1、2018 年山西省太原五中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A1，2，BxZ|x 22x30 ，则 AB（ ）A1，2 B （1，3） C1 D1 ，22 （5 分）若复数 z1，z 2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称，且 z12i，则复数 （ ）A1 B1 C + i D i3 （5 分） “直线 l1：（5a） xy2 与直线 l2：3x +（a3）y83a 平行”是“a6”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分
2、也不必要条件4 （5 分）若 x ，ylog 52，z ，则（ ）Axyz Bz xy Czyx Dy zx5 （5 分）若 sin2，则（sin+cos ） 2（ ）A B C D6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 i 的值为 6，则判断框中的条件可以是（ ）第 2 页（共 25 页）AS11？ BS ？ CS1？ DS ？7 （5 分）由计算机产生 2n 个 01 之间的均匀随机数 x1，x 2，x n，y 1，y 2，y n 构成 n 个数对（x 1，y 1） ， （x 2， y2） ， （x n，y n） ，其中两数能与 1 构成钝角三角
3、形三边的数对共有 m 对，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（ ）A B C D8 （5 分）在ABC 中，a2，C ，tan ，则ABC 的面积等于（ ）A B C D9 （5 分）已知某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，若该几何体的体积为 ，则该几何体的最长棱长（ ）第 3 页（共 25 页）A B C D10 （5 分）某人根据自己爱好，希望从W ，X，Y，Z 中选 2 个不同字母，从0，2，6，8中选 3 个不同数字拟编车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字 2 不能排在首位，字母 Z 和数字 2 不能相邻，那么满足
4、要求的车牌号有（ ）A198 个 B180 个 C216 个 D234 个11 （5 分）已知直线 l：x 2y20 与椭圆 C： （ab0）有且只有一个公共点，则双曲线 （ab0）的离心率的取值范围是（ ）A （1，2） B C D （2，+）12 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足，f （2ax）2bf（x） ，h（x+a）（x 0） ，设 yh（x ）与 yf（x ）图象的交点坐标为（x 1，y 1） ，（x 2，y 2） ， （x 2m，y 2m） ，若 （x i+yi）4m，则 a2+b2 的最小值为（ ）A2 B4 C6 D8二、填
5、空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）若向区域 （x，y）|0 x1，0y1内投点，则该点落在由直线 yx 与曲线 围成区域内的概率为 14 （5 分）已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 E 是底面 ABCD 上的动点，则的最大值为 15 （5 分）已知球的直径 DC4，A、B 是该球面上的两点， ，则三棱第 4 页（共 25 页）锥 ABCD 的体积最大值是 16 （5 分）设函数 f（x ）e x（2x3） x2+ax，若函数 f（x）在（，1）内有两个极值点，则实数
6、 a 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知数列a n前 n 项和 Sn2a n2 n+1（1）求数列a n的通项公式：（2）若不等式 2n2n3（5）a n 对nN *恒成立，求 的取值范围18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABC 是正三角形，AC 与 BD 的交点为 M，又 PAAB4 ，ADCD，CDA120，点 N 是 CD 中点求证：（1）平面 PMN平面 PAB；（2）求二面角 BPCD 的余弦值19 （12 分）某高校在 2017 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学
7、生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：组号 分组 频数 频率第一组 145，155） 5 0.05第二组 155，165） 35 0.35第三组 165，175） 30 a第四组 175，185） b c第五组 185，195） 10 0.1（1）请写出频率分布表中 a，b，c 的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考生的平均成绩；（2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽第 5 页（共 25 页）样的方法抽取 12 名考生进入第二轮面试求第 3、4、 5 组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；从上述进入二轮面试的学生中任
8、意抽取 2 名学生，记 X 表示来自第四组的学生人数，求 X 的分布列和数学期望；若该高校有三位面试官各自独立地从这 12 名考生中随机抽取 2 名考生进行面试，设其中甲考生被抽到的次数为 Y，求 Y 的数学期望20 （12 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y28x，O 为坐标原点，点 M 为抛物线上任意一点，过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线准线于点 P，直线 PO 交抛物线于点 N（1）求证：直线 MN 过定点 G，并求出此定点坐标；（2）若 M，G，N 三点满足 ，求直线 MN 的方程21 （12 分）已知函数 f（x ）ln （1+mx） ，mR（1）当 m1 时，证明：f（x）
9、x；（2）若 在区间（0，1上不是单调函数，讨论 f（x）g（x）的实根的个数请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，A （2，0） ，B（0，2） ，M 是曲线 C 上任意一点，求ABM 面积的最小值选修 4-5：
10、不等式选讲 23已知函数 f（x ）|x +2|（1）解不等式 f（x ）4|x+1|；（2）已知 a+b2（a0，b0） ，求证： 第 6 页（共 25 页）2018 年山西省太原五中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A1，2，BxZ|x 22x30 ，则 AB（ ）A1，2 B （1，3） C1 D1 ，2【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 A1， 2，B xZ|x22 x30xZ |1x30，1，2 ，AB1，2故选：D
11、【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （5 分）若复数 z1，z 2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称，且 z12i，则复数 （ ）A1 B1 C + i D i【分析】由已知求得 z2，代入 ，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z 12i，且 z1，z 2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称，z 22i，则 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分） “直线 l1：（5a） xy2 与直线 l2：3x +（a3）y83a 平行”是“a
12、6”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件第 7 页（共 25 页）C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】通过直线平行求出 a 的值，然后利用充要条件的判断方法判断即可【解答】解：若直线 l1：（5 a）x y2 与直线 l2：3x+（a3）y83a 平行，则有 ，所以 a6所以“直线 l1：（5a）x y2 与直线 l2：3x +（a3）y83a 平行”是“a6”的充要条件故选：C【点评】本题考查充要条件的判断与应用，直线平行的充要条件的应用，基本知识的考查4 （5 分）若 x ，ylog 52，z ，则（ ）Axyz Bz xy Czyx Dy zx【分析】
13、利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：x 5 0.35 01，0log 51y log52log 5 ，z 1，yz x故选：D【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用5 （5 分）若 sin2，则（sin+cos ） 2（ ）A B C D【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求 sin2 的值，进而化简所求即可计算得解【解答】解：由题意可知： sin2，即 2（cos +sin） sin2，第 8 页（共 25 页）即 4+4sin23sin 22，所以 sin2 或 sin22 （舍） ，所
14、以（sin+cos ） 21+sin2 故选：C【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 i 的值为 6，则判断框中的条件可以是（ ）AS11？ BS ？ CS1？ DS ？【分析】模拟程序的运行，当 i6，S 时，满足题意输出 i6，退出循环，从而可得判断框中的条件【解答】解：程序的运行过程如下：初始值：S20，i1；第 9 页（共 25 页）第一次循环 S20，i2；第二次循环 S10，i3；第三次循环 S ，i4；第四次循环 S ，i5；第五次循环 S ，
15、i6；此时满足题意输出 i6，退出循环，所以判断框中的条件可以是“S ？” ，故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7 （5 分）由计算机产生 2n 个 01 之间的均匀随机数 x1，x 2，x n，y 1，y 2，y n 构成 n 个数对（x 1，y 1） ， （x 2， y2） ， （x n，y n） ，其中两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对共有 m 对，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（ ）A B C D【分析】由题意知 x，y 满足 ，两个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对满足 且 ，计算面
16、积比即可【解答】解：由题意，n 对 01 之间的均匀随机数 x，y，满足 ，相应平面区域面积为 1，两个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对（x，y） ，满足 且 ，如图所示；其面积为 ，所以 ，解得 第 10 页（共 25 页）故选：A【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题8 （5 分）在ABC 中，a2，C ，tan ，则ABC 的面积等于（ ）A B C D【分析】先求出 tanB，利用同角三角函数求出 sinB，利用正弦定理求出 b，最后利用三角形的面积公式计算出ABC 的面积【解答】解：由二倍角公式可得 ，由 ，可得 ，所以，sinAsin（B+C ）sin
17、BcosC+cosBsinC ，由正弦定理可得 ，得 ，因此，ABC 的面积为 ，故选：D【点评】本题考察正弦定理与三角形的面积，关键在于选择合适的定理求三角形的边和角，属于中等题9 （5 分）已知某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，若该几何体的体积为 ，则该几何体的最长棱长（ ）第 11 页（共 25 页）A B C D【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱锥，判断棱长，通过体积计算，转化求解即可【解答】解：由三视图可知，该几何体是四棱锥 PABCD 顶点 P在底面的射影 O 是底面矩形的长边 CD 的中点，连接 AO，BO ，由侧视图知 ，又PCD
18、为等边三角形，所以 DOCO2，PC4，于是由 ，得 BC2，OB 2 所以最长棱长 故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状10 （5 分）某人根据自己爱好，希望从W ，X，Y，Z 中选 2 个不同字母，从0，2，6，8中选 3 个不同数字拟编车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字 2 不能排在首位，字母 Z 和数字 2 不能相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）A198 个 B180 个 C216 个 D234 个第 12 页（共 25 页）【分析】因为 2，Z 都是特殊元素，故需要对此进行分类，第一类，不选 2 时，第二
19、类选 2，不选 Z 时，第三类，先 2 不选 Z 时，根据分类计数原理可得【解答】解：不选 2 时，有 72 种，选 2，不选 Z 时，先排 2，有 种，然后选择和排列剩下两个数字，有 种，最后选择和排列字母，有 种，所以有 72 种，选 2，选 Z 时，2 在数字的中间，有 36 种，当 2 在数字的第三位时，18 种，根据分类计数原理，共有 72+72+36+18198故选：A【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题11 （5 分）已知直线 l：x 2y20 与椭圆 C： （ab0）有且只有一个公共点，则双曲线 （ab0）的离心率的取值范围是（ ）A （1，2）
20、B C D （2，+）【分析】利用直线与椭圆的位置关系求出 a，b 的关系，然后求解双曲线的离心率的范围【解答】解：因为直线与椭圆有且只有一个公共点，联立 ，得（4b 2+a2）y 2+8b2y+（4a 2）b 20，由64b 24（4b 2+a2） （4a 2）0，解得 a2+4b24，设 ，则由 ab0 可知： 且 0tan2，所以，所以双曲线 （ab0）的离心率的取值范围为 ，故选：C【点评】本题考查双曲线与椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力第 13 页（共 25 页）12 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足，f （2ax）2bf（x） ，h（x+a）（x 0）
21、 ，设 yh（x ）与 yf（x ）图象的交点坐标为（x 1，y 1） ，（x 2，y 2） ， （x 2m，y 2m） ，若 （x i+yi）4m，则 a2+b2 的最小值为（ ）A2 B4 C6 D8【分析】由已知可得 f（x ）和 h（x）的图象均关于（a，b）对称，故每一组对称点有横坐标和为 2a，纵坐标和为 2b，进而可得 a+b2，结合二次函数的图象和性质，可得答案【解答】解：f（2ax ）2bf（x） ，可知 f（x）的图象关于（ a，b）对称，又h（x+a） b+ 设 g（x） ，则 g（x）g（x ） ，即 g（x）为奇函数，yh（x）的图象关于（a，b）对称，对
22、于每一组对称点有横坐标和为 2a，纵坐标和为 2b， （x i+yi）2am+2b4m，a+b2，故 a2+b2a 2+（2a） 22a 24a+4 2（a1） 2+22当且仅当 ab1 时，a 2+b2 取最小值 2故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的对称性，二次函数的图象和性质，难度中档二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）若向区域 （x，y）|0 x1，0y1内投点，则该点落在由直线 yx 与曲线 围成区域内的概率为 【分析】根据定积分的定义求出平面区域的面积，从而求出满足条件的概率即可【解答】解：由直线 yx 与曲线 围成区域的面积
23、为第 14 页（共 25 页），从而所求概率为 故答案为： 【点评】本题主要考查定积分及几何概型的综合应用，是基础题14 （5 分）已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 E 是底面 ABCD 上的动点，则的最大值为 1 【分析】利用建系，求出相关的坐标，转化求解斜率的数量积即可【解答】解：以点 D 为原点， ， ， 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 D1（0，0，1） ，B 1（1，1 ，1） ，A 1（1，0，1） ，设 E（x ，y，0） ，其中 x，y 0，1，则 x+y 11，等号成立条件是 E（1，1，0） ，故最大值为 1故答案为：1【点评】本题考查平面
24、向量的数量积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题15 （5 分）已知球的直径 DC4，A、B 是该球面上的两点， ，则三棱锥 ABCD 的体积最大值是 2 【分析】由题意画出图形，可知要使 VABCD 的体积最大，则面 ADC面 BDC，求出第 15 页（共 25 页）A 到平面 BCD 的距离，则三棱锥 ABCD 的体积最大值可求【解答】解：如图，球的直径 DC4，且 ，ACBC2， ， （其中 h 为点 A 到底面 BCD的距离） ，故当 h 最大时，V ABCD 的体积最大，即当面 ADC面 BDC 时，h 最大且满足，即 h ，此时 VABCD 故答案为：2【点评】本题考查球
25、内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题16 （5 分）设函数 f（x ）e x（2x3） x2+ax，若函数 f（x）在（，1）内有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 0a1 【分析】对函数 f（x ）求导数，要使 f（x）在（，1）内有两个极值点，只需f（x）0 有两个解，转换为两函数 g（x）与 h（x）的图象有两个交点，根据 g（x）的单调性与最值，结合 h（x）的图象与性质，从而求出 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）e x（2x3） x2+ax，f（x）e x（2x1）ax+a，若要使 f（x）在（ ，1）内有两个极值点，只需 f（ x）0 在（，1）内
26、有两个解，可转换为函数 g（x）e x（2x1）与 h（x ）a（x1）的图象在（，1）内有两个交点，第 16 页（共 25 页）由 g（x）e x（2x +1）知，当 x（， ）时，g（x）0，函数 g（x）e x（2x1）在（， ）上为减函数，当 x（ ， 1）时，g（x）0，函数 g（x）e x（2x1）在（ ，1）上为增函数，当直线 h（x）a（x 1）与曲线 g（x ）e x（2x1）相切时，设切点坐标为（x 0，y 0） ，由导数的几何意义可以得到 ，解得 x00 或 x0 （不合题意，舍去） ，可知 ae 0（20+1）1，a 的取值范围是 0a1【点评】本题考查了利用函数的导数
27、判断函数极值点的应用问题，也考查了转化思想与分析问题、解决问题的能力，是难题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知数列a n前 n 项和 Sn2a n2 n+1（1）求数列a n的通项公式：（2）若不等式 2n2n3（5）a n 对nN *恒成立，求 的取值范围【分析】 （1）先证明数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列；要证明数列 是等差数列，先根据 sns n1 a n，用作差法得到 an，a n1 的关系，再用定义证明，即可得到通项公式；（2）若不等式 2n2n3（5）a n 对nN *恒成立，求 的取值范围，用分离参数法，5 对nN *恒成立，
28、根据数列的函数特征，即可求出 的取值范围【解答】解：（1）S n2a n2 n+1，n1 时，S 1a 12a 14，解得 a14，当 n2 时，第 17 页（共 25 页）S n1 2a n1 2 n，S nS n1 2a n2 n+12a n1 +2na n，a n2a n1 +2n， +1 1， 2数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， 2+1（n1）n+1，a n（n+1）2 n；当 n1 时，成立数列a n的通项公式 an（n+1）2 n；（2）不等式 2n2n3（5）a n 对nN *恒成立，2n 2n3（n+1） （2n3）（5 ） （n+1）2 n 对nN *恒成立，5
29、 对nN *恒成立，设 bn ，则 b1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 ，当 n4 时，b nb n1 0，当 n3 时，数列b n为递减数列，当 n3 时，数列b n有最大值，最大值为 ，5 ， 【点评】本题考查了通项公式与前 n 项和公式的关系，等差数列的定义的应用恒成立问题主要利用分离参数法转化为求最值问题解决18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABC 是正三角形，AC 与 BD 的第 18 页（共 25 页）交点为 M，又 PAAB4，ADCD，CDA120，点 N 是 CD 中点求证：（1）平面 PMN平面 PAB；（2）求二面角 BPCD 的余弦值【分析
30、】 （1）由已知证明ABDBCD，可得 M 为 AC 的中点，又点 N 是 CD 中点，得 MNAD，求解三角形证明 AD平面 PAB，可得 MN平面 PAB，再由面面垂直的判定可得平面 PMN平面 PAB；（2）以 A 为原点，AB 、AD、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系然后分别求出平面 PBC 与平面 PCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 BPCD 的余弦值【解答】 （1）证明：ABC 为正三角形，ABBC ，又 ADCD，BDBD，ABDBCD，M 为 AC 的中点，又点 N 是 CD 中点， MN AD，PA平面 ABCD，PAAD，
31、又CDA120，ADCD ，DAC30，又BAC60，ADAB，又 PAAD ，且 PAABA ，AD平面 PAB，而 MNAD，可得 MN平面 PAB，又 MN平面 PMN，平面 PMN平面 PAB；（2）解：如图所示，以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系已知 PAAB4，CDA120，ABC 是正三角形，则 A（0，0，0） ，B（4，0，0） ， ， ，P（0，0，4） ，第 19 页（共 25 页） ， ， ，设平面 PBC 的一个法向量为 ，由 ，令 ，则 ， ；设平面 PDC 的一个法向量为 ，由 ，令 ，则 ， 二面角 BPC
32、D 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题19 （12 分）某高校在 2017 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：组号 分组 频数 频率第 20 页（共 25 页）第一组 145，155） 5 0.05第二组 155，165） 35 0.35第三组 165，175） 30 a第四组 175，185） b c第五组 185，195） 10 0.1（1）请写出频率分布表中 a，b，c 的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考生的平均成绩；（2）
33、为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 12 名考生进入第二轮面试求第 3、4、 5 组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；从上述进入二轮面试的学生中任意抽取 2 名学生，记 X 表示来自第四组的学生人数，求 X 的分布列和数学期望；若该高校有三位面试官各自独立地从这 12 名考生中随机抽取 2 名考生进行面试，设其中甲考生被抽到的次数为 Y，求 Y 的数学期望【分析】 （1）由题意知，利用频率分布直方图的性质计算平均值的方法就得出（2） 第 3、 4、5 组共 60 名学生，现抽取 12 名，因此第三组抽取的人数为人，同理可得第四组抽取的人
34、数，第五组抽取的人数X 所有可能的取值为 0，1，2，利用超几何分布列与数学期望从 12 名考生中随机抽取 2 人，考生甲被抽到参加面试的概率为 ，利用二项分布列即可得出【解答】解：（1）由题意知，（2） 第 3、 4、5 组共 60 名学生，现抽取 12 名，因此第三组抽取的人数为人，第四组抽取的人数为 人，第五组抽取的人数为人X 所有可能的取值为 0，1，2，第 21 页（共 25 页）， ， ；X 的分布列为：X 0 1 2PEX +1 +2 从 12 名考生中随机抽取 2 人，考生甲被抽到参加面试的概率为 ，则 YB ，EY 3 【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列与二
35、项分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20 （12 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y28x，O 为坐标原点，点 M 为抛物线上任意一点，过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线准线于点 P，直线 PO 交抛物线于点 N（1）求证：直线 MN 过定点 G，并求出此定点坐标；（2）若 M，G，N 三点满足 ，求直线 MN 的方程【分析】 （1）设 P 点坐标，求得直线 OP 的方程，代入抛物线方程，求得 N 点坐标，求得直线 MN 的方程 ，则直线 MN 恒过定点 G（2，0） ；（2）折直线 MN 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，代入即可求得 k 的值，求得
36、直线 MN 的方程【解答】解：（1）证明：由题意得抛物线准线方程为 x2，设 P（2，m） ，故，从而直线 OP 的方程为 ，联立直线与抛物线方程得 ，解得 ，故直线 MN 的方程为 ，整理得 ，第 22 页（共 25 页）故直线 MN 恒过定点 G（2， 0） ；（2）由（1）可设直线 MN 的方程为 xky+2，联立直线与抛物线方程得 ，消元整理得 y28ky160，设 M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ，则由韦达定理可得 y1+y28k，y 1y216，因为 ，故（2x 1，y 1）4（x 22，y 2） ，得 ，联立两式 ，解得 或 ，代入 y1+y28k，解得 或 ，故
37、直线 MN 的方程为 或 ，直线 MN 的方程：4x3y 80 或 4x+3y80【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）ln （1+mx） ，mR（1）当 m1 时，证明：f（x）x；（2）若 在区间（0，1上不是单调函数，讨论 f（x）g（x）的实根的个数【分析】 （1）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用函数的最值证明即可（2）因为函数 g（x）的对称轴轴方程为 xm ，得到 0m 1据题意，令，推出 ，求出极值点，利用函数的定义域判断函数的单调性，利用函数的极值与单调性求解函数的
38、零点个数【解答】解：（1）证明：根据题意，令 F（x）ln（1+x）x，所以，当 x（0，+）时，F（x）0，当 x（1，0）时，F（x）0所以 F（x） maxF（0）0，故 f（x）x （2）因为函数 g（x）的对称轴轴方程为 xm ，所以 0m 1第 23 页（共 25 页）据题意，令 ，所以 ，令 G'（x）0 ，解得 x10 或 ，函数 G（x）的定义域为 因为 且 ，由此得： 时，1+mx0，mx 0， ，此时，G'（x）0；同理得： 时，G （x）0，x0 时 G（x）0，G（x）在 上单调递递增，在 上单调递减，在（0，+）上单调递增，故 时，G（x）G （0）
39、0，x0 时，G（x）G（0）0，G（x）在 有且只有 1 个零点 x0，G（x）在 上单调递减，所以 ，由（1）代换可知 lnxx 1， ， ， ，则 ， ， 时， ，而得又函数 G（x）在 上单调递增， ，由函数零点定理得， ，使得 G（x 0）0，第 24 页（共 25 页）故 m（0，1）时方程 f（x ）g（x）有两个实根【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数以及函数的单调性的应用，函数的零点个数的判断，考查转化思想以及计算能力请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进
40、行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，A （2，0） ，B（0，2） ，M 是曲线 C 上任意一点，求ABM 面积的最小值【分析】 （1）曲线 C 的参数方程消去参数得到曲线 C 的直角坐标方程，由此能求出曲线 C 的极坐标方程（2）设点 M（3+2cos，4+2sin）到直线 AB：x+y+20 的距离 d ，求出 d 有最小值 ，由此能滶出ABM 面积的最
41、小值【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，曲线 C 的直角坐标方程为（ x3） 2+（y 4） 24，将 ，代入得曲线 C 的极坐标方程为：2 6cos8sin +210（2）设点 M（3+2cos，4+2sin）到直线 AB：x+y+20 的距离为 d，则 d ，当 sin（ ）1 时， d 有最小值 ，所以ABM 面积的最小值 S 92 【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参 数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与第 25 页（共 25 页）方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲 23已知
42、函数 f（x ）|x +2|（1）解不等式 f（x ）4|x+1|；（2）已知 a+b2（a0，b0） ，求证： 【分析】 （1）利用分段讨论法解绝对值不等式即可；（2）求出 的最小值 m，要证： 只需证|x |f （x ）m 即可【解答】解：（1）不等式 f（ x）4|x+1|，即| x+1|+|x+2|4，当 x2 时，不等式化为（x+1）（x +2）4，解得 x3.5；当2x1 时，不等式化为（x+1）+（x+2）4，无解；当 x1 时，不等式化为（x+1）+（x+2）4，解得 x0.5；综上所述：不等式的解集为（，3.5）（0.5，+） （2）证明： ，当且仅当 ，等号成立由题意知， ，所以 【点评】本题考查了不等式解法，不等式的证明，属于中档题
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