1、(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1观察一列算式：11,12,21,1 3,22,31,14,23,32,41，则式子 35 是第( )A22 项 B23 项C24 项 D25 项解析：两数和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有 4 个，和为 6 的有 5 个，和为 7 的有 6 个，前面共有 21 个，35 为和为 8 的第 3 项，所以为第24 项答案：C2用反证法证明命题“ 是无理数”时，假设正确的是( )2 3A假设
2、是有理数 B假设 是有理数2 3C假设 或 是有理数 D假设 是有理数2 3 2 3解析：应对结论进行否定，则 不是无理数，2 3即 是有理数2 3答案：D3已知ABC 中，A30，B60，求证：a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是( )A(ab) 4 Ba 3b 32ab 2(1a 1b)Ca 2b 222a2b D. |a b| a b解析：a0，b0，对于 A，(ab) 2 2 4，(1a 1b) ab 1ab故 A 恒成立；对于 B，a 3b 32ab 2，取 a ，b ，则 B 不成立；12 23对于 C，a 2b 22(2a2b)(a1) 2(b1) 20，故 C 恒成立；对于
3、D，若 a0，显然 b 成立ab答案：B5观察下列各式：ab1，a 2b 23，a 3b 34，a 4b 47，a 5b 511，则 a10b 10( )A28 B76C123 D199解析：记 anb nf(n)，则 f(3)f(1)f(2) 134；f(4)f(2)f(3) 347；f(5)f(3)f(4) 11.通过观察不难发现 f(n)f( n1) f (n2)( nN*，n3) ，则 f(6)f(4)f(5) 18；f(7)f(5)f(6) 29；f(8)f(6)f(7) 47；f(9)f(7)f(8) 76；f(10)f(8)f(9) 123.所以 a10b 10123.答案：C6
4、观察下列各式：7 249,7 3343,7 42 401，则 72 015 的末两位数字为( )A01 B43C07 D49解析：7 516 807,7 6117 649,7 7823 543，7 85 764 801，7n(nZ，且 n5) 的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为 4，记 7n(nZ，且n5)的末两位数为 f(n)，则 f(2 015)f (50343)f(3) ， 72 015 与 73 的末两位数相同，均为 43.答案：B7将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：abb a；(ab)ca(bc)；a(bc)aba c；由 aba c(a0)可得 b
5、c.以上通过类比得到的结论正确的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确， 错误；由 abac (a0)得 a(bc )0，从而 bc 0 或 a(bc)，故错误答案：B8已知 a0，不等式 x 2，x 3，x 4，可推广为 x n1，则1x 4x2 27x3 axna 的值为( )An 2 Bn nC2 n D2 2n2解析：由 x 2，x x 3，x x 4 ，1x 4x2 22x2 27x3 33x3可推广为 x n1，故 an n.nnxn答案：B9来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起他们除懂本
6、国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译针对他们懂的语言，正确的推理是( )A甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析题目和选项，由知，丁不会说日语，排除 B 选项；由知，没有人既会日语又会法语，排除 D 选项；由 知乙、丙、丁不会同一种语言，排除 C 选项，故选 A.答案：A
7、10如图，圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点该青蛙从 5 这点跳起，经2 018 次跳后它将停在的点是( )A1 B2C3 D4解析：青蛙第一次跳后停留在 1 点，第二次跳后停在 2 点，第三次跳后停在 4 点，第四次跳后又停在 1 点，以此类推，循环下去2 01836722，2 018 次跳后将停在 2 点答案：B11设ABC 的三边长分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，则ABC 的内切圆半径为 r .将此结论类比到空间四面体：设四面体 SABC 的四个面的面积分
8、别为2Sa b cS1，S 2，S 3，S 4，体积为 V，则四面体的内切球半径为 r( )A. B.VS1 S2 S3 S4 2VS1 S2 S3 S4C. D.3VS1 S2 S3 S4 4VS1 S2 S3 S4解析：设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 r，所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和则四面体的体积为 V (S1 S2S 3S 4)r，13r .3VS1 S2 S3 S4答案：C12下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形” ，它们是由整数的倒数组成的1112 1213 16 1314 112 112 1415 1
9、20 130 120 15第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n2) ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 1n ， ， ，则第 10 行第 4 个数( 从左往右数 )为( )11 12 12 12 13 16 13 14 112A. B.1360 1504C. D.1840 11 260解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第 8 行的第一个数、第二个数分别等于 ， ，第 9 行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于 ， ， ，18 17 18 19 18 19 (17 18) (18 19)第 10 行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于 ， ， 110 19 110
10、 (18 19)， .(19 110) (17 18) (18 19) (18 19) (19 110) 1840答案：C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填写在题中的横线上)13在ABC 中，D 为 BC 的中点，则 ( )，将命题类比到三棱锥中AD 12 AB AC 去得到一个类比的命题为_答案：在三棱锥 ABCD 中， G 为BCD 的重心，则 ( )AG 13 AB AC AD 14用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示：按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒_根解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多 6 根火柴棒，第一个图形为 8
11、根，可以写成 a1862.又 a214622，a 320632，所以可以猜测，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 6n2.答案：6n215观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于 nN ，12n 21_.解析：11 2,1212 2,1 23213 2,12343214 2，归纳可得 12n 21n 2.答案：n 216如图，圆环可以看作线段 AB 绕圆心 O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积 S(R 2r 2)(Rr)2 .所以圆环的面积等于以线段 ABRr 为宽，以 AB 中R r2点绕圆心 O 旋转一周所形成的圆的周长 2 为长的
12、矩形面积请你将上述想法拓展到R r2空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系 xOy 中，若将平面区域 M(x ，y)|(xd)2y 2r 2(其中 03，nN )边形对角线的条数 f(n)，并证明所得结论解：由题意得当 n4 时，f(4)2 ；412当 n5 时，f(5)5 ；522当 n6 时，f(6)9 ；，632由此猜测 f(n) ，nn 32即凸 n(n3，nN )边形有 条不同的对角线nn 32证明：因为凸 n(n3，nN )边形中从每一个顶点出发的对角线有(n3)条，所以从所有的顶点出发的对角线有 n(n3) 又每条对角线都被数了两次，所以凸 n(n3，nN )边形的对角线的条数为
13、 .nn 3218(本小题满分 12 分)ABC 的三条高分别为 ha，h b，h c，r 为内切圆半径，且hah bh c9r ，求证：该三角形为等边三角形证明：设三角形三边分别为 a，b，c，故只需证 abc.因为 ha ，h b ，h c ，其中 S 为 ABC 的面积，2Sa 2Sb 2Sc所以 hah bh c2S .(1a 1b 1c)又因为 S (abc)r，h a hbh c9r，12所以(abc) 9.(1a 1b 1c)所以 a2ba 2cb 2ab 2cc 2ac 2b6abc0.将上式分解因式，得 a(bc) 2b(c a) 2c( ab) 20.因为 a0，b0，c0
14、 ，所以(bc) 2(c a) 2(ab) 20.所以 abc.该三角形为等边三角形19(本小题满分 12 分)如图所示，设 SA，SB 是圆锥 SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是 SB 上一点，求证：AC 与平面 SOB 不垂直证明：假设 AC平面 SOB，因为直线 SO 在平面 SOB 内所以 SOAC.因为 SO底面圆 O，所以 SOAB.因为 ABACA ，所以 SO平面 SAB.所以平面 SAB底面圆 O，这显然与平面 SAB 与底面圆 O 相交矛盾，所以假设不成立，即 AC 与平面 SOB 不垂直20(本小题满分 12 分)数列a n的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，a
15、 n1 Sn(nN )，n 2n试利用三段论形式证明：(1)数列 是等比数列；Snn(2)Sn1 4a n.证明：(1)a n1 S n1 S n，a n1 Sn，n 2n(n2) Snn(S n1 S n)，即 nSn1 2( n1)S n.故 2 ，(小前提)Sn 1n 1 Snn故 是以 2 为公比，1 为首项的等比数列(结论)Snn(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知 4 (n2) ，Sn 1n 1 Sn 1n 1Sn 14(n1) 4 Sn1 4a n(n2) (小前提)Sn 1n 1 n 1 2n 1又 a23S 13，S 2a 1a 2 1344a 1，(小前提)对于任意
16、正整数 n，都有 Sn1 4a n.(结论)21 (本小题满分 12 分 )已知数列 an中， Sn为其前 n 项和且 Sn 1 4an 2(n N )， a1 1，(1)设 bna n1 2a n(nN )，求证：数列b n是等比数列；(2)设 cn (nN )，求证：数列 cn是等差数列an2n证明：(1) S n1 4a n2，Sn 24a n1 2，两式相减，得Sn2 S n1 4a n1 4a n(nN )即 an2 4a n1 4a n.变形得 an2 2a n1 2(a n1 2an)bn an1 2a n(nN )，b n 12b n.a1 1，S n1 4a n2，S2 4a
17、126，即 a25.b1 a22a 1523.bn 32n1 .由此可知，数列b n是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列(2)cn (nN )，an2ncn 1 cn ，an 12n 1 an2n an 1 2an2n 1 bn2n 1将 bn32 n1 代入，得 cn1 c n (nN )34又 c1 ，a12 12由此可知，数列c n是首项为 ，公差为 的等差数列12 3422(本小题满分 12 分)十字绣有着悠久的历史，如下图， 为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同 )，设第 n 个图案包含 f(n)
18、个小正方形(1)求出 f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想” ，归纳出 f(n1) 与 f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式；(3)求 (n2)的值1f1 1f2 1 1f3 1 1fn 1解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得 f(5)41.(2)可得 f(2)f(1)41；f(3)f(2)842；f(4)f(3)1243；f(5)f(4)1644；由上式规律，可得 f(n)f( n1) 4(n1)由以上各式相加可得 f(n)f(1)412( n1)4 2n 2 2n，1 n 1n 12又 f(1)1，f(n)2n 22n1.(3)当 n2 时， ，1fn 1 12n2 2n 12nn 1 12( 1n 1 1n)原式1 1 1 .12 12 12 13 13 14 1n 1 1n 12(1 1n) 32 12n
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