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    2019年苏教版高二数学选修2-1讲义:2.3.1 双曲线的标准方程(含解析)

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    2019年苏教版高二数学选修2-1讲义:2.3.1 双曲线的标准方程(含解析)

    1、_2.3 双_曲_线23.1 双曲线的标准方程对 应 学 生 用 书 P25在平面直角坐标系中 A(3,0),B(3,0),C (0,3),D (0,3)问题 1:若动点 M 满足|MAMB| 4,设 M 的坐标为(x,y),则 x,y 满足什么关系?提示: 1.x24 y25问题 2:若动点 M 满足|MCMD|4,设 M 的坐标为( x, y),则 x,y 满足什么关系?提示: 1.y24 x25双曲线的标准方程焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1(a0,b0)x2a2 y2b2 1(a0,b0)y2a2 x2b2焦点坐标 (c,0) (0,c )a,b,c 的关系 c2a 2b

    2、 21双曲线的标准方程与椭圆不同,左边是含 x,y 项的平方差,右边是 1.2在双曲线中,a0 且 b0,但 a 与 b 的大小关系不确定3在双曲线中 a、b、c 满足 c2a 2b 2,与椭圆不同对 应 学 生 用 书 P26用待定系数法求双曲线方程例 1 已知双曲线过点 P( , ),Q 两点,求双曲线的标准方程2 3 (153, 2)思路点拨 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程,再构造关于 a、b、c 的方程组求解,从而得出双曲线的标准方程也可以设双曲线方程为 mx2ny 21( mn0,b0),x2a2 y2b2P( , ),Q 两点在双曲线上2 3 (153, 2)Error!解得

    3、Error!即 a21,b 23,所求双曲线的标准方程为 x2 1.y23当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 1(a0,b0),y2a2 x2b2P( , ),Q 两点在双曲线上,2 3 (153, 2)Error!解得Error!(不符合题意,舍去 )综上:所求双曲线的标准方程为 x2 1.y23法二:设双曲线的方程为 mx2ny 21(mn5.所以实数 m 的取值范围是(5,)一点通 给出方程 1( mn0),当 mn3.答案:(3,2) ( 3,2)(3,)双曲线的定义及其标准方程的应用例 3 已知 F1,F 2 是双曲线 1 的两个焦点,P 是双曲线左支上的点,且x29 y2

    4、16PF1PF232,试求F 1PF2 的面积思路点拨 本题是有关双曲线的焦点三角形问题,解答本题的关键是求得 F1PF2的大小由余弦定理,根据已知条件,结合双曲线的定义即可求得结果精解详析 双曲线的标准方程为 1,可知 a3,b4,c 5.由双x29 y216 a2 b2曲线的定义,得|PF 2PF 1|2a6,将此式两边平方,得 PF PF 2PF 1PF236,21 2PF PF 362PF 1PF236232100.21 2在F 1PF2 中,由余弦定理,得cosF 1PF2 0,PF21 PF2 F1F22PF1PF2 100 1002PF1PF2F 1PF290,S F1PF2 P

    5、F1PF2 3216.12 12一点通 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要考虑定义|PF1PF 2|2a,其次要利用余弦定理(或勾股定理) 建立关于 PF1、PF 2、F 1F2 的方程,解方程组可求得 PF1、PF 2 或 PF1PF2,再解决相关问题5已知双曲线 1 的左焦点为 F,点 P 为双曲线右支上一点,且 PF 与圆x216 y225x2y 216 相切于点 N,M 为线段 PF 的中点,O 为坐标原点,则MNMO _.解析:如图,设 F是双曲线的右焦点,连接 PF,因为 M,O 分别是 FP,FF的中点,所以 MO PF,又 FN 5,由12 OF2 ON2双曲线的定

    6、义知 PFPF 8,故 MNMO PFMFFN (PFPF )12 12FN 851.12答案:16如图所示,已知定圆 F1:x 2y 210x240,定圆F2:x 2 y210x 90,动圆 M 与定圆 F1,F 2 都外切,求动圆圆心M 的轨迹方程解:圆 F1:( x5) 2y 21,圆 F2:( x5) 2y 24 2,F1(5,0),半径 r11;F 2(5,0),半径 r24.设动圆 M 的半径为 R,则 MF1R1,MF 2R4,MF2 MF13F 1F210.动圆圆心 M 的轨迹是以 F1、F 2 为焦点的双曲线左支,且 a ,c5.32b2 25 .94 914动圆圆心 M 的

    7、轨迹方程为 1( x )4x29 4y291 321用定义法求双曲线的标准方程时,要注意是一支还是两支2用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,设出标准方程后,由条件列出 a,b,c 的方程组对应课时跟踪训练(十) 1双曲线 1 上的点 P 到一个焦点的距离为 11,则它到另一个焦点的距离为x225 y224_解析:设双曲线的左、右焦点分别为 F1,F 2,不妨设 PF111,根据双曲线的定义知|PF1PF 2|2a10,PF 2 1 或 PF221,而 F1F214, 当 PF21 时,1110,且焦点在 x 轴上,根据题意知 4a 2a2,即x2a y22a2a20,解得

    8、 a1 或 a2(舍去) 故实数 a1.答案:15已知双曲线的两个焦点为 F1( ,0),F 2( ,0),M 是此双曲线上的一点,10 10且满足 2M0,| 2|2,则该双曲线的方程是 _1F解析: 0, 1.| 1|2|240.(| F| |)2| 1M|22| 1| F| | 2M|2402236.| 1MF| 2|62a, a3.又 c , b2c 2a 21,10双曲线方程为 y 21.x29答案: y 21x296求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)以椭圆 1 的长轴端点为焦点,且经过点 P(5, );x225 y29 94(2)过点 P1(3,4 ),P 2( ,5)294解:(1)因为椭圆 1 的长轴端点为 A1(5,0) ,A 2(5,0),所以所求双曲线的焦点x225 y29为 F1(5,0) , F2(5,0)由双曲线的定义知,|PF 1PF 2|Error! Error!(5 5)2 (f(9,4) 0)2 (5 5)2 (f(9,4) 0)2Error! Error!8,即 2a8,则 a4.又 c5,所以(f(41,4) 2 (f(9,4) 2b2c 2a 29.故所求双曲线的标准方程为 1.x216 y29(2)设双曲线的方程为 Ax2By 21(AB )x22 y26 2


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