1、81_&_8.2 随机对照试验_ 概率82.1 概率的加法公式读教材填要点1随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂2概率的加法公式如果 的事件 A1，A 2， Am两两互斥，则P(A1A 2A m)P( A1) P(A2)P(A m)我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥小问题大思维1概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立，对立一定互斥当计算事件 A 的概率 P(A)比较复杂，困难时，常用公式 P(A
2、)1P ( )求解A2必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式 P(AB) P(A)P (B)，与本节的概率加法公式有什么区别和联系？提示：本节的概率加法公式是必修五概率加法公式的一个推广，它们有共同的前提是事件两两互斥；但必修五中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以不相同，但事件间必须互斥互斥事件的概率例 1 (1)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 5 人及以上概率 0.11 0.16 0.3 0.29 0.1 0.04则至多 2 人排队的概率为( )A0.3 B0.43C0.57 D0.27(2)围棋
3、盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 ，都是白子17的概率是 .则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是( )1235A. B. 17 1235C. D11735解析 (1)记“没有人排队”为事件 A， “1 人排队”为事件 B， “2 人排队”为事件C，A ，B ，C 彼此互斥记“至多 2 人排队”为事件 E.则 P(E)P( ABC )P(A)P( B)P (C)0.11 0.160.30.57.(2)设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A， “从中取出 2 粒都是白子”为事件 B， “任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 CAB，且事件 A 与 B 互
4、斥所以 P(C)P(A)P (B) .即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为 .17 1235 1735 1735答案 (1)C (2)C运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏1某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得，1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C ，求：(1)P(A)，P(B )，P( C)；(2)1 张奖券的中奖概率解：(1)P( A) ，P (B) ，P( C) .
5、故事件 A，B，C 的概率分11 000 101 000 1100 501 000 120别为 ， ， .11 000 1100 120(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1 张奖券中奖”这个事件为M，则 MAB C.A，B，C 两两互斥，P(M) P(ABC)P( A)P( B)P(C) ，1 10 501 000 611 000故 1 张奖券的中奖概率约为 .611 000对立事件的概率例 2 一名射手在某次射击训练中，射中 10 环、9 环、 8 环、7 环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：(1)射中 10 环或 7 环的概率；
6、(2)射中的环数低于 7 环的概率解 (1)设“射中 10 环”为事件 A， “射中 7 环”为事件 B，由于在这次射击中，事件 A 与事件 B 不可能同时发生，故事件 A 与事件 B 是互斥事件， “射中 10 环或 7 环”的事件为 AB.P(AB)P (A)P(B)0.210.280.49.射中 10 环或 7 环的概率为 0.49.(2)“低于 7 环”从正面考虑有以下几种情况：射中 6 环， 5 环，4 环，3 环，2 环，1环，0 环但由于这些概率都未知，故不能直接求解可考虑从反面入手 “低于 7 环”的反面是“大于或等于 7 环” ，即 7 环，8 环，9 环，10 环，由于这两
7、个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件的方法处理设“低于 7 环”为事件 E，则事件 为“射中E7 环或 8 环或 9 环或 10 环” 由(1)知“射中 7 环” “射中 8 环” “射中 9 环” “射中 10 环”彼此互斥故 P( )0.210.230.25 0.280.97，E从而 P(E)1P( )10.970.03.E射中的环数低于 7 环的概率为 0.03.解决此类问题的规律是：(1)必须分清事件 A、B 是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式； 所求事件必须是几个互斥事件的和满足以上两点才能用 P(A B)P(A)P (B)(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根
8、本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率2某单位 36 人的血型类别是：A 型 12 人，B 型 10 人，AB 型 8 人，O 型 6 人现从这 36 人中任选 2 人，求此 2 人血型不同的概率解：这 2 人血型不同的情况有：1 人 A 型 1 人 B 型；1 人 A 型 1 人 AB 型；1 人 A 型1 人 O 型；1 人 B 型 1 人 AB 型；1 人 B 型 1 人 O 型；1 人 AB 型 1 人 O 型共 6 种情况，而其反面是血型相同，只有 4 种情况法一：从 36 人中任选 2 人，共有 C 种选法，2 人血型不同的概率为：236P .C12C10C236 C12C18C
9、236 C12C16C236 C10C18C236 C10C16C236 C18C16C236 3445法二：由于“2 人血型不同”与“2 人血型相同”为对立事件，因而 2 人血型不同的概率为：P 1 1 .C21 C210 C28 C26C236 1145 3445解题高手 妙解题随机抽取的 9 个同学中，至少有 2 个同学在同一月份出生的概率是_(默认每个月的天数相同，结果精确到 0.001)尝试 巧思 每个同学的生日月份都有 12 种可能，故 9 人的生日月份共有 129 个至少有2 个人的生日在同一月份，若正面求解则分类情况复杂，故可化为求其对立事件的概率其对立事件为“所有人的出生月份
10、都不同”有 A 种可能912妙解 总事件数为 129 个，至少两人在同一月份出生的对立事件是 “所有人出生月份均不相同” ，则其概率为 1 10.01550.98450.985.A912129答案：0.9851有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A互斥但非对立事件 B对立事件C相互独立事件 D以上都不对解析：选 A 由于每人一个方向，故 “甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件2在所有的两位数(1099)中，任取一个数，则这个数能被 2 或 3 整除的概率是( )A.
11、B.56 45C. D.23 12解析：选 C 共 90 个数字，被 2 或 3 整除的数有 45301560，故概率为 .6090 233从 5 张 500 元，3 张 800 元，2 张 1 200 元演唱会的门票中任取 3 张则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为( )A. B.14 79120C. D.34 2324解析：选 C 3 张中没有价格相同的取法有 C C C 30，则 3 张中至少有 2 张相同的15 13 12概率为 1 .30C310 344从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于 2.45 g 的概率是 0.22，重量不小于2.50 g 的概率是 0.20，
12、那么重量在 2.45 g2.50 g 范围内的概率是_解析：重量在 2.45 g2.50 g 范围内的概率是 10.220.200.58.答案：0.585同时抛掷两个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数 1,2,3,4,5,6)，则向上的一面数之积为偶数的概率为_解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数，其可能出现的结果数为 C C ，因此向上的一面数之积为奇数的概率 P ，从而向13 13C13C1366 14上的一面数之积为偶数的概率为：1P1 .14 34答案：346银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽增加了部分自助存取
13、款功能的 ATM 机，也简化了部分手续，但仍没有彻底扭转这种局面经统计，在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：排队人数 0 10 人 1120 人 21 30 人 31 40 人 41 人以上概率 0.12 0.27 0.30 0.23 0.08计算：(1)至多 20 人排队的概率；(2)至少 11 人但不超过 40 人排队的概率解：记“有 010 人排队” 、 “有 1120 人排队” 、 “有 2130 人排队” 、 “有 3140 人排队” 、 “至多 20 人排队” 、 “至少 11 人但不超过 40 人排队”的事件分别为A，B ，C ，D，E，F ，则 A 与 B 是互斥事
14、件，事件 B，C，D 两两互斥，从而(1)P(E)P(A B)P( A)P(B)0.120.270.39；(2)P(F)P(B CD)P(B)P( C)P (D)0.270.300.230.80.一、选择题1一箱产品中有正品 4 件、次品 3 件，从中任取 2 件，其中事件：恰有 1 件次品和恰有 2 件次品；至少有 1 件次品和全是次品；至少有 1 件正品和至少有 1 件次品；至少有 1 件次品和全是正品4 组事件中是互斥事件的有( )A1 组 B2 组C3 组 D4 组解析：选 B 对于，恰有 1 件次品就是 1 件正品 1 件次品，与恰有 2 件都是次品显然互斥；对于，至少有 1 件次品
15、包括有 1 件次品和 2 件全是次品，两事件不互斥；对于，至少有 1 件正品包括恰有 1 件正品和 1 件次品以及 2 件都是正品， 与至少有 1 件次品显然不互斥；对于，至少有 1 件次品包括恰有 1 件次品和 2 件全是次品，与全是正品显然互斥故是互斥事件的是、.2某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为 0.03，丙级品的概率为 0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为( )A0.09 B0.98C0.97 D0.96解析：选 D 10.030.01 0.96.3甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 40%，甲不输的概率为 90%，则甲、乙两人下成和棋的概率
16、为( )A60% B30%C10% D50%解析：选 D “甲不输”事件是事件 “甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”的和事件，又事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”互斥所以甲、乙两人下成和棋的概率为90%40%50%.4从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A. B.929 1029C. D.1929 2029解析：选 D 既有男同学又有女同学的对立事件为全为男同学或女同学，全为男同学的概率为 ，全为女同学的概率 ，故所求事件概率为 1 .C320C30 C310C30 C320C30 C310C30 2029二、
17、填空题5在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C ，D 的概率分别是 0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的命题序号是_AB 与 C 是互斥事件，也是对立事件BC 与 D 是互斥事件，也是对立事件AC 与 BD 是互斥事件，但不是对立事件A 与 BC D 是互斥事件，也是对立事件解析：由于 A，B，C，D 彼此互斥，且 ABC D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件答案：6已知某台纺纱机在 1 小时内发生 0 次、1 次、2 次断头的概率分别
18、是 0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在 1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为_，_.解析：断头不超过两次的概率 P10.80.120.050.97.于是，断头超过两次的概率P21P 110.970.03.答案：0.97 0.037一只袋子中装有 7 个红玻璃球，3 个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为 ，取得两个绿球的概率为 ，则取得两个同颜色的球715 115的概率为_；至少取得一个红球的概率为_解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为 P
19、.由于事件715 115 815A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为 P(A)1P(B) 1 .115 1415答案： 815 14158若 A，B 互为对立事件，其概率分别为 P(A) ，P( B) ，则 xy 的最小值为4x 1y_解析：由题意，x0，y 0， 1.则 xy ( xy ) 5 9，当且仅当4x 1y (4x 1y) (4yx xy)x2y 时等号成立，故 xy 的最小值为 9.答案：9三、解答题9近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾
20、分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨) ：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100可回收物 30 240 30其他垃圾 20 20 60(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 .“厨 余 垃 圾 ”箱 里 厨 余 垃 圾 量厨 余 垃 圾 总 量 400400 100 100 23(2)设生活垃圾投放错误为事件 A，则事件 表示生活垃圾投放正确事件 的概率约为A A“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、 “可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即 P( )约为 0.7，所以 P(A)约为 10.70.3.A400 240 601 00010袋中有 12 只小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、黄13 512 512球、绿球的概率各是多少？解：从袋中任取一球，记事件 A摸得红球 ，事件 B 摸得黑球，事件 C摸得黄球 ，事件 D摸得绿球，则有Error!解得 P(B) ，P(C) ，P( D) .14 16 14所以得到黑球的概率为 ，得到黄球的概率为 ，得到绿球的概率为 .14 16 14
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