1、第 14 讲 直线形计算二内容概述进一步学习直线形面积公式酌运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转T 七；初步学习添加辅助线酌分析方法典型问题兴趣篇1如图 8-1，四边形 ABCD 是直角梯形，其中 AD=12（厘米） ，AB=8（厘米） ，BC= 15（厘米） ，且三角形 ADE、四边形 DEBF、三角形 CDF 的面积相等，阴影三角形 DEF 的面积是多少平方厘米？2一块长方形的土地被分割成 4 个小长方形，其中三块的面积如图 8-2 所示（单位：平方米） ，剩下一块的面积应该是多少平方米？3如图 8-3，在三角形 ABC 中，BC 是 DC 的 3 倍，AC 是 EC 的 3
2、倍，三角形 DEC 的面积是 3 平方厘米请问：三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？4如图 8-4，E 是 BC 上靠近 C 的三等分点，且 ED 是 AD 的 2 倍，三角形 ABC 的面积为36 平方厘水三角形 BDE 的面积是多少平方厘米？5如图 8-5 所示，已知三角形 BEC 的面积等于 20 平方厘米，E 是 AB 边上靠近日点的四等分点，三角形 AED 的面积是多少平方厘米？平行四边形 DECF 的面积是多少平方厘米？6如图 8-6，已知平行四边形 ABCD 的面积为 36，三角形 AOD 的面积为 8三角形 BOC的面积为多少？7如图 8-7，长方形 ABCD 的面积是 96
3、 平方厘米，E 是 AD 边上靠近 D 点的三等分点，F 是 CD 上靠近 C 点的四等分点阴影部分的面积是多少平方厘米？8如图 8-8，将一个长为 18 的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形的 5 倍三角形 ABE 的边 BE 的长是多少？9如图 8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加 3 和 5 厘米，结果面积增加了 71 平方厘米（阴影部分） 原正方形的面积为多少平方厘米？10如图 8-10，四边形 ABCD 内有一点 D，D 点到四条边的垂线都是 4 厘米，四边形的周长是 36 厘米，四边形的面积是多少平方厘米？拓展篇1如图 8-11，有 9 个小长方形，其中的
4、5 个小长方形的面积分别为 4、8、12、16、20 平方米其余 4 个长方形的面积分别是多少平方米？2图 8-12 中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD 是 AE 的 3 倍，三角形 ABE 的面积是多少平方厘米？3如图 8-13，在四边形 ABCD 中，已知 CD=3DF，AE=3ED，而且三角形 BFC 的面积为6 平方厘米，四边形 BEDF 的面积为 7 平方厘米大四边形 ABCD 的面积是多少？4如图 8-14，把三角形 DEF 的各边向外延长 1 倍后得到三角形 ABC，三角形 ABC 的面积为 1三角形 DEF 的面积是多少？5如图 8-15，
5、E 是 AB 边上靠近 A 点的三等分点，梯形 ABCD 的面积是三角形 AEC 面积的 5 倍请问：梯形的下底长是上底长的几倍？6如图 8-16，一个长方形被分成 4 个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是 9 平方厘米，黄色三角形的面积是 21 平方厘米，绿色三角形的面积是 10 平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？7图 8-17 中，正方形 ABCD 的面积为 1把每条边都 3 等分，然后将这 8 个等分点与正方形内部的某一点 P 相连接，形成 4 个阴影的四边形和 4 个空白的三角形，阴影部分的总面积是多少？8如图 8-18，在梯形 ABCD 中，E 是 AB 的中点已知梯形
6、 ABCD 的面积为 35 平方厘米，三角形 ABD 的面积为 13 平方厘米三角形 BCE 的面积为多少平方厘米？9在图 8-19 中，正方形 ADEB 和正方形 ECFG 底边对齐，两个正方形边长分别为 6 和4三角形 ACG 和三角形 BDF 的面积分别是多少？10图 8-20 是由边长分别为 10 厘米、12 厘米、8 厘米的正方形构成，有一条与 AB 边平行的直线 EF 将此图形分成面积相等的两部分，那么 BF 的长度为多少厘米？11(1)如 8-21 中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加 2 厘米和 4 厘米，结果面积增加了 50 平方厘米（阴影部分） 原正方形的面积为多少平
7、方厘米？(2)如 8-21 中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别减少 3 厘米和 5 厘米，结果面积减少了 65 平方厘米（阴影部分） 原正方形的面积为多少平方厘米？12.如图 8-22，直角三角形 ABC 套住了一个正方形 CDEF，E 点恰好在 AB 边上，直角边 AC长 20 厘米，BC 长 12 厘米正方形的边长为多少厘米？超越篇1如图 8-23，三角形 ABC 的每边长都是 96 厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形请求出 CE 和 CF 的长度之和2如图 8 -24，把四边形 ABCD 的各边都延长 1 倍，得到一个新四边形 EFGH.如果 ABCD的面积是 5 平
8、方厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米？3图 8-25 中 ABCD 是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米） 过，点的线段IM 将五边形 EFGHI 分成面积相等的两部分线段 BM 的长度是多少厘米？4如图 8 -26，在钝角三角形 ABC 中，M 为 AB 边的中点，MD、EC 都垂直于 BC 边若三角形 BDE 的面积是 3 平方厘米，则三角形 ABC 的面积是多少？5在图 8 -27 中，大正方形面积比小正方形面积大 40 平方厘米，大正方形面积是多少平方厘米？6如图 8-28，直角三角形 ABC 的三边长分别为 AC= 30（分米） ，AB=18（分米） ，BC= 24（分
9、米） ，ED 垂直于 AC，且 ED= 95（厘米） 问正方形 BFEG 的边长是多少厘米？7菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位，三百回合大战后，两人不分胜负突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖，说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“瞠”的一声，飞镖被劈成了两半，如图 8-29，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为 5被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？8如图 8-30，将三个边长为 l 的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中心请问：图中阴影部分的面积是多少？第 8
10、 讲 直线形计算二内容概述进一步学习直线形面积公式酌运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转T 七；初步学习添加辅助线酌分析方法典型问题兴趣篇1如图 8-1，四边形 ABCD 是直角梯形，其中 AD=12（厘米） ，AB=8（厘米） ，BC= 15（厘米） ，且三角形 ADE、四边形 DEBF、三角形 CDF 的面积相等，阴影三角形 DEF 的面积是多少平方厘米？解析：四边形 ABCD 的面积是（12+15）82=108 （平方厘米） ，1083=36（平方厘米） 。CF=3628=9(厘米)，FB=15-9=6( 厘米) ，AE=36212=6（厘米） ，EB=8-6=2（厘米） 。
11、阴影三角形 DEF 的面积是 36-262=30（平方厘米）2一块长方形的土地被分割成 4 个小长方形，其中三块的面积如图 8-2 所示（单位：平方米） ，剩下一块的面积应该是多少平方米？解析：401530=20（平方米）3如图 8-3，在三角形 ABC 中，BC 是 DC 的 3 倍，AC 是 EC 的 3 倍，三角形 DEC 的面积是 3 平方厘米请问：三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？解析：三角形 ADC 的面积是 33=9（平方厘米） ，三角形 ABC 的面积是 39=27（平方厘米）4如图 8-4，E 是 BC 上靠近 C 的三等分点，且 ED 是 AD 的 2 倍，三角形 AB
12、C 的面积为36 平方厘水三角形 BDE 的面积是多少平方厘米？解析：三角形 BAE 的面积是 3632=24（平方厘米） ，三角形 BDE 的面积2432=16（平方厘米）5如图 8-5 所示，已知三角形 BEC 的面积等于 20 平方厘米，E 是 AB 边上靠近日点的四等分点，三角形 AED 的面积是多少平方厘米？平行四边形 DECF 的面积是多少平方厘米？解析：（1）三角形 AED 的面积是 203=60（平方厘米）（2）三角形 DEC 的面积是 20+60=80（平方厘米） ，三角形 DEC 的面积是平行四边形DECF 的面积的一半，也是平行四边形 ABCD 的面积的一半，所以平行四边
13、形 DECF 的面积是 802=160（平方厘米）6如图 8-6，已知平行四边形 ABCD 的面积为 36，三角形 AOD 的面积为 8三角形 BOC的面积为多少？解析：根据一半模型可知，三角形 AOD 的面积和三角形 BOC 的面积是平行四边形 ABCD的面积的一半，所以三角形 BOC 的面积是 362-8=107如图 8-7，长方形 ABCD 的面积是 96 平方厘米，E 是 AD 边上靠近 D 点的三等分点，F 是 CD 上靠近 C 点的四等分点阴影部分的面积是多少平方厘米？解析：链接 BD，可知三角形 ABD 的面积和三角形 BDC 都是 962=48（平方厘米） ，三角形 ABE 的
14、面积是 48 =32（平方厘米） 。同理可知三角形 BFC 的面积是3248 =12（平方厘米） 。链接 AC，根据鸟头定理可知 48 =24（平方厘米） ，阴影41 432部分的面积是 96-24-32-12=28（平方厘米）.8如图 8-8，将一个长为 18 的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形的 5 倍三角形 ABE 的边 BE 的长是多少？解析：链接 AC，而且梯形的面积是三角形的 5 倍，所以可知三角形 ACE 的面积是三角ABE 的 2 倍且 CE=2BE。BE=183=69如图 8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加 3 和 5 厘米，结果面积增加了 71
15、平方厘米（阴影部分） 原正方形的面积为多少平方厘米？解析：35=15（平方厘米） ，71-15=56（平方厘米） 。把剩余的两个长方形的长相同，56（3+5）=7（厘米） 。原正方形的面积是 77=49（平方厘米）10如图 8-10，四边形 ABCD 内有一点 D，D 点到四条边的垂线都是 4 厘米，四边形的周长是 36 厘米，四边形的面积是多少平方厘米？解析：链接 AO、DO、BO、CO 得到四个高相同的三角形。假设这个三角形的底是AB=a,AD=d,CD=c,BC=b,且 a+b+c+d=36，那么四个三角形的面积就是4a2+4b2+4c2+4d2=42(a+b+c+d)=236=72（平
16、方厘米） 。拓展篇1 如图 8-11，有 9 个小长方形，其中的 5 个小长方形的面积分别为 4、8、12、16、20 平方米其余 4 个长方形的面积分别是多少平方米？解析：第一行的长方形面积 1648=8（平方米） ；第二行的长方形面积 16128=24（平方米） ；第二行的长方形面积左边第一个长方形 82016=10（平方米） ；第二行的长方形面积右边第一个长方形 202416=30（平方米） 。2图 8-12 中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD 是 AE 的 3 倍，三角形 ABE 的面积是多少平方厘米？3如图 8-13，在四边形 ABCD 中，已知
17、 CD=3DF，AE=3ED，而且三角形 BFC 的面积为6 平方厘米，四边形 BEDF 的面积为 7 平方厘米大四边形 ABCD 的面积是多少？解析：连接 BD，可得到两个三角形 ABD 和三角形 BDC。根据 CD=3DF,AE=3ED 可知三角形 FBD 的面积 62=3（平方厘米） ，三角形 EDB 的面积是 7-3=4（平方厘米） ，三角形AEB 的面积是 34=12（平方厘米） 。大四边形 ABCD 的面积是 6+7+12=25（平方厘米） 。4如图 8-14，把三角形 DEF 的各边向外延长 1 倍后得到三角形 ABC，三角形 ABC 的面积为 1三角形 DEF 的面积是多少？解
18、析：连接 AE、BF 、CD, 不难看出图中小三角形的面积都相等，所以三角新的 DEF 的面积是 17= 75如图 8-15，E 是 AB 边上靠近 A 点的三等分点，梯形 ABCD 的面积是三角形 AEC 面积的 5 倍请问：梯形的下底长是上底长的几倍？解析：因为 E 是 AB 边上靠近 A 点的三等分点，所以三角形 BEC 的面积相当于 ACE 的面积的 2 倍。又因为梯形 ABCD 的面积是三角形 AEC 面积的 5 倍，那么三角形 ACD 的面积也是三角形 ACE 的倍，所以三角形 CBA 的面积是三角形 ACD 的面积的 32=1.5 倍，所以下底是上底的 1.5 倍。6如图 8-1
19、6，一个长方形被分成 4 个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是 9 平方厘米，黄色三角形的面积是 21 平方厘米，绿色三角形的面积是 10 平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？解析：根据一半模型可知蓝色三角形面积是 21+10-9=22（平方厘米）7图 8-17 中，正方形 ABCD 的面积为 1把每条边都 3 等分，然后将这 8 个等分点与正方形内部的某一点 P 相连接，形成 4 个阴影的四边形和 4 个空白的三角形，阴影部分的总面积是多少？解析：根据一半模型，可推得上下和左右两个空白三角形的面积都是是正方形面积的，61由此易知道阴影的面积是 1- - = 。61328如图 8-
20、18，在梯形 ABCD 中，E 是 AB 的中点已知梯形 ABCD 的面积为 35 平方厘米，三角形 ABD 的面积为 13 平方厘米三角形 BCE 的面积为多少平方厘米？解析：连接 AC，三角形 ABC 的面积和三角形 BCD 的面积相等，并且都是 35-13=22（平方厘米） ；又因为 E 是 AB 中点所以三角形 BCE 的面积是 222=11（平方厘米） 。9在图 8-19 中，正方形 ADEB 和正方形 ECFG 底边对齐，两个正方形边长分别为 6 和4三角形 ACG 和三角形 BDF 的面积分别是多少？解析：此题是典型的蝴蝶定理的应用，图一连接 AE，可知得到梯形 AECG，根据地
21、蝴蝶定理可知阴影三角形 ACG 的面积和三角形 CEG 的面积相同 442=8；同理图 2 连接EF，可知道三角形 BDF 的面积是 662=18.10图 8-20 是由边长分别为 10 厘米、12 厘米、8 厘米的正方形构成，有一条与 AB 边平行的直线 EF 将此图形分成面积相等的两部分，那么 BF 的长度为多少厘米？解析：解设 BF 为 X 厘米（10+12+8） （12-X ）-(12-8)(8-X)=(10+12+8)X-10X-(12-10)解得 X=5.811(1)如 8-21 中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加 2 厘米和 4 厘米，结果面积增加了 50 平方厘米（阴影
22、部分） 原正方形的面积为多少平方厘米？(2)如 8-21 中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别减少 3 厘米和 5 厘米，结果面积减少了 65 平方厘米（阴影部分） 原正方形的面积为多少平方厘米？解析：（1） ，50-8=42（平方厘米） ，426=7（厘米）（ 平 方 厘 米 ）84277=49（平方厘米）（2）35=（平方厘米） 65+15=80（平方厘米）808=10（厘米）1010=100（平方厘米）12.如图 8-22，直角三角形 ABC 套住了一个正方形 CDEF，E 点恰好在 AB 边上，直角边 AC长 20 厘米，BC 长 12 厘米正方形的边长为多少厘米？解析：方法一：延长
23、 BC 到 G，使 AC=CG;三角形 ABC 的面积就等于三角形 GEB。三角形 ABC 的面积=201222（20+12）=7.5（厘米）方法二：连接 CE,显然三角形 CEB 的面积与三角 ACE 的面积的和等于三角形 ABC 的面积，即 20122=120（平方厘米） ；解：设正方形的的边长是 X 厘米。20X2+12X2=120解得 X=7.5超越篇1如图 8-23，三角形 ABC 的每边长都是 96 厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形请求出 CE 和 CF 的长度之和解析：根据题意显然 3AD=CD,2BE=EC,DF=FC。又因为三角形 ABC 的每边长都是 96
24、 厘米，所以 EC=9632=64（厘米） ；CF=96432=36（厘米） ；CF+EC=36+64=100（厘米） 。2如图 8 -24，把四边形 ABCD 的各边都延长 1 倍，得到一个新四边形 EFGH.如果 ABCD的面积是 5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米？解析：连接 AC、CH、AF ，易知三角形 AEF、AFB 和三角形 ABC 面积相等，三角形ACD、CHD 和三角形 CHG 面积也相等，所以三角形 FBE 与三角形 DHG 的面积和是四边形 ABCD 的面积的 2 倍。同理，连接 BD、ED 、BG，也可知三角形 AEH 与三角形 FCG的面积和也是四边形
25、ABCD 的面积的 2 倍。所以 EFGH 的面积是 55=25（平方厘米） 。3图 8-25 中 ABCD 是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米） 过，点的线段IM 将五边形 EFGHI 分成面积相等的两部分线段 BM 的长度是多少厘米？解析:正方形 ABCD 的面积是是（ 3+5）（3+5）=64（平方厘米） ；五边形 EFGHI 的面积等于正方形的面积减去四个角上的三角形的总结，即 64-（252+342+2 42+162）=46（平方厘米） ；根据题意易知道四边形 EIMF的面积是 462=23（平方厘米） ，梯形 AIMB 面积是 23+252+162=31（平方厘米） ，B
26、M=312（2+6）-5=2.75（厘米） 。4如图 8 -26，在钝角三角形 ABC 中，M 为 AB 边的中点，MD、EC 都垂直于 BC 边若三角形 BDE 的面积是 3 平方厘米，则三角形 ABC 的面积是多少？解析：连接 CM，根据梯形蝴蝶定理不难知道三角形 EDM 的面积等于三角形 CMD 的面积，所以三角形 EDB 的面积也就等于三角形 CMB 的面积，也就是 3 平方厘米。又因 M 是 AB的中点，所以三角形 ABC 的面积=32=6 （平方厘米） 。5在图 8 -27 中，大正方形面积比小正方形面积大 40 平方厘米，大正方形面积是多少平方厘米？解析：解：设小正方形边长为 X
27、 厘米。（20-X） 2-X2=40X=9大正方形的面积是（20-9） 2=121（平方厘米）6如图 8-28，直角三角形 ABC 的三边长分别为 AC= 30（分米） ，AB=18（分米） ，BC= 24（分米） ，ED 垂直于 AC，且 ED= 95（厘米） 问正方形 BFEG 的边长是多少厘米？解析：连接 BE、AE、CE，ED=95 厘米=9.5 分米根据题意列方程解：设正方形 BFEG 的边长为 X 分米。18X2+24X2+309.52=18242解得 X=357菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位，三百回合大战后，两人不分胜负突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖，说时迟，那时快
28、，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“瞠”的一声，飞镖被劈成了两半，如图 8-29，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为 5被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？解析：连通三角形 ABC，根据鸟头定理可知SBEF= SABC= SABC,如图不难看出 SABC= S 正六边形 ；所以 SBEF=53253414343S 正六边形 = S 正六边形 ；S 较小残片=S 正六边形 。219090217AFB CE8如图 8-30，将三个边长为 l 的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中心请问：图中阴影部分的面积是多少？解析:连接 BD、AD ，延长右边正方形的对角线得到延长部分 DE，这样得到梯形 BCDE。根据蝴蝶定理可得到三角形 COE 的面积等于三角形 BOD 的面积；如图不难看出三角形 BOD的面积是中间小长方形的面积的四分之一。同理，图中与三角形 COE 完全相同的其它三角形的面积也都是小长方形的面积的四分之一，所以这四个三角形面积和就是小长方形的面积。根据题意可知正方形 ACDE 的面积是 1，很显然中图中阴影的面积就是正方形 ACDE 的面积的一半，即为 12=0.5CB 0 EA DG H
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