1、第 15 讲 加法原理与乘法原理内容概述理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题1阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有 9 个，西餐厅有 3 个，日式餐厅有 2 个他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择?2阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有 3 种，热菜有 20 种他打算主食和热菜各买 1 种，一共有多少种不同的买法?3老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法?4传说地球上有 7 颗不同的龙珠，如果找齐这 7 颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就
2、会有神龙出现邪恶的沙鲁找到了这 7 颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?5用红、黄、蓝三种颜色给图 15-1 的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?6在图 152 中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”那么一共有多少种不同的读法？ 7运动会中有四个跑步比赛项目，分别为 50 米、100 米、200 米、400 米，规定每个参赛者只能参加其中的一项甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：(1)如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法?(2)如
3、果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?8冬冬的书包里有 5 本不同的语文书、6 本不同的数学书、3 本不同的英语书请问：(1)如果从中任取 1 本书，共有多少种不同的取法?(2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各 1 本，共有多少种不同的取法 ?9如图 15-3，甲、乙两地之间有 4 条路，乙、丙两地之间有 2 条路，甲、丙两地之间有3 条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?10图 15-4 中 有 一 个 从 A 到 B 的 公 路 网 络 ， 一 辆 汽 车 从 A 行 驶 到 B， 可 以 选 择 的 最 短 路 线 一共 有 多 少 条 ?拓展篇1阿奇一家人外
4、出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机经过网上查询，出发的那一天中火车有 4 班，汽车有 3 班，飞机有 2 班他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?2 “IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?3书架上有三层书，第一层放了 15 本小说，第二层放了 10 本漫画，第三层放了 5 本科普书，并且这些书各不相同请问：(1)如果从所有的书中任取 1 本，共有多少种不同的取法?(2)如果从每一层中各取 l 本，共有多少种不同的取法?(3)如果从中取出 2
5、本不同类别的书，共有多少种不同的取法 ?4如图 15-5，从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 3 条路，从甲地到丁地有 2 条路，从丁地到丙地有 4 条路如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?5如图 15-6，四张卡片上写有数字 2、4、7、8从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数请问：一共可以组成多少个不同的三位数?其中有多少个不同的三位奇数?6奥运场馆实行垃圾分类处理每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图 15-7. 现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这 3 种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收
6、废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？7如图 15-8，把 A、B、C、D、E 这五部分用 4 种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?8如图 15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色请问：(1)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?9甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶 A、B、C、D、E 这五辆不同型号的汽车会驾驶汽车A 的只有甲和乙，汽车 E 必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安
7、排方案?10如图 15-10，4 枚相同的棋子放人 44 的方格内，每个方格只能放 1 枚，且要求每行每列最多只能放 1 枚，一共有多少种不同的放法?11图 15-11 是一个阶梯形方格表，在方格中放入 5 枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有 1 枚棋子，这样的放法共有多少种?12如图 15-12 和图 15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：(1)按图 15-12 所示，从 A 点走到 B 点的不同路线有多少条?(2)按图 15-13 所示，从 A 点走到 B 点的不同路线有多少条?超越篇1爸爸、妈妈带阿奇去吃西餐餐厅里有米饭和面条 2 种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3
8、 种主菜，奶油蘑菇汤 1 种汤，以及蛋糕和布丁 2 种甜点如果阿奇想要点 1 种主食 1 种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限请问：阿奇一共有多少种点菜方法?2如图 15-14，在一个 34 的方格表内放人 4 枚相同的棋子，要求每列至多有 1 枚棋子，一共有多少种不同的放法?如果放人 4 枚互不相同的棋子，要求每列至多有 1 枚棋子，一共有多少种不同的放法?3如图 15-15，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这 4 种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?4用 4 种不同的颜色给图 15-16 中的圆圈染色，
9、有线段相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?5一只甲虫沿着图 15-17 中的方格线从 A 爬到曰，每次只能向右爬一格或向上爬一格图中画着黑点的地方不能通过请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线?6王老师家装修新房，需要 2 个木匠和 2 个电工现有木匠 3 人、电工 3 人，另有 1 人既能做木匠也能做电工要从这 7 人中挑选出 4 人完成这项工作，共有多少种不同的选法?7如图 15-18 所示，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，不能重复经过任何点试问：这只甲虫有多少种不同的走法?8如图 15-19 所示，国际象棋中的棋子 “皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右
10、、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法?第 15 讲 加法原理与乘法原理内容概述理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题1阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有 9 个，西餐厅有 3 个，日式餐厅有 2 个他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择?【分析 】9+3+2=142阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有 3 种，热菜有 20 种他打算主食和热菜各买 1 种，一共有多少种不同的买法?【分析 】320=603老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有
11、多少种不同的写法?【分析 】91010=9004传说地球上有 7 颗不同的龙珠，如果找齐这 7 颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现邪恶的沙鲁找到了这 7 颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?【分析 】7654321=50405用红、黄、蓝三种颜色给图 15-1 的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?【分析 】321=66在图 152 中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”那么一共有多少种不同的读法？【分析 】2222=167运动会中有四个跑步比赛项目，
12、分别为 50 米、100 米、200 米、400 米，规定每个参赛者只能参加其中的一项甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：(1)如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法?(2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?【分析 】（1）4444=256（2）4321=248冬冬的书包里有 5 本不同的语文书、6 本不同的数学书、3 本不同的英语书请问：(1)如果从中任取 1 本书，共有多少种不同的取法?(2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各 1 本，共有多少种不同的取法 ?【分析 】（1）5+6+3=14（2）563=909如图 15-3，甲、乙两地
13、之间有 4 条路，乙、丙两地之间有 2 条路，甲、丙两地之间有3 条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?【分析 】42+3=1110图 15-4 中 有 一 个 从 A 到 B 的 公 路 网 络 ， 一 辆 汽 车 从 A 行 驶 到 B， 可 以 选 择 的 最 短 路 线 一共 有 多 少 条 ?【分析 】56拓展篇1阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机经过网上查询，出发的那一天中火车有 4 班，汽车有 3 班，飞机有 2 班他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?【分析 】4+3+2=92 “IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母
14、涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?【分析 】543=603书架上有三层书，第一层放了 15 本小说，第二层放了 10 本漫画，第三层放了 5 本科普书，并且这些书各不相同请问：(1)如果从所有的书中任取 1 本，共有多少种不同的取法?(2)如果从每一层中各取 l 本，共有多少种不同的取法?(3)如果从中取出 2 本不同类别的书，共有多少种不同的取法 ?【分析 】（1）15+10+5=30（2）15105=750（3）1510+105+155=2754如图 15-5，从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 3 条路，
15、从甲地到丁地有 2 条路，从丁地到丙地有 4 条路如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?【分析 】33+24=175如图 15-6，四张卡片上写有数字 2、4、7、8从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数请问：一共可以组成多少个不同的三位数?其中有多少个不同的三位奇数?【分析 】（1）432=24（2）32=66奥运场馆实行垃圾分类处理每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图 15-7. 现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这 3 种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色
16、方法？【分析 】22222=327如图 15-8，把 A、B、C、D、E 这五部分用 4 种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?【分析 】43222=968如图 15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色请问：(1)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?【分析 】（1） （2）9=57189甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶 A、B、C、D、E 这五辆不同型号的汽车会驾驶汽车A 的只有甲和乙，汽车 E 必须由甲、乙
17、、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案?【分析 】22321=2410如图 15-10，4 枚相同的棋子放人 44 的方格内，每个方格只能放 1 枚，且要求每行每列最多只能放 1 枚，一共有多少种不同的放法?【分析 】4321=2411图 15-11 是一个阶梯形方格表，在方格中放入 5 枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有 1 枚棋子，这样的放法共有多少种?【分析 】22221=1612如图 15-12 和图 15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：(1)按图 15-12 所示，从 A 点走到 B 点的不同路线有多少条?(2)按图 15-13 所示，从 A
18、点走到 B 点的不同路线有多少条?【分析 】（1）5 种（2）108超越篇1爸爸、妈妈带阿奇去吃西餐餐厅里有米饭和面条 2 种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3 种主菜，奶油蘑菇汤 1 种汤，以及蛋糕和布丁 2 种甜点如果阿奇想要点 1 种主食 1 种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限请问：阿奇一共有多少种点菜方法?【分析 】23(1+1+2+1+2+1)=482如图 15-14，在一个 34 的方格表内放人 4 枚相同的棋子，要求每列至多有 1 枚棋子，一共有多少种不同的放法?如果放人 4 枚互不相同的棋子，要求每列至多有 1 枚棋子，一共有多少种不同的放法?【分析 】（1）3333=81（
19、2）33334321=19443如图 15-15，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这 4 种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?【分析 】43222222=7684用 4 种不同的颜色给图 15-16 中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?【分析 】4321+432+432+43=845一只甲虫沿着图 15-17 中的方格线从 A 爬到曰，每次只能向右爬一格或向上爬一格图中画着黑点的地方不能通过请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线?【分析 】66 种6王老师家装修新房，需要 2
20、 个木匠和 2 个电工现有木匠 3 人、电工 3 人，另有 1 人既能做木匠也能做电工要从这 7 人中挑选出 4 人完成这项工作，共有多少种不同的选法?【分析 】33+33+33=277如图 15-18 所示，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，不能重复经过任何点试问：这只甲虫有多少种不同的走法?【分析 】树形图法：（略）分类枚举法：从 A 走 3 段到 B，从 A 走 4 段到 B从 A 走 5 段到 B，从 A 走 6 段到 B，从 A 走 7 段到 B，共 69 种8如图 15-19 所示，国际象棋中的棋子 “皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法?【分析 】188
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