1、2017 年四川省乐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 Mx |0x3，N x|x2，则 M（ RN）（ ）A （0，2 B0，2） C （2，3） D2 ，3）2 （5 分）已知 i 是虚数单位，若复数 满足，则| z|（ ）A B2 C D43 （5 分）若向量 满足条件 3 与 共线，则 x的值为（ ）A2 B4 C2 D44 （5 分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是（ ）A B C2cm 3 D4cm 35 （5
2、 分）设样本 x1，x 2，x 10 数据的平均值和方差分别为 2 和 5，若 yix i+a（a 为非零实数，i1，2，10） ，则 y1，y 2，y 10 的均值和方差分别为（ ）A2，5 B2+a，5 C2+a，5+a D2，5+a6 （5 分）已知命题 p：x 0（，0） ， ，命题，则下列命题中真命题是（ ）Apq Bp（q） Cp（q） D （p）q7 （5 分）如图，已知点 P（3，1） ，OA 为第一象限的角平分线，将 OA 沿逆时针旋转第 2 页（共 25 页） 角到 OB，若 ，则 tan 的值为（ ）A2 B3 C2 D38 （5 分）
3、在区间，内随机取两个数分别记为 a，b，则使得函数 f（x）x 2+2axb 2+ 有零点的概率为（ ）A B C D9 （5 分）对于数列a n，定义 H0 为a n的“优值” 现已知某数列的“优值”H 02 n+1，记数列a n20 的前 n 项和为 Sn，则 Sn 的最小值为（ ）A64 B68 C70 D7210 （5 分）设函数 f（x ） （x R）满足 f（x ）f （x）+sinx，当 0x，f（x）1 时，则 （ ）A B C D11 （5 分）如图，M（x M，y M） ，N （x N，y N）分别是函数 f（x）Asin（x +）（A
4、0 ， 0 ）的图象与两条直线 l1：ym （Am0） ，l 2：ym 的两个交点，记S（m）| xM xN|，则 S（m）的图象大致是（ ）A B第 3 页（共 25 页）C D12 （5 分）已知函数 f（x ）xlnx+h 在区间 上任取三个实数 a，b，c，均存在以 f（a） ，f（b） ，f（c）为边长的三角形，则实数 h 的取值范围是（ ）A （，e 2） B （，e 24） C （e 2，+） D （e 24，+ ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若 的二项展开式中含 x6 项的系数为 36，则实数 a &nb
5、sp; 14 （5 分）某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为 15 （5 分）双曲线 C 的左右焦点分别为 F1、F 2，且 F2 恰为抛物线 y24x 的焦点设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A，若AF 1F2 是以 AF1 的底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 16 （5 分）若函数 f（x ）满足 ，当 x1，0时，f（x）x，若在区间1，1上，g （x）f（x）mx+m 有两个零点，则实数 m 的取值范围为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的
6、文字说明或推理、验算过程.17 （12 分）已知数列a n满足 a13， （1）求数列a n的通项公式；第 4 页（共 25 页）（2）设 bnlog 2 ，数列 bn的前 n 项和为 Sn，求使 Sn4 的最小自然数 n18 （12 分）某加油站工作人员根据以往该加油站的销售情况，绘制了该加油站日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于 40 吨的概率；（2）用 表示未来 3 天日销售量不低于 40 吨的天数，求随机变量 的数学期望19 （12 分）如图，AB
7、 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上除 A、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆 O 所在的平面，DCEB ，DCEB，AB4， tanEAB （1）证明：平面 ADE平面 ACD；（2）当三棱锥 CADE 体积最大时，求二面角 DAEB 的余弦值20 （12 分）已知圆 E：（x +1） 2+y216，点 F（1，0） ，P 是圆 E 上任意一点，线段 PF的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹 的方程；（2）若直线 yk （x 1）与（ 1）中的轨迹 交于 R， S 两点，问是否在 x 轴上存在一点 T，使得当 k 变动时，总有OTSOTR？说明理由21 （12 分
8、）已知 f（x ）e xax 2，曲线 yf （x）在（1，f（1） ）处的切线方程为ybx+1 第 5 页（共 25 页）（1）求 a，b 的值；（2）求 f（x）在 0，1上的最大值；（3）证明：当 x0 时，e x+（1e）xxlnx 10请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分选修 4-4：极坐标与参数方程（共 1 小题，满分 10 分）22 （10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4cos，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为
9、（1）求 的值；（2）已知 P（1，0） ，若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求 的值选修 4-5：不等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分）23已知定义在 R 上的函数 f（x）| xm|+| x|，m N*，若存在实数 x 使得 f（x）2 成立（1）求实数 m 的值；（2）若 ， 1，f（）+f（）6，求证： 第 6 页（共 25 页）2017 年四川省乐山市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 Mx |0x3，N x|x2，则 M（ RN）（ ）A （0，2 B0，2） C （2
10、，3） D2 ，3）【分析】由题意和补集的运算求出 RN，由交集的运算求出 M（ RN） 【解答】解：由题意知 Nx| x2 ，则 RNx| x2 ，又集合 M x|0x3，则 M（ RN） x|0x2（0，2 ，故选：A【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题2 （5 分）已知 i 是虚数单位，若复数 满足，则| z|（ ）A B2 C D4【分析】把已知等式两边取模，化简整理得答案【解答】解：由 ，得 ，即|z| 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）若向量 满足条件 3 与 共线，则 x的值为（ &n
11、bsp;）A2 B4 C2 D4【分析】先利用平面向量运算法则求出 ，再由向量共线的条件能求出 x【解答】解：向量 ，3 （6，0）+（2，1）（4，1） ，3 与 共线， ，解得 x4故选：B第 7 页（共 25 页）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用4 （5 分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是（ ）A B C2cm 3 D4cm 3【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为
12、 2cm，高为 2cm 的四棱锥，如图，故 ，故选：B【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题5 （5 分）设样本 x1，x 2，x 10 数据的平均值和方差分别为 2 和 5，若 yix i+a（a 为非零实数，i1，2，10） ，则 y1，y 2，y 10 的均值和方差分别为（ ）第 8 页（共 25 页）A2，5 B2+a，5 C2+a，5+a D2，5+a【分析】根据题意，由样本 x1，x 2，x 10 数据的平均值和方差分别为 2 和 5，可得 （x 1+x2+x10）2， （x 12） 2+（x 22
13、） 2+（x 102） 25，进而对于数据 yix i+a，由平均数、方差的公式计算可得答案【解答】解：根据题意，样本 x1，x 2，x 10 数据的平均值和方差分别为 2 和 5，则有 （x 1+x2+x10）2， （x 12） 2+（x 22） 2+（x 102） 25，对于 yix i+a；则有 （x 1+a+x2+a+x10+a）（x 1+x2+x10+10a）2+a， （y 12a） 2+（y 22a） 2+（y 102a ） 25，故选：B【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式6 （5 分）已知命题 p：x 0（，0） ， ，命题，则下列命
14、题中真命题是（ ）Apq Bp（q） Cp（q） D （p）q【分析】由指数函数的图象与性质可得：x（，0） ，2 x3 x 恒成立，即可判断出真假当 x 时，sinxx 恒成立，即可判断出真假再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：由指数函数的图象与性质可得：x（，0） ，2 x3 x 恒成立，因此 p 是假命题p 是真命题当 x 时，sinx x 恒成立，因此 q 是真命题pq 是真命题故选：D【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7 （5 分）如图，已知点 P（3，1） ，OA 为第一象限的角平分线，将 OA 沿逆
15、时针旋转第 9 页（共 25 页） 角到 OB，若 ，则 tan 的值为（ ）A2 B3 C2 D3【分析】由已知，求出 tan（+45）3，利用角的等价变换 45+45，求出 tan【解答】解： ，则 ，又点 P（3，1） ，则 tan（+45）3，所以 tantan（+45 ） ；故选：A【点评】本题考查了平面向量垂直的性质、三角函数的坐标法定义以及两角和的正切公式；关键是求出 tan（+45 ） ，利用角的等价变换求出 tan8 （5 分）在区间，内随机取两个数分别记为 a，b，则使得函数 f（x）x 2+2axb 2+ 有零点的概率为（ ）A B C D【分析
16、】先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由 a，b 使得函数 f（x）x 2+2axb 2+ 有零点，得到关于 a、b 的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，a，b 使得函数 f（x ）x 2+2axb 2+ 有零点，0a 2+b2试验发生时包含的所有事件是 （a，b）| a，b S（2） 24 2，而满足条件的事件是（a，b ）|a 2+b2，s4 2 2 32，第 10 页（共 25 页）由几何概型公式得到 P ，故选：B【点评】高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型
17、是不是古典概型，再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到9 （5 分）对于数列a n，定义 H0 为a n的“优值” 现已知某数列的“优值”H 02 n+1，记数列a n20 的前 n 项和为 Sn，则 Sn 的最小值为（ ）A64 B68 C70 D72【分析】由a n的“优值”的定义可知 a1+2a2+2n1 ann2 n+1，当 n2 时，a1+2a2+2n2 an1 （n 1）2 n，则求得 an2（n+1 ） ，则 an202n18，由数列的单调性可知当 n8 或 9 时，a n20 的前
18、 n 项和为 Sn，取最小值【解答】解：由题意可知：H 0 2 n+1，则 a1+2a2+2n1 ann2 n+1，当 n2 时，a 1+2a2+2n2 an1 （n1）2 n，两式相减得：2 n1 ann2 n+1（n1）2 n，an2（n+1） ，当 n1 时成立，a n202n18，当 an200 时，即 n9 时，故当 n8 或 9 时，a n20的前 n 项和为 Sn，取最小值，最小值为 S8S 9 72，故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式，数列与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题10 （5 分）设函数 f（x ） （x R）满足 f（x ）f （x）+sinx，当
19、0x，f（x）1 时，则 （ ）第 11 页（共 25 页）A B C D【分析】利用条件以及诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：f（x ）f （x）+sinx，当 0x ，f（ x）1 时，则 f（ ）f（ ）+sin （ ）f（ ）+sin（ ）f（ ）+sin （ ）+sin（ ）f（ ）+sin（ ）sinf（ ）+sin +sin（ ）+sin 1+ + ，故选：C【点评】本题主要考查新定义，诱导公式的应用，属于基础题11 （5 分）如图，M（x M，y M） ，N （x N，y N）分别是函数 f（x）Asin（x +）（A0 ， 0 ）的图象与两条直线 l1：ym
20、（Am0） ，l 2：ym 的两个交点，记S（m）| xM xN|，则 S（m）的图象大致是（ ）A BC D【分析】由已知条件及所给函数的图象知，图象从 M 点到 N 点的变化正好是半个周期，故|x M xN| ，S（m）的图象大致是常函数【解答】解：如图所示，作曲线 yf（x）的对称轴 xx 1，x x 2，第 12 页（共 25 页）点 M 与点 D 关于直线 xx 1 对称，点 N 与点 C 关于直线 xx 2 对称，x M+xD2x 1，x C+xN2x 2；x D2x 1x M，x C2x 2x N；又点 M 与点 C、点 D 与点 N 都关于点 B 对称，x M+xC
21、2x B，x D+xN2x B，x M+2x2x N2x B，2x1x M+xN2x B，x M xN2（x Bx 2） ，x Nx M2（x Bx 1） ，|x M xN| ，T 为 f（x ）的最小正周期；S（m）的图象大致是常数函数故选：C【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目12 （5 分）已知函数 f（x ）xlnx+h 在区间 上任取三个实数 a，b，c，均存在以 f（a） ，f（b） ，f（c）为边长的三角形，则实数 h 的取值范围是（ ）A （，e 2） B （，e 24） C （e 2，+） D （
22、e 24，+ ）【分析】任取三个实数 a，b，c，均存在以 f（a） ，f（b） ，f （c）为边长的三角形，等价于 f（a）+f（b）f（c ）恒成立，从而 2f（x） minf （x） max 且 f（x） max0，由此能求出实数 h 的取值范围【解答】解：任取三个实数 a，b，c，均存在以 f（a） ，f（b） ，f （c）为边长的三角形，等价于 f（a）+f（b）f（c ）恒成立，第 13 页（共 25 页）2f（x） min f（x ） max 且 f（x） max0，令 ，解得 x1，当 时，f（x ）0，当 1xe 时，f（x）0，当 x1 时，f（x） minf（ 1）1+h
23、，f（x） maxmax f（ ） ，f（e 2）max ，e 22+h，从而得到 ，解得 he 24实数 h 的取值范围是（e 24，+） 故选：D【点评】本题考查导数的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若 的二项展开式中含 x6 项的系数为 36，则实数 a 4 【分析】通项公式 Tr+1 （a） r x93r ，令 93r6，解得 r，进而得出【解答】解：通项公式 Tr+1 （a） r x93r ，令 93r6，解得r1 的二项展开式中含 x6 项的系数a936，解得 a4故答案为：4
24、【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14 （5 分）某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为 第 14 页（共 25 页）【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，i 的值，当 i10 时，不满足条件 i9，退出循环，由裂项法即可计算可得输出 S 的值【解答】解：模拟程序的运行，可得i1，S0，满足条件 i9，执行循环体， S ，i 2满足条件 i9，执行循环体， S + ，i 3i9，满足条件 i9，执行循环体， S + + ，i10不满足条件 i9，退出循环，输出 S + + 1 故答案为： 【点评】本题主要考
25、查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的 S，i 的值是解题的关键，属于基本知识的考查15 （5 分）双曲线 C 的左右焦点分别为 F1、F 2，且 F2 恰为抛物线 y24x 的焦点设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A，若AF 1F2 是以 AF1 的底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 1+ 【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线 C 的值，利用抛物线与双曲线的交点第 15 页（共 25 页）以及AF 1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形，结合双曲线 a、b、c 关系求出 a 的值，然后求出离心率【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0） ，所以双曲线中，
26、c1，因为双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A，若AF 1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以 ，c2a 2+b21，解得 a 1，双曲线的离心率 e 1+ 故答案为：1+ 【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力16 （5 分）若函数 f（x ）满足 ，当 x1，0时，f（x）x，若在区间1，1上，g （x）f（x）mx+m 有两个零点，则实数 m 的取值范围为 （0， 【分析】根据 ，当 x1，0时，f（x）x，求出 x（0，1）时，f（x）的解析式，由在区间（1，1 上，g（x ）f（x）mx
27、 +m 有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论【解答】解：x（1，0）时，f（x）x ，当 x（0，1时，x1（1，0） ，可得 x1 ，所以 f（x） ，作出 f（x）在1，1）上的图象，如图：因为 g（x）f（x）mx m 有两个零点，所以 yf （x）的图象与直线 ymxm 有两个交点，由图象可知 m（0， 故答案为：（0， 【点评】此题是个中档题本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入第 16 页（共 25 页）法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想也考查了学生创造性分析解决问题的能力三、解答题：本大题共 5
28、小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （12 分）已知数列a n满足 a13， （1）求数列a n的通项公式；（2）设 bnlog 2 ，数列 bn的前 n 项和为 Sn，求使 Sn4 的最小自然数 n【分析】 （1）由数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，2+n1n+1 ，即可求得数列 an的通项公式；（2）由（1）可知 bnlog 2 log 2 log 2（n+1）log 2（n+2） ，求得Snb 1+b2+bn1log 2（n+2） ，由 Sn4，利用对数的运算性质，即可求得最小自然数 n 的值【解答】解：（1）由 ，则数列 是以 2 为首项，1
29、 为公差的等差数列， 2+n1n+1 ，a nn 2+2n，数列a n的通项公式 ann 2+2n；（2）b nlog 2 log 2 log 2 log 2（n+1）log 2（n+2） ，数列b n的前 n 项和为Sn，S nb 1+b2+bnlog 22log 23+log23log 24+log2（n+1）log 2（n+2） ，1log 2（n+2） ，由 Sn4，1log 2（n+2） 4，log2（n+2） 5log 232，n+232，解得：n30，满足 Sn4 的最小自然数 n 为 31【点评】本题考查等差数列的性质，等差数列通项公式，对数的运算性质，考查计算能第 17 页（
30、共 25 页）力，属于中档题18 （12 分）某加油站工作人员根据以往该加油站的销售情况，绘制了该加油站日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于 40 吨的概率；（2）用 表示未来 3 天日销售量不低于 40 吨的天数，求随机变量 的数学期望【分析】 （1）由频率分布直方图求出日销售量不低于 40 吨的频率为 0.4，记未来 3 天内，第 i 天日销售量不低于 40 吨的事件为 Ai（i 1，2，3） ，则 P（A i）0.4，未来 3 天内，连续 2 天日销
31、售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于 40 吨包含两个互斥事件：和 ，由此能求出未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于 40 吨的概率（2） 的可能取值为 0，1，2，3，且 B（3，0.4） ，由此能求出 的数学期望【解答】解：（1）由频率分布直方图知：日销售量不低于 40 吨的频率为：10（0.025+0.015）0.4，记未来 3 天内，第 i 天日销售量不低于 40 吨的事件为 Ai（ i1，2，3） ，则 P（A i）0.4 ，未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于 40 吨包含两个互斥事件：和 ，未来 3
32、 天内，连续 2 天日销售量不低于 40 吨，另一天的日销售量低于 40 吨的概率为：P（ ）P（ ）+P（ ）第 18 页（共 25 页）0.40.4（10.4）+（10.4）0.40.40.192（2） 的可能取值为 0，1，2，3，P（0）（10.4） 20.216，P（1） 0.432，P（2） 0.288，P（3）0.4 30.064， 的分布列为： 0 1 2 3P 0.216 0.432 0.288 0.064E00.216+10.432+2 0.228+30.0641.2【点评】本题
33、考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质及二项分布的性质的合理运用19 （12 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上除 A、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆 O 所在的平面，DCEB ，DCEB，AB4， tanEAB （1）证明：平面 ADE平面 ACD；（2）当三棱锥 CADE 体积最大时，求二面角 DAEB 的余弦值【分析】 （）由已知条件推导出 BC平面 ACD，BC DE，由此证明 DE平面ACD，从而得到平面 ADE平面 ACD（）依题意推导出当且仅当 时三棱锥 CADE 体积最大，建立空间直角坐标
34、系，利用向量法能求出二面角 DAEB 的余弦值【解答】 （）证明：AB 是直径，BCAC （1 分） ，CD平面 ABC，CDBC（2 分） ，CDACC，BC平面 ACD（3 分）CDBE ，CDBE，BCDE 是平行四边形，BCDE，第 19 页（共 25 页）DE平面 ACD（4 分） ，DE平面 ADE，平面 ADE平面 ACD（5 分）（）依题意， （6 分） ，由（）知，当且仅当 时等号成立
35、; （8 分）如图所示，建立空间直角坐标系，则 D（0，0，1） ， ， ， ， ， （9 分）设面 DAE 的法向量为 ，即 ， ，（10 分）设面 ABE 的法向量为 ，即 ， ， （12 分） 与二面角 DAEB 的平面角互补，二面角 DAEB 的余弦值为 （13 分）第 20 页（共 25 页）【点评】本题考查平面与平面垂直的
36、证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20 （12 分）已知圆 E：（x +1） 2+y216，点 F（1，0） ，P 是圆 E 上任意一点，线段 PF的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹 的方程；（2）若直线 yk （x 1）与（ 1）中的轨迹 交于 R， S 两点，问是否在 x 轴上存在一点 T，使得当 k 变动时，总有OTSOTR？说明理由【分析】 （1）连结 QF，运用垂直平分线定理可得， |QP|QF|，可得|QE|+|QF| QE|+|QP|4|EF| 2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在 T（t ，0）满足O
37、TSOTR设 R（x 1，y 1） ，S（x 2，y 2） ，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，由直线的斜率之和为 0，化简整理，即可得到存在 T（4，0） 【解答】解：（1）连结 QF，根据题意， |QP|QF|，则|QE |+|QF|QE |+|QP|4 |EF|2，故动点 Q 的轨迹 是以 E， F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆设其方程为 ，可知 a2，c1， ，所以点 Q 的轨迹 的方程为 ；（2）假设存在 T（t ，0）满足OTSOTR设 R（x 1，y 1） ，S（x 2，y 2）联立 ，第 21 页（共 25 页）得（3+4k 2）x 28k 2x+4k212
38、0，由韦达定理有 ，其中0 恒成立，由OTSOTR（显然 TS， TR 的斜率存在） ，故 kTS+kTR0 即 ，由 R，S 两点在直线 yk （x1）上，故 y1k（x 1 1） ，y 2k（x 21）代入得，即有 2x1x2（t+1） （x 1+x2）+2t0，将代入 ，即有： ，要使得 与 k 的取值无关，当且仅当“t4“时成立，综上所述存在 T（4，0） ，使得当 k 变化时，总有OTSOTR【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题21 （1
39、2 分）已知 f（x ）e xax 2，曲线 yf （x）在（1，f（1） ）处的切线方程为ybx+1 （1）求 a，b 的值；（2）求 f（x）在 0，1上的最大值；（3）证明：当 x0 时，e x+（1e）xxlnx 10【分析】 （1）求出 f（x ）的导数，计算 f（1） ，f （1） ，求出 a，b 的值即可；（2）求出 f（x ）的导数，得到导函数的单调性，得到 f（ x）在0，1递增，从而求出f（x）的最大值；（3）只需证明 x0 时，f（x）（e2）x+1，设 g（x）f（x）（e2）x1，x0，根据函数的单调性得到 ex+（2e）x 1xlnx+ x，从而证出结论即可第 22
40、 页（共 25 页）【解答】解：（1）f（x ）e x2ax，f（1）e 2ab，f（1）eab+1，解得：a1，be2；（2）由（1）得：f（x ）e xx 2，f（x）e x 2x，f（x ）e x2，f（x）在（ 0，ln2）递减，在（ln 2，+）递增，f（x）f（ln2）2 2ln20，f（x）在0 ， 1递增，f（x） maxf（1）e 1；（3）f（0）1，由（2）得 f（x）过（1，e1） ，且 yf（x）在 x1 处的切线方程是 y（e 2）x+1，故可猜测 x0，x 1 时，f（x）的图象恒在切线 y（e 2）x+1 的上方，下面证明 x0 时，f（x）（e2）x+1，设
41、g（x）f（ x）（e2）x1，x 0，g（x）e x2x （e 2） ， g（x）e x2，由（2）得：g（x）在（0，ln2）递减，在（ln 2，+）递增，g（0）3e0，g（1）0，0ln21，g（ln2）0，存在 x0（0 ，1） ，使得 g（x）0，x（0，x 0）（1，+）时，g（x）0，x（x 0，1）时，g（x）0，故 g（x）在（0，x 0）递增，在（x 0，1）递减，在（1，+）递增，又 g（0）g（1）0，g（x）0 当且仅当 x1 时取“” ，故 x，x 0，由（2）得：e xx+1，故 xln（x+1） ，x1lnx，当且仅当 x1 时取“” ， xlnx +1，即
42、lnx+1，第 23 页（共 25 页）e x+（2e）x1xlnx+x ，即 ex+（1e）xxlnx10 成立，当且仅当 x1 时“”成立【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分选修 4-4：极坐标与参数方程（共 1 小题，满分 10 分）22 （10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0） ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4cos，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为（1）求 的值；
43、（2）已知 P（1，0） ，若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求 的值【分析】 （1）消去参数 t，可得直线 l 的普通方程，根据cosx，siny ， 2x 2+y2 可得圆 C 的普通坐标方程，利用圆心到直线的距离可得 的值（2）利用直线的参数的几何意义，将直线带入圆中，利用韦达定理可得答案【解答】解：（1）由直线 l 的参数方程为 （t 为参数，0 ） ，消去参数 t，可得：x siny cos sin0圆 C 的极坐标方程为 4cos，即 24cos可得圆 C 的普通坐标方程为： x2+y2+4x0，可知圆心为（2，0） ，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 d由题意：d ，即
44、sin 0， 或 第 24 页（共 25 页）（2）已知 P（1，0） ，在 P 在直线 l 上，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，将 带入圆 C 的普通坐标方程 x2+y2+4x0 可得：（1+tcos） 2+（tsin ） 2+4（1+tcos）0t 2+6tcos+50设 A，B 对于的参数为 t1t 2，则 t1+t26cos ，t 1t25，t 1t20，t 1，t 2 是同号 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题选修 4-5：不等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分）23已知定义在 R 上的函数 f（x）
45、| xm|+| x|，m N*，若存在实数 x 使得 f（x）2 成立（1）求实数 m 的值；（2）若 ， 1，f（）+f（）6，求证： 【分析】 （1）|x m|+|x| |x mx| |m|，要使|xm |+|x|2 有解，则| m|2，mN *，解得 m；（2）， 1，f（）+f（）21+216，可得 +4再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）|x m|+| x|x mx| |m|，要使|xm|+|x| 2 有解，则|m|2，解得2m2mN *，m1（2）证明：，1，f（）+f（）21+216，+4， + （ + ） （+） （5+ + ） （5+2 ，当且仅当 即 ， 时“”成立，第 25 页（共 25 页）故 + 【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
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