1、第 19 讲 格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1图 19-l 中相邻两格点问的距离均为 1 厘米三个多边形的面积分别是多少平方厘米?2图 19-2 中相邻两格点问的距离均为 l 厘米三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?3图 19-3 中每个小正方形的面积均为 2 平方厘米阴影多边形的面积是多少平方厘米?4图 19-4 是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 l 平方厘米三个多边形的面积分别为多少平方厘米?5如图 19-5 所示，如果每个小等边三角形的面积
2、都是 1 平方厘米四边形 ABCD 和三角形 EFG 的面积分别是多少平方厘米?6图 19-6 中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积( 单位：厘米)7如图 19-7 所示，在正方形 ABCD 内部有一个长方形EFGH已知正方形 ABCD 的边长是 6 厘米，图中线段 AE、 AH 都等于 2 厘米求长方形 EFGH 的面积8如图 19-8 所示，四边形 ABCD 是长方形，长 AD 等于 7 厘米，宽 AB 等于 5 厘米，四边形 CDEF 是平行四边形如果 BH 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?9如图 19-9 所示，大正方形的边长为 10 厘米连接大正
3、方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?10在图 19-10 中，五个小正方形的边长都是 2 厘米，求三角形 ABC 的面积拓展篇1. 图 19-11 中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为 l 平方厘米这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?2. (1)图 19-12 中每个小正方形的面积是 2 平方厘米阴影部分面积是多少平方厘米?(2)图 19-13 中每个小正三角形的面积是 4 平方厘米阴影部分面积是多少平方厘米?3图 19-14 中每个小正方形的边长为 1 厘米阴影部分的面积是多
4、少平方厘米?4如图 19-15 和图 19-16，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点已知图 19-15 中阴影部分的面积是 294 平方分米请问：图 19-16 中的阴影部分的面积是多少平方分米?5如图 19-17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是36 平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米?6如图 19-18 所示，正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米，M 是 AB 中点，N 是 CD中点，P 是 EF 中点请问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米?7图 19-19 中小正方形和大正方形的边长分别是 4 厘米和
5、 6 厘米阴影部分的面积是多少平方厘米?8图 19-20 中，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长 9 厘米，CF 长 3 厘米，求阴影部分的面积9图 19-21 是一个边长为 l 米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬” 梯形的上底长 1.5米，A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段 AB 恰好是梯形的高，长为 0.5 米，CD 长为0.3 米图中阴影部分的面积是多少平方米?10在图 19-22 中，每一个小正方形的面积都是 1 平方厘米用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?11如图 19-23，正方形网格的总面积等于 96 平方厘米，求阴影图形的面积12
6、如图 19-24，每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米阴影部分的面积是多少平方厘米?超越篇1图 19-25 中每个小正方形的边长为 1 厘米阴影部分的面积是多少平方厘米?2如图 19-26，平面上有 16 个点，相邻两点间隔为 1 厘米在每个点都钉上钉子，形成4 行 4 列的正方形钉阵现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形?(面积相同但形状不同的三角形算一种)3已知大的正六边形面积是 72 平方厘米，按图 19-27 中不同方式切割( 切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?4. 图 19-28 为一个边长为 2 厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点围成的阴
7、影部分的面积为多少平方厘米?5如图 19-29 所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米?(单位：厘米)6. 如图 19-30 所示，这个多边形六条边的长度分别是 1、2、3、4、5、7问：这个图形的面积最大可能是多少?7如图 19-31，有一个 80100 的长方形网格，它的四个顶点分别为 A、B 、C、D已知图中每一个小方格的面积都是 l，请选出一个合适的格点 P，使得三角形 PAC 的面积尽可能小(不能等于 0)，那么这个最小的面积是多少?8正 12 边形的边长为 1 厘米，阴影部分都是正三角形(边长也为 l 厘米)，如图 19-32那么空白部分面
8、积等于多少平方厘米?第 19 讲 格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1图 19-l 中相邻两格点问的距离均为 1 厘米三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4 平方厘米 2 平方厘米 8 平方厘米【分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)单位正方L2形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（0+102-1)1=4(平方厘米)有 N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为：（1+42-1)1
9、=2(平方厘米)有 N=5， L=8，则用粗线围成图形的面积为：（5+82-1)1=8(平方厘米)2图 19-2 中相邻两格点问的距离均为 l 厘米三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?答案：5 平方厘米 5 平方厘米 0.5 平方厘米【分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)单位正方L2形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+42-1)1=5(平方厘米)有 N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为：（4+42-1)1=5(平方厘米)有 N=0， L=3，则用粗线围成图形的面积为：（0+32-1)1=0.5(
10、平方厘米)3图 19-3 中每个小正方形的面积均为 2 平方厘米阴影多边形的面积是多少平方厘米?答案：19 平方厘米【分析】 方法：交点组成了正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)单位正方形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格L2点数有 N=7， L=17，则用粗线围成图形的面积为：（ 7+72-1)2=19(平方厘米)4图 19-4 是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 l 平方厘米三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案：6 平方厘米 6 平方厘米 14 平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 单位正三
11、角形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=0，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：(02+8-2)1=6(平方厘米)有 N=2，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(22+4-2)1=6(平方厘米)有 N=4， L=7，所以用粗线围成的图形的面积为：(42+7-2)1=14(平方厘米)5如图 19-5 所示，如果每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米四边形 ABCD 和三角形 EFG 的面积分别是多少平方厘米?答案：20 平方厘米 10 平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 单位正三角形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为
12、图形周界上格点数有 N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(92+4-2)1=20(平方厘米)有 N=4，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(42+4-2)1=10(平方厘米)6图 19-6 中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积( 单位：厘米)答案：32 平方厘米【分析】32+24+ （5-2）（3+1+2）=327如图 19-7 所示，在正方形 ABCD 内部有一个长方形EFGH已知正方形 ABCD 的边长是 6 厘米，图中线段 AE、 AH 都等于 2 厘米求长方形 EFGH 的面积答案：16 平方厘米 【分析】先算正方形面积 66=36 再算左上角和右下角三角
13、形面积 2222=4 后算左下角和右上角三角形面积 4422=16 36-4-16=168如图 19-8 所示，四边形 ABCD 是长方形，长 AD 等于 7 厘米，宽 AB 等于 5 厘米，四边形 CDEF 是平行四边形如果 BH 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?答案：25 平方厘米【分析】 =DCBC=57=35，HC=BC-BH=7-3=4，所以CDEFS平 行 四 边 形= CDHC= 54=10CDHA1212= - =35-10=25(平方厘米).S阴 影 CDEF平 行 四 边 形 HSA9如图 19-9 所示，大正方形的边长为 10 厘米连接大正方形的各边
14、中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50 平方厘米【分析】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成 A、B 两种三角形其中含有 A 形三角形 8 个，B 形三角形 16 个，其中阴影部分含有 A 形三角形 4 个，B 形三角形 8 个所以，阴影部分面积恰好为大正 方形面积的 ，即为121010=50(平方厘米)1210在图 19-10 中，五个小正方形的边长都是 2 厘米，求三角形 ABC 的面积答案：14 平方厘米【分析】 方法：转化为正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)
15、单位正方形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点L2数有 N=3，L=3，则用粗线围成图形的面积为：（3+32-1)4=14(平方厘米)拓展篇1. 图 19-11 中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为 l 平方厘米这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7.5 平方厘米 6.5 平方厘米 9 平方厘米【分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)单位正方L2形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=4，L=9，则用粗线围成图形的面积为：（4+92-1)1=7.5(平方厘米)有 N=3，L=9，则用粗线围成图形的面积为：（3+92-
16、1)1=6.5(平方厘米)有 N=4，L=12，则用粗线围成图形的面积为：（4+122-1)1=9(平方厘米)2. (1)图 19-12 中每个小正方形的面积是 2 平方厘米阴影部分面积是多少平方厘米?(2)图 19-13 中每个小正三角形的面积是 4 平方厘米阴影部分面积是多少平方厘米?答案：17 平方厘米 56 平方厘米【分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)单位正方L2形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=3，L=13，则用粗线围成图形的面积为：（3+132-1)2=17(平方厘米)【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L
17、-2)x 单位正三角形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=4， L=8，所以用粗线围成的图形的面积为：(42+8-2)4=56(平方厘米)3图 19-14 中每个小正方形的边长为 1 厘米阴影部分的面积是多少平方厘米?答案：14 平方厘米【分析】 方法：可用公式先算出整个图形的面积，在减去中间空白部分的面积。正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)单位正方形面积，其中L2N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=21，L=8，则用粗线围成图形的面积为：（21+82-1)1=24(平方厘米)有 N=5，L=12，则用粗线围成图形的面积为：（5+122-1)1
18、=10(平方厘米)24-10=14 平方厘米4如图 19-15 和图 19-16，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点已知图 19-15 中阴影部分的面积是 294 平方分米请问：图 19-16 中的阴影部分的面积是多少平方分米?答案：200 平方分米【分析】 在图 19-15 中，原正三角形被分成 25 个小正三角形，而阴影部分含有 12 个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为 29412=24.5，所以原正三角形的面积为 24.525=612.5(平方分米)而在图 19-16 中，原正三角形被分成 49 块，而阴影部分含有 16 块，所以阴影部分的面积为 612.
19、54916=200(平方分米)5如图 19-17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是36 平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米?答案：32 平方厘米【分析】在 A 中做一条对角线，三角形会被平分为 4 部分，整个三角形面积为 72，在 B中连接两条对角线，整个图形被分为 9 部分，B 占四部分。362=72 7294=326如图 19-18 所示，正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米，M 是 AB 中点，N 是 CD中点，P 是 EF 中点请问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米?答案：2.25 平方厘米【分析】 如下图，我们将图 19-
20、18 分成大小、形状相同的三角形，有正六边形 ABCDEF 包含有 24 个小正三角形，而阴影部分 MNP 包含有 9 个小正三角形正六边形 ABCDEF 的面积为 6，所以每个小正三角形的面积为 624= ，所14以三角形 MNP 的面积为 9 =2.25(平方厘米)147图 19-19 中小正方形和大正方形的边长分别是 4 厘米和 6 厘米阴影部分的面积是多少平方厘米?答案:18 平方厘米【分析】先算两个正方形面积 44+66=52,再算两个空白三角形面积 662=18 4(4+6)2=20 最后算左上角小阴影三角形面积 4(6-4)2=452-18-20+4=188图 19-20 中，三
21、角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长 9 厘米，CF 长 3 厘米，求阴影部分的面积答案：27 平方厘米【分析】 如图(a)，将原题中图形分为 12 个完全一样的小等腰三角形ABC 占有 9 个小等腰三角形，其中阴影部分占有 6 个小等腰三角形，S=992=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为 40.596=27(平方ABC厘米)9图 19-21 是一个边长为 l 米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬” 梯形的上底长 1.5米，A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段 AB 恰好是梯形的高，长为 0.5 米，CD 长为0.3 米图中阴影部分的面积是多少
22、平方米?答案： 平方米1724【分析】：将下图中一些点标上字母延长 AB 交正方形边 EF 于 H 点我们先求出梯形 JICK 与正方形 IFEC 的面积和，再求出三角形 AFH 与梯形AHED 的面积和，将前者与后者做差所得到的值即为所求阴影部分的面积= (1.5+1)0.5=0.625，JICKS梯 形 12=11=1IFE正 方 形= AHFH= （AB+BH）( FE)= (0.5+1)-（ 1）AH 121212=0.375，= (AH+DE)HE= (AB+BH+CE-CD)( FE)= (0.5+1+1-AHEDS梯 形 12)( 1)= 1334有 = + - - =0.625
23、+l-0.375- = (平方米)S阴 影 JICK梯 形 IFECS正 方 形 AHEDS梯 形 13247即阴影部分的面积为 平方米172410在图 19-22 中，每一个小正方形的面积都是 1 平方厘米用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?答案：6.5 平方厘米【分析】 正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)单位正方形面积，L2其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+ -1)1=6.5(平方厘米)711如图 19-23，正方形网格的总面积等于 96 平方厘米，求阴影图形的面积答案：38 平方厘米【分析】 先算每个小正方形面积
24、：96（68）=2 平方厘米。正方形格点阵中多边形面积公式：（N+ -1)单位正方形面积，其中 N 为图形内格点数，L2L 为图形周界上格点数有 N=8，L=21，则用粗线围成图形的面积为：（8+242-1)2=38(平方厘米)12如图 19-24，每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米阴影部分的面积是多少平方厘米?答案：17 平方厘米【分析】正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 单位正三角形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数有 N=6， L=7，所以用粗线围成的图形的面积为：(62+7-2)1=17(平方厘米)超越篇1图 19-25 中每个小正方形的边
25、长为 1 厘米阴影部分的面积是多少平方厘米?答案：34 平方厘米【分析】大面积减小面积：（41+ -1）- （19+ -1）=34（平方厘米）216212如图 19-26，平面上有 16 个点，相邻两点间隔为 1 厘米在每个点都钉上钉子，形成4 行 4 列的正方形钉阵现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形?(面积相同但形状不同的三角形算一种)答案：9 种【分析】由小到大，共 9 种。3已知大的正六边形面积是 72 平方厘米，按图 19-27 中不同方式切割( 切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?答案：18 平方厘米 54 平方厘米 24 平方厘米【分析】把每个
26、图形分割成若干个相同的小正三角形72246=18（平方厘米）72248=54（平方厘米）72186=24（平方厘米）4. 图 19-28 为一个边长为 2 厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点围成的阴影部分的面积为多少平方厘米?答案：0.8 平方厘米【分析】225=0.8（平方厘米）5如图 19-29 所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米?(单位：厘米)答案：20 平方厘米【分析】 将 AD、BC 延长交于 E，有EDC=45，ECD=90，所以CDE 为等腰直角三角形，有 EC=DC而ECD =45，EAB=90，所以ABE 也是等腰直角三角形，
27、有EA=AB有 = ABEA= ， = ECDC= ABES12492EDCSA192有 = - = - =20CD四 边 形 ABE6. 如图 19-30 所示，这个多边形六条边的长度分别是 1、2、3、4、5、7问：这个图形的面积最大可能是多少?答案：26 平方厘米【分析】54+23=26 （平方厘米）7如图 19-31，有一个 80100 的长方形网格，它的四个顶点分别为 A、B 、C、D已知图中每一个小方格的面积都是 l，请选出一个合适的格点 P，使得三角形 PAC 的面积尽可能小(不能等于 0)，那么这个最小的面积是多少?答案：10 平方厘米8正 12 边形的边长为 1 厘米，阴影部分都是正三角形(边长也为 l 厘米)，如图 19-32那么空白部分面积等于多少平方厘米?答案：6 平方厘米 【分析】将每个正三角形的顶点与正十二边形的中心点连接，并将每两个正三角形顶点顺次连接，即由一个阴影三角形和两个空白三角形组成一个正方形，面积是 1，两个空白三角形面积是其中的一半 0.5.图形中总共 24 个空白三角形，即面积为 0.5 （ ）24=6（平方厘米）
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