1、第 8 讲 抽屉原理一内容概述理解抽屉原理的基本含义，并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明，在考虑某些问题时，需要利用最不利原则进行分析.典型问题兴趣篇1. 学校周末要组织四个班的同学去春游，有三个地点可供选择：石景山游乐园、植物园和动物园，如果一个班只能去一个地点，试说明：一定有两个班要去同一个地点.2. 小悦，冬冬和阿奇到费步步家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19 块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到 7 块巧克力，但不一定有人拿到 8 块. 3. 任意 40 个人中，至少有几个人属于同一生肖？4. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的小珠子放在同一
2、个口袋里，每种颜色的珠子都足够多，一次至少要取几颗珠子，才能保证其中一定有两颗颜色相同？5. 某校的小学生中，年龄最小的 6 岁，最大的 13 岁，从这个学校中至少选几个学生，就能保证其中一定有三个学生的年龄相同？6. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的铅笔各 10 支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那么一次至少要拿多少支，才能保证其中一定有 4 支是同一种颜色的铅笔？7. 口袋里装有红、黄、蓝、绿这 4 种颜色的球，且每种颜色的球都有 4 个，小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，那么他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？8. 一副扑克牌共 54 张，其中有 2 张王牌，还有黑桃、红心、草花
3、和方块 4 种花色的牌各13 张，那么：（1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？（2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有 3 张牌是红桃？（3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有 5 张牌是同一花色的？9. 把 40 块巧克力放入 A、B、C、D 四个盒子内，如图 8-1，A 盒中放的最多，放了 13 块，且四个盒子内装的巧克力的数量依次减少，那么：（1）D 盒最少可以装几块？（2）D 盒最多可以装几块？10. 圆桌周围恰好有 12 把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐，当再有一人入座时，就必须和已就坐的某个人相邻，问：已就坐的最少有多少人？拓展篇1. 红领巾小学今年入学的一年级
4、新生中有 370 人是在同一年出生的. 试说明：他们中一定有两个人是在同一天出生的. 2.某公司决定派 95 名员工去 8 个不同的城市进行市场调查，是不是一定有 12 个人会去同一城市？“一定有 13 个人去同一城市”这个说法正确吗？3. 一个盒子内有四个格子，现在我们闭着眼睛，把棋子往格子里“瞎放” （没有放到格子外的） ，那么至少要放多少枚棋子，才能保证一定有两枚棋子放在同一格内？4. 一个鱼缸里有很多条鱼，共有 5 个品种，至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有 5 条相同品种的鱼？5. 冬冬把一副围棋子混装在一个盒子中，然后每次从盒子中摸出 4 枚棋子，那么他至少要摸几次，才能保证其中有
5、三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）6. 在一个盒子里装着形状相同的 3 种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的，每种果冻都有 20 个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻. 请问：（1）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有牛奶口味的？（2）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？7. 一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有 10 个，黄色的有 8 个，蓝色的有 3 个，绿色的有 1 个，请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？8. 一副扑
6、克牌共 54 张，其中有 2 张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块 4 种花色的牌各13 张，现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有 3 张，那么最少要取出多少张牌？9. 黑色、白色、黄色、红色的筷子各有 8 根，混杂放在一起，在黑暗中取出一些筷子. 要使得这些筷子能够搭配出两双筷子（两根筷子颜色相同即为一双） ，那么最少要取多少根才能保证达到要求？10. 将 1 只白袜子、2 只黑袜子、3 只红袜子、8 只黄袜子和 9 只绿袜子放入一个布袋里，请问：（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只
7、袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）11. 31 个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？12. 现有 10 把钥匙分别能开 10 把锁，但是不知道哪把钥匙能开哪把锁. 最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？超越篇1. 体育馆里有足球、篮球和排球 3 种球，一个班的 50 名学生去借球，每人最少借 1 个，最多可以借 2 个，请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全一样？2. 把 31 个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过 3 个，那么至少有几只猴子得到的桃子一样多？3. 有 37 个数，每个数为
8、 0 或 1. 要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周上时，总能找到 6 个 1 连排在一起，问：其中最少有多少个数是 1？4. 有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上写着一个数字，其中写 0 的有 1 个，写 1 的有 2 个，写 2 的有 3 个，写 9 的有 10 个. 如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球中必有 3 个，它们上面的数字恰好组成 678？ （考虑“9”倒过来看是“6” ）5. 一个袋子中有三种不同颜色的球共 20 个，其中红球 7 个，黄球 5 个，绿球 8 个，现在阿奇闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于 4 个，则至少要取出多少个球
9、才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于 3 个，则至少要取出多少个球？6. 50 个苹果分给 8 个小朋友，那么分到苹果最多的小朋友至少分到多少个？如果 1 号小朋友最多给 2 个，2 号最多给 4 个，3 号最多给 6 个，8 号最多给 16 个，那么得到苹果最多的小朋友至少分到多少个？7. 888 名学生站成一个圆圈，如果任意连续 32 人中，至多有 9 名男生，那么男生的人数最多有多少人？8. 新春佳节，商场举办抽奖活动，抽奖箱中有五种不同颜色的奖券，分别有32、30、28、26、24 张，每次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付 2 元钱，奖励方式如下：用 15 张同色的奖券换
10、一架相同颜色的飞机模型，用 11 张同色的奖券换一架相同颜色的坦克模型，用 4 张同色的奖券换一架相同颜色的摩托车模型. 请问：至少要付多少钱，才能保证可以换到三种模型，且三种模型之间颜色互不相同？第 8 讲 抽屉原理一内容概述理解抽屉原理的基本含义，并能利用抽屉原理对一些简单问题进行说明，在考虑某些问题时，需要利用最不利原则进行分析.典型问题兴趣篇1. 学校周末要组织四个班的同学去春游，有三个地点可供选择：石景山游乐园、植物园和动物园，如果一个班只能去一个地点，试说明：一定有两个班要去同一个地点.答案：一定有两个班去同一个地点。解析：43=114 个苹果放入 3 个抽屉里，至少有两个苹果在同
11、一个抽屉里。2. 小悦，冬冬和阿奇到费步步家玩，费叔叔拿出许多巧克力来招待他们，他们一数，共有19 块巧克力，如果把这些巧克力分给他们三人，试说明：一定有人至少拿到 7 块巧克力，但不一定有人拿到 8 块. 答案：193=61解析：19 个苹果放入三个抽屉里，至少 7 个苹果放入同一个抽屉里，所以每人至少拿 7 个苹果。3. 任意 40 个人中，至少有几个人属于同一生肖？答案：4012=34解析：40 个苹果放入 12 个抽屉里，至少有 4 个苹果放入同一个抽屉里。4. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的小珠子放在同一个口袋里，每种颜色的珠子都足够多，一次至少要取几颗珠子，才能保证其中一定有两颗颜色相
12、同？答案：5 个解析：最不利原则，至少拿 5 个才能保证其中一定有 2 颗颜色相同。5. 某校的小学生中，年龄最小的 6 岁，最大的 13 岁，从这个学校中至少选几个学生，就能保证其中一定有三个学生的年龄相同？答案：17 个解析：最不利原则，13-6+1=8（人） 82+1=17（个）6. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的铅笔各 10 支，拿的时候不许看铅笔的颜色，那么一次至少要拿多少支，才能保证其中一定有 4 支是同一种颜色的铅笔？答案：13 支解析：最不利原则，34+1=13（支）7. 口袋里装有红、黄、蓝、绿这 4 种颜色的球，且每种颜色的球都有 4 个，小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，那么他至
13、少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？答案：13 个解析：最不利原则，34+1=13（个）8. 一副扑克牌共 54 张，其中有 2 张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块 4 种花色的牌各13 张，那么：（1）至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？（2）至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有 3 张牌是红桃？（3）至少从中摸出多少张牌，才能保证有 5 张牌是同一花色的？（1）答案：42 张。解析：最不利原则，133+2+1=42（张）（2）答案：44 张解析：最不利原则，133+2+3=44（张）（3）答案：19 张解析：最不利原则，44+2+1=19（张）9. 把 40
14、 块巧克力放入 A、B、C、D 四个盒子内，如图 8-1，A 盒中放的最多，放了 13 块，且四个盒子内装的巧克力的数量依次减少，那么：（1）D 盒最少可以装几块？（2）D 盒最多可以装几块？（1）答案：4 块解析：要想 D 放最少，只需保证 B、C 放的最多，40-13=27（块） ，3 个连续自然数的和为 27=10+9+8 ，D 每次拿出 2 个放入 B、C 中，最多拿出 4 个。（2）答案：8 块解析：要想 D 放最多，只需保证 B、C 放的最少，40-13=27（块） ，3 个连续自然数的和为 27=10+9+8.10. 圆桌周围恰好有 12 把椅子，现在已经有一些人在桌边就坐，当再
15、有一人入座时，就必须和已就坐的某个人相邻，问：已就坐的最少有多少人？答案：4 人解析：最不利原则，已入座的每人左右两边至多有 2 个空座，3 人为一个周期，123=4（人）拓展篇1. 红领巾小学今年入学的一年级新生中有 370 人是在同一年出生的. 试说明：他们中一定有两个人是在同一天出生的. 答案：一定有两个人是在同一天出生的. 解析：平年 365 天, 闰年 366 天。370365=1 5，370366=15，370 个苹果放入365 个或 366 个抽屉里，至少有 2 个苹果放入同一个抽屉里。2.某公司决定派 95 名员工去 8 个不同的城市进行市场调查，是不是一定有 12 个人会去同
16、一城市？“一定有 13 个人去同一城市”这个说法正确吗？答案：一定有 12 个人会去同一城市。不一定有 13 个人去同一城市。解析：958=117 。95 个苹果放入 8 个抽屉里，至少有 12 个苹果放入同一个抽屉里。3. 一个盒子内有四个格子，现在我们闭着眼睛，把棋子往格子里“瞎放” （没有放到格子外的） ，那么至少要放多少枚棋子，才能保证一定有两枚棋子放在同一格内？答案：5 枚解析：最不利原则，至少要放 5 枚棋子，才能保证一定有两枚棋子放在同一格内.4. 一个鱼缸里有很多条鱼，共有 5 个品种，至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有 5 条相同品种的鱼？答案：21 条。解析：最不利原则，5
17、4+1=21（条）5. 冬冬把一副围棋子混装在一个盒子中，然后每次从盒子中摸出 4 枚棋子，那么他至少要摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（围棋子有黑、白两种颜色）答案：11 次。解析：围棋子有黑、白两种颜色，每次摸出 4 枚棋子，有全黑、全白、3 黑 1 白、3 白 1 黑、2 黑 2 白，共五种可能，所以至少要摸 52+1=11（次）才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同。6. 在一个盒子里装着形状相同的 3 种口味的果冻，分别是苹果口味的、草莓口味的和牛奶口味的，每种果冻都有 20 个，现在闭着眼睛从盒子里拿果冻. 请问：（1）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的
18、果冻中有牛奶口味的？（2）至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？（1）答案：41 个解析：最不利原则，将苹果口味的、草莓口味的全都拿出，202+1=41（个）（2）答案：21 个解析：最不利原则，将任一种口味的全都拿出，20+1=21（个）7. 一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有 10 个，黄色的有 8 个，蓝色的有 3 个，绿色的有 1 个，请问：（1）一次至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？（2）一次至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？（1）答案：19 个解析：最不利原则，将最多的两种颜色球全都拿出来，10+8+1=19（个
19、） 。（2）答案：15 个解析：最不利原则，将蓝色，绿色和红色的全都拿出，3+1+10+1=15（个） 。8. 一副扑克牌共 54 张，其中有 2 张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块 4 种花色的牌各13 张，现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有 3 张，那么最少要取出多少张牌？答案：33 张。解析：最不利原则，将任意两种花色的牌全都取出，再取另外 2 种花色的牌各两张，以及两张王牌，132+2+2+2+1=33（张）9. 黑色、白色、黄色、红色的筷子各有 8 根，混杂放在一起，在黑暗中取出一些筷子. 要使得这些筷子能够搭配出两双筷子（
20、两根筷子颜色相同即为一双） ，那么最少要取多少根才能保证达到要求？答案：7 根。解析：最不利原则，取任意一种颜色的筷子 3 根，其他 3 种颜色的筷子各取 1 跟，3+1+1+1+1=7(根)10. 将 1 只白袜子、2 只黑袜子、3 只红袜子、8 只黄袜子和 9 只绿袜子放入一个布袋里，请问：（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）（1）答案：13 只。解析：最不利原则，将白、黑、红颜色的袜子全取出，黄、绿袜子各取 3 只，1+2+3+3+3+1=13（只） 。（2）答案：14
21、 只。解析：最不利原则，将绿袜子全取出来，其它颜色袜子各取一只，9+1+1+1+1+1=14（只） 。11. 31 个同学围成一个圆圈，坐好后发现任何两个男生之间至少有两个女生，那么男生最多有多少人？答案：10 人。解析：最不利原则，要想男生最多，两男生之间女生需最少为 2 人，3 人为一周期，313=101（人）12. 现有 10 把钥匙分别能开 10 把锁，但是不知道哪把钥匙能开哪把锁. 最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？答案：45 次。解析：最不利原则，第一把钥匙最多试验 9 次，第九把钥匙最多试验 1 次，第 10 把钥匙一定可以开最后一把锁，9+8+7+6+5+4+3+
22、2+1=45(次)。超越篇1. 体育馆里有足球、篮球和排球 3 种球，一个班的 50 名学生去借球，每人最少借 1 个，最多可以借 2 个，请问：最少有多少名学生借到球的数量和种类完全一样？答案：6 名。解析：抽屉原理。每人借球的种类分别为足、篮、排、足足、篮篮、排排、足篮、足排、篮排共 9 种情况，509=55 , 5+1=6（名）2. 把 31 个桃子分给若干只猴子，每只猴子分得的桃子不超过 3 个，那么至少有几只猴子得到的桃子一样多？答案：6 只。解析：每只猴子分得的桃子种类共有 0、1、2、3 四种可能，30（1+2+3）=5 （只）15+1=6（只） 。3. 有 37 个数，每个数为
23、 0 或 1. 要求：当把这些数以任意的方式排列在圆周上时，总能找到 6 个 1 连排在一起，问：其中最少有多少个数是 1？答案：31 个。解析：要想总能找到 6 个 1 连排在一起，使每个 0 左右两边各放 5 个 1，即 6 个数一周期，剩下的一个数为 1，任意放入某个位置，总能找到 6 个 1 连排在一起。即（011111、011111、011111、011111、011111、011111）376=51,65+1=31(个)4. 有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上写着一个数字，其中写 0 的有 1 个，写 1 的有 2 个，写 2 的有 3 个，写 9 的有 10 个. 如果闭着眼
24、睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球中必有 3 个，它们上面的数字恰好组成 678？ （考虑“9”倒过来看是“6” ）答案：48 个。解析：最不利原则，将标有 0、1、2、3、4、5、6、8、9 的球全都拿出，剩下标有数字 7的球任意拿出一个才能保证取出的球中必有 3 个，它们上面的数字恰好组成 678。1+2+3+4+5+6+7+9+10+1=48（个）5. 一个袋子中有三种不同颜色的球共 20 个，其中红球 7 个，黄球 5 个，绿球 8 个，现在阿奇闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于 4 个，则至少要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于
25、3 个，则至少要取出多少个球？（1）答案：10 个。解析：最不利原则，每种颜色的球先拿出 3 个，只需再取出任意一个球，就能保证有一种颜色的球不少于 4 个。3+3+3+1=10（个） 。（2）答案：13 个。解析：最不利原则，将最多的绿球 8 个全都取出，红球和黄球各取 2 个，只需再取出任意一个球，就能保证另一种颜色的球不少于 3 个。8+2+2+1=13（个）6. 50 个苹果分给 8 个小朋友，那么分到苹果最多的小朋友至少分到多少个？如果 1 号小朋友最多给 2 个，2 号最多给 4 个，3 号最多给 6 个，8 号最多给 16 个，那么得到苹果最多的小朋友至少分到多少个？（1）答案：
26、7 个。解析：抽屉原理，50 个苹果放入 8 个抽屉里，至少有 7 个苹果放入同一个抽屉里。508=62,6+1=7（个） 。（2）答案：8 个。解析：508=6 2 最少为 6+1=7 个最坏情况为 2 4 6 8 8 8 7 7 所以最少为 8 个7. 888 名学生站成一个圆圈，如果任意连续 32 人中，至多有 9 名男生，那么男生的人数最多有多少人？答案：249 人。解析：要使男生人数最多，平均分布时可取最大，在 32 人中，平均分布，1 男 2 女，1 男3 女分布，分布如下：131213121312131213.。 88832=2724 24 人 在一组中 前 8 至少有 3 人，
27、后 8 至少有 2 男，要满足 32 人中 9 男，则剩余 24 人中最多有 9-3 男。共 279+6=249 人。8. 新春佳节，商场举办抽奖活动，抽奖箱中有五种不同颜色的奖券，分别有32、30、28、26、24 张，每次可以抽出任意多张，但每抽出一张就要付 2 元钱，奖励方式如下：用 15 张同色的奖券换一架相同颜色的飞机模型，用 11 张同色的奖券换一架相同颜色的坦克模型，用 4 张同色的奖券换一架相同颜色的摩托车模型. 请问：至少要付多少钱，才能保证可以换到三种模型，且三种模型之间颜色互不相同？答案：146 元。解析： 最坏情况为：32+104+1=73 张 共 732=146 元。
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