《平行四边形》全章复习与巩固（提高）知识讲解

1、平行四边形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.2.理解平行四边形的概念.了解四边形的不稳定性.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.了解两条平行线之间的距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.3.掌握三角形的中位线的性质.4.了解中心对称的概念，了解平行四边形是中心对称图形.了解中心对称的性质，会作与已知图形关于已知点成中心对称的图形.会在直角坐标系中求已知点关于原点对称的点的坐标.5.体会反证法的含义.6.会综合运用本章知识解决有关作图、计算和证明问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、多边形内角和定理、外角定理n边

2、形的内角和为( n2)180( n3)要点诠释：(1)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 (2)180nA；多边形的外角和为 360 n边形的外角和恒等于 360，它与边数的多少无关.要点二、平行四边形的性质和判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：（1）边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；（2）角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组

3、对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行线的性质（1）夹在两条平行线间的平行线段相等；（2）夹在两条平行线间的垂线段相等.要点三、中心对称图形中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转 180，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点 关于原点的对称点坐标为 ，反之也成立 .要点四、三角形的中位线三角形的中位线1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2定理：三角形的中位

4、线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4 个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的 12，每个小三角形的面积为原三角形面积的 14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、反证法在证明一个命题时，先假设命题不成立，然后从这个假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题一

5、般证明步骤如下：（1） 假定命题的结论不成立；（2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.定理：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【典型例题】类型一、多边形1、若一个多边形的每个外角都等于 60，则它的内角和等于（ ）A180 B720 C1080 D540【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于 60，根据 n边形的外角和为 360计算出多边形的边数 n，然后根据 边形的内角和定理计算即可【答案】B；【解析】解：

6、设多边形的边数为 n，多边形的每个外角都等于 60， n360606，这个多边形的内角和（62）180720【总结升华】本题考查了 边形的内角和定理： n边形的内角和（ n2）180；也考查了 边形的外角和为 360举一反三：【变式】 （2015 春攀枝花期末）小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）A正三角形 B正四边形 C正六边形 D正八边形【答案】D解：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正八边形故选 D类型二、平行四边形2、如图，点

7、 D 是ABC 的边 AB 的延长线上一点，点 F 是边 BC 上的一个动点（不与点 B 重合）以 BD、BF 为邻边作平行四边形 BDEF，又 AP BE（点 P、E 在直线AB 的同侧），如果 BD 14AB，那么PBC 的面积与ABC 面积之比为（ ）A 14 B 35 C 5 D 34【答案与解析】解：过点 P 作 PHBC 交 AB 于 H，连接 CH，PF，AP BE，四边形 APEB 是平行四边形，PEAB，PEAB，四边形 BDEF 是平行四边形，EFBD，EFBD，即 EFAB，P，E，F 共线，设 BD a，BD 14AB，PEAB4 a，则 PFPEEF3 ，PHBC，

8、HBCS P， PFAB，四边形 BFPH 是平行四边形，BHPF3 a， :HBCAS BH：AB3 a：4 3：4， P 3：4【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比举一反三：【变式】已知ABC 中，AB3，AC4，BC5，分别以 AB、AC、BC 为一边在 BC 边同侧作正ABD、正ACE 和正BCF，求以 A、E、F、D 四点为顶点围成的四边形的面积【答案】证明： AB3，AC4，BC5，BAC90ABD、ACE 和BCF 为正三角形， ABBDAD，ACAECE，BCBFFC , 1

9、FBA2FBA6012易证BACBDF（SAS） ，DFACAE4，BDF90同理可证BACFECABADEF3四边形 AEFD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）DFAE，DFBD延长 EA 交 BD 于 H 点，AHBD，则 H 为 BD 中点平行四边形 AEFD 的面积DFDH4326.3、 （2015张掖校级模拟）已知：如图四边形 ABCD 是平行四边形，P、Q 是直线 AC 上的点，且 AP=CQ求证：四边形 PBQD 是平行四边形【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来得到证明【答案与解析】证明：连接 BD 交 AC 与 O 点，四

10、边形 ABCD 是平行四边形，AO=CO，BO=DO， 又AP=CQ，AP+AO=CQ+CO，即 PO=QO，四边形 PBQD 是平行四边形 【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定问题，应熟练掌握类型三、中心对称4、中央电视台大风车栏目图标如图甲，其中心为 O，半圆 ACB 固定，其半径为 2r，车轮为中心对称图形，轮片也是半圆形，小红通过观察发现车轮旋转过程中留在半圆 ACB内的轮片面积是不变的（如图乙） ，这个不变的面积值是 【思路点拨】四个阴影部分的图形正好构成一个中心对称图形，AB 过对称中心，根据其中心对称图形的性质，则这个不变的面积是两个半圆轮片的面积 【答案】 2r；【解析】解

11、：这个不变的面积是： 21r【总结升华】能够根据中心对称图形的旋转，发现留在半圆中的轮片面积始终是两个半圆轮片的面积举一反三：【变式】 （2015 秋寿宁县期中）将五个边长都为 3cm 的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 cm 2【答案】9；解：由中心对称的性质和正方形的性质得，一个阴影部分的面积等于正方形的面积的 ，所以，四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，五个正方形的边长都为 3cm，四块阴影面积的总和为 9（cm 2） ，故答案为：9类型四、三角形的中位线5、 （2016 春广州校级期中）如图，四边形 ABCD 中，已知 A

12、B=CD，点 E、F 分别为AD、BC 的中点，延长 BA、CD，分别交射线 FE 于 P、Q 两点求证：BPF=CQF【思路点拨】如图，连接 BD，作 BD 的中点 M，连接 FM、EM利用三角形中位线定理证得EMF 是等腰三角形，则MEF=MFE利用三角形中位线定理、平行线的性质推知MEF=P，MFE=DCQF根据等量代换证得P=CQF【答案与解析】证明：如图，连接 BD，作 BD 的中点 M，连接 EM、FM点 E 是 AD 的中点，在ABD 中，EMAB，EM= AB，MEF=P同理可证：FMCD，FM= CDMGH=DFH又AB=CD，EM=FM，MEF=MFE，P=CQF 【总结升

13、华】此题考查的是三角形中位线的性质、等腰三角形判定和性质等知识，解题的关键是题目中出现中点的条件想到添加三角形的中位线作为辅助线，属于中考常考题型类型五、反证法6、用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于 60”【思路点拨】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立【答案与解析】已知：A，B，C 是ABC 的内角求证：A，B，C 中至少有一个内角小于或等于 60证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于 60，ABC180，这与三角形的三内角和为 180相矛盾假设不成立，三角形三内角中至少有一个内角小于或等于 60 度【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤举一反三：【变式】用反证法证明：两条直线被第三条直线所截如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行【答案】已知：如图，直线 l1，l 2被 l3所截，12180求证：l 1与 l2不平行证明：假设 l1l 2，则12180（两直线平行，同旁内角互补） ，这与12180矛盾，故假设不成立所以结论成立，l 1与 l2不平行