2019年四川省华文大教育联盟高考数学二模试卷（文科）含答案解析

1、2019 年四川省华文大教育联盟高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Mx |2x5，N x|log2x2 ，则 MN（  ）A1 ，2，3，4，5 B2 ，3，4 C x|0x5 D x|2x42 （5 分）若 a，b 都是实数，且 ，则 a+b 的值是（  ）A1 B0 C1 D23 （5 分）国家统计局统计了我国近 10 年（2009 年 2018 年）的 GDP（GDP 是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标）增速的

2、情况，并绘制了下面的折线统计图根据该折线统计图，下面说法错误的是（  ）A这 10 年中有 3 年的 GDP 增速在 9.00%以上B从 2010 年开始 GDP 的增速逐年下滑C这 10 年 GDP 仍保持 6.5%以上的中高速增长D2013 年2018 年 GDP 的增速相对于 2009 年2012 年，波动性较小4 （5 分）已知向量 （1，m ） ， （2，3） ，且向量 ， 满足（ ） ，则m（  ）A2 B3 C5 D45 （5 分）一个盒中有形状、大小、质地完全相同的 5 张扑克牌，其中 3 张红桃，1 张黑桃，1 张梅花现从盒中一次性随机抽出 2 张扑克牌，

3、则这 2 张扑克牌花色不同的概率为（  第 2 页（共 26 页）A B C D6 （5 分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，过点 F2 作 x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 P，线段PF2 的中点 M 到原点的距离为 ，则此双曲线的渐近线方程为（   ）Ay2x B Cy4x D7 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 满足 sin2B+sin2C+ ，则cos2A（   ）A B C D8 （5 分）如图，执行程序框图，若输出结果为 140，则判断框内应填（  ）An7？ Bn7？ Cn6？ D

4、n6？9 （5 分）如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 B1C1，C 1C 的中点，则异面直线 BD1 与 MN 所成的角的大小是（   ）A30 B45 C60 D9010 （5 分）已知函数 的最小第 3 页（共 26 页）正周期为 ，且 f（x）f（ x） ，则（  ）Af（x）在 内单调递减Bf（x）在 内单调递减Cf（x）在 内单调递增Df（x）在 内单调递增11 （5 分）已知椭圆 C 的方程为 ，焦距为 2c，直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 |AB|2c ，则椭圆 C 的离心率为（  ）A B C D12 （

5、5 分）已知函数 f（x ）满足：f（2x）f （x） ，当若不等式 f（ x）6x+a 恒成立，则实数 a的取值范围是（  ）Aa13 Ba13 Ca12 Da12二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知函数 f（x ）x 22lnx+a 的最小值为 2，则 a     14 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z2xy 的最大值为     15 （5 分）已知     16 （5 分）如图，在三棱锥 PABC 中，侧面 PAB 垂直于底面 ABC，ABC 与PAB 都

6、是边长为 的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为     三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：第 4 页（共 26 页）共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，2S n3a n 9（1）求数列a n的通项公式；（2）若 ，求数列b n的前 n 项和 Tn18 （12 分）光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如表：年份 2

7、011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年年份代码 x 1 2 3 4 5 6 7 8新增光伏装机量y 兆瓦0.4 0.8 1.6 3.1 5.1 7.1 9.7 12.2某位同学分别用两种模型： ， 进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于 ）：经过计算得，（1）根据残差图，比较模型， 的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立 y 关于 x 的回归方程，并预测该地区 2020年新增光伏装机量是多少 （在计算回归系数时精确到 0.01）附：归直线的斜率和截距

8、的最小二乘估计公式分别为： ，第 5 页（共 26 页）19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面ABCD， PDDC BC2，ABDC，AB2CD，BCD90（1）求证：ADPB ；（2）求点 C 到平面 PAB 的距离20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点为 F，点 P（1，a）在此抛物线上，|PF|2，不过原点的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆 M 过坐标原点（1）求抛物线 C 的方程；（2）证明：直线 l 恒过定点；（3）若线段 AB 中点的纵坐标为 2，求此时直线 l 和圆 M 的方程21 （12 分）已知函数 f

9、（x ）e xxa（a R） （1）当 a0 时，求证：f（ x）x；（2）讨论函数 f（x ）在 R 上的零点个数，并求出相对应的 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）求曲线 C 和直线 l 的普通方程，第 6 页（共 26 页）（2）直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，若|AB |1，求直线 l 的方程选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）

10、|x |+|x2|（1）解不等式 f（x ）4；（2）若不等式 mx+1f（x ） （m 0）对于 xR 恒成立，求 m 的取值范围第 7 页（共 26 页）2019 年四川省华文大教育联盟高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Mx |2x5，N x|log2x2 ，则 MN（  ）A1 ，2，3，4，5 B2 ，3，4 C x|0x5 D x|2x4【分析】可求出集合 N，然后进行交集的运算即可【解答】解：Nx|0x4 ；MN x|2x 4故选：

11、D【点评】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算2 （5 分）若 a，b 都是实数，且 ，则 a+b 的值是（  ）A1 B0 C1 D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求【解答】解：由 ，得 ，即 a2，b1，a+b1故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题3 （5 分）国家统计局统计了我国近 10 年（2009 年 2018 年）的 GDP（GDP 是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标）增速的情况，并绘制了下面的折线统计图第 8 页（共 26 页

12、）根据该折线统计图，下面说法错误的是（  ）A这 10 年中有 3 年的 GDP 增速在 9.00%以上B从 2010 年开始 GDP 的增速逐年下滑C这 10 年 GDP 仍保持 6.5%以上的中高速增长D2013 年2018 年 GDP 的增速相对于 2009 年2012 年，波动性较小【分析】根据折现统计图即可判断各选项【解答】解：由图可知，这 10 年中有 3 年的 GDP 增速在 9.00%以上，故 A 正确，由图可知，从 2010 年开始 GDP 的增速逐年下滑，故 B 错误，由图可知，这 10 年 GDP 仍保持 6.5%以上的中高速增长，故 C 正确，由图可知 201

13、3 年2018 年 GDP 的增速相对于 2009 年 2012 年，波动性较小，故 D正确，故选：B【点评】本题考查了统计图识别和应用，关键是认清图形，属于基础题4 （5 分）已知向量 （1，m ） ， （2，3） ，且向量 ， 满足（ ） ，则m（  ）A2 B3 C5 D4【分析】求出 （3，m 3） ，再由向量 ， 满足（ ） ，利用（ ）6+3m 90，能求出 m【解答】解：向量 （1，m ） ， （2，3） ， （3，m3） ，向量 ， 满足（ ） ，第 9 页（共 26 页）（ ） 6+3m90，解得 m5故选：C【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量

14、垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （5 分）一个盒中有形状、大小、质地完全相同的 5 张扑克牌，其中 3 张红桃，1 张黑桃，1 张梅花现从盒中一次性随机抽出 2 张扑克牌，则这 2 张扑克牌花色不同的概率为（  ）A B C D【分析】基本事件总数 n ，这 2 张扑克牌花色不同包含的基本事件个数 m7，由此能求出这 2 张扑克牌花色不同的概率【解答】解：一个盒中有形状、大小、质地完全相同的 5 张扑克牌，其中 3 张红桃，1张黑桃，1 张梅花现从盒中一次性随机抽出 2 张扑克牌，基本事件总数 n ，这 2 张扑克牌花色不同包含的基本事件个数 m 7，则这 2 张

15、扑克牌花色不同的概率为 p 故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、对立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6 （5 分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，过点 F2 作 x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 P，线段PF2 的中点 M 到原点的距离为 ，则此双曲线的渐近线方程为（   ）Ay2x B Cy4x D【分析】设出渐近线方程，求得 P 的坐标，由中点坐标公式可得 M 的坐标，由两点的距离公式可得 a，b 的关系，进而得到渐近线方程第 10 页（共 26 页）【解答】解：过点 F2 作 x

16、轴的垂线，与双曲线的渐近线 y x 在第一象限的交点为P，可得 P（c， ） ，线段 PF2 的中点 M 为（c， ） ，由中点 M 到原点的距离为 ，可得 c2+ 2c 2，即有 b2a，可得双曲线的渐近线方程为 y2x故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题7 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 满足 sin2B+sin2C+ ，则cos2A（   ）A B C D【分析】由正弦定理化简已知等式可得 b2+c2a 2 bc，利用余弦定理可求 cosA，根据二倍角的余弦公式即可计算得解【解答】解：sin 2B+sin2C

17、+ ，由正弦定理可得：b 2+c2+ bca 20，可得：b 2+c2a 2 bc，cosA ，cos2A2cos 2A12（ ） 21 故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的余弦公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题8 （5 分）如图，执行程序框图，若输出结果为 140，则判断框内应填（  ）第 11 页（共 26 页）An7？ Bn7？ Cn6？ Dn6？【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：T1，a1+1 2，n2T1+45，a3，n3，T5+914，a4，n4，T14+1630，a5，n5，T30+2555，a6n6，T

18、55+3691，a7，n7，T91+49140，a8，此时满足条件输出 T140，即当 n7 时满足条件，当 n6 时不满足条件故条件为 n6，故选：D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件进行模拟运算是解决本题的关键9 （5 分）如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 B1C1，C 1C 的中点，则异面直线 BD1 与 MN 所成的角的大小是（   ）A30 B45 C60 D90第 12 页（共 26 页）【分析】以 D 为原点，DA，DC，DD 1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 BD1 与 M

19、N 所成的角的大小【解答】解：以 D 为原点， DA，DC，DD 1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA 1B1C1D1 中棱长为 2，则 B（2，2，0） ，D 1（0，0， 2） ，M （1，2，2） ，N （0，2，1） ，（2，2，2） ， （1，0，1） ，设异面直线 BD1 与 MN 所成的角为 ，则 cos 0，异面直线 BD1 与 MN 所成的角的大小是 90故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10 （5 分）已知函数 的最小正周期为 ，且 f（x

20、 ） f（ x） ，则（  ）Af（x）在 内单调递减Bf（x）在 内单调递减Cf（x）在 内单调递增第 13 页（共 26 页）Df（x）在 内单调递增【分析】由题意利用二倍角公式化简函数的解析式，利用周期公式可求 的值，由f（x）为偶函数，可得 2k + ，k Z，结合范围 0 ，可求 的值，再利用余弦函数的单调性，得出结论【解答】解： 的最小正周期为 ，f（x） sin（2 x+2）的最小正周期为 ，可得： ，解得：1，f（x） sin（2x +2） ，f（x）f（x ） ，f（x）为偶函数，2k + ，kZ，解得：k + ，k Z0 ， f（x） sin（2x + ） cos

21、2x，令 2k 2x2k+，可得：kx k+ ，可得 f（x）的单调递减区间为：（k，k + ） ，k Z，当 k0 时，可得 f（x）的单调递减区间为：（0， ） 故选：B【点评】本题主要考查三角恒等变换的应用，三角函数的图象和单调性，属于中档题11 （5 分）已知椭圆 C 的方程为 ，焦距为 2c，直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 |AB|2c ，则椭圆 C 的离心率为（  ）A B C D【分析】如图，由直线 与椭圆交于 A，B 两点，|AB|2c，根据椭圆的对称性得 OAc，求出 A 的坐标，代入椭圆方程得到关于 a， b，c 的等量关系，得出关于a，c 的等式，解

22、之即可得该椭圆的离心率第 14 页（共 26 页）【解答】解：如图，由直线 与椭圆交于 A，B 两点，|AB|2c，得：|OA|c，且点 A 的坐标 ，代入椭圆方程得：，又 b2a 2c 2，e（0，1）解之得： 则该椭圆的离心率为 故选：A【点评】本小题主要考查函数椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基本知识的考查12 （5 分）已知函数 f（x ）满足：f（2x）f （x） ，当若不等式 f（ x）6x+a 恒成立，则实数 a的取值范围是（  ）Aa13 Ba13 Ca12 Da12【分析】根据条件求出函数的解析

23、式，结合不等式 f（x ）6x+a 恒成立，转化为直线y6x+a 恒在 f（x）对应的图象的下方或相切，转化为直线和抛物线相切或相离进行求解即可第 15 页（共 26 页）【解答】解：f（2x ）f（x） ，函数关于 x1 对称，则当 0x1 时，则 12x2，此时 f（x）f （2x）2（2x）x，当 x0 时，2x 2，则 f（x）f （2x）（2x） 24（x2） 24，作出函数 f（x）的图象如图：要使不等式 f（x ）6x+a 恒成立，等价为 y6x+a 对应的直线恒在 f（x）的下方或与 f（x）x 24 相切即可，由 x246x+a ，即 x26x（4+a）0，则判别式36+4（

24、4+ a）0，得 9+4+a0，得 a13，当判别式0 时，a13，此时 x3 满足 x2，即实数 a 的取值范围是 a13，故选：A【点评】本题主要考查分段函数的应用，结合不等式恒成立转化为两曲线对应图象之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知函数 f（x ）x 22lnx+a 的最小值为 2，则 a 1 【分析】x0，f（x）2x ，利用导数性质求出当 x1 时，f（x） 极小值 f（1）1+a，由 f（x）的最小值为 2，能求出 a 的值【解答】解：函数 f（x ）x 22lnx+a，x0，f（ x）2x ，第

25、 16 页（共 26 页）由 f0，得 x1 或 x1（舍） ，当 x（0，1）时， f（x ） 0，f （x）单调递减，当 x（1，+）时，f（x ） 0，f （x）单调递增，当 x1 时，f（x） 极小值 f（1）1+a，f（x）的最小值为 2，1+ a2，解得 a1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题14 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z2xy 的最大值为 6 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 z 的几何意义，进行平移，结合图象得到 z2xy 的最大值【解答】解：由 z2xy

26、 得 y2xz，作出变量 x，y 满足约束条件 对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线 y2x z，由图象可知当直线 y2xz 经过 A（2，2）时，直线 y2xz的截距最小，此时 z 最大即 z22+2 6故答案为：6第 17 页（共 26 页）【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法15 （5 分）已知    【分析】利用两角和的正切公式求得 tan，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2+cos2 的值【解答】解：tan（+ ） 2，tan 3，则 sin2+cos2 ，故答案为： 【点评】本题主要考查两

27、角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题16 （5 分）如图，在三棱锥 PABC 中，侧面 PAB 垂直于底面 ABC，ABC 与PAB 都是边长为 的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为 20 【分析】由题意，等边三角形的高为 3，求出外接球的半径 r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积【解答】解：ABC 与PAB 都是边长为 的正三角形，等边三角形的高为 ，设球心为 O，球的半径为 r，则 r22 2+12 5，该三棱锥的外接球的表面积为 4r220 故答案为：20第 18 页（共 26 页）【点评】本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键，是中档

28、题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，2S n3a n 9（1）求数列a n的通项公式；（2）若 ，求数列b n的前 n 项和 Tn【分析】 （1）求得数列的首项，由 n 换为 n1，相减，结合等比数列的通项公式即可得到所求通项公式；（2）求得 （1） n（n+1） ，讨论 n 为奇数或偶数，由并项求和可得所求和【解答】解：（1）2S n3a n9，可得 2a12S 13a 19，解得 a19；

29、当 n2 时，2S n1 3a n1 9，又 2Sn3a n9，相减可得 2an3a n3a n1 ，即 an3a n1 ，则数列a n的通项公式为 an93 n1 3 n+1；（2） （1） n（n+1） ，当 n 为偶数时，前 n 项和 Tn2+34+5+n+n+1 ；当 n 为奇数时，前 n 项和 TnT n1 （n+1 ） n1 第 19 页（共 26 页）综上可得 Tn 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和：并项求和，考查化简运算能力，属于基础题18 （12 分）光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能近几年在国内出台的光伏发电

30、补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如表：年份 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年年份代码 x 1 2 3 4 5 6 7 8新增光伏装机量y 兆瓦0.4 0.8 1.6 3.1 5.1 7.1 9.7 12.2某位同学分别用两种模型： ， 进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于 ）：经过计算得，（1）根据残差图，比较模型， 的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立 y 关于 x 的回归方程，并预测该地区 2020年新增光伏装机量是多少

31、 （在计算回归系数时精确到 0.01）附：归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，第 20 页（共 26 页）【分析】 （1）根据残差图可以看出，模型的估计值和真实值相对比较接近，模型的残差相对较大一些，所以模型的拟合效果相对较好；（2）由（1） ，知 y 关于 x 的回归方程为 ，令 tx 2，则 ，由所给数据得 与 的值，得到回归方程，取 x10 得答案【解答】解：（1）选择模型理由如下：根据残差图可以看出，模型的估计值和真实值相对比较接近，模型的残差相对较大一些，所以模型的拟合效果相对较好；（2）由（1） ，知 y 关于 x 的回归方程为 ，令 tx 2，则 由所给数据得： ，y

32、 关于 x 的回归方程为 预测该地区 2020 年新增光伏装机量为 （兆瓦） 【点评】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面第 21 页（共 26 页）ABCD，PD DCBC2，ABDC，AB2CD，BCD90（1）求证：ADPB ；（2）求点 C 到平面 PAB 的距离【分析】 （1）取 AB 的中点 M，连接 DM，BD，根据 PD平面 ABCD 可得 PDAD，根据勾股定理可得 ADBD，故而 AD平面 PBD，于是 ADPB；（2）根据 VCPAB V PABC 计算 C 到平面 PAB 的距离【

33、解答】 （1）证明：取 AB 的中点 M，连接 DM，BD，CDBCBM ，CDAB，BCD90，四边形 BCDM 是正方形，DM AM2，BD2 ，AD 2 ，AD 2+BD2AB 2，ADBD ，PD平面 ABCD，AD 平面 ABCD，ADPD ，又 BD平面 PBD，PD平面 PBD，BDPD D ，AD平面 PBD，又 PB平面 PBD，ADPB（2）解：连接 PMADBD 2 ，PD 2，PAPB 2 ，PMAB，又 AB4，AM2，PM 2 ，S PAB 4 设 C 到平面 PAB 的距离为 h，第 22 页（共 26 页）则 VCPAB ，又 VCPAB V PABC ， ，即

34、 h 点 C 到平面 PAB 的距离为 【点评】本题考查了线面垂直的判定和性质，棱锥的体积计算与空间距离的计算，属于中档题20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点为 F，点 P（1，a）在此抛物线上，|PF|2，不过原点的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆 M 过坐标原点（1）求抛物线 C 的方程；（2）证明：直线 l 恒过定点；（3）若线段 AB 中点的纵坐标为 2，求此时直线 l 和圆 M 的方程【分析】 （1）焦点 F 到准线的距离为 2，可得 p2即可得出抛物线 C 的方程（2）设直线 l 的方程为：x my +t（t0） ，A（x 1

35、，y 1） ，B（x 2，y 2） 与抛物线方程联立化为：y 24my4t0，由以 AB 为直径的圆恒过原点 O，可得 x 1x2+y1y20，利用根与系数的关系可得 t，即可得出（3）根据中点坐标公式可得直线 l 的方程，故可得线段 AB 的中点坐标（6，2）即为圆的圆心坐标，设圆的方程为（x6） 2+（y2） 2r 2，求出半径，即可求出圆的方程【解答】解：（1）由题意可得 1+ 2，解得 p2，故抛物线的 C 的方程为 y24x（2）证明：设直线 l 的方程为： xmy +t（t0） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 联立 ，化为：y 24my4t0，0，y 1+y24m，

36、y 1y2 4t 以 AB 为直径的圆恒过原点 O，第 23 页（共 26 页） x 1x2+y1y20，又 x1x2（my 1+t） （my 2+t） ，（m 2+1）y 1y2+mt（y 1+y2）+t 20，4t（m 2+1）+4 m2t+t20，化为 t24t0，t0，解得 t4直线 l 的方程为：x my +4令 y0，可得 x4因此直线 l 恒过定点（4，0） 解（3）线段 AB 中点的纵坐标为 2y 1+y24m，2m2，即 m1，直线 l 恒过定点（4，0） 40+t，即 t4，直线 l 的方程为 xy+4，线段 AB 的中点坐标（6，2）即为圆的圆心坐标，设圆的方程为（x6）

37、 2+（y2） 2r 2，把（0，0）代入可得 r240故圆的方程为（x6） 2+（y2） 240【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、考查了推理能力与计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）e xxa（a R） （1）当 a0 时，求证：f（ x）x；（2）讨论函数 f（x ）在 R 上的零点个数，并求出相对应的 a 的取值范围【分析】 （1）当 a0 时，构造函数 g（x）f （x）x，求函数的导数，研究函数的单调性和最值进行证明即可（2）求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与 0 的关系进行判断即可【解

38、答】 （1）证明：当 a0 时f（x ）e xx令 g（x）f（x）xe xxx e x2x 则 g（x）e x2令 g'（x）0得 xln2当 xln2 时， g（x）0，当 xln2 时，g（x）0第 24 页（共 26 页）所以 g（x）在（，ln 2）内是减函数在（ln2，+）内是增函数，所以 xln2 是 g（x）的极小值点，也是最小值，即 g（x） ming（ln2）e ln22ln 22ln 0故当 a0 时，f（x ）x 成立（2）解：f（x ）e x1，由 f'（x）0得 x0当 x0 时，f （x）0；当 x0 时，f （x）0所以 f（x）在（ ，0）上是

39、减函数，在（0+）内是增函数，所以 x0 是函数 f（x）的极小值同时也是最小值点，即 f（x） minf（0）la ，当 1a0，即 al 时，f（x）在 R 上没有零点，当 1a0，即 a1 时，f（ x）在 R 上只有 1 个零点，当 la0，即 al 时，因为 f（a）e a （a）ae a 0所以 f（x）在（ ，0）内只有一个零点，由（1）得 ex2x，令 xa，则得ea2a所以 f（a）e aaae a2a0于是 f（x）在（ 0，+）内有一个零点；因此当 a1 时，f（x ）在 R 上有两个零点综上当 a1 时，函数 f（x ）在 R 上没有零点，当 a1 时，函数 f（x ）

40、在 R 上有一个零点；当 al 时，函数 f（x）在 R 上有两个零点【点评】本题主要考查导数的综合应用，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，最值是解决本题的关键考查学生的转化能力（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 第 25 页（共 26 页）（1）求曲线 C 和直线 l 的普通方程，（2）直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，若|AB |1，求直线 l 的方程【

41、分析】 （1）由曲线 C 和直线 l 的参数方程可知，曲线 C 的普通方程为 x2+y21直线l 的普通方程：当 cos0 时为 x2；当 cos0 时为 ytan（x2） （2）利用参数 t 的几何意义可得【解答】解：（1）由曲线 C 和直线 l 的参数方程可知，曲线 C 的普通方程为x2+y21直线 l 的普通方程：当 cos0 时为 x2；当 cos0 时为 ytan（x2） （2）把 x2+tcos，ytsin 代入 x2+y21，得 t2+4tcos+30，因为16cos 2120，所以 cos2 设 A，B 对应的参数为 t1，t 2，因为 t1+t24cos，t 1t23，|AB

42、| |t 1t 2|1，所以（t 1t 2） 2（t 1+t2） 24t 1t216cos 2121，所以 cos2 ，所以 tan2 ，所以 tan ，即直线 l 的斜率为 所以直线 l 的方程为 y x 或 y x+ 【点评】本题考查了参数方程化普通方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x |+|x2|（1）解不等式 f（x ）4；（2）若不等式 mx+1f（x ） （m 0）对于 xR 恒成立，求 m 的取值范围【分析】 （1）利用分类讨论法化简函数 f（x ） ，再求不等式 f（x）4 的解集；（2）由 m0，利用分类讨论思想把不等式 mx+1f （x）化为不

43、含绝对值的不等式，从而求出不等式恒成立时 m 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（x）|x|+| x2| ，当 x0 时，不等式 f（x）4 化为2x+24，解得 x1，所以1x0；第 26 页（共 26 页）当 0x2 时，不等式 f（x）4 化为 24，恒成立，所以 0x2；当 x2 时，不等式 f（x）4 化为 2x24，解得 x3，所以 2x3；综上，不等式 f（x ）4 的解集为 x|1x3；（2）由题意知 m0，当 x0 时，不等式 mx+1f （x）化为 mx+12x+2 恒成立，即 m2+ 恒成立，因为2+ 0，所以 m0 时不等式恒成立；当 x0 时，不等式 mx+1f（x ）化为 12 恒成立，所以 m0 不等式恒成立；当 0x2 时，不等式 mx+1f（x ）化为 mx+12 恒成立，即 m 恒成立，而 ，所以 0m 时不等式恒成立；当 x2 时，不等式 mx+1f（x ）化为 mx+12x2 恒成立，即 m2 恒成立，而 2 2，所以 0m 不等式恒成立；综上所述，不等式恒成立时 m 的取值范围是（0， 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题