1、41 导数概念读教材填要点1物体在任意时刻的瞬时速度若物体的运动方程为 sf(t)，则物体在任意时刻 t 的瞬时速度 v(t)，就是平均速度v(t，d) 在 d 趋于 0 时的极限ft d ftd2函数 yf(x)的曲线上任一点处的切线斜率函数 yf(x) 的曲线上任一点 P(u，f(u)处的切线的斜率 k(u)，就是过 P(u，f(u) ，Q(ud， f(ud )两点割线 PQ 的斜率 k(u，d) 在 d 趋于 0 时的极限fu d fud3导数的概念(1)函数 yf(x)在点 xx 0 处的导数：设函数 yf(x) 在包含 x0 的某个区间上有定义，如果比值 在 d 趋于 0 时fx0
2、d fx0d(d0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数 f(x)在 xx 0 处的导数或微商，记作 f(x 0)，简述为： f (x0)(d0)fx0 d fx0d(2)导函数：当 x0 为 f(x)的定义区间中的任意一点，即为 x，而 f(x) 也是 x 的函数，叫作 f(x)的导函数或一阶导数，若 f(x )在 x 处又可导，则它的导数叫作 f(x)的二阶导数，记作 f(x) ，类似地，可以定义三阶导数 f(x)等等小问题大思维1若函数 f(x)在x 1，x 2内差商为 0，能否说明函数 f(x)没有变化？提示：不能说明理由：函数的差商只能粗略地描述函数的变化趋势，步长 d 取值越小，越
3、能准确地体现函数的变化情况在某些情况下，求出的差商为 0，并不一定说明函数没有发生变化如函数 f(x)x 2 在2,2 上的差商为 0，但 f(x)的图象在2,2上先减后增2.函数 yf(x) 的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f(x 1)，f(x 2)和 f(x 3)的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在 A，B 处的切线斜率大于零且 kAkB，在 C 处的切线斜率小于零，所以 f(x 1)f(x 2)f(x 3)3f(x 0)与 f(x )的区别是什么？提示：f(x) 是函数 f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与 x0，d
4、无关；f ( x0)表示的是函数 f(x)在 xx 0 处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及 x0 的位置有关，而与 d 无关求函数在某一点处的导数求函数 f(x)2x 24x 在 x3 处的导数自主解答 法一：f(3 d)f(3)2(3d) 24(3d)(23 243)12d2d 24d2d 216d， 2d16.f3 d f3d 2d2 16ddd 0 时，f(3) 16.法二： 2x d2 4x d 2x2 4xd 4xd 2d2 4dd4x2d44x 4(d0)，即 f(x )4x4，f (3) 43 416.在本例中，若函数在 xx 0 处的导数是 8，求 x
5、0 的值解：根据导数的定义，fx d fxd 2x d2 4x d 2x2 4xd4xd 2d2 4dd4x2d44x 4(d0)，f (x) 4x4.令 f(x 0)4x 048，解得 x01.根据导数的定义，求函数 yf (x)在点 x0 处的导数的步骤(1)求函数的差分 f(x0d)f(x 0)；(2)求差商 ；fx0 d fx0d(3)取极限，d0 得导数 f(x 0)1求函数 f(x)x 在 x1 处的导数1x解：f(1d) f(1)(1d) d ，11 d (1 11) d1 d 1 ，f1 d f1d d d1 dd 11 dd 0 时，f(1) 112.求瞬时速度一条水管中流过
6、的水量 y(单位：m 3)是时间 t(单位：s) 的函数，且 yf(t)3t.求函数 yf(t) 在 t2 处的导数 f(2)，并解释它的实际意义自主解答 根据导数的定义， 3，f2 d f2d 32 d 32df (2) 3.f(2)的意义是：水流在 2 s 时的瞬时流量为 3 m3/s，即如果保持这一速度，每经过 1 s，水管中流过的水量为 3 m3.求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系 ss( t)；(2)求时间改变量 d，位移改变量 ss (t0d) s(t 0)；(3)求平均速度 ；sd(4)求瞬时速度，vli .md 0sd2一辆汽车按规律 s2t 2 3 作直线运动，
7、求这辆车在 t2 时的瞬时速度( 时间单位：s，位移单位：m.)解：设这辆车在 t2 附近的时间步长为 d，则位移的差分2(2d) 23(22 23) 8d2d 2，差商82df(2)8( d0) 所以这辆车在 t2 时的瞬时速度为 8 m/s.确定或应用曲线的切线方程抛物线 yx 2 在点 P 处的切线与直线 4xy20 平行，求 P 点的坐标及切线 方程自主解答 设 P 点坐标为(x 0，y 0)，x d2 x2d 2xd d2d2xdy2x (d0)，切线的斜率为 k2x 0.又由切线与直线 4xy 20 平行，2x04 ， x0 2.P(2，y 0)在抛物线 yx 2 上，y0 4.点
8、 P 的坐标为(2,4)切线方程为 y44( x2)即 4xy40.若将本例中的“平行”改为“垂直” ，其它条件不变，如何求解？解：设 P 点坐标为(x 0，y 0)，x d2 x2d2xd d2d2xd2x(d0)，y 2 x，故切线斜率为 k2x 0.又 切线与直线 4xy20 垂直，2x0 ，14即 x0 .18y0 x .20164P 点坐标为 .( 18，164)切线方程为 y ，164 14(x 18)即 16x64y10.利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数 yf(x)在点 x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方
9、程 yy 0f (x 0)(xx 0)(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程3已知曲线 C：y x3 .13 43(1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？解：(1)将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4，切点 P(2,4)f(2d) f (2) (2d) 3 23 4d2d 2 d3，13 43 13 43 13 42d d2，f2 d f2d 4d 2d2 13d3d 13当 d 趋于 0 时， 趋于 4.f2 d f2d曲线在
10、点 P(2,4)处的切线的斜率为 k4，切线方程为 y44( x2)，即 4xy40.(2)由Error!可得(x 2) 2(x4)0.解得 x12，x 24.从而求得公共点为 P(2,4)或 M(4，20)，即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点 (4，20).设 P 为曲线 C：f(x)x 22x3 上的一点，且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角 的取值范围为 ，求点 P 横坐标的取值范围0，4巧思 曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角 的取值范围为 ，即切线的斜率 k0,1，0，4故曲线 C 在 P 点处的导数的取值范围为 0,1妙解 设点 P(x0，y 0)，则x0 d
11、2 2x0 d 3 x20 2x0 3d2x 0d22x 02( d0)f (x0)2x 02. ，0，40 tan 1.即 02x 021.解得1x 0 .12点 P 横坐标的取值范围是 . 1， 121函数 yx 2 在 x1 处的导数为 ( )A2x B2dC2 D1解析：yx 2 在 x1 处的导数为 f(1)，则 2d2(d0)，f (1)2.1 d2 1d答案：C2一个物体的运动方程为 s1tt 2，其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( )A7 米/秒 B6 米/ 秒C5 米/秒 D8 米/秒解析：1 3 d 3 d2 1 3 32d5d5(d
12、0)，s(3) 5.答案：C3若曲线 yf( x)在点( x0，f(x 0)处的切线方程为 2xy 10，则( )Af(x 0)0 Bf ( x0)f (xB)Bf(x A)f( xB)Cf(x A)f(x B)D不能确定解析：由图可知，曲线在点 A 处的切线的斜率比曲线在点 B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知 f(x A)f( xB)，选 B.答案：B2下列说法正确的是( )A曲线的切线和曲线有且只有一个交点B过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C若 f(x 0)不存在，则曲线 yf(x)在点( x0，f (x0)处无切线D若 yf(x) 在点 (x0，f(x 0)处有切线，则
13、 f(x 0)不一定存在解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其它的公共点，故 A、B 错误；f( x0)不存在，曲线 yf (x)在点(x 0，f(x 0)的切线也可能存在，此时切线方程为 xx 0，故 C 错误答案：D3已知曲线 y2x 2 上一点 A(2,8)，则 A 处的切线斜率为( )A4 B16C8 D2解析：曲线在点 A 处的切线的斜率就是函数 y2x 2 在 x 2 处的导数 4x(d0)2x d2 2x2d 4xd 2d2df (x) 4x.则 f(2)8.答案：C4已知曲线 C：y x 3 在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为( )A(2，8) B(
14、2,8)C(1，1)或(1,1) D ( 12， 18)解析：设 P(x0，y 0)，则 3x (d0)，f ( x0)3x .x0 d3 x30d 20 20令 3x 3，解得 x01 或 x0 1.20P(1,1)或( 1，1)答案：C二、填空题5如果质点 M 按照规律 s 3t2 运动，则在 t3 时的瞬时速度为_解析：差商 183d18( d0)33 d2 332ds(3) 18.答案：186一物体的运动方程为 s7t 213t 8，且在 tt 0 时的瞬时速度为 1，则t0_.解析：差分7(t 0d) 213( t0d) 87t 13t 082014t 0d13d7d 2.差商 14
15、t 0137d14t 013(d0)s (t0)14t 0131.t0 1.答案：17已知函数 yf( x)的图象在点 M(1，f (1)处的切线方程是 y x2，则 f(1)f(1)12_.解析：由导数的几何意义得 f(1) ，12由切线方程得 f(1) 12 ，12 52所以 f(1)f(1)3.答案：38曲线 f(x) 在点(2，1) 处的切线方程为_2x解析： (d0)f 2 d f 2d 2 2 d 1d 1 2 d 12f (2) .故曲线在点( 2，1) 处的切线方程为 y1 (x2) ，12 12整理得 x2y40.答案：x2y40三、解答题9设质点做直线运动，已知路程 s 是
16、时间 t 的函数，s3t 22t1.(1)求从 t2 到 t2d 的平均速度，并求当 d1，d0.1 与 d0.01 时的平均速度；(2)求当 t2 时的瞬时速度解：(1)差分s (2d)s(2)3(2d) 22(2d)1(32 2221)14d3d 2，差商143d，v当 d1 时， 17；当 d0.1 时， 14.3；v v当 d0.01 时， 14.03.v(2)由(1)可知，143d14(d0)，s (2)14.当 t2 时的瞬时速度为 14.10已知抛物线 y2x 21，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4xy20?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x8y30?解：设切点的坐标为(x 0，y 0)，则差分2(x 0d) 212x 1204x 0d2d 2.差商4x 02 d.当 d 无限趋近于零时，差商无限趋近于 4x0.即 f(x 0)4x 0.(1)抛物线的切线的倾斜角为 45，斜率为 tan 451.即 f(x 0)4x 01，得 x0 .14该切点为 .(14，98)(2)抛物线的切线平行于直线 4xy 20，斜率为 4，即 f(x 0)4x 0 4.得 x01.该切点为 (1,3)(3)抛物线的切线与直线 x8y 30 垂直，斜率为 8.即 f(x 0)4x 08，得 x02.该切点为(2,9)
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