1、2019 年山西省晋城市高考数学二模试卷（文科） （B 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 A0，1， 2，3 ，B1，2，4 ，C AB，则 C 的子集共有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D6 个2 （5 分）若 z（m 2+m6 ）+（m 2）i 为纯虚数，则实数 m 的值为（ ）A2 B2 C3 D33 （5 分）设正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，S 23， S415，则公比 q（ ）A2 B3 C4 D54 （5 分） 九章算术是我国
2、古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cong） ，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？ 意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺，高 1 丈 1 尺问它的体积是多少？”注：1 丈10 尺，取3） （ ）A704 立方尺 B2112 立方尺 C2115 立方尺 D2118 立方尺5 （5 分）已知向量 ， 满足 2 + （1，2m） ， （1，m） ，且 在 方向上的投影是，则实数 m（ ）A B C2 D26 （5 分）若 a，b 是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A若 a，b，ab，则 B若 a，b，ab，
3、则 C若 a ，b，ab，则 D若 a，b ，ab，则 7 （5 分）已知函函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，则曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为（ ）A3x+y40 B3x+y+40 C3xy20 D3x y408 （5 分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）第 2 页（共 25 页）A240 B264 C274 D2829 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+） （其中 A0，0）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到 yg（x）的图象，则下列说法正确的是（ &nbs
4、p;）A函数 g（x）为奇函数B函数 g（x）的单调递增区间为 +k， +k（kZ ）C函数 g（x）为偶函数D函数 g（x）的图象的对称轴为直线 xk + （k Z）10 （5 分）某学校对 100 间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B ，C ，D 四个等级，其中分数在60，70）为 D 等级；分数在70，80）为 C 等级；分数在80，90）为 B 等级；分数在 90，100为 A 等级，考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这 100 间学毕公寓评估得分的平均数是（ ）第 3 页（共 25 页）A80.25 B80.45 C80.5 D80.6511
5、（5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+5）f（x3） ，如果当x0，4）时，f（x ）log 2（ x+2） ，则 f（766）（ ）A3 B3 C2 D212 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）已知函数 ，则 f（f （ ） ） 14 （5 分）已知实数
6、x，y 满足 ，则目标函数 zx+2y 的最大值为 15 （5 分）数列a n满足 a13 且对于任意的 nN*都有 an+1a nn+2，则 a39 16 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）经过点 M（l ，2） ，直线 l 与抛物线交于相异两点A，B ，若MAB 的内切圆圆心为（ 1，t） ，则直线 l 的斜率为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考
7、题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 2sin2（B+C）3cosA 0（1）求角 A 的大小；，求边长 c18 （12 分）某省确定从 2021 年开始，高考采用“3 十 l+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目， “1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从，生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目某高中从高一年级2000 名学生（其中女生 900 人）中，采用分层抽样的方法抽取 n 名学进行讲行调查第 4 页（共 25 页）（1）已知抽取的 n 名学生中含男生 110 人，求 n 的值及抽
8、取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的以名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） 下表是根据调查结果得到的 22 列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；性别 选择物理 选择历史 总计男生 50女生 30总计（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取 6 人，再从这6 名学生中抽取 2 人，对“物理 的选课意向作深入了解，求 2 人中至少有 1 名女生的概率，附：K 2
9、 ，其中 na+b+c+d19 （12 分）在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，BADBCD90，ADC60且ADCD，BB 1平面 ABCD，BB 12AB2（1）证明：ACB 1D（2）求四棱锥 C1B 1BD 的体积20 （12 分）已知椭圆 C1： 1（ab0）的离心率为 ，椭圆 C2：第 5 页（共 25 页）1（ab0）经过点 （1）求椭圆 l 的标准方程；（2）设点 M 是椭圆 C1 上的任意一点，射线 MO 与椭圆 C2 交于点 N，过点 M 的直线 l与椭圆 C1 有且只有一个公共点，直线 l 与椭圆 C2 交于 A，B 两个相异点，证明：NAB 面积为定值21 （12
10、 分）已知函数 f（x ） （a R） ，g（x）e xf（x）（1）若 A x|g（x ）9，xa，+） ，求实数 a 的取值范围；（2）设 f（x）的极大值为 M，极小值为 N，求 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生从第 223 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）设曲线 l1，的极坐标方程为 ，曲线 l
11、2 的极坐标方程为，求三条曲线 C，l 1，l 2 所围成图形的面积选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +a|+|2x5|（a0） （1）当 a2 时，解不等式 f（x ）5；（2）当 xa， 2a2时，不等式 f（x ）|x+4|恒成立，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年山西省晋城市高考数学二模试卷（文科） （B 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 A0，1， 2，3 ，B1，2，4 ，C AB，则 C 的子集共有（
12、;）A2 个 B3 个 C4 个 D6 个【分析】根据交集的定义求出 C 的集合，结合子集定义进行求解即可【解答】解：AB1 ，2，即 C 的子集共有，1，2，1 ，2共有 4 个，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，以及子集个数的判断求出集合的等价条件是解决本题的关键2 （5 分）若 z（m 2+m6 ）+（m 2）i 为纯虚数，则实数 m 的值为（ ）A2 B2 C3 D3【分析】根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，求出 m 的值即可【解答】解：z（m 2+m 6）+（m 2）i 为纯虚数， ，解得 m 3，故选：D【点评】本题考查复数为纯虚数的充要条件，牢记复数的基
13、本概念是解题的关键，属于基础题3 （5 分）设正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，S 23， S415，则公比 q（ ）A2 B3 C4 D5【分析】数列a n为正项等比数列，故 q0，根据 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n 成公比为 qn的等比数列，可得【解答】解：因为数列a n为正项等比数列，故 q0，且 S2，S 4S 2，成等比数列且公比为 q2，第 7 页（共 25 页）所以 q2 4，所以 q2故选：A【点评】本题考查了等比数列的性质，属于基础题4 （5 分） 九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cong） ，周四丈八尺，高一丈一尺
14、问积几何？ 意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺，高 1 丈 1 尺问它的体积是多少？”注：1 丈10 尺，取3） （ ）A704 立方尺 B2112 立方尺 C2115 立方尺 D2118 立方尺【分析】根据底面周长计算底面半径，代入体积公式计算即可【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为 r 尺，高为 h11 尺，则 2r48 尺，r8，城堡的体积 Vr 2h3 64112112 立方尺故选：B【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题5 （5 分）已知向量 ， 满足 2 + （1，2m） ， （1，m） ，且 在 方向上的投影是，则实数 m（
15、;）A B C2 D2【分析】利用向量的和与差求出向量 ，然后利用 在 方向上的投影是 ，列出方程求解 m 即可【解答】解：向量 ， 满足 2 + （1，2m） ， （1，m） ，可得 （0， ） 在 方向上的投影是 ，可得： ，解得 m2故选：D【点评】本题考查平面向量的数量积的应用，是基本知识的考查6 （5 分）若 a，b 是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）第 8 页（共 25 页）A若 a，b，ab，则 B若 a，b，ab，则 C若 a ，b，ab，则 D若 a，b ，ab，则 【分析】根据两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面以及
16、垂直于同一条直线的两个平面平行可得【解答】解：ab，a， b ，又 b，故选：C【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，属基础题7 （5 分）已知函函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，则曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为（ ）A3x+y40 B3x+y+40 C3xy20 D3x y40【分析】求出 x0 时的函数的解析式，计算 f（1） ，f（ 1）的值，求出切线方程即可【解答】解：函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，f（x） f（x ） ，当 x0 时， ，不妨设 x0，则x 0，故 f（x）f（x ） ，故 x0 时，f（
17、x） ，故 f（x ） ，故 f（1）1，f（1）3，故切线方程是：y13（x1） ，整理得：3x+y 40，曲线 yf（x）在点（1，f（ 1） ）处的切线方程为：3x +y40，故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的切线方程的求法，是一道中档题8 （5 分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）第 9 页（共 25 页）A240 B264 C274 D282【分析】判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可【解答】解：几何体是以俯视图为底面的五棱柱，底面看作是边长为 6 的正方形与一个所在组成，如图：则该几何体的表面积为：（10+6+6+3+
18、5）6+266+34264故选：B【点评】本题考查空间几何体的表面积的求法三视图的应用，是基本知识的考查9 （5 分）函数 f（x ）A sin（x+） （其中 A0，0）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到 yg（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数 g（x）为奇函数B函数 g（x）的单调递增区间为 +k， +k（kZ ）第 10 页（共 25 页）C函数 g（x）为偶函数D函数 g（x）的图象的对称轴为直线 xk + （k Z）【分析】先确定函数 f（x ）Asin（x+）的解析式，再根据函数 f（x）Asin（ x+）图象的平移，得到 g（
19、x） ，然后逐项分析即可【解答】解：依题意，A3， ，所以 T，所以 2，又33sin（2 +） ，所以 2k ， （k Z） ，所以 f（x）3sin（2x ） 将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度，得 g（x）3sin（2x+ ） 奇偶性，显然 g（x）不是奇函数也不是偶函数，A，C 错单调性，由 2x+ 2k ，2k+ ，得 g（x）的单调递增区间为 +k，+k（kZ）B 对对称性，由 2x+ 得，x ， （k Z）故 D 错故选：B【点评】本题考查了正弦型函数的解析式的求法、对称性、奇偶性、单调性，考查分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题10 （5 分）某学校对 100
20、间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B ，C ，D 四个等级，其中分数在60，70）为 D 等级；分数在70，80）为 C 等级；分数在80，90）为 B 等级；分数在 90，100为 A 等级，考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这 100 间学毕公寓评估得分的平均数是（ ）A80.25 B80.45 C80.5 D80.65【分析】取每个区间的中点作为该区间的变量，频率作为权重，加权平均即可【解答】解：设分数为变量 X，则 （650.015+750.040+850.020+950.025）第 11 页（共 25 页）1080.5故选：C【点评】本题考查了
21、利用频率分布直方图估计平均数，属于基础题11 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+5）f（x3） ，如果当x0，4）时，f（x ）log 2（ x+2） ，则 f（766）（ ）A3 B3 C2 D2【分析】根据 f（x +5）f（x3）即可得出 f（x+8）f（x） ，即 f（x）的周期为 8，再根据 x0，4）时， f（x）log 2（x+2）及 f（x）为 R 上的偶函数即可求出 f（766）f（2）2【解答】解：f（x +5）f（x3） ；f（x+8）f（x ） ；f（x）的周期为 8；又 x0，4）时， f（x）log 2（x+2
22、） ，且 f（x）是 R 上的偶函数；f（766）f（2+968）f（2）f （2）log 24 2故选：D【点评】考查偶函数的定义，周期函数的定义，以及已知函数求值的方法12 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】不妨设直线 l 的斜率为 ，直线 l 的方程为 y （xc） ，联立直线方程与双曲线方程，化为关于 y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解【解答】解：如图，不妨设直线 l 的斜率为 ， 直线 l 的方程为
23、y （ xc） ，第 12 页（共 25 页）联立 ，得（b 2a 2）c 2y22ab 3cy+a2b40 由题意，方程得（b 2a 2）c 2y22ab 3cy+a2b40 的两根异号，则 ab，此时 0， 0则 ，即 a2ba 24b 24（c 2a 2） ，4c 25a 2，即 e 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）已知函数 ，则 f（f （ ） ） 2 【分析】推导出 f（ ）sin 2 cos 2 cos ，从而 f（f（ ） ）f（ ） ，由此能求
24、出结果【解答】解：函数 ，f（ ）sin 2 cos 2 cos ，第 13 页（共 25 页）f（f（ ） ）f（ ）4 12故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，解题时 要认真审题，注意函数性质的合理运用14 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 zx+2y 的最大值为 6 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【解答】解：作出实数 x，y 满足 ，对应的平面区域；由 zx +2y，得 y x+ ，平移直线 y x+ ，由图象可知当直线 y x+ 经过点 B 时，直线 y x+ 的截距最大，此时 z 最大由
25、，得 B（2，2） ，此时 z 的最小值为 z2+2 26，故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15 （5 分）数列a n满足 a13 且对于任意的 nN*都有 an+1a nn+2，则 a39 820 第 14 页（共 25 页）【分析】利用数列的递推关系式，通过累加法以及数列求和求解即可【解答】解：数列a n满足 a13 且对于任意的 nN*都有 an+1a nn+2，可得：a 2a 11+2，a3a 22+2，a4a 33+2，a39a 3838+2，累加可得：a 39a 1（1+2+3+38）+382 ，可得 a39820故答案为：8
26、20【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力16 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）经过点 M（l ，2） ，直线 l 与抛物线交于相异两点A，B ，若MAB 的内切圆圆心为（ 1，t） ，则直线 l 的斜率为 1 【分析】代入 M 的坐标，解方程可得抛物线方程，设出 A，B 的坐标，以及直线 l 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，由题意可得 kMA+kMB0，由直线的斜率公式，化简整理，结合恒成立思想，解方程可得直线的斜率【解答】解：抛物线 y22px（p0）经过点 M（l ，2） ，可得 2p4，即抛物线为 y24x，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，
27、y 2） ，直线 l 的方程设为 ykx+m，联立抛物线方程可得 k2x2+（2km4）x+m 20，可得 x1+x2 ，x 1x2 ，直线 l 与抛物线交于相异两点 A，B，若MAB 的内切圆圆心为（1，t） ，即 x1 为AMB 的对称轴，可得 kMA+kMB0，即有 + 0，即为（x 21） （kx 1+m2）+（x 11） （kx 2+m2）0，化为 2kx1x2+42m+（m2k） （x 1+x2）0，第 15 页（共 25 页）即为 2k +42m+（m2k） （ ）0，化为（k+1）m+（k 2k2）0，由 k+10，且 k2k 20，可得 k1故答案为：1【点评】本题考查抛物线
28、的方程和运用，考查韦达定理和直线的斜率公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 2sin2（B+C）3cosA 0（1）求角 A 的大小；，求边长 c【分析】 （1）由三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得（2cosA 1） （cos A+2）0，结合范围 cosA（0，1 ） ，可求
29、 cosA ，结合范围A（ 0，） ，可求 A 的值（2）利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，在ABC 中，由正弦定理可解得 c 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）因为 A+B+C， 2sin2（B+C）3cosA0，所以：2sin 2A3cosA0，2（1cos 2A）3cosA0，2 分所以：2cos 2A+3cosA20，即（2cos A1） （cosA+2）0，4 分因为：cosA （0，1） ，所以：cosA ，5 分因为：A（0，） ，所以：A 6 分（2）因为 sinCsin （A +B）第 16 页（共 25 页）sinAcosB +cosAsinB +
30、 ，9 分又在ABC 中，由正弦定理 ，可得： ，解得：c12 分【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）某省确定从 2021 年开始，高考采用“3 十 l+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目， “1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从，生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目某高中从高一年级2000 名学生（其中女生 900 人）中，采用分层抽样的方法抽取 n 名学进行讲行调查（1）已知抽取的 n 名学生
31、中含男生 110 人，求 n 的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的以名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） 下表是根据调查结果得到的 22 列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；性别 选择物理 选择历史 总计男生 50女生 30总计（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取 6 人，再从这6 名学生中抽取 2 人，对“物理 的选课意向作深入了解，求 2 人
32、中至少有 1 名女生的概率，附：K 2 ，其中 na+b+c+d【分析】 （1）由题意列方程求出 n 的值，再计算女生人数；（2）根据题意填写列联表，计算 K2 的观测值，对照临界值得出结论；（3）根据分层抽样法，利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值第 17 页（共 25 页）【解答】解：（1）因为 ，解得 n200，所以女生人数为 20011090；（2）根据题意填写列联表如下，性别 选择物理 选择历史 总计男生 60 50 110女生 30 60 90总计 90 110 200由表中数据计算 K2 的观测值 k 8.9997.879，所以有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关；
33、（3）从抽取的 90 个选择“物理”的学生中按分层抽样抽取 6 人，则这 6 人中有 4 名男生，记为 a、b、c、d，两名女生记为 E、F，从这 6 人中抽取 2 人，所有的基本事件为ab、ac、ad、aE、aF、bc 、bd 、bE、bF、cd、cE、cF 、dE、dF、EF 共 15 种，选取的 2 人中至少有 1 名女生的基本事件为 aE、aF、bE、bF、cE、cF 、dE、dF、EF共 9 种，故所求的概率为 P 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题19 （12 分）在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，BADBCD90，AD
34、C60且ADCD，BB 1平面 ABCD，BB 12AB2（1）证明：ACB 1D（2）求四棱锥 C1B 1BD 的体积第 18 页（共 25 页）【分析】 （1）根据三角形相似证明 ACBD，结合 ACBB 1 可得 AC平面 BB1D，故而 ACB 1D；（2）先计算 OD，OC 的值，再根据 V V 计算体积【解答】 （1）证明：设 AC， BD 交于点 O，ADCD，DACDCA ，又BADBCD，BACBCA ，AB AC ，ABDCBD，ADBCDB，AOD COD，AODCOD90，ACBD，又 BB1平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACBB 1，又 BDBB 1B，AC平面
35、 BDB1，又 B1D平面 BDB1，ACB 1D（2）解：由（1）可知ADB ADC30，ABO60，OB AB ，BD2AB2，OD ，OCOA CC 1BB 1，CC 1平面 BB1D，BB 1平面 BB1D，C 1 到平面 BB1D 的距离等于 C 到平面 BB1D 的距离，V V 第 19 页（共 25 页）【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 C1： 1（ab0）的离心率为 ，椭圆 C2：1（ab0）经过点 （1）求椭圆 l 的标准方程；（2）设点 M 是椭圆 C1 上的任意一点，射线 MO 与椭圆 C2 交于点 N，过点
36、 M 的直线 l与椭圆 C1 有且只有一个公共点，直线 l 与椭圆 C2 交于 A，B 两个相异点，证明：NAB 面积为定值【分析】 （1）由 C1 的离心率为 ，得 a23b 2，将点（ ）代入，得 ，联立求得 a21， ，则椭圆 l 的标准方程可求；（2）当直线 l 的斜率不存在时，点 M 为（1，0）或（1，0） ，由对称性不妨取M（1，0） ，由（1）知椭圆 C2 的方程，得到 N（ ，0） ，将 x1 代入椭圆 C2 的方程，得 y ，再由三角形面积公式求NAB 面积；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 ykx+ m，联立直线方程与椭圆方程利用弦长公式求得|AB|，设 M（x 0，
37、y 0） ，N（x 3，y 3） ， ，由 M，N 分别在两椭圆上列式求得，可得 ，从而|NM| ，点 O 到直线 l 的距离 d第 20 页（共 25 页），可得点 N 到直线 l 的距离为 代入三角形面积公式可得NAB 面积为定值 【解答】 （1）解：C 1 的离心率为 ， ，即 a23b 2，将点（ ）代入 ，得 ，联立以上两式可得，a 21， 椭圆 l 的标准方程为 ；（2）证明：当直线 l 的斜率不存在时，点 M 为（1，0）或（1，0） ，由对称性不妨取 M（1，0） ，由（1）知椭圆 C2 的方程为 ，则 N（ ，0 ） ，将 x1 代入椭圆 C2 的方程，得 y ；当直线 l
38、的斜率存在时，设其方程为 ykx+m 联立 ，得（1+3k 2）x 2+6kmx+3m210由题意，得（6km） 24（1+3k 2） （3m 21）0，整理得 3m21+3k 2联立 ，得（1+3k 2）x 2+6kmx+3m230设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， |AB| 第 21 页（共 25 页）设 M（x 0，y 0） ，N（x 3，y 3） ， ，可得 x3x 0，y 3y 0， ， ，解得 或 （舍） ，从而|NM| 又点 O 到直线 l 的距离 d ，点 N 到直线 l 的距离为 综上，NAB 面积为定值 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆
39、位置关系的应用，考查计算能力，属难题21 （12 分）已知函数 f（x ） （a R） ，g（x）e xf（x）（1）若 A x|g（x ）9，xa，+） ，求实数 a 的取值范围；（2）设 f（x）的极大值为 M，极小值为 N，求 的取值范围【分析】 （1）根据集合关系等价为函数 g（x）x 2+（a+2）x+a 的最小值小于等于 9，结合二次函数的性质进行求解即可（2）求函数的导数，求出函数的极大值和极小值的表达式，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和最值进行求解即可【解答】解：（1）Ax| g（x）9，x a，+） ，函数 g（x）x 2+（a+2 ）x+a 的最小值小于等于 9，
40、当 a 时，函数 g（x）的对称轴 x a，第 22 页（共 25 页）g（x） ming（a）2a 2+3a9，3a ，a ， a 当 a 时，函数 g（x）的对称轴 x a，g（x） min 9，a ，综上实数 a 的取值范围是（， （2）f（x） ，设 h（x）x 2ax +2，判别式 a 2+80，h（x）有两个不同的零点，不妨设 x1，x 2，且 x1x 2，则 x1+x2a， x1x22，当 xx 1 时，h（x ）0，函数 f（x）为增函数，当 x1xx 2 时， h（x）0，函数 f（x ）为减函数，当 xx 2 时，h（x ）0，函数 f（x）为增函数，当 xx 1 时，函数
41、 f（x）取得极小值，当 xx 2 时，函数 f（x）取得极大值， ，又 ax 1+2， ax 2+2，代入得 ， （） ，将 x1+x2a 代入（）得， ，设 tx 1x 2 ， ，设 Q（t） ，t ，Q（x） 0，则函数 Q（x ）在（， 上单调递减，第 23 页（共 25 页）则（3+2 ）e Q（ t）0，综上 的取值范围是（3+2 ）e ，0） 【点评】本题主要考查导数综合应用，求出函数的导数，研究函数的极值以及利用一元二次函数的性质是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度（二）选考题：共 10 分请考生从第 223 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分
42、，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）设曲线 l1，的极坐标方程为 ，曲线 l2 的极坐标方程为，求三条曲线 C，l 1，l 2 所围成图形的面积【分析】 （1）由条件得圆 C 的直角坐标方程为：（ x ） 2+（y1） 21，得x2+y22 2y0，将 xcos ，y sin 代入，得 22 cos2sin0，即2 cos+2sin，则 4sin（ + ） ，所以圆
43、C 的极坐标方程为 4sin（+ ） ；（2）利用极径的几何意义得三角形的边长，再用面积公式可得【解答】解（1）由条件得圆 C 的直角坐标方程为：（x ） 2+（y1） 24，得 x2+y22 2y 0，将 xcos ，y sin 代入，得2 2 cos2sin 0，即 2 cos+2sin，则 4sin（ + ） ，所以圆 C 的极坐标方程为 4sin （+ ） （2）由条件知曲线 l1 和 l2 是过原点 O 的两条射线设 l1 和 l2 分别与圆 C 交于异于点O 的点 A 和点 B，第 24 页（共 25 页）将 代入圆 C 的极坐标方程，得 A（4， ） ，所以 OA4；将 代入圆
44、C 的极坐标方程，得 B（2 ， ） ，所以 OB2 ，由（1）得圆 C 的圆心为 C（ ，1） ，其极坐标为 C（2， ） ，故射线 l2 经过圆心C，所以COA ，ACB2COA ，所以 SCOA OCOAsinCOA OAOCsin ，扇形 CAB 的面积为 22 ，故三条曲线 C，l 1，l 2 所围成图形的面积为 + 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +a|+|2x5|（a0） （1）当 a2 时，解不等式 f（x ）5；（2）当 xa， 2a2时，不等式 f（x ）|x+4|恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】
45、（1）a2 时，利用分段讨论思想求出不等式 f（x）5 的解集；（2）由题意知不等式化为|x +a|+|2x5| x+4|，讨论 x 的取值范围，转化不等式，从而求出 a 的取值范围第 25 页（共 25 页）【解答】解：（1）a2 时，函数 f（x ）|x+2|+|2x5| ；所以不等式 f（x ）5 可化为 ，或 ，或 ；解得 x2 或 x ，所以不等式 f（x ）5 的解集为 x|x2 或 x ；（2）不等式 f（x ）|x +4|化为| x+a|+|2x5|x+4| ，因为 xa，2a 2时，2a2a，所以 a2；又 xa，2a 2时，x+a0，x+40，得 x+a+|2x5|x+4，不等式恒成立，即|2 x5| 4a 在 xa，2a2时恒成立；则不等式恒成立时必须 a4，且 a42x，即 2x54a，解得 a+12x9a；所以 ，解得 1a ；结合 2a4，所以 2a ，即实数 a 的取值范围是（2， 【点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题
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