第23讲 不会输的游戏

1、1第 23 讲 不会输的游戏【专题简析】小朋友都很喜欢做游戏，数学中也有很多游戏。通过数学游戏，不仅能培养我们把实际问题数学化的能力，而且还能培养我们学习数学的兴趣。在这些游戏中，想要使拿到最后一个者获胜，首先要决定谁先拿，如果把物品总数除以每次取物品个数的和，没有余数，就让对方先拿，自己拿的个数必须和对方拿的个数合起来是两人每次的和。【例题 1】桌上有 21 根火柴，小邱和小红轮流取，每人每次取 1 根或 2 根，谁取到最后一根谁就获胜。小红该怎样取才能保证获胜？思路导航：因为每人每次只能拿 1 根或 2 根，所以只要小邱先拿，小红就一定能拿到第三根，即小邱拿 1 根，小红就拿 2 根，小邱

2、拿 2 根，小红就拿 1 根，如此拿下去小红就能把 3、6、9、12、15、18、21 这些“制高点”掌握在手，从而获胜。因此只要把火柴总数除以二人每次取火柴的和，如果没有余数，就让双方先拿。解：小红让小邱先拿，并且每次自己拿的个数和小邱拿的根数合起来是 3，则小红保证能获胜。练习 11.小明和小刚一起做游戏，他们把 18 粒棋子放在桌上，然后轮流拿，每人每次只能拿 1 粒或者 2 粒，谁拿到最后一粒谁就获胜，你能让小明保证获胜吗？2.桌上放着一堆火柴，共 56 根。由甲乙两人轮流拿，每人每次拿 1 至 3 根，拿到最后一根的人获胜，问该怎样拿才能保证获胜？23.桌上有 20 颗彩珠，小丽和小

3、兰轮流拿，每人每次只能拿 1 颗或 2 颗，谁拿到最后五颗，谁就获胜，小兰该怎样拿才能保证获胜呢？【例题 2】甲、乙两名同学从 1 到 30 轮流连续报数，谁先报到 30 这个数，谁就获胜，规定：每人每次最多报三个数，最少一个数。如甲报 1，乙可报 2 或 2，3 或报 2，3，4；接着甲可报乙报的数后面的 1 个数或 2 个数或 3 个数。问：有没有必胜的报数策略？思路导航：要想必胜，就要抢到 30。要抢到 30，只要捡到 26，这时如果对方报 27，你就报 28，29，30；如果对方报 27，28，你就报 29，30；对方报 27，28，29，你就报 30。同理，要抢到 26，只要抢到 2

4、2。要抢到22，只要抢到 18。同理只要抢以 14，10，6，2 即可。也就是从 30 继续减去 4（30472，余数是几，就必须先抢到几） 。策略是自己先报，且先报到 2，这样就能确保抢到 6。解：你先报到 2，对方报 3，你就报 4，5，6；对方报 3，4，你就报 5，6；对方报3，4，5，你就报 6；同理可以确保抢到 10，14，18，22，26，30。练习 21.小东和小华做游戏，他们把 19 粒棋子放在桌上，然后轮流拿，每人每次能拿 1 粒或者 2粒，谁拿到最后一粒，谁就获胜。这次小东该怎样拿才能保证获胜呢？2.桌上有 22 根火柴，小明和小红轮流取，每人每次只能取 1 根或 2 根

5、，谁取到最后一根谁获胜。这次小红该怎样取才能保证获胜？33.报 80，两人轮流报，从 1 开始，每人每次报 15 个连续数，如果一人报 1，另一个人可报2 或 2，3 或 2，3，4，或 2，3，4，5，或 2，3，4， 5，6；如果一人报 1、2、3、另一人可报 4 或 4， 5 或 4，5，6 或 4，5，6，7 或 4，5，6，7，8，谁先报到 80 谁就获胜。问怎样报才能取胜？【例题 3】有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，多取不限，但不有不取。谁取到了最后一枚棋子为胜，如果甲后取，他一定能取胜吗？思路导航：由于两堆棋子的枚数相等，例如都有 5 枚，如图：如果乙先在

6、左边取 2 枚，甲在右边取 2 枚，这时两边都还有 3 枚：乙先在哪一边取几枚，甲就在另一边取几枚，甲一定取走最后一枚棋子。甲后取，一定能获胜，不论乙先在其中哪一堆里取多少枚棋子，甲总可以在另一堆里取相同枚数的棋子，因此甲一定能获胜，如果两堆棋子数不相等，只要甲先取出较多一堆里比另一堆多的枚数，使得两堆棋子枚数相等，就可以转化为例题中的情形。解：见思路导航练习 31.左边有 10 枚棋子，右边有 12 棋子，两人轮流去取，取到最后一枚的得胜，先取好还是后取好？怎样取才能获胜？42.有三行棋子如下图，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走 1 枚或 2 枚，谁最后取完为胜，问：要想获胜是先取

7、还是后取？【例题 4】小东和小华玩 25 根小棒轮流取的游戏，每人每次可取 1 根或 2 根，谁取到最后一根谁就获胜。小东先取了 2 根，小华怎样取才能获胜？思路导航：25 根小棒小东先取走了 2 根，还有 25223（根） ，23372，小华也跟着取 2 根，然后不管小东取几根，只要小华每次取的和小东每次取的根数合起来是 3，小华就一定能获胜。解：见思路导航练习 41.小华和小东做游戏，桌上有 45 粒棋子，每人每次可取 1 粒或 2 粒，谁取到最后一粒谁获胜，小华先拿走了 1 粒，问小东怎样取才能获胜？2.小军和小明在做游戏，他们在桌上放 50 根火柴棒，规定每人每次可取 1 根至 3 根

8、，谁拿到最后一根，谁获胜，小军先拿了 3 根，问小明怎样取才能获胜？3.两堆糖，两人轮流拿，一次只能在其中一堆拿，拿几根不限，最后一个把糖拿走的人算输，怎样拿会输？510875421369【例题 5】12 枚棋子摆成一圈，小华和小东轮流从中取走一枚或两枚，如果取走 2 枚，这两枚必须相邻。谁取走最后一枚谁就获胜，小华应采取什么样的策略才能获胜？思路导航：小华可以这样做：（1）让小东先取走一枚或两枚之后，圆圈的某一位置将出现单独的空当。于是小华从圆圈中与这个空当相对的一侧取走一枚或两枚，使得余下的棋子被两个空当分成数目相等的两部分。（2）从这以后，小东从哪一部分中取走一枚或两枚，小华就从另一部分

9、中取走相同数量的棋子，这样小华就能取走最后一枚而获胜。解：如右图：（数字是图中棋子的编号）小东在一侧取一枚或几枚棋子，小华就在空当相对的另一侧取走相同数量的棋子，小华获胜。练习 51.桌子上摆成一圈放着 10 枚棋子，甲、乙两人轮流从中取，每次取一枚或取相邻的两枚，如果 2 枚棋子之间已有棋子被取走，它们不算相邻的，谁取到最后一枚就算胜利，你看是先取有利还是后取有利？有没有必胜的方法？2.桌上摆成一圈放着 8 根小棒，每次只能取一根或相邻的两根（如果两根小棒之间有小棒被取走，就不算相邻） ，小芳先取，乐乐后取，谁能取到最后一根就算胜利，乐乐要想取胜应怎样取？3.有 11 根火柴，A、B 两个比

10、赛，规定每个人每次可以拿 13 根火柴，但不能连续再次拿去相同数目的火柴，谁拿到最后一根火柴，谁就得胜，如果 A 先开始拿，是否有必胜的方法？6练习题答案练习 11.让小刚先拿，小明 每次拿的个数与小刚拿的个数合起来是 3，小刚保证能获胜。2.56414 没有余数，若甲先拿，刚乙只要每次拿的火柴数和甲的合起来是 4，乙就会拿到最后一根而获胜。3.小兰必须先拿两颗，然后按小丽 1 颗，小兰 2 颗；或小丽 2 颗，小兰 1 颗的方法继续拿下去，小兰才能保证获胜。练习 21.19361，余数是 1，小东就先拿 1 粒，然后不管小华拿几粒，他都能保证拿到第4，第 7最后获胜。2.22371，除下来有

11、余数，小红应先把这个 1 根拿下，然后不管小明几根，只要小红每次拿的火柴根数和小明拿的火柴根数合起来是 3，小红就能获胜。 3.806132，除下来有余数，先报者应先报两个数，然后不管后报者报几个数，只要先报者每次报数的个数和后者合起来是 6，先报者就会报到 80，从而获胜。练习 31.要想取胜，要先取右边的 2 枚，然后对方取几枚，你就在另一堆也取几枚。 2.应先取。甲先在第二行取一枚棋子，如甲乙在第一行（或第二行）取 1 枚棋子，甲只需在第三行取 2 枚棋子，则剩下第三行一枚棋子和第二行（或第一行）一枚棋子，甲必胜；甲先在第二行取一枚棋子，如果乙在第三行取一枚棋子，则甲只需在第三行取剩下的

12、棋子，这时在第一行和第二行分别剩下一枚棋子，甲必胜；甲先在第二行取一枚棋子，如果乙在第三行取 2 枚棋子，则甲只需在任一行取一枚棋子，这时在剩余的两行分别剩下一枚，甲必胜。练习 41.45144（粒） ，443142，小东拿 2 粒，然后不管小华拿几粒，只要小东每次取的和小华合起来是 3，小东就一定取胜。 2.50347（根） ，474113，小军先拿 3 根，小明也跟着拿 3 根，然后小军不管拿几根，只要小明每次拿的和小军合起来是 4，小明就一定获胜。3.（1）如果两堆糖同样多，甲先拿几块，乙在另一堆也拿和甲同样多的块数，这样拿下去，后拿的人一定得输。（2）如果两堆糖不一样多，可以先从多的一

13、堆里取出比少的一堆多的块数，然后后拿的人拿几块，先拿的人也拿几块，这样下去，先拿的一定得输。7练习 51.后取者有利，有必胜的办法，无论先取者取走 1 枚或 2 枚棋子，后者总是在“缺口” 对面取走 1 枚或 2 枚棋子，使余下的棋子变成数目相同的两段以后，无论先取者取走哪些棋子，后取者总在另一段相应的位置上取走同样多的棋子，这样可以必胜。 2.乐乐后取，要想取胜，可以这样想：不论小芳先取 1 根还是 2 根，乐乐总在“缺口” 的对面取走 1 根或 2 根，使余下的小棒变成数目相同的两段以后，不论小芳取走哪些小棒，乐乐只要在另一段同样位置上取走同样多的小棒，这样可以必胜。 3.A 先拿，第一次拿 3 根，以后每次按规则拿后，使余下的根数为 8 或 4 或 0 根，即可取胜。