1、72 排列第一课时 排列与排列数公式及简单应用读教材填要点1排列从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列用符号 A 表示排列的个数时，有mnA n( n1)(n2)(nm1)mn2排列数的相关公式n！123n,0！1.A n( n1)(n2)(nm1) .mnn！n m！小问题大思维1北京上海，上海北京的车票是同一个排列吗？提示：由于北京上海、上海北京的车票都与顺序有关，所以不是同一个排列2如何判断一个具体问题是不是排列问题？提示：判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素
2、时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列3你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列” ，它不是一个数，而是具体的一件事 “排列数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有不同排列的个数” ，它是一个数排列的概念例 1 判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有 50 名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从 2,3,5,7,9 中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？(3)从 1 到 10
3、 十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(4)从集合 M 1,2，9中，任取相异的两个元素作为 a，b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程 1?x2a2 y2b2解 (1)是选出的 2 人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题(2)是显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关(3)是任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关(4)不是焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a、b 必有 ab，a、b 的大小一定排列的特点是“先取后排” ，即先从 n 个不同的元素中取出 m 个元素，再按一定顺序把这 m 个元素排成一
4、列因此，判断一个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题1判断下列问题是不是排列问题，并说明理由(1)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做加法，有多少种不同的结果？(2)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做除法，有多少种不同的结果？(3)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方法？若选出 3 个座位安排 3 位客人入座，又有多少种方法？解：(1)不是排列问题；(2) 是排列问题理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两元素的位置无关，但做除法时，两元素谁做除数，谁做被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列
5、问题，做除法是排列问题(3)第一问不是，第二问是理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关选出 3 个座位与顺序无关， “入座”问题同“排队” ，与顺序有关，故选 3 个座位安排3 位客人入座是排列问题用列举法求简单的排列问题例 2 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列解 (1)由题意作“树形图” ，如下故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,
6、32,34,41,42,43，共有 12 个(2)由题意作“树形图” ，如下故所有的排列为：abc，abd，acb，acd ，adb， adc，bac，bad，bca，bcd ，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac ，dba， dbc，dca，dcb.“树形图”是解决简单排列问题的有效方法，特别是元素较少时在具体操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列2写出 A，B ，C，D 四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所有可能站法解：如图所示的树形
7、图：故所有可能的站法是BACD， BADC，BCAD ，BDAC ，CABD，CADB ，CBAD， CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB ，共 12 种与排列数公式有关的计算或证明问题例 3 (1)计算 ；2A58 7A48A8 A59(2)求证：A mA A .mn 1 m 1n mn解(1) 2A58 7A48A8 A59 287654 787658765432 98765 1.87658 7876524 9(2)证明：A mA m mn 1 m 1nn 1！n 1 m！ n 1！n m！n 1！ n m mn m！ A .n！n m！ mn若 A (55n)(56n)(69
8、n)(nN 且 n55)，求 q 的值qp解： 55n,56n，69 n 中的最大数为 69n，且共有 69n(55n)115个，(55n)(56n)(69n)A ，1569 np 69n，q15.对排列数公式的理解应注意以下两点：(1)排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是 n，后面每一个因数都比它前面一个因数少 1，最后一个因数是 nm 1，共有 m 个因数相乘(2)一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时，采用阶乘形式较好3(1)用 A 的形式表示 (x2，xN )；mnx 1！x 2！(2)解关于 x 的方程 A 140A
9、 .42x 1 3x(3)解不等式：A 6A .x9 x 29解：(1)法一： A x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)(x 6)(x5)( x6)A ，7x 5x 89.x 5x 6A5x A5xA5xA 0，(x5)(x6)90.5x故 x4( 舍去)，x 15.法二：由 89，得 A 90A ，A7x A5xA5x 7x 5x即 90 .x！x 7！ x！x 5！x！ 0 ， ，1x 7！ 90x 5x 6x 7！(x5)(x6) 90.解得 x4(舍去) ，x 15.(2)原不等式即 ，9！9 x！ 69！9 x 2！由排列数定义知Error!2 x 9，xN .化简得(11x)
10、(10x)6， x221x 1040，即(x8)(x13)0， x13.又 2x9，xN ，2x 8，x N .故 x2,3,4,5,6,7.第二课时 排列数的综合应用特殊元素(或位置)的排列问题例 1 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成两排，前排 3 人，后排 4 人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有 2 名男生丙和丁因个子高要排在后排解 (1)(特殊元素优先法)先考虑甲有 A 种方案，再考虑其余六人全排列
11、，故13NA A 2 160(种)13 6(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有 A 种方案，再安排其余 5 人全排列，故2NA A 240(种) 2 5(3)法一：(特殊元素优先法 )：按甲是否在最右端分两类：第一类 甲在最右端有 N1 A (种) ，6第二类 甲不在最右端时，甲有 A 个位置可选，15而乙也有 A 个位置，而其余全排列 A ，15 5有 N2A A A ，15 15 5故 NN 1N 2A A A A 3 720(种) 6 15 15 5法二：(间接法)：无限制条件的排列数共有 A ，而甲在左端或乙在右端的排法都有 A ，且甲在左端且7 6乙在右端的排法有 A ，5故 NA
12、 2A A 3 720(种) 7 6 5法三：(特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步对于左端除甲外有 A 种排法，16余下六个位置全排有 A ，6但减去乙在最右端的排法 A A 种，15 5故 NA A A A 3 720(种)16 6 15 5(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前 3 个位置，男生丙、丁要排在后 4 个位置，因此先排女生甲、乙有 A 种方法，23再排男生丙、丁有 A 种方法，24最后把剩余的 3 名同学排好有 A 种方法3故 NA A A 432( 种)23 24 3排列问题的实质是“元素”占“位置”的问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不能
13、排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置总的来说，解决这类问题有直接法和间接法两种，具体分析时可以按位置来分析，也可以先考虑特殊元素，各种方法可以相互验证1用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3)不大于 4 310 的四位偶数解：(1)第一步，排个位，有 A 种排法；13第二步，排十万位，有 A 种排法；14第三步，排其他位，有 A 种排法4故共有 A A A 288 个六位奇数13 14 4(2)法一：(直接法 )十万位数字的
14、排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，因此需分两类第一类，当个位排 0 时，有 A 个；5第二类，当个位不排 0 时，有 A A A 个14 14 4故符合题意的六位数共有 A A A A 504(个) 5 14 14 4法二：(排除法)0 在十万位和 5 在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万位和 5 在个位的情况故符合题意的六位数共有 A 2A A 504( 个)6 5 4(3)分三种情况，具体如下：当千位上排 1,3 时，有 A A A 个12 13 24当千位上排 2 时，有 A A 个12 24当千位上排 4 时，形如 40，42的各有 A 个；1
15、3形如 41的有 A A 个；12 13形如 43的只有 4 310 和 4 302 这两个数故共有 A A A A A 2A A A 2110(个) 12 13 24 12 24 13 12 13捆绑法处理相邻问题例 2 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须排在一起；(3)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人解 (1)男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A 种排法，女生必须站在一起，3是女生的全排列，有 A 种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有 A 种排法，由分步4 2乘法计数原理知，
16、共有 NA A A 288(种) 排法3 4 2(2)把所有男生视为一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列，故NA A 720(种) 3 5(3)任取 2 人与甲、乙组成一个整体，与余下 3 个元素全排列，故N(A A )A 960(种)25 2 4保持例题条件不变，若全体站成一排，则男生甲与男生乙之间至少有 3 人的方法有多少种？解：甲、乙两人中间无人的排法种数N1A A 1 440(种) ，6 2甲、乙两人中间有 1 人的排法种数N2(A A )A 1 200(种)，15 2 5甲、乙两人中间有 2 人的排法种数N3(A A )A 960(种)25 2 4故甲、乙两人中间至少有 3
17、 人的排法种数 NA N 1N 2N 31 440(种) 7对于某些元素“相邻”的排列问题，一般采用“捆绑法” ，即先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再将这若干个元素内部全排列2张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，求这 6 人入园顺序排法的种数解：因为两个小孩要排在一起，所以可把两个小孩视为一个元素与两位妈妈一起排列，有 A A 12 种排法又因为两位爸爸必须排列两端，有 A 2 种排法3 2 2故这 6 人入园顺序的排法有 A A A 62224 种3 2 2插空法处理不
18、相邻问题例 3 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解 (1)先排歌唱节目有 A 种，歌唱节目之间以及两端共有 6 个空位，从中选 4 个5放入舞蹈节目，共有 A 种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 A A 43 20046 5 46种方法(2)先排舞蹈节目有 A 种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位，恰好供 5 个4歌唱节目放入所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 A A 2 880 种方法4 5(1)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插
19、入空当，这种方法称为“插空法” ，即“不相邻元素插空法” (2)应用插空法要注意以下几个方面：确定好哪些是要插入的元素；数清可插入的位置；搞清插入时是否有顺序3某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个唱歌节目互不相邻；(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻解：(1)先排唱歌节目有 A 种排法，再排其他节目有 A 种排法，所以共有 A A 1 2 6 2 6440(种)排法(2)先排 3 个舞蹈节目，3 个曲艺节目有 A 种排法，再从其中 7 个空(
20、包括两端)中选 26个排唱歌节目，有 A 种插入方法，所以共有 A A 30 240(种)排法27 6 27(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个曲艺节目排列共 A 种排法，再将 34个舞蹈节目插入，共有 A 种插入方法，最后将 2 个唱歌节目互换位置，有 A 种排法，故35 2所求排法共有 A A A 2 880( 种)排法.4 35 2解题高手 多解题用 0 到 9 这十个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解 法一：当个位上排 0 时，千位、百位、十位上可以从余下的九个数字中任选 3个来排列，故有 A 个；39当个位上在“2,4,6,8”中任选一个来排，则千位上从余
21、下的八个非零数字中任意选一个，百位、十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按分步乘法计数原理有 A A A14 18个28没有重复数字的四位偶数有A A A A 5041 7922 296(个)39 14 18 28法二：当个位数字排 0 时，同解法一有 A 个；当个位数字是 2、4、6、8 之一时，千39位、百位、十位上可从余下 9 个数字中任选 3 个的排列中减去千位数是“0”的排列数，得 A(A A )个14 39 28没有重复数字的四位偶数有A A (A A )5041 7922 296( 个)39 14 39 28法三：千位数从 1,3,5,7,9 中任选一个，个位数上从 0、2、
22、4、6、8 中任选一个，百位、十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 A A A 个；15 15 28千位数从 2、4、6、8 中任选一个，个位数从余下的四个偶数中任选一个(包括 0 在内) ，百位、十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 A A A 个14 14 28没有重复数字的四位偶数有 A A A A A A 41A 2 296( 个)15 15 28 14 14 28 28法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和四位偶数没有重复数字的四位数有(A A )个，其中四位奇数有 A (A A )个410 39 15 39 28没有重复数字的四位偶数有 A A A (A A
23、)410 39 15 39 2810A A 5A 5A 4A 5A 36A 5A 41 A 2 296( 个)39 39 39 28 39 28 28 28 281A，B ，C ，D，E 五人并排站成一排，如果 A，B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法有( )A60 种 B48 种 C36 种 D 24 种解析：选 D 把 A，B 视为一人，且 B 排在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，故有 A 24 种排法42在数字 1、2、3 与符号、五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )A6 B12 C18 D24解析：选 B 符号、只能在两个数之间，这
24、是间隔排列，排法有 A A 12 种3 23从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )A300 种 B240 种C144 种 D96 种解析：选 B 第一步先从剩余 4 人中选一个人去巴黎游览共有 4 种方法；第二步从剩余 5 人中选 3 人去另外三个城市有 A 种方法由分步乘法计数原理，共有 4A 240(种)不35 35同选择方案4我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架歼15 飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻
25、着舰，那么不同的着舰方法有( )A12 种 B18 种C24 种 D48 种解析：选 C 把甲、乙看作 1 个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有 A A 种2 2方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的 3 个空位中，有 A 种方法，23由分步乘法计数原理可得总的方法种数为 A A A 24.2 2 235记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有_种解析：先将 5 名志愿者排好，有 A 种排法，再将 2 位老人“捆绑”起来插入中间的5间隔，有 A A ，由分步乘法计数原理知，共有 A A A 960 种14 2 5
26、 14 2答案：9606从 5 名短跑运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果 A 不能跑第一棒，那么有多少种不同的参赛方法？解：法一：当 A 被选上时，共有 A A 72(种) 方法，其中 A 表示 A 从除去第一棒13 34 13的其他三棒中任选一棒；A 表示再从剩下 4 人中任选 3 人安排在其他三棒34当 A 没有被选上时，其他四人都被选上且没有限制，此时有 A 种方法4故共有 A A A 96(种)参赛方法13 34 4法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不能填 A，有 4 种填法，其他三个框图共有 A 种填法，故共有 4A 96(种) 参赛方法34 3
27、4法三：(间接法)先不考虑 A 是否跑第一棒，共有 A 120(种) 方法其中 A 在第一棒时45共有 A 种方法，故共有 A A 96( 种)参赛方法34 45 34一、选择题1从 5 本不同的书中选两本送给 2 名同学，每人一本，给法共有( )A5 种 B10 种C20 种 D60 种解析：选 C 从 5 本不同的书中选两本送给 2 名同学，共有 A 20 种不同的方法252由 1,4,5，x 这四个数字组成无重复数字的四位数，若所有四位数的各位上的数字之和为 288，则 x 等于( )A2 B3C6 D8解析：选 A 经分析可知 x0，所以这四个数字可组成 A 24(个)无重复数字的四位
28、4数，所以(1 45x)24 288，所以 x2.3航天员在进行一项太空实验时，先后要实施 6 个程序，其中程序 B 和 C 都与程序D 不相邻，则实验顺序的编排方法共有 ( )A216 种 B288 种C180 种 D144 种解析：选 B 当 B，C 相邻，且与 D 不相邻时，有 A A A 144 种方法；当 B，C 不3 24 2相邻，且都与 D 不相邻时，有 A A 144 种方法，故共有 288 种编排方法3 344现从甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学中选四位安排参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作有一人参加甲不会开车、乙不会翻译，但都能从事其他三
29、项工作，而丙丁戌能胜任全部四项工作，则不同安排方案的种类是( )A108 B78C72 D60解析：选 B 分两种情况，乙开车和乙不开车当乙开车时，甲、丙、丁、戌可胜任其余岗位即有 A 种安排方案；当乙不开车时，开车人选有 3 种可能，翻译人选为除乙外的34剩余 3 人，最后还剩 3 人安排两个岗位，有 A 安排方法，故乙不开车时有2333A 54，则故有 A 5478 种不同方案23 34二、填空题5由数字 1,2,3,4,5 五个数可以组成比 20 000 大且百位数字不是 3 的没有重复数字的五位数有_个解析：当万位数字为 3 时，有 A 种情况；当万位数字不是 3 时，有 A A A
30、种情况，4 13 13 3故共有 A A A A 78 个4 13 13 3答案：786有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组则不同的选法共有_种解析：从 6 名男医生中选出 2 名有 C 种选法，从 5 名女医生中选出 1 名有 C 种选法，26 15由分步乘法计数原理得不同的选法共有 C C 75(种)26 15答案：75 种73 个人坐 8 个位置，要求每个人的左右都有空位，有_种坐法解析：第一步：摆 5 个空位置，；第二步：3 个人带上凳子插入 5 个空位置之间的四个空，有 A 24(种) 插法，故有 24 种不同坐法解此类问题主要用“插空
31、法”34答案：248在某艺术馆中展出 5 件艺术作品，其中不同的书法作品 2 件，不同的绘画作品 2 件，标志性建筑设计 1 件，在展台上将这 5 件作品排成一排，要求 2 件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这 5 件作品的不同方案有_种解析：把 2 件书法作品当作一个元素，与其他 3 件艺术品进行全排列，有 2A 48 种4方案其中，2 件绘画作品相邻，有 22A 24 种方案，则该艺术馆展出这 5 件作品的不3同方案有 482424 种答案：24三、解答题93 个女生和 5 个男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？(
32、3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？(4)如果甲排在乙的前面，有多少种不同排法？解：(1)( 捆绑法 )由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有 6 个元素，排成一排有 A 种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有 A 种排法，6 3因此共有 A A 4 320 种不同排法6 3(2)(插空法 )先排 5 个男生，有 A 种排法，这 5 个男生之间和两端有 6 个位置，从中5选取 3 个位置排女生，有 A 种排法，因此共有 A A 14 400 种不同排法36 5 36(3)法一：(位置分析法 )，因为两端不排女生，只能从 5 个男生中选 2 人排列，有 A种排法
33、，剩余的位置没有特殊要求，有 A 种排法，因此共有 A A 14 400 种不同排25 6 25 6法法二：(元素分析法)从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A 种排法，其余位置无限制，36有 A 种排法，因此共有 A A 14 400 种不同排法5 36 5法三：(间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A 种不同的排法，从中扣除女生排8在首位的 A A 种排法和女生排在末位的 A A 种排法，但这样两端都是女生的排法在13 7 13 7扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需要回来一次，由于两端都是女生有 A A 种不同的排法，所以共
34、有 A 2A A A23 6 8 13 7A 14 400 种不同的排法23 6(4)不考虑限制共有 A 种排法中，那么在这 A 种排法中，包含甲和乙的所有排列法8 8有 A 种，由于甲在乙的前面，只占其中一类，因此甲排在乙的前面的所有不同排法有220 160 种A8A210用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的 4 位数(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第 85 个数为多少？解：(1)( 直接法 )A A 300(个)15 35(间接法)A A 300(个)46 35(2)(直接法 )因为 0
35、为特殊元素，故先考虑 0.若 0 在个位有 A 个；0 不在个位时，从352,4 中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有 A A A ，故有 A A12 14 24 35A A 156(个)12 14 24(间接法) 从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有 A A ，13 35其中第一位是 0 的有 A A 个12 24故适合题意的数有 A A A A 156(个) 13 35 12 24(3)1 在首位的数有 A 60(个) 352 在首位且 0 在第二位的数有 A 12( 个)242 在首位且 1 在第二位的数有 A 12( 个)24以上四位数共有 84 个，故第 85 个数是 2 301.
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