，第 11 页（共 26 页）该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S + + +的值由于 S + + + （1 + + ） （1 ） ，由题意，s ，解得：i49，即当 i50 时，满足判断框内的条件，退出循环，输出 s ，可得判断框内应填入的条件是 i49？故选：B【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律本题属于基础题9 （5 分）已知函数（x）e x+ +2（其中 xR，e 为自然对数的底数） ，则下列说法错误的

20、是（  ）A函数 f（x）的图象关于 y 轴对称B函数 f（x ）的极小值为 4C函数 f（x ）在 R 上为增函数D函数 ye xf（x ）的值域为（1，+）【分析】根据题意，依次分析选项中说法是否正确，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，f（x）e x+ +2，则 f（x）e x +ex+2f （x） ，函数 f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，A 正确；对于 B，f（x）e x+ +2，其导数 f（x）e xe x ex ，若 f（x）0，解可得 x0，且当 x0 时，f（x）0，当 x0 时，f （x）0，则函数 f（x）的极小值为f（0）4，B

21、 正确；对于 C，有 B 的结论，C 错误；第 12 页（共 26 页）对于 D，函数 ye xf（x ）e 2x+2ex+1（e x+1） 21，其值域为（1，+） ；D 正确；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，涉及复合函数的单调性的判断，属于基础题10 （5 分）在三棱锥 SABC 中，已知 SA4，ABAC1，BAC ，若S，A， B，C 四点均在球 O 的球面上，且 SA 恰为球 O 的直径，则三棱锥 SABC 的体积为（  ）A B C D【分析】推导出ABSACS90，SBSC ，BC ，取 BC 中点 O，连结SO，AO，则 SOBC，AOBC ，AO

22、 ，BO ，SO ，从而cosSAO ，进而SAO 60，S 到平面 ABC 的距离 dSAsin60 2 ，由此能求出三棱锥 SABC 的体积【解答】解：在三棱锥 SABC 中，SA4，ABAC 1，BAC ，S，A，B ，C 四点均在球 O 的球面上，且 SA 恰为球 O 的直径，ABSACS 90，SBSC ，BC ，取 BC 中点 O，连结 SO，AO，则 SOBC ，AOBC ，AO ，BO ，SO ，cosSAO ， SAO60，S 到平面 ABC 的距离 dSAsin604 2 ，三棱锥 SABC 的体积：V 故选：C第 13 页（共 26 页）【点评】本题考查三棱锥的体积的求法

23、，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题11 （5 分）已知 x1，x 2 是函数 f（x） x3+ ax2+bx（a，bR）的两个极值点，且x1（0，1） ，x 2（1，2） ，则a2+（b4） 2 的取值范围是（  ）A （ ，+） B （17，20） C （13，20） D （ ，20）【分析】求导函数，利用 f（ x）的两个极值点分别是 x1，x 2，x 1（0，1） ，x 2（1，2） ，建立不等式，利用平面区域，即可求 a2+（b4） 2 的取值范围【解答】解：由题意，f（ x）x 2+ax+bf（x）的两个极值点分

24、别是 x1，x 2，x 1（0，1） ，x2（1，2） ， ，对应的平面区域如图所示，三个顶点坐标为 A（3，2） ，B（2，0） ，C（1，0） ，则在（2，0）处，a 2+（b4） 220，a 2+（b4） 2的最小值为：（0，4）到，1+a+b0，距离的平方（ ） 2a 2+（b4） 2 的取值范围是 ，20故选：D第 14 页（共 26 页）【点评】本题考查导数知识的运用：求极值，考查平面区域的运用，考查学生的计算能力，属于中档题12 （5 分）已知点 P 是椭圆 M： 1 上的动点，过 P 作圆 N：x 2+y21 的两条切线 PA，PB （A，B 分别为切点） ，直线 AB 与 x

25、，y 轴分别相交于 C，D 两点，则COD（O 为坐标原点）的最小面积为（   ）A1 B C D【分析】根据题意，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，P（x 0，y 0） ，由圆的切线方程可得PA、PB 的方程，而 PA、PB 交于 P（x 0，y 0） ，由此能求出 AB 的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值【解答】解：根据题意，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，P（x 0，y 0） ，PA 是圆的切线且切点为 A，则 PA 的方程为 x1x+y1y1，同理 PB 的方程为 x2x+y2y1，又由 PA、PB 交于点 P，则有

26、 x1x0+y1y01，x 2x0+y2y01，则直线 AB 的方程为 x0x+y0y1，则 M 的坐标为（ ，0） ，N 的坐标为（0， ） ，SOMN |OM|ON| | |，又由点 P 是椭圆 M： 1 的动点，则有 + 1，第 15 页（共 26 页）则有 1 + 2 |x0y0|，即|x 0y0|4，SOMN |OM|ON| | |即OMN 面积的最小值为 故选：D【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与圆的切线方程，关键是由圆的切线方程分析得到直线 AB 的方程二、填空题：本共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知向量 （m ，8） ， （3，2） ，且（

27、 + ） ，则实数 m 1 【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 m【解答】解： ； ； ；m1故答案为：1【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算14 （5 分）已知直线 1：ax+by30 与圆 M：x 2+y2+4x10 相切于点 P（1，2） ，则直线 1 的方程为 x +2y30 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，又由直线 1：ax+by30 与圆M：x 2+y2+4x10 相切于点 P（1，2） ，则 P 在直线 l 上且 MP 与直线 l 垂直，据此可得 b2a 且a+2b30，解可得 a、b 的值，代入直线 l 的方程即可得答案

28、【解答】解：根据题意，圆 M：x 2+y2+4x10，即（x+2） 2+y25，其圆心M（2，0） ，直线 1：ax+by 30 与圆 M：x 2+y2+4x10 相切于点 P（1，2） ，则 P 在直线 l 上且 MP 与直线 l 垂直，KMP 2，则有 ，则有 b2a，第 16 页（共 26 页）又由 P 在直线 l 上，则有a+2 b30，解可得 a1，b2，则直线 l 的方程为 x+2y30；故答案为：x+2y 30【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题15 （5 分）在正项等比数列a n中，a n+1a n，a 2a86， a4+a65，则  

29、;  【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件得到关于 a4，a 6 的二元方程组，求解后由an+1a n 得到 a4，a 6 的值，即可求出公比，可得答案【解答】解：数列a n是正项等比数列，且 a2a86，a 4+a65，a 4a6a 2a86，a 4+a65，联立得 a42，a 63 或 a43，a 62，a n+1a n，a 43，a 62，q 2 ， ，故答案为：【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题16 （5 分）用 maxa，b，c 表示三个数 a，b，c 中的最大值，则函数 f（x）max ， ，log 2x在（0， +）上的最小值

30、为 1  【分析】分别画出 y ，y ，y log 2x 的图象，分别求出最小值，比较即可【解答】解：分别画出 y ，y ，y log 2x 的图象，如图所示，当 0x2 时，f（x） ，其最小值为 1，当 2x4 时，f（x）log 2x，其最小值为 1，第 17 页（共 26 页）当 x4 时，f（ x） ，其最小值为 2，综上所述 f（x）的最小值是 1，故答案为：1【点评】本题考查新定义的理解和运用，画出图象，通过图象观察求函数最值是关键三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题

31、，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。17 （12 分）在BC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足2acosC2bc （1）求角 A；（2）若 a2b（b+c） ，试判断ABC 的形状【分析】 （1）用正弦定理化简已知等式，结合诱导公式和两角和的正弦公式化简整理得sinC（12cosA）0，再由 sinC0，解出 cosA ，可得 A ；（2）由已知及余弦定理可得：a 2b 2+c2bc，结合已知等式可求 c2b，a 23b 2，可得 c2a 2+b2，利用勾股定理即可判断三角形的形状【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）2acosC2bc由正弦定理，2s

32、inAcosC+sin C2sinB 0，sinBsin（A+C ）sinAcosC +cosAsinC，代入上式，得 sinC2cosA sinC0，即 sinC（12cosA）0，C（0， ） ，得 sinC0，第 18 页（共 26 页）12cosA ，得 cosA 结合 A 为三角形的内角，可得 A ；6 分（2）a 2b（b+c） ，又 A ，由余弦定理可得：a 2b 2+c2bc，可得：b（b+c）b 2+c2bc，可得：c 2b，a 2b（b+c）3b 2，c 2a 2+b2，可得ABC 为直角三角形12 分【点评】本题主要考查了正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，余弦定理，勾

33、股定理在解三角形中的综合应用，熟练掌握和应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题18 （12 分）如图所示，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，SA平面 ABCD，二面角 SDC A 的大小为 ，E、F、G 分别是 SA、SB、BC 的中点（1）求证：SD平面 EFG；（2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得点 A 到平面 EFM 的距离为 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【分析】 （1）连接 BD，取 BD 的中点 P，连接 FP，GP ，可证 PG平面EFG，PG SD ，故而结论成立；（2）设 BMa，建立坐标系，利用向量求出 A 到平面 EFM

34、 的距离，解方程得出 a 的值，得出结论【解答】 （1）证明：连接 BD，取 BD 的中点 P，连接 FP，GP，P，G 分别是 BD，BC 的中点， E，F 分别是 SA，SB 的中点，PGCD，EFAB ，又 ABCD，EFPG ，PG平面 EFG，F，P 分别是 SB，BD 的中点，SDFP，又 SD平面 EFG，FP平面 EFG，SD平面 EFG第 19 页（共 26 页）（2）解：SA平面 ABCD，CD平面 ABCD，SACD，又 ADCD，SASAA，CD平面 SAD，CDSD，SDA 为二面角 SDC A 的平面角，即SDA ，SAAD 2，以 A 为坐标原点建立如图所示的空间

35、坐标系如图所示：设 BMa，则 A（0，0，0） ，E（0，0，1） ，F （1，0， 1） ，M （2，a，0） ， （1，0，0） ， （2，a，1） ， （0，0，1） 设平面 EFM 的法向量为 （x ，y，z） ，则 ， ，令 z1 可得 （0， ，1） cos ， ，A 到平面 EFM 的距离 d| |cos ， ，解得 a 0a2，线段 BC 上是否存在一点 M，使得点 A 到平面 EFM 的距离为 且 2【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）已知抛物线 C： x22py（p0）的焦点为 F，直线

36、1；ykx +b（b0）与 C第 20 页（共 26 页）相交于 A，B 两点（1）记直线 OA，OB 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1+k2k；（2）若抛物线 C 上异于 A， B 的一点 P（x 0，2） （x 00）到 C 的准线的距离为 ，且APB 90，问：直线 l 是否恒过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由【分析】 （1）设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，根据韦达定理和斜率公式即可证明，（2）先根据抛物线的定义求出 p1，再根据APB90和韦达定理即可得到b2k+2 或 b2k +4，分类讨论即可求出直线过定点【解答】证明：（1）：设

37、 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，消 y 可得 x22pkx2pb0可得 x1+x22pk，x 1x22pb，k 1+k2 + + 2k+b（ + ）2k+b 2k+b2kkk ，即可 k1+k2k解：（2）抛物线 C 上异于 A，B 的一点 P（x 0，2） （x 00）到 C 的准线的距离为 ，2+ ，p1，x 22y，x 02，P（2，2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由（1）可得 x1+x22k ，x 1x22b，y 1+y2k（x 1+x2）+2 b2k 2+2b，y 1y2k 2x1x2+kb（x 1+x2）+b 2b 2，第 21 页（

38、共 26 页）APB 90， 0，（2x 1，2y 1） （2x 2， 2y 2）（2x 1） （2x 2） +（2y 1） （2y 2）42（x 1+x2）+ x1x2+42（y 1+y2）+ y1y20，即 84k2b4k 24b+b 20，即（2k+1） 2（b3） 2，b2k+2 或 b2k +4，当 b2k+2 时，y kx 2k+2，即 y2k（x2） ，此时过点（2，2） ，与点 P 重合，不合题意，当 b2k+4 时，y kx +2k+4，即 y4k （x+2） ，此时过点（2，4） ，综上所述直线过定点（2，4）【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦

39、达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20 （12 分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克） ，重量值落在（495，510的产品为合格品，否则为不合格品表 1 是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图表 1：甲流水线样本频数分布表产品重量（克） 频数（ 490，495 6（ 495，500 8（ 500，505 14（ 505，510 8（ 510，515 4（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取 1

40、 件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面 22 列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” 第 22 页（共 26 页）甲流水线 乙流水线 合计合格品 a b不合格品 c d合 计 n参考公式： 其中 na+b+c+d；临界值表供参考：P（k 2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【分析】 （1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分布直方图（2）根据所给

41、的样本中的合格品数，除以样本容量做出合格品的频率，可估计从甲、乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，得到有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关【解答】解：（1）根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分步直方图，甲流水线样本的频率分布直方图如下：第 23 页（共 26 页）（2）由图知，甲样本中合格品数为 30，合格品的频率为 0.75，乙样本中合格品数为（0.06+0.09+0.03）54036，合格品的频率为 0.9，据此可估计

42、从甲、乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率分别为 0.75、0.9；（3）22 列联表如下甲流水线 乙流水线 合计合格品 30 36 66不合格品 10 4 14合 计 40 40 80k 2 3.1172.706有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关【点评】本题考查频率分步直方图，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关21 （12 分）已知函数 f（x ）e x+ax+a，其中 aR，e 为自然对数的底数（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）当 a0 时，对于x

43、R，都有 f（x）0 成立求 a 的取值范围；证明： 1+ + + ln（n+1） （nN *） 【分析】 （1）f（x ）e x+a对 a 分类讨论即可得出单调性（2） 由（1 ）可得：a0 时，xln （a）取得最小值， f（ln（a） ）aln（a）0，即可解出令 g（ x）xln（x+1 ） ，x （0，1） 利用导数已经其单调性即可得出 xln（x+1） ，x（0，1）恒成立令 x 可得 ln （1+ ）ln （ n+1）lnn利用累加求和方第 24 页（共 26 页）法即可得出【解答】解：（1）f（x ）e x+aa0 时，f（x ）0，函数 f（x）在 R 上单调递增a0 时，令

44、 ex+a0，解得 xln （a） 则函数 f（x）在（ ，ln（a） ）单调递减，在（ln （a） ，）单调递增（2） 由（1 ）可得：a0 时，xln （a）取得最小值， f（ln（a） ）a+aln（ a）+ aaln（ a）0，即 ln（a）0，解得 0 a1，解得1a0a1，0） 令 g（ x）xln（x+1 ） ，x （0，1） 则 g（x）1 0，则 g（x）在 x（0，1）单调递增，g（x）g（0）0xln（x+1） ，x（0，1）恒成立令 x ln（1+ ）ln（n+1 ） lnn1+ + + ln2ln1+ln3ln 2+ln（n+1）lnnln （n+1） （nN *）

45、1+ + + ln（n+1） （nN *） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题(二)选考题;共 10 分,请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。选修 44:坐标系与参数方程(10 分)22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C：p 22acos+a 240（a0） ，过点 P（2，4）的直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，直线与曲线 C 分别相交于 M、N 两点（1）写出曲线 C 的直角

46、坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）是否存在实数 a，使得|PM |、|MN| 、|PN| 成等比数列，并对你的结论说明理由第 25 页（共 26 页）【分析】 （1）利用 xcos，ysin ， 2x 2+y2 代入可得 C 的直角坐标方程，消去参数 t 可得直线 l 的普通方程；（2）根据参数 t 的几何意义可得【解答】解：（1）C：（x a） 2+y24，l：yx 2，（2）将 代入（xa） 2+y24，得 t2（6 + a）t+ a2+4a+160，设 M，N 两点对应的参数分别为 t1，t 2，由韦达定理，得t1+t26 + a，t 1t2a 2+4a+16，所以|MN |2|PM|PN| 得（t 1t 2） 2t 1t2，得（t 1+t2） 25t