1、第 15 讲 圆与扇形内容概述掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排阵的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。典型问题兴趣篇1已知一个扇形的圆心角为 120，半径为 2，这个扇形的面积和周长各是多少？（ 取3.14）2已知一个扇形的面积为 18.84 平方厘米，圆心角为 60，这个扇形的半径和周长各是多少？（ 取 3.14）3(1)根据图 15-1 所给的数值，求这个图形的外周长和面积 （ 取 3.14）(2)如图 15.2，有 8 个半径为 1 厘米的小
2、圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周率 取 3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？4如图 15-3，求各图形中阴影部分的面积 （图中长度单位为厘米， 取 3.14）5如图 154，求各图中阴影部分的面积 （图中长度单位为厘米， 取 3.14）6图 15-5 中甲区域比乙区域的面积大 57 平方厘米，且半圆的半径是 10 厘米其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？（ 取 3.14）7求图 15-6 中阴影部分的面积 （ 取 3.14）8如图 15-7，在 33 的方格表中，分别以 A、E 为圆心， 3、2 为半径，画出圆心角都是90的两段圆弧图中阴
3、影部分的面积是多少？（ 取 3.14）9如图 158，在一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板中，裁出了 7 个同样大小的圆铝板问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？10一条直线上放着一个长和宽分别为 4 厘米和 3 厘米的长方形 I（图 15-9） 让这个长方形绕顶点 B 顺时针旋转 90 0 后到达长方形的位置，这样连续做三次， A 点到达 E 点的位置求 A 点经过的总路程的长度 （圆周率按 3 计算）拓展篇1(1)已知一个扇形的半径为 2 厘米，弧长为 3.14，这个扇形的面积是多少？(2)已知一个半圆形的面积是 56.52 平方厘米，求这个半圆形的周长 （ 取 3.14）2如图 15
4、-10，求各图中阴影部分的面积 （图中长度单位为厘米， 取 3.14）3如图 15-11，直角三角形 ABC 的面积是 45，分别以曰、C 为圆心，3 为半径画圆已知图中阴影部分的面积是 35.58.请问：角 A 是多少度？（ 取 3.14）4图 15-12 是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径如图 15-13 所示，让 A 点不动，把整个半圆逆时针转 60。 ，此时 B 点移动到 C 点请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（ 取 3.14）5图 15-14 中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是
5、多少平方厘米？6图 15-15 中有一个等腰直角三角形 ABC，一个以 AB 为直径的半圆，和一个以 BC 为半径的扇形已知 AB =BC=10 厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（ 取3.14）7图 15-16 是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4图中阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）8(1)如图 15-17，已知外面大圆的半径是 4，求正方形以及里面小圆的面积 （答案用 表示）(2)已知图 t5-18 中正方形的边长为 2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积 （答案用 表示）9图 15-19 中有一个矩形和
6、两个半径分别为 5 和 2 的直角扇形请问：两个阴影部分的面积之差是多少？（ 取 3.14）10(1)根据图 15-20 中给出的数值，求这个图形的外周长和面积 （ 取 3.14）(2)如图 15-21，有七根直径为 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（ 取 3.14）11如图 15 -22，一只小狗被拴在一个边长为 4 米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计， 取 3.14）12(1)图 15-23 中正方形的边长是 4 厘米，圆形的半径是
7、1 厘米当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（ 取 3.14）(2)图 15-24 中等边三角形的边长是 3 厘米，圆形的半径是 1 厘米当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（ 取 3.14）超越篇1如图 15-25，边长为 4 的正方形中依次挖去了四个半圆阴影部分的面积是多少？( 答案用 表示）2如图 15-26，直角三角形的三条边长度为 6、8、10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积是多少？（答案用 表示）3图 15 -27 中是一个半径为 10 厘米，中心角为 135（的扇形， D 点、E 是弧 BC 的三等分点，那么阴影部分的面积
8、为多少平方厘米？（ 取 3.14）4如图 15-28 所示，有 7 个大小相同的圆叠放在一起，如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的面积是多少？5图 15-29 中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三个半圆套成，其中最大半圆的直径为 12 厘米，该零件的面积为多少平方厘米？（ 取 3.14）6把一个等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转 90 度如果它的直角边长为 10，求它的斜边扫过的面积 （ 取 3.14）7如图 15 -30，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上，一些线段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？（取 3.14）8
9、一个等边三角形边长为 2 厘米，以它的每个顶点为圆心，边长为半径分别作一段弧形成一个曲边三角形，如图 15-31.现在固定一个曲边三角形 A，用另一个曲边三角形 B 围绕着它滚动那么 B 滚动一周回到原来位置的过程中，扫过的面积是多少平方厘米？（ 取3.14）第 15 讲 圆与扇形内容概述掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排阵的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。典型问题兴趣篇1已知一个扇形的圆心角为 120，半径为 2，这个扇形的面积和周长各是多少？
10、（ 取3.14）2已知一个扇形的面积为 18.84 平方厘米，圆心角为 60，这个扇形的半径和周长各是多少？（ 取 3.14）3(1)根据图 15-1 所给的数值，求这个图形的外周长和面积 （ 取 3.14）(2)如图 15.2，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周率 取 3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？4如图 15-3，求各图形中阴影部分的面积 （图中长度单位为厘米， 取 3.14）5如图 154，求各图中阴影部分的面积 （图中长度单位为厘米， 取 3.14）6图 15-5 中甲区域比乙区域的面积大 57 平方
11、厘米，且半圆的半径是 10 厘米其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？（ 取 3.14）7求图 15-6 中阴影部分的面积 （ 取 3.14）8如图 15-7，在 33 的方格表中，分别以 A、E 为圆心， 3、2 为半径，画出圆心角都是90的两段圆弧图中阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）9如图 158，在一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板中，裁出了 7 个同样大小的圆铝板问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？10一条直线上放着一个长和宽分别为 4 厘米和 3 厘米的长方形 I（图 15-9） 让这个长方形绕顶点 B 顺时针旋转 90 0 后到达长方形的位置，这样连续做三次， A
12、点到达 E 点的位置求 A 点经过的总路程的长度 （圆周率按 3 计算）拓展篇1(1)已知一个扇形的半径为 2 厘米，弧长为 3.14，这个扇形的面积是多少？(2)已知一个半圆形的面积是 56.52 平方厘米，求这个半圆形的周长 （ 取 3.14）2如图 15-10，求各图中阴影部分的面积 （图中长度单位为厘米， 取 3.14）3如图 15-11，直角三角形 ABC 的面积是 45，分别以曰、C 为圆心，3 为半径画圆已知图中阴影部分的面积是 35.58.请问：角 A 是多少度？（ 取 3.14）4图 15-12 是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径如图 15-13 所示，让 A 点不动
13、，把整个半圆逆时针转 60。 ，此时 B 点移动到 C 点请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（ 取 3.14）5图 15-14 中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？6图 15-15 中有一个等腰直角三角形 ABC，一个以 AB 为直径的半圆，和一个以 BC 为半径的扇形已知 AB =BC=10 厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（ 取3.14）7图 15-16 是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4图中阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）8(1
14、)如图 15-17，已知外面大圆的半径是 4，求正方形以及里面小圆的面积 （答案用 表示）(2)已知图 t5-18 中正方形的边长为 2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积 （答案用 表示）9图 15-19 中有一个矩形和两个半径分别为 5 和 2 的直角扇形请问：两个阴影部分的面积之差是多少？（ 取 3.14）10(1)根据图 15-20 中给出的数值，求这个图形的外周长和面积 （ 取 3.14）(2)如图 15-21，有七根直径为 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（ 取 3.14）11如图 15 -22，一只小
15、狗被拴在一个边长为 4 米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计， 取 3.14）12(1)图 15-23 中正方形的边长是 4 厘米，圆形的半径是 1 厘米当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（ 取 3.14）(2)图 15-24 中等边三角形的边长是 3 厘米，圆形的半径是 1 厘米当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（ 取 3.14）超越篇1如图 15-25，边长为 4 的正方形中依次挖去了四个半圆阴影部分的面积是多少？( 答案用
16、表示）2如图 15-26，直角三角形的三条边长度为 6、8、10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积是多少？（答案用 表示）3图 15 -27 中是一个半径为 10 厘米，中心角为 135（的扇形， D 点、E 是弧 BC 的三等分点，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？（ 取 3.14）4如图 15-28 所示，有 7 个大小相同的圆叠放在一起，如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的面积是多少？5图 15-29 中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三个半圆套成，其中最大半圆的直径为 12 厘米，该零件的面积为多少平方厘米？（ 取 3.14）6把一个等腰直角三角形绕直角顶点逆时针
17、旋转 90 度如果它的直角边长为 10，求它的斜边扫过的面积 （ 取 3.14）7如图 15 -30，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上，一些线段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？（取 3.14）8一个等边三角形边长为 2 厘米，以它的每个顶点为圆心，边长为半径分别作一段弧形成一个曲边三角形，如图 15-31.现在固定一个曲边三角形 A，用另一个曲边三角形 B 围绕着它滚动那么 B 滚动一周回到原来位置的过程中，扫过的面积是多少平方厘米？（ 取3.14）第 15 讲 圆与扇形内容概述掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积
18、计算公式，并能熟练运用公式处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排阵的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。典型问题兴趣篇1已知一个扇形的圆心角为 120，半径为 2，这个扇形的面积和周长各是多少？（ 取3.14）解析：知道了圆心角，就相当于知道了扇形占圆面积的 ，扇形的弧长也是圆周长的 。313119.42.3182已知一个扇形的面积为 18.84 平方厘米，圆心角为 60，这个扇形的半径和周长各是多少？（ 取 3.14）解析： ，半径 r=63614.81周长： 28.63(1)根据图 15-1 所给的数值，求这个图形的外周长和
19、面积 （ 取 3.14）(2)如图 15.2，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周率 取 3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？解析：1.圆的半径： 周长：1428.14214.3面积： 5.222. 如下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为 4 个边长为 2 的小正方形面积加上 4个 的面积减去 4 个 的面积，即加上 4 4 1 个半径为 1 的圆的面积3所以花瓣组成的图形的面积为 42211116+3.1419.14(平方厘米) 4如图 15-3，求各图形中阴影部分的面积 （图中长度单位为厘米， 取 3.14）解析
20、：1.用平移法阴影为三角形面积， 2932.用平移法阴影面积为正方形面积， 13. 14.2)14.32( 25如图 154，求各图中阴影部分的面积 （图中长度单位为厘米， 取 3.14）解析：1.考虑到重叠， 28.214.32.考虑到重叠， 5643.考虑到重叠， 9.137.26图 15-5 中甲区域比乙区域的面积大 57 平方厘米，且半圆的半径是 10 厘米其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？（ 取 3.14）解析： （厘米）102)57104.3(27求图 15-6 中阴影部分的面积 （ 取 3.14）解析： 我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积和即可
21、，其中、面积相等 厘 米ABC易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边 AB 的长度未知，单独求部分面积不易，于是我们将、部分平移至一起，如下图所示，则、部分变为一个以 AC 的直角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之一圆的半径，所以有 AC10 两个四分之一圆的面积和为 2 102503.14157，而、部分的面积和41为 101050，所以阴影部分的面积为 15750107( 平方厘米) 218如图 15-7，在 33 的方格表中，分别以 A、E 为圆心， 3、2 为半径，画出圆心角都是90的两段圆弧图中阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）解析： 075.142.3431.2
22、9如图 158，在一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板中，裁出了 7 个同样大小的圆铝板问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？解析：首先算出大圆和小圆的面积比，设小圆的半径为 r，则大圆为 3r大圆面积：小圆面积= 小圆的面积为1:9:)3(2r4936余下边角料的面积为： 平方厘米847610一条直线上放着一个长和宽分别为 4 厘米和 3 厘米的长方形 I（图 15-9） 让这个长方形绕顶点 B 顺时针旋转 后到达长方形 的位置，这样连续做三次，A 点到达 E 点的位0置求 A 点经过的总路程的长度 （圆周率按 3 计算）解析：三次转动，每次 A 点走的都是四分之一个圆周，只是圆周的半径不
23、一样。第一次半径为 4 厘米，第二次半径为长方形的对角线，半径为 5 厘米，第三次半径为长方形的宽 3厘米。厘米18324512拓展篇1(1)已知一个扇形的半径为 2 厘米，弧长为 3.14，这个扇形的面积是多少？(2)已知一个半圆形的面积是 56.52 平方厘米，求这个半圆形的周长 （ 取 3.14）解析：1.由弧长公式 得扇形为四分之一圆。rnl360面积为： 平方厘米14412r2.首先算出来半径， ，半径为 6 厘米314.25.63.半圆的周长为： 厘米8032如图 15-10，求各图中阴影部分的面积 （图中长度单位为厘米， 取 3.14）解析：1.利用平移法，阴影的面积等于三角形面
24、积的一半。平方厘米25102.先用分割法，将正方形分割为四个小正方形，在一个正方形中考虑重叠，阴影的年级为一个小圆面积的一半减去正方形的面积 平 方 厘 米 平 方 厘 米28.457.07.033如图 15-11，直角三角形 ABC 的面积是 45，分别以 B、C 为圆心，3 为半径画圆已知图中阴影部分的面积是 35.58.请问：角 A 是多少度？（ 取 3.14）解析：利用三角形内角和为 180 度。以 A 点为原点，半径 3 厘米的扇形面积为： 平方厘米71.4)58.34(21.3度60)14.(7.24图 15-12 是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径如图 15-13 所示，
25、让 A 点不动，把整个半圆逆时针转 60。 ，此时 B 点移动到 C 点请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（ 取 3.14）解析：经过转化，阴影部分的面积就是扇形 ABC 的面积平方厘米71.43.6125图 15-14 中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？解析：我们可以将图中空白部分分成 8 个形状相同、面积相等的小图形 其在圆内的位置如下图，有弓形 部分面积为 圆与等腰直角三角形 ABO 的面积差，41即为 12 11 3.140.50.28544OAB原题图中的整个图形的面积为四
26、个圆的面积减去公共的 4 个 的面积，即 8 个的面积，而阴影部分面积又是整个图形面积减去 4 个 的面积，即 8 个的面积那么，原题图中阴影部分面积为 4 个圆面积减去 16 个 的面积所以，原题图中阴影部分总面积为 412160.28543.144.568(平方厘米)6图 15-15 中有一个等腰直角三角形 ABC，一个以 AB 为直径的半圆，和一个以 BC 为半径的扇形已知 AB =BC=10 厘米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（ 取3.14）解析：我们通过对图形的分析可以看出用直角三角形的面积减去扇形的面积，就为半圆内的空白部分，再用半圆的面积减去空白就可以了。平方厘米5.2
27、8)104.38102()10(4.3 7图 15-16 是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4图中阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14）解析：就是用扇形的面积减去里面正方形的面积 56.4241.328(1)如图 15-17，已知外面大圆的半径是 4，求正方形以及里面小圆的面积 （答案用 表示）(2)已知图 15-18 中正方形的边长为 2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，求图中阴影部分的面积 （答案用 表示）解析：1.里面正方形的面积为 3242圆的面积为： 8432.扇形的半径为正方形对角线的一半。用正方形的面积减去一个扇形的面积，就可以
28、得到一个空白的面积 42)12(29图 15-19 中有一个矩形和两个半径分别为 5 和 2 的直角扇形请问：两个阴影部分的面积之差是多少？（ 取 3.14）解析：用长方形的面积减去四分之一圆的面积就可得到大阴影加上小四分之一圆减去上面阴影的面积 485.621.34514.3210(1)根据图 15-20 中给出的数值，求这个图形的外周长和面积 （ 取 3.14）(2)如图 15-21，有七根直径为 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们扎成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？（ 取 3.14）解析：1.周长为一个圆的周长加上一个长方形的周长 28.1)4(1.32面积为 4.3.22. 厘米7
29、.45614.311如图 15 -22，一只小狗被拴在一个边长为 4 米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计， 取 3.14）解析：如图，小狗的活动范围是 a、b、c、d、e 五个部分，都是扇形，其中 b 和 e 一样，c 和 d 一样。所以活动范围的总面积为：222577 10636330abcdeSS。728085aebdc12(1)图 15-23 中正方形的边长是 4 厘米，圆形的半径是 1 厘米当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（ 取 3.14）(2)
30、图 15-24 中等边三角形的边长是 3 厘米，圆形的半径是 1 厘米当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（ 取 3.14）解析：1.远走过的面积就是四个长方形，加上一个半径为 2 的圆走过的面积。平 方 厘 米56.421.342.雨中你走过的面积就是三个长方形加上一个半径为 2 的圆走过的面积平 方 厘 米.0.2超越篇1如图 15-25，边长为 4 的正方形中依次挖去了四个半圆阴影部分的面积是多少？( 答案用 表示）2如图 15-26，直角三角形的三条边长度为 6、8、10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积是多少？（答案用 表示）3图 15 -27 中是
31、一个半径为 10 厘米，中心角为 135的扇形， D 点、E 是弧 BC 的三等分点，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？（ 取 3.14）4如图 15-28 所示，有 7 个大小相同的圆叠放在一起，如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的面积是多少？解析： 题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与 6 个 阴影部分的面积和而图形可以通过平移得到图形 ，而图形是一个圆心角为 60的扇形，即 圆61所以，原题图中阴影部分面积为 1 个完整圆与 6 个 圆，即 2 个圆的面积1即原题图中阴影部分面积为 210205图 15-29 中阴影部分为一个空心零件的设计图，该零件由三个半圆套成，其中最大半圆的
32、直径为 12 厘米，该零件的面积为多少平方厘米？（ 取 3.14）解析：如图可知，小半圆的半径为大半圆的一半，因此零件面积为 2217634.39SS阴 影 大 半 圆 小 半 圆6把一个等腰直角三角形绕直角顶点逆时针旋转 90 度如果它的直角边长为 10，求它的斜边扫过的面积 （ 取 3.14）7如图 15 -30，在一个正方形中恰好放了四个相同的半圆，每个半圆的直径恰好都在边上，一些线段的长度如图所示，那么中间的阴影面积与四个角上的阴影面积之差是多少？（取 3.14）8一个等边三角形边长为 2 厘米，以它的每个顶点为圆心，边长为半径分别作一段弧形成一个曲边三角形，如图 15-31.现在固定一个曲边三角形 A，用另一个曲边三角形 B 围绕着它滚动那么 B 滚动一周回到原来位置的过程中，扫过的面积是多少平方厘米？（ 取3.14）
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