1、第 18 讲数论综合二内容概述综合运用各种知识解决的较复杂教论问题；与二次不定方程、分式不定方程有关的数论问题典型问题兴趣篇1有 4 个不同的正整数，它们中任意 2 个数的和都是 2 的倍数，任意 3 个数的和都是 3 的倍数要使这 4 个数的和尽可能小，这 4 个数应该分别是多少？2已知算式（123n）+2007 的结果可表示为 n(n1)个连续自然数的和请问：共有多少个满足要求的自然数 n?3有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有 4 种所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？4甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小 2008.满
2、足上述条件的自然数有几组？5两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？6n 个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到 2008.请问：n 最小是多少？7一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数” ，比如 16=5232，16 就是一个“智慧数” ，请问：从 1 开始的自然数列中，第 2008 个“智慧数”是多少？8将 100! 5 分别除以 2，3，4，100，可以得到 99 个余数（余数有可能为 0） 这 99 个余数的和是多少？9小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院，小悦每隔 2 天去一次，冬冬每隔 4 天去一次，阿齐每隔 6 天去一次今天他们三人都去电影院
3、，将来会有连续三天都有人去电影院如果今天是第 1 天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？10有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是 10、9、8 的倍数这三个数中最小的一个是多少？拓展篇1有一个正整数，它加上 100 后是一个完全平方数，加上 168 后也是一个完全平方数这个正整数是多少？2已知甲、乙两个自然数的最大公约数是 6，两数之和为 1998.满足上述条件的数一共有多少组？3冬冬往一个水池里扔石子第一次扔 l 颗石子，第二次扔 2 颗石子，第三次扔 3 颗石子，第四次扔 4 颗石子他准备扔到水池的石子总数是 106 的倍数请问：冬冬最少需要扔多少次？4数学老师把一个两
4、位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数同学们，你们知道这个数可能是多少吗？5在一个正整数的所有约数中，个位数字为 0，1，2，9 的数都出现过，这样的正整数最小是多少？6求最小的正整数 n，使得 20067n 是完全平方数。7请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列8有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示这样的自然数中的最大一个是多少？9有些数既能表示成 5 个连续自然数的和，又能表示成 6 个连续自然数的和，还能表示成 7个连续自然数的和例如：105 就满足上述要求，105=19 +20 +21 +22 +23;105=15+16+17+18+19 +2
5、0；105=12+13+14+ 15+16+17+18.请问：在 1 至 1000 中一共有多少个满足上述要求的数？10一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列现在设定指针第一秒转动的角度为 a 度（a 为小于 360 的整数） ，则其第二秒转动 a + l 度，第三秒转动 a + 2 度如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么 a 一共有几种设定方法？最小可以被设成多少？11某住宅区有 12 家住户，他们的门牌号分别是 1，2，3，12.他们的电话号码依次是12 个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除已知这些电话的首位数字都小于 6，并且门
6、牌号码是 9 的这一家的电话号码能被 13 整除请问：这一家的电话号码是多少？12在等差数列 1，8，15，22，29，36，43，中，如果前 n 个数乘积的末尾 0 的个数比前 n + l 个数乘积的末尾 0 的个数少 3 个，那么 n 最小是多少？超越篇1有一些正整数，它可以表示成连续 20 个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少 2 个）的形式时，恰好有 20 种方法这样的正整数最小是多少？（写出质因数分解）2有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式，例如：33 =46 +9.请问：不能表示成这种形式的自然数最大是多少？3在给定的圆周上有 100 个点任取一点标上
7、1；按顺时针方向从标有 1 的点往后数 2 个点，标上 2；从标有 2 的点再往后数 3 个点，标上 3依此类推，直至在圆周上标出 100.对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数请问：标有 100 的那个点上标出的数最小是多少？4三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏，小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安小安告诉小强和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着 2008） 小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强
8、所选的数请问：小花所选的数是什么？5 已 知 三 个 互 不 相 等 的 正 整 数 成 等 差 数 列 ， 且 三 个 数 的 乘 积 是 完 全 平 方 数 ， 那 么 这 三 个 数 的 和最 小 是 多 少 ？6是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字全都相同（至少是两位数）?如果存在，请写出一个；如果不存在，请说明理由，7 有 一 根 均 匀 木 棍 ， 先 用 红 色 刻 度 线 将 它 分 成 m 等 份 ， 再 用 蓝 色 刻 度 线 将 它 分 成 n 等 份 ， m n 然 后 按 所 有 刻 度 线 将 该 木 棍 锯 成 小 段 ， 一 共 可 以 得 到 170 根
9、 长 短 不 一 的 小 棍 ， 其 中 最 长 的 小棍 恰 有 100 根 求 m 和 n8是否存在这样的自然数：在这个数后面重写一遍这个数，新组成的数是一个完全平方数？如果存在，请举例；如果不存在，请说明理由第 18 讲 数论 综 合二兴趣篇1、 有 4 个 不同 的正 整数 ， 它们中 任意 2 个数 的和 都 是 2 的倍 数 ， 任意 3 个 数 的和都 是3 的 倍数 。 要使 这4 个数 的和 尽可 能 小 ， 这 4 个数 应该 分别是 多少 ？【 分析 】 对 于 2， 3 同余 ， 对 于 6 同 余。 答案 ： 1， 7 ， 13， 192、 已知 算式 (1 2 3
10、n ) 2007的 结果可表 示为n ( n 1) 个 连续自 然数的 和 。 请问 ： 共 有多少 个满 足要 求的 自然 数n ？答案 ： 5 个【 分析 】 3， 9 ， 223， 669， 20073、 有些 自然数 能够 写成一 个质 数 与一个 合数之 和的 形式 ， 并且在 不计加 数顺 序的情 况下 ， 这样的 表示 方法 至少 有 4 种 。 所 有满 足上 述条 件的 自然数 中最 小的 一个 是多 少 ？答案 ： 11【 分析 】 2+9=3+8=5+6=7+44、 甲 、 乙 两个 自然 数的 乘 积比 甲 数的 平方 小2 008。 满足上 述条 件的 自然 数有 几
11、组 ？ 答案 ： 4 组【分析 】甲 （甲 -乙 ）=2008=2 2 2 251=2008 1=1004 2=502 4=251 85、 两 个不 同两 位数 的乘 积 为完全 平方 数 ， 它们 的和 最大可 能是 多少 ？ 答案 ： 170【 分析 】 170=98+726、 n 个自 然 数 ， 它们 的和 乘 以它们 的平 均数 后得 到2 008。 请 问：n 最小 是多 少 ？ 答案 ： 502【 分析 】 2008=23251 是 平均数 的倍 数 。平均数 尽量 大 ， 和是 平均 数的倍 数 ， 和 为10 04， 平 均数 为2 。7、 一 个 正 整 数 若 能 表 示
12、 为 两个 正 整 数 的 平 方 差 ， 则 称这 个 数 为 “智 慧 数 ”， 比 如 16 52 32 ，16 就 是 一 个 “智 慧数 ”。 请 问： 从 1 开始 的自 然数 数 列中 ， 第200 8 个 “智慧 数 ”是 多少 ？ 答案 ： 2680【 分 析 】 所 有 的 奇 数 均 可 ， a2-b2 =(a-b)(a+b)所有4 的倍 数均 可 ，所有除 以4 余2 的均 不行 。20083=66916694=26762676+4=26808、 将 100! 5分别 除 以 2,3,4， 100， 可 以得 到9 9 个 余数 （ 余数有 可能 为 0。 这样 99
13、个余）数的和 是多 少 ？答案 ： 4565【 分析 】 余 数分 别 为1 ， 1 ， 3， 0， 1， 2 95和为4 5659、 小 悦、 冬冬 和阿 奇三 人 经常 去 电影 院 ， 小悦 每 隔 2 天去 一次 ， 冬 冬每 隔 4 天去一 次 ， 阿 奇每隔 6 天去 一次 。 今 天 他们三 人都 去电 影院 ， 将 来会有 连续 三天 都有 人去 电影院 。 如 果今天 是 第1 天 ， 那 么最 早出现 的具 有上 述性 质的 连续三 天是 哪三 天 ？答案 ： 第5 0 天 、 第 51 天 和第5 2 天【 分析 】 6， 7 ， 8先看3 和5 ， 第6 ， 7 连 续
14、， 第1 1， 10 天 连续10、 有三个连续的自然 数 ， 它们的平方从小到大依 次是10 、 9、 8 的倍数 。 这三个数中最小 的一个是多少 ？ 10 2【分析 】三 数分 别 是10 ，3，4 的倍 数 ，最大 数 3 1 52 4 0所以最 小的 数 是50拓展篇1、 有 一个 正整 数 ， 它加 上100 后是 一个 完全 平方 数 ， 加 上16 8 后 也是 一个 完全平 方数 。 这 个正整 数是 多少 ？答案 ： 156【 分析 】 168-100=68=234 两 平方 数为1 82 与16 2 。162 -100=1562、 已 知甲 、 乙 两个 自然 数 的最大
15、 公约 数是 6， 两数 之和为 1998。 满 足上 述条 件的数 一共 有 多少组 ？答案 ： 108 组【 分析 】 1998=333333=3337， 把333 拆 成两 数 之和 ， 不 含3 或3 7 的因子 就行 。333-111-6=216 2162=1083、 冬 冬往 一个水 池里 仍石 头 。 第 一次 仍 1 颗石 头 ， 第二次 仍 2 颗石 头 ， 第三 次仍3 颗石 头 ， 第四次 仍 4 颗石 头 他 准备扔 到水 池的 石子 总数 是106 的倍 数 。 请问 ： 冬 冬最少 需要 仍多少 次 ？答案 ： 52 次【 分析 】 n（ n 1 =106k n（
16、n 1） =212k =4 53 k2n， n +1 一 奇一 偶 ， n+1=53 n=524、 数学 老师 把 一个 两位数 的约数 个数告 诉了小 悦 ， 聪明的 小悦 仔 细思考 了一 下后算 出了这 个数 。 同学 们 ， 你们 知道 这个数 可能 是多 少吗 ？答案 ： 64 或36a【 分析 】 根 据约 数个 数公 式 ， 个 数 为2 ， 3， 4， 5， 6， 8， 10， 12 选择 不只 一 个 ，个数 为7 ， 9 的 只有1 个 ， 分别 是2 6=64， 22 3 2=365、 在 一个 正整 数的 所有 约 数中 ， 个位 数字 为0 ， 1,2,， 9 的数
17、都出 现过 ， 这 样的正 整数 最 小是多 少 ？答案 ： 270【 分析 】 10， 1， 2 ， 3， 4， 5， 6 ， 27， 18， 9 分别 都是此 数约 数 。6、 求 最小的正整数n ， 使得 2006 7n 是完全平方数 。【分析 】最 接近2 006 并大 于 2006 的 平方 数是202 5，不行 下一 个202 5+91=2116，不 行下一 个2 116+93=2209，n=297、 请 写出 由不 同的 两位 数 组成 的 最长 的等 比数 列 。 答案 ： 16， 24， 36， 54， 815【 分析 】 令公 比为 b ， 其中 b 3 ， 若 有6 项
18、， 则 末项 为 a b ， 是b 5 的倍 数 ， 超 过 100，a所以至 多 5 项 。1 8、 有一 些自然 数 ， 它们不 能用 三 个不相 等的合 数之 和来表 示 。 这 样的自 然数 中的最 大一个是多少 ？ 答案 ： 17【 分析 】 4 6 9 19 4 6 8 18 18 以 上任 何数 都 可以9、 有 些数 既能 表示 成 5 个 连续自 然数 的和 ， 又 能表 示成6 个连 续自 然数 的和 ， 还能 表示 成7 个连 续自 然数 的和 。 例 如： 105 就 满足 上述 要求 ， 105 19 20 21 22 23； 105 15 16 17 18 19 2
19、0；1 05 12 13 14 15 16 17 18。 请 问： 在 1 至 1000 中 一 共有多 少个 满足 上述 要求 的数 ？答案 ： 5 个【 分析 】 此 数 是5 的 倍数 ， 7 的 倍数 ， 除 以6 余3 ，最小1 05， 最大 945， 共5 个10、 一个 特殊 的圆形 钟表 只有一 根指 针 ， 指针 每秒 转动的 角 度 为连 续自 然数 数列 。 现 在设 定 指针第 一秒 转动 的角 度为 a 度 （ a 为小于 360 的 整数 ， 则其第 二秒 转动 a 1度 ， 第三 秒 转 动 a 2 度 如果 指针 在第 一 圈内 恰好 能指 回出 发 位 置 ，
20、 那 么 a 一 共有 几种 设定 方法 ？ 最小 可以 被设 成多 少 ？答案 ： 5 种 ； 15 度【 分析 】 连 续自 然数 和 为360 设 有 n 个（ a+a +n -1） n 2=360（ 2a -1+n ） n=720 一 奇一偶720=16325 ， 奇数 有6 种取法 ， 除 去 取1 的 情况 ， 共 5 种 。n=16 时 ， a 最 小， a =15。11、 某住 宅区 有 12 家 住户 ， 他 们的 门牌 号分 别是 1,2,3， ， 12。 他们 的电 话号 码依次 是 12 个连续 的六 位自 然数 ， 并 且每家 的电 话号 码都 能被 这家的 门牌 号
21、码 整除 。 已 知这些 电话 的首位 数字 都小 于 6， 并 且门 牌 号码 是 9 的 这一 家 的电话 号码 能被 13 整 除。 请问 ： 这 一家的 电话 号码 是多 少 ？答案 ： 388089【 分析 】 2， 3， 4， ， 12=27720门牌9 的这 家 为 27720k+9当k =1 时 ， 是13 的倍数 ， 27729再考虑 是6 位数27729+2772013=38808912、 在等 差数 列 1,8,15,22,29,36,43， 中 ， 如 果前 n 个 数乘积 的末 尾 0 的个 数比 前 n 1个数 乘积的 末 尾0 的 个数 少3 个 ， 那 么n 最
22、小是 多少 ？答案 ： 108【 分析 】 第n +1 个 数是12 5 的倍 数 ， 125k 是除 以7 余1 ， k 最 小为61256=750 （ 750-1 ） 7+1=108超越篇1、 有 一些 正整 数 ， 它可 以 表示成 连 续20 个正 整数 的 和 ， 而 且 当把 它表示 成连 续正整 数之 和（ 至少2 个 ） 的 形式 时 ， 恰好有 20 种 方法 。 这 样的 正整数 最小 是多 少 ？ （写 出质因 数 分解 ）答案 ：2 36 52 36450【 分析 】 是10 的奇 数倍 ， 最小的 话 ， 考 虑2 3a 5b 的数（ 2 首 项- 1+ 项 数） 项
23、 数 2=23a 5b（ 2 首 -1+项 ） 项 =22 3 a5 b（ a+1 （ b +1） =20+1=21=37a=6， b=2 时 最小2、 有 些自 然数 可以 表示 成 两个合 数相 乘再 加上 一个 合数的 形式 ， 例如 ： 33 4 6 9。 请 问： 不能表 示成 这种 形式 的自 然数最 大是 多少 ？答案 ： 35【 分析 】 44+4=20 20 以上 的偶 数都 可以44+9=25 25 以上 除 以8 余1 的奇 数都 可以44+15=31 31 以上 除 以8 余7 的奇 数都 可以44+21=37 37 以上 除 以8 余5 的奇 数都 可以44+27=4
24、3 43 以上 除 以8 余3 的奇 数都 可以 最 大 为353、 在 给定 的圆 周上 有 100 个点 。 任取 一点 标 上 1； 按顺时 针方 向从 标 有 1 的 点往后 数 2 个点 ， 标 上 2； 从 标有 2 的 点再往 后 数 3 个 点， 标上 3依此 类推 ， 直 至在 圆 周上标 出100。 对于 圆周 上的 这些 点 ， 有的 点可 能标 上多 个数 ， 有的 点可 能没 有被 标数 。 请问 ： 标有100 的那 个 点 上标 出的 数最小 是多 少？答案 ： 75【 分析 】 标100 的点 是5 050， 所 以是 第5 0 个 点，n (n 1) 100k
25、 502n (n 1) 200k 100 100(2k 1) 100 的奇数 倍 。 考虑n 为2 5 的 倍数 周围 的 数 ，n=75， n+1=76 满足4、 三个 聪明的 初中 生聚在 一起 玩 一个推 理的游 戏 。 小强与 小花各 选了一 个自 然数并 分别将 它告诉小 安 。 小安告 诉小 强和小花 ， 他 将分别 把这 两个数的 和与 乘积写 在不 同的纸上 。 小安写好 后 ， 将其中 一张 纸藏起来 ， 把 另一张 纸亮 出来给小 强和 小花看 （ 这 张纸上写 着2008。 小 安请 小强 和小 花 互猜对 方所 选的 数 ， 小强 首先宣 称他 无法 确定 小花 所选的
26、 数 ， 小花听 完小 强的 话后 ， 也 说她无 法确 定小 强所 选的 数 。 请 问： 小花 所选 的数 是多少 ？答案 ： 1004【 分析 】 2008=22 2251小花 与200 8 的 差与 商都 是 2008 的 约数 。5、 已知 三个互 不相 等的正 整数 成 等差数 列 ， 且 三个 数的乘 积是完 全平方 数 ， 那么这 三个数 的和最 小是 多少 ？答案 ： 36【 分析 】 假 设三 数 为k ， 2k， 3 k， 乘积 是6 k3， 只 要 令k =6 即 满足此时三 数分 别 是6 ， 12， 186、 是否存在一个完全平方 数 ， 它的每一位上 的数字 完全
27、都相 同 （ 至少 是两位 数 ） ？ 如果存 在 ， 请写出一个 ； 如 果不 存在 ， 请说明理由 。【分析 】平 方数 个位0 ，1，4 ，5，6，90 排除 ，奇 数平 方十 位数 是偶 数 ，1，5 ，9 排 除6666 显然 不 是4 的倍 数 排 除， 44 44 4 1111 ，而 1111显然不 是完 全平 方数 。n个 6 n 个 4 n个 1 n 个 17、 有一 根均匀 木棍 ， 先用 红色刻 度线将 它分成m 等份 ， 再用 蓝色刻 度线将 它分 成n 等份 ，m n 。 然后 按所 有刻 度线 将 该 木棍锯 成小 段， 一共 可以 得到 170 根长 短不 一的
28、小 棍 ，其中最 长的 小 棍 恰 有100 根 。 求m 和n 。 答案 ： 135； 40【 分析 】 不 用8、 是否 存在 这样 的自 然数 ： 在这 个数 后面 重写 一遍 这 个数 ， 新组 成的 数是 一个 完 全平方 数 ？ 如果存 在 ， 请举 例 ； 如果 不存在 ， 请 说明 理由 。答案 ： 存在 ， 例 如8 2644628100【 分析 】 可 令A =a1001， 其中 a是 个多 位数 只要使100 1 是 某个 平 方数的 倍数 ， 就 可达 到目 的100111=909091， 9 是5 个 的话 ， 此 数还 是11的倍 数909090909111=826446281， 可 令 a=826446281
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