1、343.5 直线与平面的垂直关系_平面的法向量读教材填要点1射影(1)过空间任意一点 P 作平面 的垂线与 相交于点 P0，则 P0 称为点 P 在平面 内的射影(2)预先给定平面 ，空间任何一个图形的每一个点 P 在平面 上都有一个射影 P0，所有这些 P0 在平面 上组成一个图形，称为这个空间图形在平面 上的射影2三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直3平面的法向量与平面 垂直的非零向量称为 的法向
2、量小问题大思维1平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的2若直线 l 的一个方向向量为 (1,1,1)，向量(1，1,0) 及向量(0,1，1)都与平面 平行，则 l 与 有怎样的位置关系？提示：(1,1,1)(0,1，1)0，(1,1,1)(1，1，0)0，而向量(1，1,0)与向量(0,1 ，1) 不平行， l.利用判定定理用向量法证明线面垂直在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1，D 1B1 的中点，求证：EF平面 B1AC.自主解答 设正方体的棱长为 2，建立如图所示的直角坐标系，则
3、 A(2，0,0) ， C(0,2,0)，B 1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(1,1,2) (1，1,1)， (0,2，2) ， (2,2,0)EF AB1 AC (1，1,1)(0,2,2)0，EF AB1 ( 1，1,1)( 2,2,0)0，EF AC EFAB1，EFAC.又 AB1ACA，EF平面 B1AC.利用判定定理，即通过证明向量数量积为 0 来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直1已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD AA 1，AB2AD，点 E 是线段 C1D1 的中点，求证：DE 平面 EBC.证明：建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，
4、设 AD1，则AA11，AB2，则可得 D(0,0,0)，E(0,1,1) ，B (1,2,0)，C(0,2,0) ，(0,1,1)， (1,1， 1)， (0,1，1) ，DE EB EC 因为 110，DE EB 110，DE EC 所以 DEEB，DEEC，又 EBECE，所以 DE平面 EBC.求平面的法向量在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，棱长为 a，G ，E，F 分别为 AA1，AB，BC 的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面 GEF 的法向量自主解答 以 D 点为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系则 G ，E ，F ，(a，0，12a) (a，12a，0) (1
5、2a，a，0) ，GE (0，12a， 12a) .GF ( 12a，a， 12a)设平面 GEF 的法向量 n( x，y，z)，则即Error!令 yz1，则 x1，平面 GEF 的一个法向量为 (1,1,1)本例条件不变，求平面 A1EFC1 的法向量解：A 1(a,0，a)，E ，F ，(a，12a，0) (12a，a，0) ， .A1E (0，12a， a) A1F ( 12a，a， a)设平面 A1EFC1 的法向量为 n( x，y，z) ，则即Error!令 y2，z1，则 x2.平面 A1EFC1 的一个法向量为(2,2,1)求平面法向量的一般步骤为：(1)设出平面的法向量为 n
6、( x，y，z) ；(2)找出(求出) 平面的两个不共线的向量的坐标 a(a 1，a 2，a 3)，b(b 1，b 2，b 3)；(3)根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组Error!(4)解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量2已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1,2,3)，B (2,0，1)，C(3，2,0)，试求出平面 ABC 的一个法向量解：设平面 ABC 的法向量为 n( x，y ，z) A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0) ， (1，2，4)， (2 ，4，3)，AB AC
7、由题设得：即Error!解得Error!取 y1，则 x2.故平面 ABC 的一个法向量为 n(2,1,0) 利用法向量证明线面垂直如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M ，N 分别为AB， B1C 的中点试用向量法判断 MN 与平面 A1BD 的位置关系自主解答 设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz.则 B(1,1,0)，A 1(1,0,1)，M ，N ，(1，12，0) (12，1，12) (1,0,1)， (1,1,0)，DA1 DB .MN ( 12，12，12)设平面 A1BD 的
8、一个法向量为 n0( x，y，z) ，则即Error!取 x1，则 yz1，n0 (1，1，1)n02 ，即 n0 .MN MN MN平面 A1BD.利用法向量证明线面垂直，即通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明线面垂直解决此类问题的关键是正确求解平面的法向量3在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为棱 BB1 的中点，在棱 DD1 上是否存在点 P，使 MD平面 PAC?解：如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0) ，M ，(1，1，12)假设存在 P(0,0，x)满足条件，则 (1,0，x)， (1,1,0)PA AC
9、设平面 PAC 的法向量为 n(x 1，y 1，z 1)，则由 得Error!令 x11 得 y11，z 1 ，即 n ，1x (1，1，1x)由题意 n，由 得 x2，MD MD ( 1， 1， 12)正方体棱长为 1，且 21，棱 DD1 上不存在点 P，使 MD平面 PAC.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 BB1 的中点，F 为 CD 的中点，G 为 AB 的中点求证：平面 ADE平面 A1FG.巧思 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化
10、为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直妙解 法一：以 D 为原点，DA ，DC，DD 1 所在的直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 1.D(0,0,0)，E ，A(1,0,0)，A 1(1,0,1)，G ，F .(1，1，12) (1，12，0) (0，12，0) ， ， ( 1,0,0)AE (0，1，12) A1G (0，12， 1) GF 0 0， 0000.AE A1G 12 12 AE GF ， ，AE A1G AE GF 即 AEA1G，AEGF，又 A1GGF G，AE平面 A1GF.AE平面 ADE，
11、平面 ADE平面 A1GF.法二：建立坐标系如法一设平面 AED 的法向量为 n(x 1，y 1，z 1)平面 A1GF 的法向量为 m( x2，y 2，z 2)则 n ，n ，AE AD 取 z12，则 n(0，1,2)由 m ，m 得A1G GF 取 z21，则 m(0,2,1)mn0220，mn.平面 ADE平面 A1GF.1给定下列命题：若 n1，n 2 分别是平面 ， 的法向量，则 n1n 2；若n1，n 2 分别是平面 ， 的法向量，则 n1n20； 若 n 是平面 的法向量，且向量a 与平面 共面，则 an0； 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正确命题的个数是
12、( )A1 B2C3 D4解析：正确，中由 n1n2.答案：C2若直线 l 的方向向量为 a (1,0,2)，平面 的法向量为 n(2,0,4) ，则( )Al Bl Cl Dl 与 斜交解析：a(1,0,2)，n(2,0,4)，n 2a，即 an.l.答案：B3若平面 ， 的法向量分别为 (1,2,4)，( x，1，2)，且 ，则 x 的值为( )A10 B10C. D12 12解析：， ， 的法向量也垂直，即(1,2,4)(x，1，2) 0. x2 80. x10.答案：B4设平面 与向量 a(1,2，4) 垂直，平面 与向量 b(2,3,1) 垂直，则平面 与 的位置关系是 _解析：由已
13、知，a，b 分别是平面 ， 的法向量ab2640，ab，.答案：垂直5已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 (2，1，4) ，AB (4,2,0)， (1,2 ，1)对于结论：APAB；APAD ； 是平面AD AP AP ABCD 的法向量； .其中正确的是_AP BD 解析： 22 40，APAB，正确；AB AP 440，APAD，正确；且 是平面 ABCD 的法向量；正确，AP AD AP 错误答案：6如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面ABCD， APAB2，BC2 ，E，F 分别是 AD，PC 的中点2证明：PC平面 BEF.证明：
14、如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2 ，四边形 ABCD 是矩形2则 A(0,0,0)，B(2,0,0) ，C(2，2 ，0)，D (0,2 ，0)，P(0,0,2)2 2又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，E(0， ，0) ，F (1， ，1)2 2 (2,2 ，2)， (1， ，1)， (1,0,1)PC 2 BF 2 EF 2420， 2020.PC BF PC EF ， .PC BF PC EF PCBF，PC EF.又 BFEFF，PC平面 BEF.一、选择题1若平面 ， 的法向量分别为 u(2，3,5)
15、，v( 3,1 ，4)，则( )A BC， 相交但不垂直 D以上均不正确解析： 且 uv0， 32 1 3 45， 相交但不垂直答案：C2若直线 l 的方向向量为 (2,2,2) ，向量 m(1，1,0)及 n(0,1，1) 都与平面 平行，则( )AlBlClDl 与 相交但不垂直解析：因为 m220 0，n 0220，所以 m，且 n，又 m 与 n 不平行，所以 ，即 l.答案：A3设 A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件 n0 的点 M 构成的AM 图形是( )A圆 B直线C平面 D线段解析：M 构成的图形是经过点 A，且以 n 为法向量的平面答案：C4已知平面 内有一
16、个点 A(2，1,2) ，它的一个法向量为 n(3,1,2) ，则下列点 P 中，在平面 内的是( )A(1，1,1) B.(1，3，32)C. D.(1， 3，32) ( 1，3， 32)解析：要判断点 P 是否在平面内，只需判断向量 与平面的法向量 n 是否垂直，即PA n 是否为 0 即可，因此，要对各个选项进行逐个检验PA 对于选项 A， (1,0,1) ，则 n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除 A；对于选项PA PA B， ，则 n (3,1,2)0.同理，选项 C、D 也不符合要求，PA (1， 4，12) PA (1， 4，12)故选 B.答案：B二、填空题5若直线 l
17、的方向向量为(2,1，m )，平面 的法向量为 ，且 l，则(1，12，2)m_.解析：l，直线 l 的方向向量平行于平面 的法向量 ， m4.21 112 m2答案：46已知 a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1) 分别是平面 ， 的法向量，则 ，三个平面中互相垂直的有_对解析：ab(0,1,1)(1,1,0)10，ac(0,1,1)(1,0,1)10，bc(1,1,0)(1,0,1)10.a， b，c 中任意两个都不垂直，即 ， 中任意两个都不垂直答案：07平面 ， 的法向量分别为 m(1,2 ，2)，n(2，4，k)，若 ，则 k 等于_解析：由 知，mn0. 282k 0
18、，解得 k5.答案：58.如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是以ABC 为直角的等腰三角形，AC2a，BB 1 3a，D 是 A1C1 的中点，点 E 在棱 AA1 上，要使 CE面B1DE，则 AE_.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 B1(0,0,3a)，C(0， a,0)，2D ，(2a2，2a2，3 a)设 E( a,0，z )(0z 3a) ，2则 ，CE ( 2a， 2a，z)( a,0，z3a)，B1E 2 .B1D ( 2a2，2a2，0)又 a 2a 200，CE B1D 故由题意得 2a2z 23az0，解得 za 或 2a.故 AEa 或 2a.答案
19、：a 或 2a三、解答题9如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 中点求证：AB 1平面 A1BD.证明：取 BC 中点 O，B 1C1 中点 O1，以 O 为原点， ， ，OB OO1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标OA 系，则 B(1,0,0)，D(1,1,0)， A1(0,2, )，A(0,0， )，B 1(1,2,0)，3 3 (1,2， )， (2,1,0) ， (1,2， )AB1 3 BD BA1 3 2200，AB1 BD 1430，AB1 BA1 ， .AB1 BD AB1 BA1 即 AB1BD，AB 1B
20、A1.又 BDBA 1B，AB 1平面 A1BD.10.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1， CD 的中点(1)证明：平面 AED平面 A1FD1；(2)在 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 DAE.解：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz，不妨设正方体的棱长为 2，则 A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)设平面 AED 的法向量为 n1( x1，y 1，z 1)，则2x10,2 x12y 1z 10.令 y11，得 n1(0,1 ，2)同理可得平面 A1FD1 的法向量 n2(0,2,1) 因为 n1n20，所以平面 AED平面 A1FD1.(2)由于点 M 在 AE 上，所以可设 (0,2,1)(0,2， )，AM AE 可得 M(2,2，)，于是 (0,2， 2) A1M 要使 A1M平面 DAE，需 A1MAE，所以 (0,2，2)(0,2,1) 5 20，A1M AE 得 .故当 AM AE 时，A 1M平面 DAE.25 25
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