1、直线与圆【2019 年高考考纲解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现【重点、难点剖析】一、直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则 l1 l2k1 k2， l1 l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要 考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、斜截式方程要求直线不能与 x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线来源:3两个距
2、离公式(1)两平行直线 l1： Ax By C10，l2： Ax By C20 间的距离 d (A2 B20)|C1 C2|A2 B2(2)点( x0， y0)到直线 l： Ax By C0 的距离公式 d (A2 B20)|Ax0 By0 C|A2 B2二、圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为( a， b)，半径为 r 时，其标准方程为( x a)2( y b)2 r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2 y2 r2.来源:ZXXK2圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F0，其中 D2 E24 F0，表示以 为圆心， 为半(D2， E2) D2 E2 4F2径的圆三、直线与圆、圆与圆的位置
3、关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径 为 r，则 dr直线与圆相离(2)判别式法：设圆 C：( x a)2( y b)2 r2，直线 l： Ax By C0( A2 B20)，方程组Error!消去 y，得到关于 x 的一元二次方程，其根的判别式为 ，则直线与圆相离 0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆 C1：( x a1)2( y b1)2 r ，圆 C2：( x a2)2( y b2)2 r ，两圆心之间的距离为21 2d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)
4、dr1 r2两圆外离(2)d r1 r2两圆外切(3)|r1 r2|0)截直线 x y0 所得线段的长度 是 2，则圆 M 与圆 N：( x1) 2( y1) 21 的位置关系是( ) 2A内切 B相交C外切 D相离【举一反三】2018江苏卷在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 l： y2 x 上在第一象限内的点， B(5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若 0，则点 A 的横坐AB CD 标为_【方法技巧】弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示， l2(其中 l 为弦长， r 为圆的半径， d 为圆心到直线
5、的距离)r2 d2(2)根据公式： l |x1 x2|求解(其中 l 为弦长， x1， x2为直线与圆相交所得交点的1 k2横坐标， k 为直线的斜率)(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.【变式探究】(1)设圆 C1： x2 y21 与圆 C2：( x2) 2( y2) 21，则圆 C1与圆 C2的位置关系是( )A外离 B外切C相交 D内 含(2)已知直线 4x3 y a0 与 C： x2 y24 x0 相交于 A， B 两点，且 ACB120，则实数 a 的值为( )A3 B10C11 或 21 D3 或 13【感悟提升】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利
6、用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题【变式探究】(1)已知直线 y ax 与圆 C： x2 y22 ax2 y2 0 交于两点 A， B，且 CAB为等边三角形，则圆 C 的面积为_(2)如果圆( x a)2( y a)28 上总存在到原点的距离为 的点，则实数 a 的取值范围是2( )A(3，1)(1,3) B(3,3 )C1,1 D3，11,3【变式探究】已知 C： x2 y24 x6
7、 y30， M(2,0)是 C 外一点，则过点 M 的圆 C的切线的方程是( )A x20 或 7x24 y140B y20 或 7x24 y140C x20 或 7x24 y140D y20 或 7x24 y140【2019 年高考考纲解 读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线 与圆的位置关系(特别是弦长问题)此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现【重点、难点剖析】一、直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则 l1 l2k1 k2， l1 l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要
8、考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、斜截式方程要求直线不能与 x 轴 垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直 线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线 l1： Ax By C10，l2： Ax By C20 间的距离 d (A2 B20)|C1 C2|A2 B2(2)点( x0， y0)到直线 l： Ax By C0 的距离公式 d (A2 B20)来源:|Ax0 By0 C|A2 B2二、圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为( a， b)，半径为 r 时，其标准方程为( x a)2( y b)2 r2，特别地，当
9、圆心在原点时，方程为 x2 y2 r2.2圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F0，其中 D2 E24 F0，表示以 为圆心， 为半(D2， E2) D2 E2 4F2径的圆三、直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，则 dr直线与圆相离来源:Z*xx*k.Com(2)判别式法：设圆 C：( x a)2( y b)2 r2，直线 l： Ax By C0( A2 B20)，方程组Error!消去 y，得到关于 x 的一元二次方程，其根的判别式为 ，则直线与圆相离 0.2圆与圆
10、的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆 C1：( x a1)2( y b1)2 r ，圆 C2：( x a2)2( y b2)2 r ，两圆心之间的距离为21 2d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1 r2两圆外离(2)d r1 r2两圆外切(3)|r1 r2|0)截直线 x y0 所得线段的长度是 2，则圆 M 与圆 N：( x1) 2( y1) 21 的位置关系是( )2A内切 B相交C外切 D相离【解析】方法一：由Error!得两交点为(0,0)，( a， a)圆 M 截直线所得线段长度为 2 ，2 2 .又 a0， a2.a2 a 2 2圆 M 的方程为
11、x2 y24 y0，即 x2( y2) 24，圆心 M(0,2)，半径 r12.又圆 N：( x1) 2( y1) 21，圆心 N(1,1)，半径 r21，| MN| . 0 1 2 2 1 2 2 r1 r21， r1 r23,10)x2( y a)2 a2(a0)， M(0， a)， r1 a.依题意，有 ，解得 a2.a2 a2 2以下同方法一【答案】B【举一反三】2018江苏卷在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 l： y2 x 上在第一象限内的点， B(5,0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若 0，则点 A 的横坐AB CD 标为_解析：设 A(a,2
12、a)，则 a0.又 B(5,0)，故以 AB 为直径的圆的方程为( x5)( x a) y(y2 a)0.由题意知 C .(a 52 ， a)由Error!解得Error!或Error! D(1,2)来源:ZXXK又 0， (5 a，2 a)， (1 ，2 a)，AB CD AB CD a 52(5 a，2 a)(1 ，2 a) a25 a 0，a 52 52 152解得 a3 或 a1.又 a0， a3.答案：3【方 法技巧】弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示， l2(其中 l 为弦长， r 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离)r2
13、d2(2)根据公式： l |x1 x2|求解(其中 l 为弦长， x1， x2为直线与圆相交所得交点的1 k2横坐标， k 为直线的斜率)(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.【变式探究】(1)设圆 C1： x2 y21 与圆 C2：( x2) 2( y2) 21，则圆 C1与圆 C2的位置关系是( )A外离 B外切C相交 D内含答案 A解析 圆心距为 2 11，22 22 2故两圆外离(2)已知直线 4x3 y a0 与 C： x2 y24 x0 相交于 A， B 两点，且 ACB120，则实数 a 的值为( )A3 B10C11 或 21 D3 或 13答案 D解析 圆的方程整理为标准
14、方程即( x2) 2 y24，作 CD AB 于点 D，由圆的性质可知 ABC 为等腰三角形，其中| CA| CB|，则| CD| CA|sin 302 1，12即圆心(2,0)到直线 4x3 y a0 的距离为 d1，据此可得 1，| 8 0 a|42 32即| a8|5，解得 a3 或 a13.【感悟提升】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离 问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为
15、圆心到圆心的距离问题【变式探究】(1)已知直线 y ax 与圆 C： x2 y22 ax2 y20 交于两点 A， B，且 CAB为等边三角形，则圆 C 的面积为_答案 6(2)如果圆( x a)2( y a)28 上总存在到原点的距离为 的点，则实数 a 的取值范围是2( )A(3，1)(1,3) B(3,3)C1,1 D3，11,3答案 D解析 圆心( a， a)到原点的距离为| a|，半径 r2 ，圆上的点到原点的距离为 d.因2 2为圆( x a)2( y a)28 上总存在点到原点的距离为 ，则圆( x a)2( y a)28 与圆2x2 y22 有公共点， r ，所以 r r| a
16、| r r，即 1| a|3，解得2 21 a3 或3 a1，所以实数 a 的取值范围是3，11,3.【变式探究】已知 C： x2 y24 x6 y30， M(2,0)是 C 外一点，则过点 M 的圆 C的切线的方程是( )A x20 或 7x24 y140B y20 或 7x24 y140C x20 或 7x24 y140D y20 或 7x24 y140解析：解法一 因为圆 C 的方程可化为( x2) 2( y3) 216，所以圆心坐标为(2,3)，半径为 4.如图，在平面直角坐标系中画出圆 C，显然过点 M 的圆 C 的其中一条切线的方程为x20，另一条切线的斜率小于 0，可知选 C.解法二 因为圆 C 的方程可化为( x2) 2( y3) 216，所以圆心坐标为(2,3)，半径为4，易得过点 M 的圆 C 的其中一条切线的方程为 x20，设另一条切线的方程为 y k(x2)，即kx y2 k0，则 4，解得 k ，故另一条切线的方程为 y (x2)，|2k 3 2k|k2 1 724 724即 7x24 y140.综上，选 C.答案：C
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