1、2019 年福建省莆田市高考数学二模试卷（理科） （A 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设全集 Ux N*|x8 ，集合 A1 ，3，7， B2 ，3，8，则（ UA）B（ ）A2 ，3，4，5，6，8 B2 ，8C1，7 D32 （5 分）已知 za+ i（a0） ，且| z|2，则 （ ）A1i B1+i C D3 （5 分）执行如图所示的程序框图，最后输出结果为（ ）A16 B31 C32 D624 （5 分）函数 f（x ）e sinx1 在 ，上
2、的图象大致为（ ）A BC D5 （5 分）从 4 位女生，3 位男生中选 3 人参加科技比赛，则至多有 2 位女生入选的方法种数为（ ）A30 B31 C185 D186第 2 页（共 28 页）6 （5 分）如图 1 是某省 2019 年 14 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 14 月快递业务收入统计图，其中同比增长率指和去年同期相比较的增长率下列对统计图理解错误的是（ ）A月业务量中，3 月份最高， 2 月份最低，差值接近 2000 万件B月收入同比增长率中，3 月份最高C同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D月业务收入
3、同比增长率逐月增长7 （5 分）现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为 p某检验员从该生产线上随机抽检 50 个零件，设其中优等品零件的个数为 X若 D（X）8，P（X20）P（X 30） ，则 p（ ）A0.16 B0.2 C0.8 D0.848 （5 分）若将函数 f（x ）cos （2x +）的图象向右平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象，且 g（x）的图象关于原点对称，则| |的最小值为（ ）A B C D9 （5 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题” ） ，后来我国南宋数学家秦九韶在数书九章
4、大衍求一术中将此问题系统解决 “大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题后传入西方，被称为“中国剩余定理” 现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被 3 除余 2 且被 5 除余 1 的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第 10 项为（ ）A116 B131 C146 D16110 （5 分）已知 F 为椭圆 的右焦点，过点 F 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，O 为原点若 OPF 是以 OF 为底边的等腰三角形，则 l 的斜率第 3 页（共 28 页）为（ ）A B C2 D11 （5 分）在正方体
5、 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 BB1，DD 1 的中点，G 为侧面ABB1A1 内一点若 D1G 平面 AEC1F，则 D1G 与平面 ABB1A1 所成角正弦值的最大值为（ ）A B C D12 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右两个焦点分别为 F1、F 2，以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，若|MF 1|MF 2|2b，该双曲线的离心率为 e，则 e2（ ）A2 B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若向量 ， ，且 A，B，C 三点共线，则 &nb
6、sp; 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 则 zx 2+y2 的最小值是 15 （5 分）已知 a，bR，且 a0函数 若方程 f（x）b 至多有两个不等实数根，则 a 的取值范围为 16 （5 分）对于m，nN *，数列a n都有 （t 为常数）成立，则称数列 an具有性质 R（t） 若数列a n的通项公式为 ，且具有性质 R（10） ，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22
7、，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题 60 分.17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c已知 bacosC+csin A（1）求 A；（2）若 AC 边上的中线 BD 的长为 2，求ABC 面积的最大值第 4 页（共 28 页）18 （12 分）如图，以 A，B，C ，A 1，B 1，C 1 为顶点的五面体中，AA1BB 1CC 1，CC 1平面 ABC， ，2AA 1BB 1CC 1AC2，F 是 AC的中点（1）求证：AC 1平面 BA1F；（2）求二面角 BA 1FB 1 的余弦值19 （12 分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年
8、研发资金投入量 x（单位：亿元）对年销售额 y（单位：亿元）的影响该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：y + x2，ye x+t，其中 ，t 均为常数，e 为自然对数的底数现该公司收集了近 12 年的年研发资金投入量 xi 和年销售额 yi 的数据，i1，2，12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值令 ，v i lnyi（i1，2，12） ，经计算得如下数据：20 66 770 200 460 4.203125000 21500 0.308 14（1）设u i和y i的相关系数为 r1，x i和v i的相关系数为 r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程
9、度更好的模型；（2） （i）根据（1）的选择及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 0.01） ；（ii）若下一年销售额 y 需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量 x 是多少亿元？第 5 页（共 28 页）附： 相关系数 ，回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ；参考数据：308477， ，e 4.49989020 （12 分）已知抛物线 C： x22py（p0）的焦点为 F，准线为 l，若点 P 在 C 上，点E 在 l 上，且PEF 是周长为 12 的正三角形（1）求 C 的方程；（2）过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，抛物线在点 A 处
10、的切线与 l 交于点 N，求ABN 面积的最小值21 （12 分）已知函数 f（x ）ae x1 +xlnx+bx2 的导函数为 f'（x） ，且 f'（1）2f（1） （1）求 a 的值；（2）若 f（x）有唯一极值点，且极值为 0，求 b 的值（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） 以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴
11、为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为第 6 页（共 28 页）（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求| PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |+a（1）若不等式 f（x ）6 的解集为 x|1x3，求 a 的值；（2）设函数 g（x）|2x1|若 f（x）g（x）3，求 a 的取值范围第 7 页（共 28 页）2019 年福建省莆田市高考数学二模试卷（理科） （A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每
12、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设全集 Ux N*|x8 ，集合 A1 ，3，7， B2 ，3，8，则（ UA）B（ ）A2 ，3，4，5，6，8 B2 ，8C1，7 D3【分析】根据集合补集交集的定义进行求解即可【解答】解：Ux N*|x8 1，2，3，4，5，6，7，8，则 UA2，4 ，5，6，8，则（ UA）B2，8，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键比较基础2 （5 分）已知 za+ i（a0） ，且| z|2，则 （ ）A1i B1+i C D【分析】由已知列式求得 a，再由共轭复数
13、的概念得答案【解答】解：za+ i（a0） ，且| z|2， ，即 a 故选：D【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，最后输出结果为（ ）第 8 页（共 28 页）A16 B31 C32 D62【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解：k1，k 30 是，i 2，k1+23，k3，k30 是，i4，k3+47，k7，k30 是，i8，k7+815，k15，k30 是，i16，k15+1631，k31，k30 否，输出 k31 ，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键4 （5 分
14、）函数 f（x ）e sinx1 在 ，上的图象大致为（ ）A BC D【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可以排除 C、D，进而分析 0x 时，f（x）的符号，排除 B，综合即可得答案【解答】解：根据题意，f（ x）e sinx1，则 f（x）e sinx 1，则 f（x）为非奇非偶函数，排除 C、D，第 9 页（共 28 页）又由当 0x 时，0sinx 1，则 esinx10，排除 B，故选：A【点评】本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题5 （5 分）从 4 位女生，3 位男生中选 3 人参加科技比赛，则至多有 2 位女生入选的方法种数为（ ）A30
15、 B31 C185 D186【分析】由排列、组合及简单的计数原理得：从 4 位女生，3 位男生中选 3 人参加科技比赛，则至多有 2 位女生入选的方法可分为 3 类：从 4 位女生，3 位男生中选 3 男的选法有 1 种，从 4 位女生， 3 位男生中选 1 女 2 男的选法有 12 种，从 4 位女生，3 位男生中选 2 女 1 男的选法有 18 种，综合 得：至多有 2 位女生入选的方法种数为 1+12+1831，得解【解答】解：从 4 位女生，3 位男生中选 3 人参加科技比赛，则至多有 2 位女生入选的方法可分为 3 类：从 4 位女生， 3 位男生中选 3 男的选法有 1 种，从 4
16、 位女生， 3 位男生中选 1 女 2 男的选法有 12 种，从 4 位女生， 3 位男生中选 2 女 1 男的选法有 18 种，综合得：至多有 2 位女生入选的方法种数为 1+12+1831，故选：B【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题6 （5 分）如图 1 是某省 2019 年 14 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 14 月快递业务收入统计图，其中同比增长率指和去年同期相比较的增长率下列对统计图理解错误的是（ ）第 10 页（共 28 页）A月业务量中，3 月份最高， 2 月份最低，差值接近 2000 万件B月收入同比增长率中，3 月份最高C
17、同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D月业务收入同比增长率逐月增长【分析】由统计图得：月业务量中，3 月份最高，2 月份最低，差值接近 2000 万件；月收入同比增长率中，3 月份最高；同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致；月业务收入同比增长率有增有减【解答】解：由统计图得：在 A 中，月业务量中，3 月份最高，2 月份最低，差值接近 2000 万件，故 A 正确；在 B 中，月收入同比增长率中，3 月份最高，故 B 正确；在 C 中，同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致，故 C 正确；在 D 中，月业务收入同比增长率有增有减，故 D 错误故选：D【点
18、评】本题考查频率、平均值、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7 （5 分）现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为 p某检验员从该生产线上随机抽检 50 个零件，设其中优等品零件的个数为 X若 D（X）8，P（X20）P（X 30） ，则 p（ ）A0.16 B0.2 C0.8 D0.84【分析】由题意可得：XB（50，p） 由 D（X）50p（1p）8，解得 p再根据P（X20）P （X30） ，即可解得 p【解答】解：由题意可得：XB（50，p） 由 D（X）50p（1p）8 ，化为：25p 225p+4 0，解得 p0.8，或
19、 0.2第 11 页（共 28 页）P（X20）P （X30） ， p30（1p） 20，化为：1pp，解得 p 故 p0.8故选：C【点评】本题考查了二项分布列的性质及其应用，考查了阅读与分析问题的能力、推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分）若将函数 f（x ）cos （2x +）的图象向右平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象，且 g（x）的图象关于原点对称，则| |的最小值为（ ）A B C D【分析】利用函数 yA sin（ x+）的图象变换规律得到 g（x ）的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，求得| |的最小值【解答】解：将函数 f（x ）cos （2x +
20、）的图象向右平移 个单位长度，得到函数 g（x）cos （2x +）的图象，g（x）的图象关于原点对称， +k + ，kZ令 k1，可得|的最小值为 ，故选：A【点评】本题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题9 （5 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题” ） ，后来我国南宋数学家秦九韶在数书九章大衍求一术中将此问题系统解决 “大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题后传入西方，被称为“中国剩余定理” 现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被 3 除余 2
21、 且被 5 除余 1 的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第 10 项为（ ）A116 B131 C146 D161【分析】若某个数能满足被 3 除余 2 且被 5 除余 1，则这个数加上 3 和 5 的最小公倍数15 的整数倍后也能满足条件，又第一个满足被 3 除余 2 且被 5 除余 1 的正整数为 11，第 12 页（共 28 页）可得【解答】解：依题意，设 a 满足被 3 除余 2 且被 5 除余 1，则 a 加上 3 和 5 的最小公倍数 15 的整数倍后也能满足被 3 除余 2 且被 5 除余 1，设被 3 除余 2 且被 5 除余 1 的数为a n，则a n是以
22、 11 为首项，以 15 为公差的等差数列，所以 a1011+（101）15146故选：C【点评】本题考查了等差数列的定义，通项公式，属于基础题10 （5 分）已知 F 为椭圆 的右焦点，过点 F 的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，O 为原点若 OPF 是以 OF 为底边的等腰三角形，则 l 的斜率为（ ）A B C2 D【分析】利用点差法及 kOPk AB求解 【解答】解：设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，P（x 0，y 0） ，有 ，则（x 1x 2） （x 1+x2） （x 1+x2）+4（y 1y 2） （y 1+y2）0FPO
23、 是以 OF 为底边的等腰三角形，k OPk AB 故选：A【点评】本题考查了椭圆标准方程的应用，考查了点差法，属中档题第 13 页（共 28 页）11 （5 分）在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 BB1，DD 1 的中点，G 为侧面ABB1A1 内一点若 D1G 平面 AEC1F，则 D1G 与平面 ABB1A1 所成角正弦值的最大值为（ ）A B C D【分析】过 D1 构造平面 AEC1F 的平行平面，得出 G 的轨迹，再判断 G 的位置得出D1G 与平面 ABB1A1 所成角正弦值的最大值【解答】解：取 A1A 的中点 M，连接 B1M，B 1D1
24、，EF显然 D1MC 1E，B 1D1EF ，平面 B1D1M平面 AEC1F，D 1G平面 AEC1F，且 G侧面 ABB1A1，G 在线段 B1M 上，又 A1D1平面 ABB1A1， D1GA1 为 D1G 与平面 ABB1A1 所成角，且 sinD 1GA1，设正方体棱长为 1，则当 A1G 取得最小值 时，D 1G 取得最小值 ，sinD 1GA1 的最大值为 故选：D【点评】本题考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题12 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右两个焦点分别为 F1、F 2，以第 14 页（共 28 页）线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的
25、交点为 M，若|MF 1|MF 2|2b，该双曲线的离心率为 e，则 e2（ ）A2 B C D【分析】联立圆与渐近线方程，求得 M 的坐标，利用两点之间的距离公式，化简即可求得双曲线的离心率【解答】解：由题意可知：以线段 F1F2 为直径的圆的方程 x2+y2c 2，双曲线经过第一象限的渐近线方程为 y x，联立方程 ，解得： ，则 M（a，b） ，由|MF 1|MF 2|2b，即 2b，由 b2c 2a 2，e ，化简整理得：e 4e 210，由求根公式可知 e2 ，由 e1，则 e2 ，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题
26、二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若向量 ， ，且 A，B，C 三点共线，则 26 【分析】A，B，C 三点共线，可得 ，然后结合向量共线的坐标表示即可求解【解答】解：A，B，C 三点共线， ，2m3（4） ，则 m6，第 15 页（共 28 页）故答案为：26【点评】本题主要考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础试题14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 则 zx 2+y2 的最小值是 【分析】由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值【解答】解：由已知得到 x，y 满足约束条件 可行域如图：目标函数 zx 2
27、+y2 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，所以 P 到图中 x+y20 的距离的平方即为所求，d2（ ） 2 ，故答案为： 【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是解答的关键15 （5 分）已知 a，bR，且 a0函数 若方程 f（x）b 至多有两个不等实数根，则 a 的取值范围为 （1，0） 【分析】先分类讨论分段函数当 a1 时， 当 a1 时， 当1a0 时的图象的作法，再观察即可得解第 16 页（共 28 页）【解答】解： 当 a 1 时，函数 yf（x ）的图象如图（1）所示，由方程 f（x） b 至多有两个不等实数根，则当1b1 时，方程 f（ x）b 有三个不等
28、实数根，故不满足题意，当 a 1 时，显然有 b1 时，方程 f（x）b 有无穷个解，故不满足题意，当 1a 0 时，函数 yf（x ）的图象如图（2）所示，当方程 f（x） b 至多有两个不等实数根时，b R，综合得：a 的取值范围为（ 1，0） ，故答案为：（1，0） 【点评】本题考查了分段函数图象的作法及方程的根的个数与函数图象的交点个数的关系，属中档题16 （5 分）对于m，nN *，数列a n都有 （t 为常数）成立，则称数列 an具有性质 R（t） 若数列a n的通项公式为 ，且具有性质 R（10） ，则实数 a 的取值范围是 （7，+） 【分析】由题a n的通项公式为 ，且具有性
29、质 R（10）可得数列a n有成立，再利用通项公式列出不等式 ，将 a 分离参数，利用函数求最值思路求解关于 a 的不等式即可【解答】解：对于m，n N*，数列a n都有 （t 为常数）成立，则称数列a n具有性质 R（t） 数列a n的通项公式为 ，且具有性质 R（10 ）时，有 成立，第 17 页（共 28 页）即： 成立mn 解得（m+n）+ a10 即 a10（m +n）要求 a10（m+n） 即求 a 大于 10（m +n）的最大值，要使 10（m+n）有最大值，则求 m+n 最小值，m，nN *，mn，（
30、m+n）最小值为 3，a1037即实数 a 的取值范围是 （7，+） ，故答案为：（7，+）【点评】本题考查数列知识与不等式的综合运用，是中档题，解题时要注意运用将 a 分离参数，利用函数求最值思路求解关于 a 范围三、解答题：共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题 60 分.17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c已知 bacosC+csin A（1）求 A；（2）若 AC 边上的中线 BD 的长为 2，求ABC 面积的最大值【分析】 （
31、1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosAsinCsinAsinC，结合 sinC0，可求 cosAsin A，结合 A 为三角形内角，可求（2）由已知可得 SABC 2S ABD ，设ABD ，则 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求 SABD ，结合范围 ，利用正弦函数的性质可求ABD 面积的最大值，进而可求ABC 面积的最大值【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（1）因为 bacosC+csinA ，所以由正弦定理得，sinBsinAcosC+sinC sinA，（1 分）因为 BAC，代入得 sin（ AC）sinAcos C+sinAsin
32、C，所以 sin（A+C）sinAcos C+sinAsinC，（2 分）即 sinAcosC+cosAsinCsin AcosC+sinAsinC，（3 分）第 18 页（共 28 页）所以 cosAsinCsinAsinC（4 分）因为 sinC0，所以 cosAsinA，（5 分）又因为 A 为三角形内角，所以 （6 分）（2）因为 BD 为边 AC 上的中线，所以 SABC 2S ABD ， （7 分）设ABD，则 由正弦定理得， ， ，（8分）则 （9 分）2sin 2+2sincos1+（sin2 cos2） ，（10 分）因为 ，所以当 时，ABD 面积的最大值为 ，（11 分）
33、所以ABC 面积的最大值为 （12 分）【点评】本小题主要考查正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的三角函数公式、诱导公式等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性，属于中档题18 （12 分）如图，以 A，B，C ，A 1，B 1，C 1 为顶点的五面体中，AA1BB 1CC 1，CC 1平面 ABC， ，2AA 1BB 1CC 1AC2，F 是 AC的中点（1）求证：AC 1平面 BA1F；第 19 页（共 28 页）（2）求二面角 BA 1FB 1 的余弦值【分析】 （1）证明 CC1BF BFA
34、C 推出 BF平面 AA1C1C，得到 BFAC 1，证明A1FAC 1即可 mAC1平面 BA1F（2）设 A1C1 的中点为 E，连接 EF，以 F 为原点， 分别为 x 轴，y 轴，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系求出平面 A1B1F 的法向量，平面 BA1F 的一个法向量没听过空间向量的数量积求解二面角 B1A 1C1C 的余弦值即可【解答】 （1）证明：因为 CC1平面 ABC，BF平面 ABC，所以 CC1BF因为 ，F 是 AC 的中点，所以 BFAC （1 分）又 CC1AC C，所以 BF平面 AA1C1C，从而 BFAC 1 （2 分）因为 CC1平面 ABC，且 AA
35、1CC 1，AA 1CC 1，所以四边形 AA1C1C 为直角梯形又 F 是 AC 的中点，2AA 1CC 1AC 2，所以A 1AF 与 ACC 1 均为等腰直角三角形，所以A 1FA C 1AC45 （3 分）设 A1FAC 1 D，则ADF 90，所以 A1FAC 1 （4 分）又 BFA 1FF，BF，A 1F平面 BA1F，所以 AC1平面 BA1F （5 分）第 20 页（共 28 页）（2）解：由（1）知 BF平面 ACC1A1设 A1C1 的中点为 E，连接 EF，则 EFCC 1，从而 EFAC以 F 为原点， 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系由
36、题意得，F（0，0，0） ，A 1（1，1，0） ，B 1（0，2，2） ，A（1，0，0） ，C1（1，2，0） ，（6 分）则 ， （7 分）设平面 A1B1F 的法向量为 （x ，y，z） ，由 得 （8 分）令 y1，得 x1，z1，所以 （1，1，1）为平面 A1B1F 的一个法向量 （9 分）因为 AC1平面 BA1F，所以 为平面 BA1F 的一个法向量 （10 分）因为 ， （11 分）且由图可知二面角 B1A 1C1C 为锐角，所以二面角 B1A 1C1C 的余弦值为 （12 分）【点评】本小题主要考查直线与平面垂直的判定与性质、二面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、
37、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性第 21 页（共 28 页）19 （12 分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量 x（单位：亿元）对年销售额 y（单位：亿元）的影响该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：y + x2，ye x+t，其中 ，t 均为常数，e 为自然对数的底数现该公司收集了近 12 年的年研发资金投入量 xi 和年销售额 yi 的数据，i1，2，12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值令 ，v i lnyi（i1，2，12） ，
38、经计算得如下数据：20 66 770 200 460 4.203125000 21500 0.308 14（1）设u i和y i的相关系数为 r1，x i和v i的相关系数为 r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2） （i）根据（1）的选择及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 0.01） ；（ii）若下一年销售额 y 需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量 x 是多少亿元？附： 相关系数 ，回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ；参考数据：308477， ，e 4.499890第 22 页（共 28 页）【分析】 （1）由题意计算相关
39、系数，比较它们的大小即可；（2） （i）先建立 v 关于 x 的线性回归方程，再转化为 y 关于 x 的回归方程；（ii）利用回归方程计算 y90 时 x 的值即可【解答】解：（1）由题意， ，（2 分） ，（4分）则|r 1| r2|，因此从相关系数的角度，模型 ye x+t 的拟合程度更好；（5 分）（2） （i）先建立 v 关于 x 的线性回归方程，由 ye x+t，得 lnyt+ x，即 vt +x；（6 分）由于 ，（8 分），（9 分）所以 v 关于 x 的线性回归方程为 ，所以 ，则 ；（10 分）（ii）下一年销售额 y 需达到 90 亿元，即 y90，第 23 页（共 28
40、页）代入 ，得 90e 0.02x+3.84，又 e4.499890，所以 4.49980.02x+3.84，（11 分）所以 ，所以预测下一年的研发资金投入量约是 32.99 亿元（12 分）【点评】本题主要考查了统计与概率思想、分类与整合思想，考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性20 （12 分）已知抛物线 C： x22py（p0）的焦点为 F，准线为 l，若点 P 在 C 上，点E 在 l 上，且PEF 是周长为 12 的正三角形（1）求 C 的方程；（2）过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，抛物线在点 A 处的切线与 l 交于点 N
41、，求ABN 面积的最小值【分析】 （1）画出图形，设准线 l 与 y 轴交于 D，则 PEDF ，从而PEF EFD60，然后求解 p 即可得到抛物线方程（2）设直线 l 的方程为：y kx+1 ，联立 消去 y 可得，x 24kx 40设A（x 1， y1） ，B（x 2，y 2） ，通过韦达定理以及弦长公式推出 |AB|的表达式，利用函数的导数，求解切线方程，推出 N 的坐标，利用点到直线的距离公式以及三角形的面积，通过二次函数的性质推出结果即可【解答】满分（12 分） 解：（1）由PEF 是周长为 12 的等边三角形，得|PE| |PF| EF|4，又由抛物线的定义可得 PEl （1 分
42、）设准线 l 与 y 轴交于 D，则 PEDF，从而PEFEFD60 （2 分）在 Rt EDF 中， ，即 p2 （3 分）第 24 页（共 28 页）所以抛物线 C 的方程为 x24y （4 分）（2）依题意可知，直线 l 的斜率存在，故设直线 l 的方程为： ykx+1，联立 消去 y 可得，x 24kx40设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x24k ，x 1x24 （5 分）所以 4（1+k2） （6 分）由 ，得 ，所以过 A 点的切线方程为 ， （7 分）又 ，所以切线方程可化为 （8 分）令 y1，可得 ，所以点 N（2k， 1） ， （9 分） 所以
43、点 N 到直线 l 的距离 ， （10 分）所以 ，当 k0 时，等号成立 （11 分）所以ABN 面积的最小值为 4 （12 分）【点评】本题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性21 （12 分）已知函数 f（x ）ae x1 +xlnx+bx2 的导函数为 f'（x） ，且 f'（1）2f（1） （1）求 a 的值；第 25 页（共 28 页）（2）若 f（x）有唯一极值
44、点，且极值为 0，求 b 的值【分析】 （1）推导出 f'（x ）ae x1 +lnx+1+2bx，从而 f（1）a+b，f'（1）a+1+2 b由 f'（1）2f（1） ，得 a+1+2b2a+2b，由此能求出 a 的值（2）f（x） ex1 +xlnx+bx2，f'（x ）e x1 +lnx+1+2bx设 f（x）唯一极值点为 x0，推导出 令 F（x）（x2）e x1 xlnx+x，则 F'（x ）（x1）e x1 lnx ， 推导出 F'（x）F'（1）0，从而F（x）在（ 0， +）上单调递增，从而 x01，b1，由此能求出结果
45、【解答】解：（1）因为 f（x）ae x1 +xlnx+bx2，所以 f'（x ）ae x1 +lnx+1+2bx， （1 分）所以 f（1）a+b，f' （1） a+1+2b （2 分）又因为 f'（1）2f（1） ，所以 a+1+2b2a+2b， （3 分）解得 a1所以 a 的值为 1 （4 分）（2）由（1）可得，f（x ）e x1 +xlnx+bx2，f'（x ）e x1 +lnx+1+2bx设 f（x）唯一极值点为 x0，则 （5 分）由 x02 得， （*） （6 分）令 F（x ）（ x2）e x1 xlnx+x，则 F'（x）（x1）e
46、 x1 lnx，所以 又 F''（ x）在（0，+）上单调递增，且 F''（1）0， （7 分）所以当 x（0， 1）时，F ''（x）0，从而 F'（x）单调递减，当 x（1，+）时，F''（x ）0，从而 F'（x）单调递增，故 F'（x）F' （1）0，从而 F（x ）在（0，+ ）上单调递增， （8 分）又因为 F（1）0，第 26 页（共 28 页）所以 x01 （9 分）代入 可得， b1 （10 分）当 b1 时，f（x ）e x1 +xlnxx 2，f '（x ）e x1 +
47、lnx+12x，因为 x1 是（*）的唯一零点，且 f（1）0，f'（1）0， （11 分）又 ，f'（4）e 3+ln4+18 0，所以 x1 是 f（ x）唯一极值点，且极值为 0，满足题意所以 b1 （12 分）【点评】本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标
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