1、第 5 讲立体几何内容概述掌握长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式；学会计算由基本立体固形通过切割、拼接而构成的复杂立体固形的体积和表面积；掌握平面固形通过折叠、旋转所得立体图形的相关计算典型问题兴趣篇1一个长方体的长、宽、高分别为 3 厘米、2 厘米、1 厘米若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？2如图 5-1 所示，将长为 13 厘米，宽为 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为 2 厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3 厘米的正方形呢？3用棱长是
2、 l 厘米的小立方体拼成如图 5-2 所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？4(1)如图 5-3 所示，将一个棱长为 6 的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为 4、3、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？(2)如图 5-4 所示，将一个棱长为 5 的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3 的长方体，它的表面积减少了百分之几？5如图 5-5 所示，有一个棱长为 2 厘米的正方体，从正方体的上面正中向下挖一个棱长为 1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为 厘米的小洞；第三个小洞的21挖法与前两个相同，棱长为 厘米，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘
3、米？416 （1)如图 5-6，将 4 块棱长为 1 的正方体木块排成一排，拼成一个长方体那么拼合后这个长方体的表面积，比原来 4 个正方体的表面积之和少了多少？(2)一个正方体形状的木块，棱长为 1，如图 5-7 所示，将其切成两个长方体，这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切 4 刀（如图 5-8 所示） ，将其切成大大小小共 18 块长方体，这 18 块长方体表面积总和又是多少？7如图 5-9 所示，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米请问：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？8如图 5-10 所示，一块三层蛋糕，由三个高都为 1 分米，底面半径分别为 1.5
4、 分米、1 分米和 0.5 分米的圆柱体组成请问：(1)这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（ 取 3.14）(2)如果沿经过中轴线 AB 的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？9有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是 6 米、3 米、2 米，三个池子都装了半池水现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了 6 厘米和 4厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位）10.有一个高 24 厘米，底面半径为 10 厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长 30 厘米，底面半径为 2 厘米的
5、圆柱体木棒将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？拓展篇1如图 5-11，将三个表面积分别为 54 平方厘米、96 平方厘米和 150 平方厘米的铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗） 求这个大正方体的体积2一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增加 3 厘米，则体积增加 90 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方厘米，求这个长方体的表面积3如图 5-12 所示，有 30 个棱长为 1 米的正方体堆成一个四层的立体图形请问：这个立体图形的表面积等于多少？4如图 5-13 所示，将一个棱长为 10 的正方体从顶点
6、 A 切掉一个棱长为 4 的正方体，得到如图 5-14 所示的立体图形，这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点 B 切掉一个棱长为 6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？5一个正方体被切成 24 个大小形状一模一样的小长方体（如图 5-15 所示） ，这些小长方体的表面积之和为 162 平方厘米请问：原正方体的体积是多少？6图 5-16 是一个棱长为 4 厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长 1 厘米的小正方体，做成一种玩具该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？7一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为 10 厘米、
7、8 厘米、5 厘米，已知木板厚 1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少？8有一根长为 20 厘米，直径为 6 厘米的圆钢，在它的两端各钻一个 4 厘米深，底面直径也为6 厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图 5-17 所示） 这个零件的体积为多少立方厘米？（ 取 3.14）9现有一块长、宽、高分别为 10 厘米、8 厘米、6 厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？（ 取 3）10.张大爷去年用长 2 米、宽 l 米的长方形苇席围成了一个容积最大的圆柱体粮囤，今年他改用长 3 米、宽 2 米的长方形
8、苇席来围，也同样围成容积最大的圆柱体粮囤，请问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？11.左边正方形的边长为 4，右边正方形对角线长度为 6如果按照图 5-18 中所示的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？12.如图 5-19 一个底面长 30 分米，宽 10 分米，高 12 分米的长方体水池，存有四分之三池水，请问：(1)将一个高 1 1 分米，体积 330 立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？(2)如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？(3)如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？超越篇1有一个棱长为 20 的大立方体，在它的每个角上按如
9、图 5 -20 所示的方式各做一个小立方体，于是得到 8 个小立方体在这些立方体中，上面 4 个的棱长为 12，下面 4 个的棱长为 13.请问：所有这 8 个小立方体公共部分的体积是多少？2地上有一堆小立方体，从上面看时如图 5-21 所示，从前面看时如图 5-22 所示，从左边看时如图 5-23 所示这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为 1 厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？3(1)已知一个圆锥的底面直径为 6 厘米，高为 4 厘米求它的体积和表面积；（答案用兀表示）(2)用一个半径为 25 厘米，圆心角为 345.6的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的体积是
10、多少？如果圆心角是 216呢？（答案用丌表示）4将图 5 -24、图 5-25 中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱，这两个立体图形的体积分别是多少？（图 5 -24 正中央是一个面积为 18 平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长为 5 厘米的等腰三角形；图 5-25 中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成 ）5一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，如图 5-26 圆柱体的底面直径和高都是 12 厘米，其内有一些水，正放时水面离容器顶 11 厘米，倒放时，水面离顶部 5 厘米请问：这个容器的容积是多少立方厘米？（兀取 3.14）6有一个长方体水池，底面为边长 60 厘米
11、的正方形，里面插着一根长 1 米的木桩，木桩的底面是一个边长 15 厘米的正方形，木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面现在将木桩提起来 24 厘米（仍有部分浸在水里） ，那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？7图 5 -27 是一个有底无盖的容器的平面展开图，其中是边长为 18 厘米的正方形，是同样大的等腰直角三角形，是同样大的等边三角形那么，这个容器的容积是多少毫升？8有一个三棱柱和一个正方体，三棱柱的底面是一个等边三角形，边长恰好等于正方体的面对角线长度，三棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度，如果正方体的棱长为 6，那么三棱柱的体积为多少？第 5 讲 立 体 几 何兴 趣 篇1.
12、 一个长方体的长 、 宽 、 高 分别为 3 厘米 、 2 厘米 、 1 厘米 。 若它的棱长总和等 于另一个 正方 体 的 棱 长 总 和 ， 则 长方 体 与 正 方 体 的 表 面积 之比 是 多 少 ？ 长 方 体 体积 比正 方 体 体 积少多少立方厘米 ？【分析 】该 长方 体的 棱长 总和为 ：3 2 1 4 24 ；则正 方体 的边 长为2 4 12 2 ； 长方体 的表 面积 为 ：3 2 3 1 2 1 2 22 ，体 积为 ：3 2 1 6 ；正方体 的表 面积 为 ：6 2 2 24 ；体 积 为 ：2 2 2 8所以 长 方 体 与 正 方 体 的 表 面 积 之 比
13、 为 ：11 :12 长方 体的 体 积比正 方体 的体 积 少 2 立 方厘米 。2. 如图所示 ， 将 长为 13厘米 ， 宽为 9 厘米的长 方形硬 纸板的四角去掉边长 为 2 厘米的正 方形 ， 然 后 沿 虚 线 折叠 成长 方 体 容 器 。 这 个 容器 的体 积 是 多 少 立 方 厘 米？ 如果 四 角 去 掉边长为3 厘米的正方形 呢 ？【分析 】四个 角都 截去 边 长为2 的 正 方 形 之 后 ，长 方体 容 器 的 长 为 13 4 9 ；宽为 9 4 5 ， 其体积 为 9 5 2 90 （立方 厘米 。如果四 个角 去的 都是 边长 为3 的 正 方 形 则 新
14、 形 成 的 长 方 体 的 长 为 13 6 7 宽 为 9 6 3 ，高为3 ， 则新 长方 体的 体 积为 7 3 3 63 （立方 厘米 。3. 用棱长是 1 厘米 的小立方 体拼成如图所示的立 体图 形 。 这个图形 的表面 积是 多少平方 厘米 ？1【分析 】 三视图 法 ：从前往 后看 ： 7 2 14 ； 从左往 右看 ： 7 2 14 ； 从上往 下看 ：9 2 18 ；则这 个 图 形 的 表 面 积 为 ：14 14 18 46 （平方 厘米 。4. （ 1） 如图所示 ， 将一个 棱 长为6 的正方体从某个角 切掉一个长 、 宽 、 高 分别 为 4、 3、5的长方体
15、， 剩余部分的 表面积是多少 ？（ 2） 如图所示 ， 将一 个 棱长为 5 的正方体 ， 从左 上方切去一个长 、 宽 、 高 分别为 5、 4、3 的长方体 ， 它的表面积 减少了百分之几 ？【分析 】（1）切 去 该 长 方 体 之 后 ，整 个 表 面 积 没 有 发 生 变 化 ，则 其 表 面 积 总 和 还 为 原 表 面 积 ，为6 6 6 216 平方厘 米 。（2）原正 方体 的表 面积 为6 5 5 150 ；现在 表面 积减 少了 2 4 3 24 ；相 当于减 少了16%。5、 如图所示 ， 有一个棱 长 为 2 厘米的正方体 。 从正 方体的上面正中向下 挖一 个棱
16、长为1 厘 米的 正方体小洞 ； 接 着在 小洞的底面正中再向 下挖 一个棱长为 1 厘米的小洞 ； 第三个小2212 4 4 4洞 的 挖 法 与 前 两 个 相 同 ， 棱 长 为 1 厘 米 。 最 后 得 到 的 立 体 图 形 的 表 面 积 是 多 少 平 方 厘4米 ？【 分析 】原正方 体的表 面积 为 6 2 2 24 ,向下不断的 挖正 方体 之后 ， 会 增加四 个面 ， 则增 加的 表 面积之和 为4 12 4 1 2 2 4 5 1 。 所 以最 后得 到的 立体图 形的 表面 积为 29 1 平方 厘米。6（ 1） 如图所示 ， 将4 块 棱长为1 的正方体木块排
17、成一排 ， 拼成一个长方 体 。 那么拼合后 这个长方体的表面积 ， 比 原来4 个正方体的表面积 之和少了多少 ？（ 2） 一个正方体形状 的 木块 ， 棱长为 1， 如图 1 所示 ， 将其切成两个 长方 体 。 这两部分 的表面积总和是多少 ？ 如 果在此基础上再 切 4 刀 （ 如图 2 所示 ， 将其切成 大大小 小共 18块长方体 。 这18块长方体 表面积总和 又是 多少 ？【 分析 】（1）每一 次拼 合会 少两 个 面 ，拼 了 3 次 ，表面 积之 和少了 3 2 1 6 平方 厘米 ；（2）原正 方体 的表 面积 为 6 1 6 ，且一 刀会 增加 两个 面 ，增加的 面
18、积 为 2，则 两部 分 的表 面积之 和 为8 ；根 据图2 ，总共切 了 5 刀 ，表 面积 增 加了 10，则 这 18块长 方 体的表 面积 总和 为16 。（ 第四届华杯赛初赛 第 3 题 ）7、 如图所示 ， 有一个圆柱 和一个圆锥 ， 它们的高和 底面直径标在图上 ， 单位 是厘米 。 请问 ：32圆锥体积与圆柱体积 的比 是多少 ？【 分析 】 锥 体 积 圆 柱 体 积1 2 2 43 42 8 1 。24（ 第三届华杯赛初赛 第 5 题 ）8、 如图所示 ， 一块三层 蛋 糕 ， 由三个高都为 1 分米 ， 底面直径分别为 1.5分 米、 1 分米 和 0.5分米的圆柱体组
19、成 。 请问 ：（ 1） 这个蛋糕的表面积 是 多少平方厘米 ？（ 取3.14 ）（ 2） 如果 沿经 过中 轴线 AB 的平 面切 一刀 ， 将该 蛋糕 分成 完全 相同 的两部 分 ， 那表 面 积 之和又是多少 ？【 分析 】（1） 蛋糕的 表面 积为 ：1 3 32 1 2 1 1 2 1 2 10.5 32.97 （平方 分米 ）2 2 2 （2） 新切一 刀 ，表 面积增 加了2 2 1 2 1 2 3 12 ，则现 在的表 面积变 为 44.97 2 2 平方分 米9、 有大 、 中 、 小三个立 方 体水池 ， 它们的内部 棱长 分别是 6 米 、 3 米 、 2 米 。 三个
20、池子都装了半池水 。 现将 两堆 碎石分别沉没在中 、 小水 池的水里 ， 两个水池 的水 面分别升 高了 6 厘米和 4 厘米 。 如 果将这两堆碎石都 沉 没在 大水池的水里 ， 大水 池的 水面会升 高多少厘米 ？（ 结果 精确 到小数点后两位 ）【 分析 】 这两 堆碎 石的 体 积之和 为 ： 0.06 32 0.04 22 0.7 ,如果 均投 入大 水池的 话 ， 大 水池的池 面会 升0 .7 62 0.0194 ， 即增 加1 .97厘 米。410、 有一个高 24 厘米 ， 底面半径为 10 厘米的圆柱形容器 ， 里面装了 一半 水 。 现有一根长30厘米 ， 底面半径为
21、2 厘 米的圆柱体木棒 。 将 木棒 竖直放入容器中 ， 使 棒的 底面与 容 器的底面接触 。 这时 水面 升高了多少厘米 ？【分析 】 令 水面 升高 了x 厘米 ，则 102 x 22 12 x ，解之 得x =0.5厘米 .拓 展 篇1、 如图所示 ， 将三个表 面 积分别为 54平方厘米 、 96平方厘米和150 平方厘 米的铁质正方 体熔铸成一个大正方 体 （ 不计损耗 。 求这个大 正方 体的体积 。【分析 】根据 题意 ，最小 正方体 的边 长 为3 ，次 小 的正方 体边 长 为 6，大 正 方体的 边长 为 5， 则他们的体 积为 ：27+64+125=216 立 方厘 米
22、 。2、 一个长方体 ， 如果长 增 加 2 厘米 ， 则 体积增加 40 立方厘米 ； 如果宽 增加 3 厘米 ， 则体 积增加 90厘米 ； 如果高增 加4 厘米 ， 则体积增加 96厘米 。 求这个长方体 的表 面积 。【分析 】根 据题 意 ，宽 高 =20；长 高 =30；长 宽 =24； 则长方 体的 表面 积为 ：2宽 高 +2长 高 +2长 宽 =148平方 厘米3、 如图所示 ， 有 30 个棱 长为 1 米的 正方体堆成一 个四层 的立体图形 。 请问 ： 这个立体图 形的表面积等于多少 ？【分析 】三 视图 法 ： 从上往 下看 ：其 面积为 ：442=32； 从左往 右
23、看 ：其 面积 为 ：102=20； 从前往 后看 ：其 面积 为 ：102=20。 则其 表 面积 和 为72平方 米 。4、 如图 1 所示 ， 将一个棱 长为 10 的正方体从顶点 A 切掉一个棱长为 4 的正方体 ， 得到如5图 2所示的立体图形 。 这 个立体图形的表面积 是多 少 ？ 如果再从顶点B 切掉一 个棱长为6 的正方体 ， 那么剩下的 立 体图形的表面积又 是多 少 ？【 分析 】 题 中表 面积 没有 发生变 化 ， 仍为 6 10 10 600 ；观察上 图 ， 再从 上图 切去 一个边 长为 6 的 正方 体后 ， 其少 了 2 个4 4 16 的正方 形 ， 此时
24、剩下的 立体 图形 的表 面积 为 568。5、 一个正方体被切成 24个大小形状一模一样 的小 长方体 （ 如图所示 ， 这些 小长方体的表 面积之和为 162平方厘米 。 请问 ： 原正方体的 体积 是多少 ？【分析 】每 切一 刀 ，即增 加 两个面 ，途 中共 增 加12个 面。 则18 个面 的面 积为16 2 平方 厘米 。 所以正 方体 的边 长 为 3厘 米， 则 原正 方体 的体 积 为 27立 方厘 米 。6、 图中是一个棱长 为 4 厘 米的正方体 ， 分 别在前 、 后 、 左 、 右 、 上 、 下各面 的中心位置挖 去一个棱长 1 厘米的小正 方体 ， 做成一 个玩
25、具 。 该 玩具的表面积是多少 平方 厘米 ？ 如果 把这些洞都打穿 ， 表 面积 又变成了多少 ？【分析 】各 挖去 一个 正方 体 ，挖一 个正 方体 ，其 表 面积多 了 4 个平 面 。则 该 玩具的 表面 积为644+641=120 平 方厘米 。如若挖空 ，则可先求最外面的面积为 6 4 4 6 90 ，而内部的表面积之和为3 2 2 3 2 2 3 2 2 36 ，所以 把这 些洞 打穿 后 ，整个表 面积 变 为126 平方 厘米 。7、 一个无盖木盒 从外面量 时 ， 其长 、 宽 、 高 分别为 10厘米 、 8 厘米 、 5 厘米 。 已知木板厚1 厘米 ， 那么做一个木
26、盒 ， 需要这样的木板多 少平 方厘米 ？ 这个木盒的 容积 又是多少 ？【 分 析 】 由 于 此无 盖 木 盒的 外 部 体 积为 8 10 5 400 立 方 厘 米 ， 而 木 盒 的 容积 为 192 立 方厘米 。 则根 据题 意 ， 可知 需要这 样的 木板 400 192 1 208 立方 厘米 。622这个木 盒的 容积 为 ：10 2 8 2 5 1 192 立方 厘米8、 有一根长为 20厘 米， 直径为 6 厘米 的圆钢 ， 在 它的两端各钻一 个 4 厘米 深 ， 底面直径 也为 6 厘米的圆锥形的 孔 ， 做成一个零件 （ 如 图所 示 。 这个零件的体积 为多 少
27、立方厘 米 ？（ 取 3.14）【分析 】这 个零 件的 体积 为 ： 32 20 1 2 32 4 156 489.84 立方厘 米 。39、 现有 一块长 、 宽 、 高分别为 10厘米 、 8 厘米 、 6 厘米的长方体木块 ， 把它 切成体积尽可能大且底面 在长方体 表面 上的圆柱体木块 ， 这 个圆 柱体木块的体积为多 少 ？ （ 取3 ）【分 析 】根 据 题意 ，所切成 的 圆柱 体 木块 的 体积 为 r 2 h ，则 要让 半 径尽 可 能的 大 ，最 大让r 4 ，此时h 6 ，此 时圆 柱 体 的体积 为 288立 方厘 米 。10、 张大爷去年用长 2 米 、 宽 1
28、米的 长方形芦苇围 成了一个容积最大的 圆柱 体粮囤 。 今年他改用长 3米 、 宽2 米的 长方形芦苇 来围 ， 也 同样 围成容积最大的圆柱 体粮 囤 。 请问 ： 今年粮囤的容积 是 去 年粮 囤容积的多少倍 ？ 2 1【 分析 】 长2 米 、 宽1 米 所能 围 成的 容积 最大 的圆 柱体粮 囤的 体积 为 ： 2 1 ；长 3 米、宽 2 米的长方形芦苇围成的容积最大的圆柱体粮囤，其体积应为 3 9 2 2 2 ， 则今 年的 粮囤 的体 积为 去年粮 囤体 积 的4.5倍 。11、 左边正方形的边长为4 ， 右边正方形对角线长 度 为 6。 如果按照图中所示 的方式旋转 ，那么
29、得到的两个旋转 体的 体积之比是多少 ？【 分析 】左边正 方形 旋转 所围 成的 体积为 ： 22 4 16 ； 右边正 方形 旋转 所围 成的 体积为 ：1 6 2 6 183 47所以两 者所 围成 的体 积只 比为 ： 8:9。12、 如图 ， 一个底面长30分米 ， 宽10分米 ， 高 12分米的长方体水池 ， 存 有 四分之三水池 ， 请问 ：（ 1） 将一个高 11分 米， 体积 330 立方分米的 圆柱放入水池 ， 水面的 高 度为多少分米 ？（ 2） 如果再放入一 个 同样的圆柱 ， 水面高 度又 变成了多少分米 ？（ 3） 如果再放入一 个 同样的圆柱 ， 水 面高 度又
30、变成了多少分米 ？【 分析 】（1） 若无完 全覆 盖 ，现知 原长 方体水 的体 积为 ：30 10 9 2700 立方分 米 ，而 现在 放 入的圆 柱的 底面 积为 ：330 11 30 平方分米 。将 圆柱 放入 后 ，除去现 在的 圆柱 即为有水 部分 ，则 水面 高度 为 ：2700 300 30 10 分米 。（2）若 无完全 覆盖 ，再放 入一个 同样的 圆柱 ，则除 去两个 圆 柱为 有水部 分 ，有水部 分的底 面积为 ：300 30 2 240 平方分 米 ，则水 面高 度 为： 2700 240 11.25 平方 分米 。 由 于 在此种情况下 ，已超过，则圆柱 被完全
31、覆盖 ，所以现在的新体积为2700 330 2 3360 立方分 米 。则高 应为 3360 300 11.2 分米 ；（3）再放 入一个 同样 的圆 柱 ，显 然水 面 高 度已 经超 过 12，有水 溢出 ，此 时水 面高度 应 为 12分米 。超 越 篇1、 有一个棱长为 20 的大 立方体 ， 在它的每个 角上 按如图所示的方式各 做一 个小立方体 ， 于是得到 8 个小 立方体 。 在这些立方体中 ， 上 面4 个的棱长为 12， 下 面 4 个 的棱长为13。 请问 ： 所有这 8 个小 立方体公共部分的体 积是 多少 ？【分析 】上 面四 个立 方体 的公共 部分 是一 个长 方
32、体 ，其底 面积 为一 个正 方形 ，底面 边长 为12 2 20 4 ，高为 2；下 面四 个立 方体 的公共 部分 是一 个 长 方体 ，其底 面积 也为 一个 正方形 ，底 面边 长为 6，高为 13。所 以这 8 个 立方 体的公 共部 分的 也是 一个 小长方 体 ， 其底面 为一 个正 方形 底 面 边长 为4 高 位 5所以 这个 公共部 分的 体积 为4 4 5 80 。82、 地上有一堆小立 方体 ， 从上面看时如 图1 所示 ， 从前面看时如图2 所示 ， 从左边看时如图 3所示 。 这一堆立方体 一共有几个 ？ 如果每 个小 立方体的棱长为 1 厘米 ， 那么这堆立 方体
33、所堆成的立体图 形表 面积为多少平方厘米 ？【 分析 】 顶 视图 法 ，从上 面往下 看的 每一 部分 都应 有小立 方体 ，给 他们 分别 以字母 标上 ，a cb ed f则由 图2 可 知， 第一 列最 大且必 须有 一个 位 3 个小 立方体 堆砌 而成 ；第2 列最 大只 能 有 1 个堆 砌而成 ，即 c=1,d=1，第3 列 ，最 大为2 ，且必 须 有 1 个 为 2，则e=2，或 者f =2.再结合 图3 ，可 知， b =3,a=2,e=2,f=1。所 以共 有a +b +c+d+e+f=2+3+1+1+2+1=10 个 ；另 外， 整个 表面 积 为 610=60 平
34、方厘 米 ，其中 重复的 有 ：4+27=18。所 以这堆 立方 体所堆 成 的 立体 图形 的表 面积 为 42 平方 厘米 。3（ 1） 已知一个圆锥的底 面直径为6 厘米 ， 高为 4 厘米 。 求它的体积和表面 积 （ 用 表 示 ）（ 2） 用一个半径为 25厘米 ， 圆心角为345.6 的 扇形围成一个圆锥 。 这个 圆锥的体积是 多少 ？ 如果圆心角是 216呢 ？（ 【 分 析】 用 表示 ）【 分析 】（ 1） 根据 题意 ， 圆 锥的 体 积为1 32 4 12 立方厘 米 ；3其表面 积为 底面 积与 侧面 展开面 积之 和 。底面积 为 ： 32 9 ；nl 2 nl
35、l l 5侧面展 开面 积为 ： 2 r ，即为 ：2 3 15 。360 180 2 2所以其 面积 之和 为 ：24 平方 厘米 。2345.6 25（2）根据 题意 ，现 在知 道 圆心角 ，则 所围 成的 圆锥 的半径 为 ： 180 24 ；2所以高 为7 ，则 这个 圆锥 的体积 为 ：91 242 7 1344 。3216 25如果圆 心角 为2 16，则 所围成 的圆 锥的 底面 半径 为 180 15 。21 2则此时 其高 为2 0，其体 积 为 ： 15 20 1500 立方厘 米34、 将图 1、 图 2 中的平面 图形分别折叠成一个 四棱 锥和三棱柱 ， 这两个 立体
36、 图形的体积分别是多少 ？（ 图 1 正中央 是一个面积为 18 平方厘 米的正方形 ， 每边上 分别 有一个腰长 为 5厘米的等腰三角形 ； 图 2 中的图形由三个 长方 形和两个直角三角形 组成 ）【 分析 】（1）图1 所 围成 的图 形为 底面为 正方 形的 四棱 锥 ，其底面 积为18 ，则底 面的 对角线 为 6，1所以其 高 为4 ，那 么 所围 成的四 棱锥 的体 积为 ： 18 4 24 立方厘米3（2）图2 围 成的 为底 面为 直角三 角形 的三 棱柱， 底 面的面 积为 6，其高 为 12，则其 体积 为612=72 立方 厘米 。5、 一个透明的封闭盛水 容 器 ，
37、由一个圆柱体和 一个 圆锥体组成 ， 如图圆 柱 体 的底面直径和 高都是 12 厘米 。 其中有一 些水 ， 正放时水面离 容器 顶 11 厘米 ， 倒放时 ， 水面 离顶部 5 厘米 。 请问 ： 这个容 器的 容积是 多少立方厘米 ？ ( 取3.14)【分析 】观 察可 知 ，圆锥 部分的 高度 应为 11-x，则 (11-x):(5-x)=3:1。则 x=2.所以 圆锥 部 分的高 度为 9。则 这 个容 器的体 积为 ： 62 12 1 62 9 432 108 540 1695.6 立方厘 米 。3106、 有一个长方体水池 ， 底 面为边长 60 厘 米的正方 形 。 立面插着一
38、根 长 1 米 的木桩 ， 木桩 的底面是一个边长 15 厘米的正方形 。 木桩有 一部 分浸在水中 ， 一部分 露在 水面 。 现在将木桩提起来 24 厘米 （ 仍 有部 分浸在水里 ， 那么 露 出水面的木桩浸湿部 分面 积为多少 平方厘米 ？【分析 】令 木棒 提起 后水 面下降 152 24 602 152 1.6 厘米 。 则此时 浸湿 的总 高度 为2 5.6 厘 米。所以 露 出 水 面 的 木 桩 的 面 积 为 ：15 25.6 4 1536平方 厘米 。（ 2009 年 “数学解题能力 展示 ”高年级复试第 14题 改编题 （ 2008年数学解题能力展示六 年级初赛试题 ）
39、7、 如图是一个有底无盖 的 容器的平面展开图 ， 其中 是边长为 18 厘米的正 方形 ， 是同样大的等腰直 角三 角形 ， 是同样 大 的等边三角形 。 那么 ， 这 个容器的容 积 是 多少毫升 ？【 分析 】拼成的 图形 如图 所示 ，其 容积为 整个 长方 体的 体积 减去4 个三 棱椎 的体 积 。即 为 ：1818 9 1 1 9 9 4 2430毫升 。3 2拓展 ：（ 2009 年迎春杯高年级复 赛试题第 14题 ） 右图中的 是同样的小 等边 三角形 ， 也是等边三角形且边 长为 的 2 倍 ， 是同 样的等腰直角三角形 ， 是正方形 。 那 么 ，以 为平 面 展 开 图
40、 的立 体 图 形的体 积 是 以 为 平面展 开 图 的 立 体11图形体积的 倍 。(2)(1) (4)(3)(5) (7) (8) (6)(11)(9) (10)本题中 的两 个图 都是 立体 图形的 平面 展开 图 ，将它 们还原 成立 体图 形 ，可得 到如下 两图 ：其中左 图是 以 为 平面展 开图 的立 体图 形 ，是一个 四个 面都 是正 三角 形的正 四面 体 ， 右图以 为 平面展 开图 的立 体图 形 ，是一个 不规 则图 形 ，底面 是 ，四 个侧 面是 ，两 个斜 面是 对于这 两个 立体 图形 的体 积， 可 以采 用套 模法 来求 ，也就是 对于这种 我们 不熟
41、 悉的立 体图形 ，用 一些 我 们熟 悉的 基本立 体图 形来 套， 看看 它们与 基本 立体 图形 相比 ，缺 少了 哪些 部分 由于左 图四 个面 都是 正三 角形 ，右 图底 面是正 方形 ，侧 面是 等腰 直角三 角形 ，想 到都 用 正方体 来套 对 于左 图来 说 ，相当 于由 一个 正 方体 切 去4 个角 后 得到 (如 下 左图 ，切 去 ABDA1 、CBDC1 、D1 A1 C1 D 、B1 A1 C1 B )；而 对于 右图 来说 ，相 当于由 一个 正方 体切 去2 个角后 得到 (如 下右 图 ，切去B ACB1 、DACD1 )12BAB CADB CD C11
42、B1 C1A1 D1 A1 D1假设左 图中 的立 方体 的棱 长为a ，右 图中 的立 方体 的 棱长为b ，则以 为 平面展 开图的立体 图形 的体 积为 ：a 3 1 a 2 a 1 4 1 a 3 ，2 3 3以 为 平面 展开图 的立 体图 形的 体积 为b 3 1 b2 b 1 2 2 b3 2 3 3由于右 图中 的立 方体 的棱 长即是 题中 正方 形 的边 长 而左 图中 的立 方体 的每 一个面 的 对角线 恰好 是正 三角 形 的边长 通 过将 等腰 直角 三 角形 分 成4 个相 同的 小 等腰直 角三 角 形可以 得到 右图 中的 立方 体的棱 长是 左图 中的 立方
43、 体 的棱 长 的 2 倍 ，即b 2a 那 么 以 为 平 面 展开 图 的 立 体 图形 的 体 积 与以 为 平 面展 开 图 的 立体1 2 1 2图形的 体积 的比 为 ： a 3 : b3 a 3 : 2a3 1 :16 ，也就 是说以 为 平面展3 3 3 3开图的 立体 图形 的体 积是 以 为平 面展 开图 的立体 图形 体积 的1 6 倍 8、 有一个三棱柱和一个 正 方体 ， 三棱柱的底面 是一 个等边三角形 ， 边长 恰好 等于正方体的 面对角线长度 ， 三棱 柱的 高恰好等于正方体的 体对 角线长度， 如果正方 体的 棱长为 6， 那么三棱柱的体积为 多少 ？【 分
44、析 】如图 ，所构 成的 三棱 柱的 体积 为3 倍 的三 棱锥ABC B 的体 积 。A CBA CB13由于整 个三 棱柱 的底 面的 边长为 正方 体的 面的 对角 线长度 。由 于 上 图 的 三 棱 锥 ABC B 与 正 方 体 里 的 DBC C 的 底 面 相 同。 而 上 图 的 三 棱 锥ABC B 的高为 正方 体里 的DBC C 的3 倍 。1 1由于正 方体 里的DBC C 的体 积为 ： 6 6 6 36。3 2所以三 棱锥ABC B （上 图） 的体 积为 108 立 方厘 米 。 则三棱 柱的 体积为 :3 108=324 立 方厘 米 。D CA BC DA B
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