1、评估验收( 一)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是( )A棱柱的侧面都是长方形B棱柱的所有面都是四边形C棱柱的侧棱不一定相等D一个棱柱至少有五个面解析：由棱柱的定义及性质，A ，B，C 不正确三棱柱的面最少，两个底面和三个侧面，D 正确答案：D2若一个圆柱的轴截面是面积为 8 的正方形，则这个圆柱的侧面积为( )A4 B8C4 D122解析：设轴截面的边长为 a，则 a28，所以 a2 .2所以圆柱的底面半径 R ，母线长 l2 ，2 2因此 S 圆柱侧 2
2、R l8.答案：B3一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 10 ，则 h 为( )3A. B.32 3C3 D53 3解析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，其底面是长为 6、宽为 5 的矩形，高为h，所以 V 65h10 ，解得 h .13 3 3答案：B4如图，Rt OAB是一平面图的直观图，斜边 OB2，则这个平面图形的面积是( )A. B122C. D22 2解析：因为 RtOAB是一平面图形的直观图，斜边 OB2，所以直角三角形的直角边长是 ，2所以直角三角形的面积是 1，12 2 2所以原平面图形的面积是 12 2 .2 2答案：D5已知圆锥的底面半径为 1，且它的侧面
3、展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为( )A. B. 33 3C. D. 53 5解：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 R，如图所示，则 2rR，因为 r1，所以 R2，所以圆锥的高 h ，R2 r2 3所以圆锥的体积 V 12 .13 3 33答案：A6若长方体相邻三个面的面积分别为 ， ， ，则长方体的体积等于( )2 3 6A. B66C6 D366解析：设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则不妨设 ab ，ac ，bc .6 3 2所以 a2b2c2 6.2 3 6故长方体的体积 Vabc .6答案：A7若在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截
4、去 8 个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A. B.23 16C. D.56 13解析：易知 V18 .13 12 12 12 12 56答案：C8过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的表面积的比值为( )A. B.316 916C. D.38 932解析：设球的半径为 R，截面圆的半径为 r，则 r2R 2，所以 r2 R2.(R2)2 34故 .S截 面S球 r24R2 14 34 316答案：A9一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为( )A30 B45C60 D75解析：设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，则由题意得
5、rl2r 2，所以 l2r，所以圆锥的母线与轴所成的角为 30.答案：A10若某几何体的三视图(单位： cm)如图所示，则此几何体的体积是 ( )A24 cm 3 B40 cm 3C36 cm 3 D48 cm 3解析：由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去两个全等的与三棱柱等底面且高为 2 的三棱锥形成的，故该几何体的体积V 4382 43240(cm 3)12 13 12答案：B11(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A3 B22 3C2 D22解析：在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知 SD 为该四棱锥的最长棱由三视图可知正方体的棱长为 2，故
6、 SD 2 .22 22 22 3答案：B12如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆如果圆柱的体积是 V，那么三棱柱的体积是( )A. B.2V V2C. D.V V3解析：设圆柱的底面圆半径为 R，高为 h，在等腰 RtA1B1C1 中，A 1B12R.所以 SA1B1C1 ( R)2R 2，12 2又 S 圆 R 2，h ，VR2所以 V 三棱柱 hS A1B1C1hR 2 .V答案：C二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段
7、 AA1，B 1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_解析：S DD1E 11 ，又点 F 到平面 DD1E 的距离为 1，所以12 12VD1EDF VFDD1E SDD1E1 .13 16答案：1614.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示) ，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的 ，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是_14解析：设圆柱桶的底面半径为 R，油桶高为 h，油桶直立时油面的高度为 x，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为 90，则 hR 2x，所以 .(14R2 12R2) xh 14 12答案： 14 1215湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留
8、下一个直径为 12 cm、深2 cm 的空穴，则该球的半径是 _ cm，表面积是_ cm 2.解析：设球的半径为 R cm，由条件，知 R26 2(R2) 2，解得 R10，S 表 4 R2400(cm 2)答案：10 40016已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是_323解析：设球的半径为 r，则 r3 ，43 323得 r2，柱体的高为 2r4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为 4 ，3所以正三棱柱的体积 V (4 )2448 .34 3 3答案：48 3三、解答题(本大题共 6 小题，共 70
9、 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由解：因为 V 半球 R3 43134(cm3)，12 43 12 43V 圆锥 r2h 4212201(cm3)，13 13因为 134201，所以 V 半球 V 圆锥 ，所以冰淇淋融化了，不会溢出杯子18(本小题满分 12 分)如图，正方体 ABCD-ABCD的棱长为 a，连接AC，A D，A B，BD，BC， CD，得到一个三棱锥(1)求三棱锥 A-BCD 的表面积与正方体的表面积的比值；(2)求三棱锥 A
10、-BCD 的体积解：(1)在正方体 ABCD-ABCD中，六表面皆是正方形，所以 ACA BADBDC D a.2则 S 三棱锥 A-BCD4 a a2 a2，12 2 62 3又 S 正方体 6a 2，因此 S 三棱锥 A-BCDS 正方体 3.3(2)易知三棱锥 A-ABD，C-BCD ，D-ADC ，B-A BC的体积相等所以 V 三棱锥 A-BCDV 正方体 4V 三棱锥 A-ABDa 34 a2a a3.13 12 1319(本小题满分 12 分)已知圆台侧面的母线长为 2a，母线与轴的夹角为 30，一个底面的半径是另一个底面半径的 2 倍求两底面的半径及两底面面积之和解：如图所示，
11、设圆台上底面半径为 r，则下底面半径为 2r，且ASO30，在 RtSOA中， sin 30，rSA所以 SA2r .在 RtSOA 中， sin 30，2rSA所以 SA4r.因为 SASA AA，即 4r 2r2a，所以 ra.所以 SS 1S 2r 2(2 r)25r 25a 2.所以圆台上底面半径为 a，下底面半径为 2a，两底面面积之和为 5a2.20(本小题满分 12 分)在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 的圆3柱，求圆柱的表面积解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S，则ROC2，AC4，AO 2 .42 22 3如图所示，易知AEBAO
12、C，所以 ，即 ，AEAO EBOC 323 r2所以 r1，S 底 2r 22，S 侧 2 rh 2 .3所以 SS 底 S 侧 22 (2 2 ).3 321(本小题满分 12 分)已知一个几何体的三视图如图所示(1)求此几何体的表面积 S；(2)已知点 P，Q 在正视图中的位置 (P 为所在线段的中点，Q 为所在线段的端点) ，求在几何体的侧面上，从点 P 到点 Q 的最短路径的长解：(1)由三视图知，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面面积之和又 S 圆锥侧 a a a2，S 圆柱侧 2a2a4a 2，2 2S 圆柱底 a 2，所以
13、 S a24 a2a 2 ( 5) a2.2 2(2)沿点 P 与点 Q 所在的母线剪开圆柱侧面，如图则 PQ a .AP2 AQ2 a2 （a）2 1 2所以在几何体的侧面上，从点 P 到点 Q 的最短路径的长为 a .1 222(本小题满分 12 分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示 (单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积解：(1)直观图如图所示(2)易知该几何体是由长方体被截去一个三棱柱得到的，且该几何体的体积是以A1B1、A 1D、AA 1 的长为长、宽、高的长方体体积的 .34如图，在直角梯形 AA1B1B 中，作 BEA1B1 于点 E，因为 AA1AB1 m，所以四边形 AA1EB 是正方形，所以 AA1BE1 m.在 RtBEB1 中，BE1 m，EB11 m，则 BB1 m.2因此几何体的表面积 SS 正方形 AA1D1D2S 梯形 AA1B1BS 矩形 BB1C1CS 正方形 ABCDS 矩形A1B1C1D1112 (12)1 1 1112(7 )m2.12 2 2几何体的体积 V 121 m3.34 32故几何体的表面积为(7 )m2，体积为 m3.232
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