1、空间几何体【2019 年高考考纲解读】1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题【重点、难点剖析】一、 三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主) 视图的长度一样，侧( 左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即 “长对正、高平齐、宽相等” 2由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图 确定底面再利用正(主) 视图与侧(左)视图确定几何体二、几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类 问题，首先要熟练掌握各类空间几
2、何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧三、多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内 切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图【高考题型示例】题型一、 三视图与直观图例 1、(1)
3、(2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是 榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )(2)2018全国卷某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图 .圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )A2 B2 来源17 5C 3 D2 来源:Zxxk.Com【方法技巧】1由直观图确认三视图的方法根据空间几何体三视 图的定义及画法规则和摆放规则确认 来源
4、:Zxxk.Com2由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面 (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状.【变式探究】某几何体的正(主) 视图与俯视图如图所示，则其侧 (左)视图可以为( )(2)如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E ，F ，G 分别为棱 CD，CC 1，A 1B1 的中点，用过点 E， F，G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )【感悟提升】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此
5、在分析空间几何 体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正( 主) 视图或侧(左) 视图确定几何体的侧棱与 侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果在还原空间几何体实际形状时，一般是以正( 主) 视图和俯视图为主，结合侧 (左)视图进行综合考虑【变式探究】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD 1，DCBC，则这块菜地的面积为_来源:Zxxk.Com题型二 几何体的表面积与体积例 2、(2018全国)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ，SA 与圆78锥底
6、面所成角为 45，若SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为_15【变式探究】2018天津卷 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M (如图 )，则四棱锥 MEFGH 的体积为_【方法技巧】1求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何 体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几 何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解2根据几何体的三视图求其表面积与体积的
7、三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.【变式探究】 (1)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A8 4 8 B2442 5 2C 820 D282(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_，表面积是_【变式探究】(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和(2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常
8、用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解【变式探究】中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器 商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若 取 3，其体积为 12.6 立方寸，则图中的 x 为( )A1.6 B1.8 C2.0 D 2.4(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A11 B9 C7 D5题型三、多面体与球例 3、2018全国卷 设 A，B，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大
9、值为 ( )3A12 B183 3C 24 D543 3【变式探究】已知正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 ，此3时四面体 ABCD 的外接球的表面积为_【方法技巧】(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(2)球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为 d，常利用直角三角形建立量的关系，R2 d2r 2.【变式探究】(1)已知正三棱锥 SABC 的顶点均在球 O 的球面上，过侧棱 SA 及球心 O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三
10、棱锥的体积为 2 ，则球 O 的表 面积为( )3A16 B18C 24 D32(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )A. B.254 2516C. D.1 1254 1 12516【变式探究】三棱锥 PABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形(1)点 P 可作为长方体上底面的一个顶点，点 A，B，C 可作 为下底面的三个 顶点(2)PABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线【变式探究】(1)在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，AB BC，若AB 2， BC3，PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为 ( )A13 B20C 25 D29
11、(2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，记该圆锥的内切球的表面积为 S1，外接球的表面积为 S2，则 等于( )S1S2A1 2 B13 C1 4 D18【2019 年高考考纲解读】1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间 几何体的侧面展开图及简单的组合体问题【重点、难点剖析】一、 三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主) 视图的长度一样，侧( 左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即 “长对正、高平齐、宽相等” 2由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正(
12、主) 视图与侧(左) 视图确定几何体二、几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧三、多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作
13、它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图【高考题型示例】题型一、 三视图与直观图例 1、(1)(2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A.(2)2018全国卷某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图 .圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应
14、点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )A2 B217 5C 3 D2【解析】先画出 圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点 M，N 的位置如图所示 圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置(N 为 OP 的四等分点)如图所示，连接 MN，则图中MN 即为 M 到 N 的最短路径ON 164，OM2，14 |MN| 2 .OM2 ON2 22 42 5故选 B.【答案】B【方法技巧】1由直观图确认三视图的方法根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认2由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正(主)视图或侧(左) 视图确定几何体的
15、侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状.【变式探究】某几何体的正(主) 视图与俯视图如图所示，则其侧 (左)视图可以为( )答案 B解析 由俯视图与正(主)视图可知，该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱，因此其侧(左)视图为矩形内有一条虚线，虚线靠近矩形的左边部分，只有选项 B 符合题意，故选 B.(2)如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E ，F ，G 分别为棱 CD，CC 1，A 1B1 的中点，用过点E，F，G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )答案 C解析 取 AA1 的中点 H，连接 GH，则 GH
16、为过点 E，F，G 的平面与正方体的面 A1B1BA 的交线延长 GH，交 BA 的延长线与点 P，连接 EP，交 AD 于点 N，则 NE 为过点 E，F，G 的平面与正方体的面 ABCD 的交线同理，延长 EF，交 D1C1 的延长线于点 Q，连接 GQ，交 B1C1 于点 M，则 FM 为过点 E，F ，G 的平面与正方体的面 BCC1B1 的交线所以过点 E，F，G 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形 EFMGHN.故可得位于截面以下部分的几何体的侧(左) 视图为选项 C 所示【感悟提升】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在
17、分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左) 视图确定几何体的侧棱与 侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑来源:Zxxk.Com【变式探究】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示) ，ABC45，ABAD 1，DCBC，则这块菜地的面积为_答案 222解析 如图，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为点 E，则在 RtABE 中，AB 1，ABE45，BE .22而四边形 A
18、ECD 为矩形，AD1， 来源:Zxxk.ComEC AD 1 ，BCBEEC 1.22由此可还原原图形如图所示在原图形中，AD1，A B 2，BC 1，22且 ADB C，ABBC，这块菜地的面积为 S (ADBC)AB12 22 .12(1 1 22) 22题型二 几何体的表面积与体积例 2、(2018全国)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ，SA 与圆锥底78面所成角为 45，若SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为_15答案 40 2【变式探究】2018天津卷 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别
19、为点 E，F，G，H，M (如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为_【解析】依题意，易知四棱锥 MEFGH 是一个正四棱锥，且底面边长为 ，高为 .22 12故 VMEFGH 2 .13( 22) 12 112【答案】 112【方法技巧】1求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解2根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体
20、的形状(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.【变式探究】 (1)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A8 4 8 B2442 5 2C 820 D282答案 A解析 由三视图可知，该几何体的下底面是长为 4，宽为 2 的矩形，左右两个侧面是底边为 2，高为 2 的三角形，前后两个侧面是底边为 4，高为 的平行四边形，所以该几何2 5体的表面积为 S422 22 24 8 4 812 2 5 2 5(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_，表面积是_答案 6 (6 )143
21、 13解析 由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为V 23 223 ，1443 1213 143表面积为 S 422 22 43 22 6 .14 12 12 1212 32 22 (6 13)【变式探究】(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和(2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解【变式探究】中国古代数
22、学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器 商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若 取 3，其体积为 12.6 立方寸，则图中的 x 为( )A1.6 B1.8 C2.0 D 2.4答案 A解析 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一 长方体组合而成由题意得，(5.4x )31x 212.6，(12)解得 x1.6.(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A11 B9 C7 D5答案 D解析 由三视图知，该几何体如图，它可分成一个三棱锥 EABD 和一个四棱锥BCDEF，则 V 332 1235.1312 13题型三、多面体与球例 3、2018全国卷 设 A
23、，B，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三 棱锥 D ABC 体积的最大值为( )3A12 B183 3C 24 D543 3故选 B.【答案】B【变式探究】已知正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 ，此时四3面体 ABCD 的外接球的表面积为_【解析】如图(1)，在正三角形 ABC 中，AB BCAC2 ，则 BDDC1，AD .在翻折3后得到的几何体中，如图(2)，ADBD，AD CD ，则 AD平面 BCD，三棱锥 ABCD 的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，球心到截面 BCD 的距离
24、 d AD .在BCD 中，12 32BC ，则由余弦定理，得 cosBDC ，所以3BD2 DC2 BC22BDDC 12 12 32211 12BDC 120.设球的半径为 R，BCD 的外接圆半径为 r，则由正弦定理，得 2r 2 ，BCsinBDC 3sin120解得 r1 ，则球的半径 R ，故球的表面积d2 r2 (32)2 12 72S4 R24 27.(72)【答案】7【方法技巧】(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几 何体中元素间的关系(2)球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为 d，
25、常利用直角三角形建立量的关系，R2d 2r 2.【变式探究】(1)已知正三棱锥 SABC 的顶点均在球 O 的球面上，过侧棱 SA 及球心 O 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为 2 ，则球 O 的表面积为( )3A16 B18C 24 D32答案 A解析 设正三棱锥的底面边长为 a，外接球的半径为 R，因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为 a，则 AD a，则 AO AD a，32 23 33所以 aR，即 a R，33 3又因为三棱锥的体积为 2 ，3所以 a2R 2R2 ，13 34 13 34 ( 3R) 3解得 R2，所以球的表面积为 S4R 216.(2)如图
26、是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )A. B.254 2516C. D.1 1254 1 12516答案 D解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为 20,24,16 的长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，三棱锥 BKLJ 即为所求的三棱锥，其中 KC19 ， C1LLB 112 ，B 1B1 6， ，KC1C1L LB1B1B则KC 1LLB 1B，KLB90，故可求得三棱锥各面面积分别为SBKL 150，S JKL 150，S JKB 250 ，S JLB 250，故表面积为 S 表 800.三棱锥体积 V SBKL JK1 000，13设内切球半径为 r，则 r ，3VS表
27、 154故三棱锥内切球体积 V 球 r3 .43 1 12516【变式探究】三棱锥 PABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形(1)点 P 可作为长方体上底面的一个顶点，点 A，B，C 可作为下底面的三个顶点(2)PABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线【变式探究】(1)在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，AB BC，若AB 2，BC3，PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为( )来源:Z,xx,k.ComA13 B20C 25 D29答案 D(2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，记该圆锥的内切球的表面积为 S1，外接球的表面积为 S2，则 等于( )S1S2A1 2 B13 C1 4 D18答案 C解析 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的 2 倍，不妨设底面圆半径为 r，l 为底面圆周长，R 为母线长，来源:则 lR2r 2，12即 2rR2r 2，12解得 R2r ，故ADC 30，则DEF 为等边三角形，设 B 为DEF 的重心，过 B 作 BCDF，则 DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，则 ， ，故 .BCBD 12 r内r外 12 S1S2 14
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