1、2019 年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 Ax| x24，ABx|x 2 ，则集合 B 可以为（ ）A x|x3 Bx|3x1 C x|x1 D x|x32 （5 分） 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：身高 （ 100，110 （ 110，120 （ 120，130
2、 （ 130，140 （ 140，150频数 5 35 30 20 10由此表估计这 100 名小学生身高的中位数为（ ） （结果保留 4 位有效数字）A119.3 B119.7 C123.3 D126.74 （5 分）若函数 f（x ） 有最大值，则 a 的取值范围为（ ）A （5，+ ） B5，+） C （，5） D （，55 （5 分）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为 5m，跨径为 12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A m B m C m D
3、 m6 （5 分）汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以 16 等于 ，如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 23 页）A32 B40 C D7 （5 分）已知函数 f（x ）2cos 2（2x + ）+ sin（4x+ ） ，则下列判断错误的是（ ）Af（x）为偶函数Bf（x）的图象关于直线 x 对称Cf（x）的值域为1，3Df（x）的图象关于点（ ，0）对称8 （5 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，边长为 1 的正方形 OMNP 的两个顶点在坐标轴上，点 A，B
4、 分别在线段 MN，NP 上运动设 PBMAx，函数 f（x） ，g（x） ，则 f（x）与 g（x ）的图象为（ ）A B第 3 页（共 23 页）C D9 （5 分）已知 m0，设 x，y 满足约束条件 ，zx +y 的最大值与最小值的比值为 k，则（ ）Ak 为定值1 Bk 不是定值，且 k2Ck 为定值 2 Dk 不是定值，且 2k110 （5 分）设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a75， S555，则 nSn 的最小值为（ ）A343 B324 C320 D24311 （5 分）过点 M（1，0 ）引曲线 C：y2x 3+ax+a
5、的两条切线，这两条切线与 y 轴分别交于 A，B 两点，若 |MA|MB |，则 a（ ）A B C D12 （5 分）正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱上到直线 A1B 与 CC1 的距离相等的点有 3 个，记这 3 个点分别为 E，F，G ，则直线 AC1 与平面 EFG 所成角的正弦值为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分） （x ） 7 的展开式的第 2 项为 14 （5 分）若函数 f（x ）1+|x|+ ，则 f（lg 2）+f （lg ）+
6、f（lg 5）+f（lg ） 15 （5 分）若存在等比数列a n，使得 a1（a 2+a3）6a 19，则公比 q 的取值范围为 16 （5 分）已知 A，B 分别是双曲线 C：x 2 1 的左、右顶点，P 为 C 上一点，且 P在第一象限记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，当 2k1+k2 取得最小值时，PAB 的第 4 页（共 23 页）垂心到 x 轴的距离为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答第 2
7、2、23 题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，3sin A2sin B ，tanC2 （1）证明：ABC 为等腰三角形（2）若ABC 的面积为 2 ，D 为 AC 边上一点，且 BD3CD，求线段 CD 的长18 （12 分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为 200 元，低于 100 箱按原价销售不低于 100 箱则有以下两种优惠方案：以 100 箱为基准，每多 50 箱送 5箱； 通过双方议价，买方能以优惠 8%成交的概率为 0.6，以优惠 6%成交的概率为0.4（1）甲、乙两单位都要在该厂购买 150 箱这种零件，两单位都选
8、择方案，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件 650 箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？19 （12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 为正方形，ADBC ，AD AB，AD2BC 1（1）证明：平面 ADEF平面 ABF（2）若 AF平面 ABCD，二面角 ABCE 为 30，三棱锥 ABDF 的外接球的球心为 O，求二面角 ACDO 的余弦值20 （12 分）已知椭圆 E： 1（ab0）的左，右焦点分别为 F1，F 2，P 为 E上的一个动点，且|PF 2|的最大值为 2
9、+ ，E 的离心率与椭圆 ： 1 的离心率第 5 页（共 23 页）相等（1）求 E 的方程；（2）直线 l 与 E 交于 M，N 两点（M ，N 在 x 轴的同侧） ，当 F1MF 2N 时，求四边形F1F2NM 面积的最大值21 （12 分）已知函数 f（x ）的导函数 f（x）满足（x +xlnx）f（x）f（x）对x（1，+ ）恒成立（1）判断函数 g（x） 在（1，+）上的单调性，并说明理由；（2）若 f（x） ex+mx，求 m 的取值范围(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分)22
10、（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 （1）若 l 与 C 相交于 A，B 两点 P（2，0） ，求|PA |PB|；（2）圆 M 的圆心在极轴上，且圆 M 经过极点，若 l 被圆 M 截得的弦长为 1，求圆 M的半径选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|x 1|+|x+3|（1）求不等式|f（x）6|1 的解集；（2）证明：4x 2f（x）2|x |+4第 6 页（共 23 页）2019 年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 1
11、2 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 Ax| x24，ABx|x 2 ，则集合 B 可以为（ ）A x|x3 Bx|3x1 C x|x1 D x|x3【分析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| x2，或 x2 ；Bx|x1时，AB x|x2 故选：C【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算2 （5 分） 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案【解答】解：
12、 ， 在复平面内对应的点的坐标为（2，11） ，位于第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表：身高 （ 100，110 （ 110，120 （ 120，130 （ 130，140 （ 140，150频数 5 35 30 20 10由此表估计这 100 名小学生身高的中位数为（ ） （结果保留 4 位有效数字）A119.3 B119.7 C123.3 D126.7【分析】设中位数
13、为 t，则有： 0.5，由此能求出结果【解答】解：设中位数为 t，第 7 页（共 23 页）则有： 0.5，解得 t123.3故选：C【点评】本题考查中位数的求法，考查中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）若函数 f（x ） 有最大值，则 a 的取值范围为（ ）A （5，+ ） B5，+） C （，5） D （，5【分析】利用分段函数的表达式，以及函数的单调性求解最值即可【解答】解：函数 f（x ） ，当 x1 时，函数是增函数，x1时，函数是减函数，由题意可得：f（1）a+4 1，解得 a5故选：B【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最
14、值的求法，考查计算能力5 （5 分）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为 5m，跨径为 12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A m B m C m D m【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是（0，0） ，并且过（6，5） ，利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求 p 即可【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：x 22py，p0，抛物线过（6，5） ，则 3610p，可得 p ，第 8 页（共 23 页）抛物线的焦点到准线的距离为： 故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，涉及了待定系数法求抛物线
15、解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般6 （5 分）汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以 16 等于 ，如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ）A32 B40 C D【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果【解答】解：根据几何体的三视图：转换为几何体，它有半个圆锥和半个圆柱组成故： ，由于 ，所以： 故： 故选：C【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，
16、属于基础题型7 （5 分）已知函数 f（x ）2cos 2（2x + ）+ sin（4x+ ） ，则下列判断错误的是（ ）Af（x）为偶函数第 9 页（共 23 页）Bf（x）的图象关于直线 x 对称Cf（x）的值域为1，3Df（x）的图象关于点（ ，0）对称【分析】化简 f（x ）1+2cos4x 后，根据函数的性质可得【解答】解：f（x ）1+cos（4x+ ）+ sin（4x+ ） 1+2sin（4x+ + ）1+2cos4x，则 A，B，C 均正确，D 错误故选：D【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，运算求解能力，属中档题8 （5 分）如图，在直角坐标系
17、 xOy 中，边长为 1 的正方形 OMNP 的两个顶点在坐标轴上，点 A，B 分别在线段 MN，NP 上运动设 PBMAx，函数 f（x） ，g（x） ，则 f（x）与 g（x ）的图象为（ ）A BC D第 10 页（共 23 页）【分析】由已知可得 A（1，x） ，B（x ，1） ，x0，1，根据向量的数量积即可求出f（x） ，g（x）的解析式，即可得到函数的图象【解答】解：由已知可得 A（1，x） ，B（x ，1） ，x0，1，则 （1x，x 1） ， （1，x ） ， （x，1） ，所以 f（x） 1x+x（x1）（x1） 2，g（x） 2x，故选：A【点评】本题考查了平
18、面向量与函数的图象，考查了函数与方程的数学思想，属于基础题9 （5 分）已知 m0，设 x，y 满足约束条件 ，zx +y 的最大值与最小值的比值为 k，则（ ）Ak 为定值1 Bk 不是定值，且 k2Ck 为定值 2 Dk 不是定值，且 2k1【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为 3 求得实数 m 的值【解答】解：画出 m0，x，y 满足约束条件 的可行域如图：当直线 zx+y 经过点 A（2，m +4） ，z 取得最大值，当直线经过 B（1 ，2）时，第 11 页（
19、共 23 页）z 取得最小值，故 k 2 为定值故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10 （5 分）设 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，若 a75， S555，则 nSn 的最小值为（ ）A343 B324 C320 D243【分析】分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得 a1，d，在代入求和公式即可求解【解答】解：由题意可得， 解可得 a119，d4，S n19n 2n 221n，nS n2n 321n 2，设 f（x）2x 321x 2，f（x）6x（x7） ，当 0x7 时，f（x）0；函数是减函数；当 x
20、7 时，f （x）0，函数是增函数；所以 n7 时，nS n 取得最小值：343故选：A【点评】本题主要考查了等差数列的 通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题11 （5 分）过点 M（1，0 ）引曲线 C：y2x 3+ax+a 的两条切线，这两条切线与 y 轴分别交于 A，B 两点，若 |MA|MB |，则 a（ ）A B C D【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，可得曲线 C 在切点处的切线的斜率，由斜率相等列式求得切点横坐标，再由|MA |MB| ，可得 ，由此求得 a 值【解答】解：设切点坐标为（t，2t 3+at+a） ，由 y2x 3+ax+a，得 y6x 2
21、+a， ，即 4t3+6t20，第 12 页（共 23 页）解得：t0 或 t |MA |MB|， ，即 2a+6 ，故 a 故选：B【点评】本题考查导数的几何意义，考查化归与转化思想方法，是中档题12 （5 分）正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱上到直线 A1B 与 CC1 的距离相等的点有 3 个，记这 3 个点分别为 E，F，G ，则直线 AC1 与平面 EFG 所成角的正弦值为（ ）A B C D【分析】正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱上到直线 A1B 与 CC1 的距离相等的点分别为：D1，BC 的中点，B 1C1 的四等分点（靠近 B1） ，假设 D1 与
22、 G 重合，BC 的中点为E，B 1C1 的四等分点（靠近 B1）为 F，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD 1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AC1 与平面 EFG 所成角的正弦值【解答】解：正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱上到直线 A1B 与 CC1 的距离相等的点分别为：D1，BC 的中点，B 1C1 的四等分点（靠近 B1） ，假设 D1 与 G 重合，BC 的中点为 E，B 1C1 的四等分点（靠近 B1）为 F，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD 1 所在直线分别为 x，y ， z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB2，则 E（
23、1，2，0） ，F（ ，2，2） ，G （0，0，2） ，A（2，0，0） ，C1（0，2，2） ， （ ） ， （ ） ， （2，2，2） ，设平面 EFG 的法向量 （x，y ，z） ，则 ，即 ，取 x4，得 （4，3，1） 设直线 AC1 与平面 EFG 所成角为 ，则直线 AC1 与平面 EFG 所成角的正弦值为 sin|cos | 故选：D第 13 页（共 23 页）【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）
24、（x ） 7 的展开式的第 2 项为 x 5 【分析】利用二项展开式的通项公式，求得（x ） 7 的展开式的第 2 项【解答】解：（x ） 7 的展开式的第 2 项为 T2 x5x 5，故答案为：x 5【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题14 （5 分）若函数 f（x ）1+|x|+ ，则 f（lg 2）+f （lg ）+f（lg 5）+f（lg ） 6 【分析】根据指数与对数的运算的性质计算即可【解答】解：f（x ）1+| x|+ ，f（x）+f（x ）2+2|x |，lg lg2，lg lg5，f（lg2）+f（ lg ）+ f（lg5
25、）+ f（lg ）22+2（lg 2+lg5）6，故答案为：6【点评】本题考查了指数与对数的运算，考查了抽象概括能力和运算求解能力15 （5 分）若存在等比数列a n，使得 a1（a 2+a3）6a 19，则公比 q 的取值范围为 第 14 页（共 23 页）q| q ，且 q0 【分析】由题意可得 a12（q+q 2）6a 1+90，根据判别式即可求出【解答】解：a 1（a 2+a3）6a 19，a 12（q+q 2）6a 1+90，当 q+q20 时，易知 q1，满足题意，当 q0，当 q+q20，3636（q+q 2）0，解得 q ，且 q0，故公比 q 的取值范围为q| q
26、 ，且 q0，故答案为：q| q ，且 q0【点评】本题考查了等比数列，考查了函数与方程的数学思想一运算求解能力，属于基础题16 （5 分）已知 A，B 分别是双曲线 C：x 2 1 的左、右顶点，P 为 C 上一点，且 P在第一象限记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，当 2k1+k2 取得最小值时，PAB 的垂心到 x 轴的距离为 2 【分析】设 M（a，0） ，N（a，0） ，P（x，y ） ，得到 k1k22，利用基本不等式求解最值，得到 P 的坐标，然后转化求解PAB 的垂心到 x 轴的距离【解答】解：设 M（a，0） ，N（a，0） ，P（x，y ）由题意，k
27、 1 ，k 2 ，k 1k2 2，2k 1+k22 4，当且仅当 2k1k 2 时取等号，此时 k11，PA 的方程为 y x+1，与 x2 1 联立，可得 x22x 30，解得 x3 或 x1，则 P 的坐标（3，4） ，设PAB 的垂心 H（3，y ） ，由 PABH ，可得： 8+4y0，解得 y2，则，PAB 的垂心到 x 轴的距离为：2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力第 15 页（共 23 页）三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答第 22、23 题为
28、选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，3sin A2sin B ，tanC2 （1）证明：ABC 为等腰三角形（2）若ABC 的面积为 2 ，D 为 AC 边上一点，且 BD3CD，求线段 CD 的长【分析】 （1）过 A 做 BC 的垂线 AH，根据 C 的大小可得 H 为 BC 的中点，从而得出ABAC；（2）根据面积求出 BC，在 BCD 中根据余弦定理计算 CD【解答】 （1）证明：tanC2 0，C 为锐角，且 sinC ，cosC 过 A 做 AHBC，垂足为 H，则 CHbcos C ，3sinA2sinB，3a2b，即 a ，H 是
29、 BC 的中点，又 AH BC，ABAC，ABC 为等腰三角形（2）解：AHbsinC ，S ABC 2 ，解得 b3，BC2，在BCD 中，由余弦定理得 cosC ，解得：CD 【点评】本题考查了余弦定理，三角形中的几何计算，属于中档题18 （12 分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为 200 元，低于 100 箱按原价销售不低于 100 箱则有以下两种优惠方案：以 100 箱为基准，每多 50 箱送 5第 16 页（共 23 页）箱； 通过双方议价，买方能以优惠 8%成交的概率为 0.6，以优惠 6%成交的概率为0.4（1）甲、乙两单位都要在该厂购买 150 箱这种零件，两单
30、位都选择方案，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；（2）某单位需要这种零件 650 箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？【分析】 （1）先求出甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为 X 元，则 X184 或 188，求出 X 的分布列和E（X）1840.6+1880.4185.6选择方案，则购买总价的数学期望为：185.6650120640 元；若选择方案，该单位只需要购买 600 箱，从而购买总价为2006
31、00120000 元，由此得到选择方案更划算【解答】解：（1）甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率为：0.40.60.24，甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率 P10.240.76（2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为 X 元，则 X184 或 188，P（X184）0.6，P （X188）0.4，X 的分布列为：X 184 188P 0.6 0.4则 E（X）1840.6+1880.4185.6若选择方案，则购买总价的数学期望为：185.6650120640 元；若选择方案，由于购买 600 箱能获赠 50 箱，该单位只需要购买 60
32、0 箱，从而购买总价为 200600120000 元，120640120000，选择方案更划算【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 为正方形，ADBC ，AD AB，AD2BC 1第 17 页（共 23 页）（1）证明：平面 ADEF平面 ABF（2）若 AF平面 ABCD，二面角 ABCE 为 30，三棱锥 ABDF 的外接球的球心为 O，求二面角 ACDO 的余弦值【分析】 （1）推导出 ADAF，AD AB ，AD 平面 ABF，由此
33、能证明平面 ADEF平面 ABF（2）推导出 BC平面 ABF， BCBF，再由 BCAB ，得二面角 ABCE 的平面角为ABF 30，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ACDO 的余弦值【解答】证明：（1）四边形 ADEF 是正方形，AD AF，又 ADAB，ABAFA ， AD平面 ABF，AD平面 ADEF，平面 ADEF平面 ABF（2）由（1）知 AD平面 ABF，又是 ADBC ，则 BC平面 ABF，BCBF，BCAB， 二面角 ABC E 的平面角为ABF30 ，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 D（0，1，0） ，C（ ，0） ，F（0
34、，0，1） ，A（0，0，0） ，三棱锥 ABDF 的外接球的球心为 O，O 为线段 BE 的中点，则 O（ ） ， （ ，0， ） ，（ ， ，0） ，设平面 OCD 的法向量 （x ，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，2 ） ，第 18 页（共 23 页）平面 ACD 的一个法向量 （0，0，1） ，设二面角 ACDO 的平面角为 ，则 cos 二面角 ACDO 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20 （12 分）已知椭圆 E： 1（ab0）的左，右焦点分别
35、为 F1，F 2，P 为 E上的一个动点，且|PF 2|的最大值为 2+ ，E 的离心率与椭圆 ： 1 的离心率相等（1）求 E 的方程；（2）直线 l 与 E 交于 M，N 两点（M ，N 在 x 轴的同侧） ，当 F1MF 2N 时，求四边形F1F2NM 面积的最大值【分析】 （1）由题意可得 ，解得 a2，c 则 b2a 2c 21，即可求出；（2）设直线 MF1 的方程为 xmy ，由 可得（m 2+4）y22 y10，利用韦达定理定理求出 y1y 2|，由题意可得 S |F1F2|y1y 2|，利第 19 页（共 23 页）用基本不等式求得最值【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 a
36、2，c则 b2a 2c 21，故 E 的方程为 +y21（2）延长 MF1 交 E 于点 M，由（1）可知 F1（ ，0） ，F 2（ ，0） ，设 M（x 1，y 1） ，M（x 2，y 2） ，设直线 MF1 的方程为 xmy ，由 可得（m 2+4）y 22 y10，y 1+y2 ，y 1y2|y 1y 2| ，设 F1M 与 F2N 的距离为 d，则四边形的 F1F2NM 面积 S （|F 1M|+|F2N|）d （|F 1M|+|F2M|）d |MM|dS ，SS + |F1F2|y1y 2| 2，故四边形 F1F2NM 面积的最大值为 2第 20 页（共 23 页）【点评】本题考查
37、椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）的导函数 f（x）满足（x +xlnx）f（x）f（x）对x（1，+ ）恒成立（1）判断函数 g（x） 在（1，+）上的单调性，并说明理由；（2）若 f（x） ex+mx，求 m 的取值范围【分析】 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调性即可；（2）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围求出函数的单调区间，求出函数的最小值，确定 m 的范围即可【解答】解：（1）由（x+xlnx）f （x）f （x） ，x（1，+） ，得（1+lnx）f（x ） f（x）0，g
38、（x） ，则 g（x）0，故 g（x）在（1，+）递增；（2）f（x） ex+mx，（x+xlnx） （e x+m）e x+mx，即（x+xlnx） （e x+m）e xmxe x（x 1+ xlnx）+mxlnx 0，设函数 h（x）e x（x 1+ xlnx）+ mxlnx， （x 1） ，h（x）（1+lnx） （x+1）e x+m，x1，1+lnx0，p（x ）（x +1）e x+m 是增函数，则 p（x）p（1）2e +m，第 21 页（共 23 页）当 2e+m0 即 m2e 时， h（x ）0，则 h（x）在（1，+）递增，从而 h（x）h（1）0，当 2e+m0 即 m2e 时
39、，则存在 x01，p（x 0）0，若 1xx 0，h（x ）0，若 xx 0，h（x）0，从而 h（x） minh（x 0）h（1）0，这与 h（x）0 对 x（1，+）恒成立矛盾，故 m2e 不合题意，综上，m 的范围是2e ，+ ） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分)22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
40、极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 （1）若 l 与 C 相交于 A，B 两点 P（2，0） ，求|PA |PB|；（2）圆 M 的圆心在极轴上，且圆 M 经过极点，若 l 被圆 M 截得的弦长为 1，求圆 M的半径【分析】 （1）先将圆 C 的极坐标方程化成直角坐标方程，再将直线 l 的参数方程代入，利用参数 t 的几何意义可得；（2）设出圆 M 的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理列式可得【解答】解：（1）由 ，得 x2+y210，将 代入 x2+y210，得 t22t60，设 A，B 两点对应的参数分别为t1，t 2，则 t1t26，故|PA|PB | tt2|6（2）直线 l
41、 的普通方程为 y +2 0，第 22 页（共 23 页）设圆 M 的方程为（xa） 2+（yb） 2a 2（a0）圆心（a，0）到直线 l 的距离为 d ，因为 2 1，所以 d2a 2 ，解得 a18（a10，舍去） ，则圆 M 的半径为 13， 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|x 1|+|x+3|（1）求不等式|f（x）6|1 的解集；（2）证明：4x 2f（x）2|x |+4【分析】 （1）不等式|f（x）6|1 可得5f （x）7，分段讨论解得即可，（2）根据绝对值三角不等式即可证明【解答】解：（1）|f（x）6|1，1f（x） 61，即5f（x） 7，当3x1 时，f（x）4，显然不合题意，当 x3 时，52x 27，解得 x ，当 x1 时，52x +27，解得 x ，综上不等式的解集为， （ ， ）（ ， ） 证明：（2）f（x ）|x 1|+|x+3|x |+1+|x|+32|x|+4 ，当且仅当 x0 时等号成立，f（x）2|x|+4f（x）|x 1|+|x+3|1x +x+3|4，f（x）4，4x 24，4x 2f（x） ，4x 2f（x）2|x |+4【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的证明，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题
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