1、特殊三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1认识轴对称图形的基本特征；掌握判断轴对称图形的方法，并能正确画出简单的轴对称图形 ； 2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；4了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线定理的逆定理、角平分线性质的第二个定理，并能够熟练地应用它们； 5理解直角三角形的概念及性质的广泛应用， 掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法6掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理的内容及应用，学会用勾股定理解决简单的几何问题，应用勾股定理的
2、逆定理来判断直角三角形7.理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边” （即“HL” ）判定两个直角三角形全等；【知识网络】【要点梳理】要点一、图形的轴对称特殊三角形图形的轴对称性质利用轴对称求两点之间最短距离等腰三角形逆命题和逆定理定义性质定理，等边三角形的性质定理判定定理，等边三角形的判定定理尺规作图：求作等腰三角形直角三角形直角三角形的性质与判定勾股定理及其逆定理及其应用 全等判定方法：SAS,ASA,AAS,SSS,HL线段垂直平分线定理的逆定理角平分线定理的第二性质定理（逆定理）定义1.图形轴对称的定义及其性质如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直
3、线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形.2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离已知点 A,B（A,B）在直线的同侧，和直线 a,在直线上求作一点 C，使 AC+BC 的距离和最小.作法：1.作点 A 关于直线 a 的对称点 A；2.连接 AB,交直线 a 与点 C;3.连接 AC.点 C 就是所求作的点.下面给出证明：设 P 是直线 a 上任意
4、一点，连结 AP，AP由作图知，直线 a 垂直平分 AA，则 AC=AC，AP=AP（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） AP+BP=AP+BPAB，AB=A C+BC=AC+BC，即 AP 十 BPAC+BC，所以沿折线 A-C-B 的路线行走时路程最短要点诠释：1.轴对称图形与图形的轴对称是两个不同的概念，轴对称图形是指一个图形的两个部分，也就是说，一条直线把一个图形（一个等腰三角形）分成两个部分，这两个部分之间的关系；而图形的轴对称是指两个图形之间的关系，比如两个全等的等腰直角三角形.2.对称轴的实质是一条直线，向两方无限延伸的.3.两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在
5、某一条直线的同侧还是异侧.要点二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定1. 等腰三角形的定义及其对称性有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形.2. 等腰三角形的性质与判定定理性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角” ） 推论：等边三角形的各个内角都等于 60；性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三线合一” ）.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等
6、，那么这个三角形是等腰三角（简称“在同一三角形中，等角对等边” ）.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据，性质定理是由边的相等得出角的相等，判定定理是由角的相等得出边的相等等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只
7、可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果,那么”的形式， “如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命
8、题不一定是正确的.3.定理与逆定理如果一个命题是真命题（正确的命题） ，那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理. 要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.4.角平分线性质的第二个定理角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上.要点诠释： 性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；第二个性质定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.5.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理的逆定理逆定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上要点诠释： 性质定
9、理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、直角三角形性质及判定直角三角形的性质性质定理 1：直角三角形的两个锐角互余.性质定理 2：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中” ，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.性质定理 2 的逆命题也同样正确，在一个三角形中
10、，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点五、勾股定理及其逆定理1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为 c，那么 .要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式： ， ， .2.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直
11、角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形” ，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法斜边，直角边定理由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS” ， “ASA”或“SAS”判定定理.有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL” ）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1） “HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定
12、了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、图形的轴对称1、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从 A 处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在 N 上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马 ） （保留作图痕迹，需要证明）【思路点拨】作 A 关于 ON 的对称点 E，点 B 关
13、于 OM 的对称点 F，连接 EF 交 ON 于 C，交 OM于 D，连接 AC、BD，即可得出答案；根据对称点推出 AC=EC，BD=FD，FR=BR，AT=ET，根据两点之间线段最短即可求出答案【答案与解析】解 ： 沿 AC-CD-DB 路 线 走 是 最 短 的 路 线 如 图 （ 1） 所 示 ：证 明 ： 如 图 （ 2） ， 在 ON 上 任 意 取 一 点 T， 在 OM 上 任 意 取 一 点 R， 连 接FR、 BR、 RT、 ET、 AT， A、 E 关 于 ON 对 称 ， AC=EC，同 理 BD=FD， FR=BR， AT=ET， AC+CD+DB=EC+CD+FD=
14、EF，AT+TR+BR=ET+TR+FR， ET+TR+FR EF， AC+CD+DB AT+TR+BR，即 沿 AC-CD-DB 路 线 走 是 最 短 的 路 线 【总结升华】本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键举一反三：【变式】如图：A 村和 B 村在公路 l 同侧，且 AB=3 千米，两村距离公路都是 2 千米现决定在公路 l 上建立一个供水站 P，要求使 PA+PB 最短（1）用尺规作图，作出点 P； （作图要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）求出 PA+PB 的最小值【答案】解：（1）作图
15、，如右图，作出 A 点的对称点 A，连接 BA，找到交点 P 点；（2）连接 AB，由题意知 AB=3km，A A=4km，在 RtA AB 中，根据勾股定理得：AB 2=42+32，AB=5km，即 PA+PB=AB=5km，答：PA+PB 的最小值是 5km类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理2、如图，A、B、C 三点在同一直线上，分别以 AB、BC 为边，在直线 AC 的同侧作等边ABD 和等边BCE，连接 AE 交 BD 于点 M，连接 CD 交 BE 于点 N，连接 MN 得BMN（1）求证：ABEDBC（2）试判断BMN 的形状，并说明理由【思路点拨】（1）由三角形
16、ABD 与三角形 BCE 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为 60，利用 SAS 即可得到三角形 ABE 与三角形 DBC 全等；（2）三角形 BMN 为等边三角形，理由为：由第一问三角形 ABE 与三角形 DBC 全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由ABD=EBC=60，利用平角的定义得到MBE=NBC=60，再由 EB=CB，利用 ASA 可得出三角形 EMB 与三角形 CNB 全等，利用全等三角形的对应边相等得到 MB=NB，再由MBE=60，利用有一个角为 60的等腰三角形为等边三角形可得出三角形 BMN 为等边三角形【答案与解析】解
17、：（1）证明：等边ABD 和等边BCE，AB=DB，BE=BC，ABD=EBC=60，ABE=DBC=120，在ABE 和DBC 中， ，ABEDBC（SAS） ；（2）BMN 为等边三角形，理由为：证明：ABEDBC，AEB=DCB，又ABD=EBC=60，MBE=1806060=60，即MBE=NBC=60，在MBE 和NBC 中， ，MBENBC（ASA） ，BM=BN，MBE=60，则BMN 为等边三角形【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键同时做第二问时注意利用第一问已证的结论举一反三：【变式 1】若等腰三角形中，一
18、腰上的中线把它的周长分为 15cm 和 6cm 的两部分，求该三角形各边的长.【答案】解：设腰长为 xcm，底边长为 ycm，分两种情况:(1) 1526xy 10;xy(2) 2,15xy 4;13xy4413，不能形成三角形，应舍去.等腰三角形三边长分别为 10cm，10cm，1cm.【变式 2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则顶角的度数为( )A60 B120 C60或 150 D60或 120【答案】D. 提示：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进行分类讨论类型三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理3.（2016德州）如图，在ABC
19、中，B=55，C=30，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则BAD 的度数为（ ）A65 B60 C55 D45【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到 AD=DC，根据等腰三角形的性质得到C=DAC，求得DAC=30，根据三角形的内角和得到BAC=95，即可得到结论【答案与解析】解：由题意可得：MN 是 AC 的垂直平分线，则 AD=DC，故C=DAC，C=30，DAC=30，B=55，BAC=95，BAD=BACCAD=65，故选 A【总结升华】此题中尺规作图的做法恰好是线段垂直平分线的做法，然后
20、根据线段垂直平分线的性质，三角形的内角和解得此题类型四、直角三角形的性质及全等判定4、如图所示，在等边ABC 中，AECD，AD、BE 相交于点 P，BQAD 于 Q，求证：BP2PQ【思路点拨】等边三角形的三个内角都是 60，如果能在直角三角形中出现 60的角，则就会有 30角，利用直角三角形的性质可以推得边的 2 倍关系.【答案与解析】证明： ABC 为等边三角形， ACBCAB，CBAC60在ACD 和BAE 中，,ACBED ACDBAE(SAS) CADABE CADBAPBAC60， ABEBAP60， BPQ60 BQAD， BQP90， PBQ906030， BP2PQ【总结升
21、华】(1)从结论入手，从要证 BP2PQ 联想到要求PBQ30(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即 BP2PQ PBQ30，另一方面从已知条件找结论，即由条件 ACDBAEBPQ60 PBQ30，分析时要注意联想与题目有关的性质定理5、已知：如图，DEAC，BFAC，ADBC，DEBF.求证：ABDC.【答案与解析】证明：DEAC，BFAC，在 RtADE 与 RtCBF 中.ADBCEF ，RtADERtCBF （HL）AECF，DEBFAEEFCFEF，即 AFCE在 RtCDE 与 RtABF 中，DEBFCARtCDER
22、tABF（SAS）DCEBAFABDC.【总结升华】从已知条件只能先证出 RtADERtCBF，从结论又需证 RtCDERtABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.举一反三：【变式】如图, ABC 中, ACB=90, ABC=60, AB 的中垂线交 BC 的延长线于 D，交AC 于 E, 已知 DE=2.则 AC 的长为_.【答案】3；提示：连接 AD，证ABD 为等边三角形，则 DE=AE=2，CE=1，所以 AC=3.类型五、勾股定理及其逆定理的运用6、如图所示，四边形 ABCD 中，ABAD，AB2，AD 23，CD3，BC5，求ADC 的度数【答案与解析】解： ABAD，
23、 A90，在 RtABD 中， 222(3)16BDA BD4， 1A，可知ADB30，在BDC 中， 221635BC， 25BC， 2D， BDC90， ADCADB+BDC30+90120【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形 ABCD 一边，点 D 落在 BC 边的点 F 处，若 AB8 cm，BC10cm，求 EC 的长【答案与解析】解：设 CE xcm，则 DE(8 x)cm ADE 折叠后的图形为AFE， ADEAFE即 AFADBC10 ，EFED(8 )在 RtABF 中，由勾股定理，得BF 22108AFB6 FC1064在 RtEFC 中，由勾股定理，得22EFC，即 (8)4x解得 3即 EF 的长为 3cm
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