1、2019 年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科） （A 卷）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 AxR|x+10，B xZ|x1，则 AB（ ）A x|0x1 Bx|1x1 C0 ，1 D12 （5 分）若复数 （i 为虚数单位） ，则 （ ）A B C D3 （5 分）已知 （ ）A B3 C D34 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A若函数 f（x）为奇函数，则 f（0）0B若数列a n为常数列，则 an既是等差数列也是等比数列C在A
2、BC 中，AB 是 sinAsinB 的充要条件D若两个变量 x，y 的相关系数为 r，则 r 越大，x 与 y 之间的相关性越强5 （5 分）已知平面向量 与 的夹角为 ，且 ，则 （ ）A2 B.1 C. D.6 （5 分）袋子中装有大小、形状完全相同的 2 个白球和 2 个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（ ）A B C D7 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+3y 的最小值为（ ）A8 B6 C4 D38 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（x）f（
3、2x） ，当 x0，1时，f（x）4 x1，则在（1，3）上，f （x）1 的解集是（ ）第 2 页（共 23 页）A （1， B ， C ，3） D2 ，3）9 （5 分）已知椭圆 ，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平行于 FP的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，且 AB 的中点为 ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 的部分函数图象如图所示，点 ，则函数 f（x ）图象的一条对称轴方程为（ ）A B C D11 （5 分）如图，某几何体的三视图都是边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为（ ）A B C D12
4、（5 分）对任意 ，都存在 x1，x 2（x 1， x2R，x 1x 2） ，使得，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ ）第 3 页（共 23 页）A （e 2，+） B （1，+） C （1，e 2） D （0，1）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（2，1） ，若 P（Xa2）P（X2a+3） ，则 a 14 （5 分）已知双曲线 C：x 24y 21，过点 P（2，0）的直线 l 与 C 有唯一公共点，则直线 l 的方程为
5、15 （5 分）在棱长为 1 的透明密闭的正方形容器 ABCDA 1B1C1D1 中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度） ，将该正方体容器绕 BD1 旋转，并始终保持 BD1 所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为 16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ，若a24，则 Sn 取最小值时 n 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知ABC 的面积为 ，且内角 A、B、C 依次成等差数列（1）若 sinC3sin A，
6、求边 AC 的长；（2）设 D 为边 AC 的中点，求线段 BD 长的最小值18 （12 分）已知三棱锥 PABC 中，PC AB，ABC 是边长为 2 的正三角形，PB 4，PBC60；（1）证明：平面 PAC平面 ABC；（2）设 F 为棱 PA 的中点，求二面角 PBCF 的余弦值19 （12 分）东方商店欲购进某种食品（保质期两天） ，此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的） 根据市场调查，该食品每份进价 8 元，售价 12 元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区 100 天的销售量如表：销售量（份
7、） 15 16 17 18第 4 页（共 23 页）天数 20 30 40 10（视样本频率为概率）（1）根据该产品 100 天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为 ，求 的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进 32 或 33 份，哪一种得到的利润更大？20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）上一点 P（x 0，2）到焦点 F 的距离|PF|2x 0（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 P 引圆 的两条切线 PA、PB，切线PA、PB 与抛物线 C 的另一交点分别为 A、B，线段 AB 中点的横坐标记为 t，求 t 的取值范围2
8、1 （12 分）已知函数 ，（1）求函数 f（x ）的极小值（2）求证：当1a1 时，f（x ）g（x）选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）当 0r2 时，若曲线 C 与射线 l 交于 A，B 两点，求 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|1x | |x+3|（1）求不等式 f（x ）1 的解集；（2）若函数 f（x ）的最大值为 m，正实数 p，q 满足 p+2qm，求
9、 的最小值第 5 页（共 23 页）2019 年河北省石家庄市高考数学一模试卷（理科） （A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 AxR|x+10，B xZ|x1，则 AB（ ）A x|0x1 Bx|1x1 C0 ，1 D1【分析】可求出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| x1；ABxZ| 1x 10，1 故选：C【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算2 （5 分）若复数 （i 为虚数单位） ，则 （ ）A B C D【
10、分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z，再由 求解【解答】解：数 ， 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）已知 （ ）A B3 C D3【分析】利用已知条件化简，通过两角和与差的三角函数化简求解即可【解答】解：已知 cos（ +）2cos （ ） ，可得 sin2cos，tan2 ，则 tan 3故选：B第 6 页（共 23 页）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，考查计算能力4 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A若函数 f（x）为奇函数，则 f（0）0B若数列a n为常数列，则 an既是等差数列
11、也是等比数列C在ABC 中，AB 是 sinAsinB 的充要条件D若两个变量 x，y 的相关系数为 r，则 r 越大，x 与 y 之间的相关性越强【分析】对于选项 A，B 给出反例可说明命题错误，C 由正弦定理可知命题正确，D 由相关系数的定义确定其真伪即可【解答】解：A：只有当奇函数 f（x）的定义域中有 0 时，f（0）0，故 A 不正确；B：a n0 时，B 不正确；C：ABabsinAsinB，故 C 正确；D：两个随机变量相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于 1，故 D 错误故选：C【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题5 （5 分）已知平面向量 与 的夹角为 ，
12、且 ，则 （ ）A2 B.1 C. D.【分析】根据条件可求出 ，从而对 两边平方即可得出，解出 即可【解答】解：向量 与 的夹角为 ，且 ； ； ； ； 或 0（舍去） ； 故选：A【点评】考查向量数量积的运算及计算公式第 7 页（共 23 页）6 （5 分）袋子中装有大小、形状完全相同的 2 个白球和 2 个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（ ）A B C D【分析】第二次摸到红球时，第一次是从 2 个白球和一个红球中摸到红球【解答】解：在第二次摸到红球的条件下，第一次从 3 个球中摸到红球的概率为 故选：B【点评】本
13、题考查了条件概率与独立事件，属中档题7 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+3y 的最小值为（ ）A8 B6 C4 D3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值【解答】解：作出变量 x，y 满足约束条件 ，对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 zx +3y 得 y x+ ，平移直线 y x+ ，由图象可知当直线 y x+ 经过点 A 时，直线 y x+ 的截距最小，此时 z 最小由 ，解得 A（2，2） ，代入目标函数得 z2+3 24即 zx +3y 的最小值为 4故选：C第 8 页（共 23 页）【点评】本题主要考查线性规划的
14、应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法8 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且满足 f（x）f（2x） ，当 x0，1时，f（x）4 x1，则在（1，3）上，f （x）1 的解集是（ ）A （1， B ， C ，3） D2 ，3）【分析】根据题意，分析可得函数的对称轴为 x1，结合函数的奇偶性与解析式作出函数的图象，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）满足 f（x）f （2 x） ，则函数的对称轴为 x1，又由 f（x）为奇函数且当 x0，1时，f（x）4 x1，则其图象如图，在（1，3）上，f（x ）1，则
15、有 x3，即不等式的解集为 ，3） ，故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的对称性，属于基础题第 9 页（共 23 页）9 （5 分）已知椭圆 ，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平行于 FP的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，且 AB 的中点为 ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】设 A（x 1，y 1） ，B（ x2，y 2） 由 AB 的中点为 ，可得x1+x22，y 1+y21由 PFl，可得 kPFk l 由 + 1， +1作差代入即可得出【解答】解：设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） AB 的中点为 ，x
16、1+x22，y 1+y21PFl，k PFk l 由 + 1， + 1 + 0， + 0，可得：2bca 2，4c 2（a 2c 2）a 4，化为：4e 44e 2+10，解得 e2 ，0e 1e 故选：A【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式、 “点差法” ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分）已知函数 的部分函数图象如图所示，点 ，则函数 f（x ）图象的一条对称轴方程为（ ）第 10 页（共 23 页）A B C D【分析】首先根据函数图象上的点的坐标，确定函数的关系式，进一步利用含糊是图象的性质的应用求出结果【解答】解：函数 的
17、部分函数图象如图所示，点 ，根据函数的图象：f（0） ，整理得：2cos ，解得： ，当 时，又：f（ ）0，解得：2cos（ + ）0，整理得： 2 故：f（x）2cos（2x + ） ，当 x 时，f（ ）2当 时，f（ ）0，解得： 4故：f（x）2cos（4x ） ，当 x 时，f（ ）2第 11 页（共 23 页）故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型11 （5 分）如图，某几何体的三视图都是边长为 1 的正方形，则该几何体的体积为（ ）A B C D【分析】画出几何体的直观图，
18、利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体去掉 2 个三棱锥的几何体，几何体的体积为：12 故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状12 （5 分）对任意 ，都存在 x1，x 2（x 1， x2R，x 1x 2） ，使得，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ ）第 12 页（共 23 页）A （e 2，+） B （1，+） C （1，e 2） D （0，1）【分析】令 f（m）mlnm m， ，然后根据导数及函数单调性可求f（m）1，e 2，然后令 g（x）axe x，
19、由 x1x 2，g（x 1）g（x 2） ，可知ymlnmm 与 yg（x ）的图象有 2 个交点，结合导数即可求解【解答】解：令 f（m）mlnm m ， ，f（m）lnm，当 时，f（m）lnm0，f（m）单调递减，当 1me 2，f （m ）lnm0，f（m ）单调递增，f（m）1，f（ ） ，f （e 2）e 2，故 f（m）1，e 2令 g（x）axe x，则 g（x ）ae x，且 x1x 2，g（x 1）g（x 2） ，当 a 0 时， g（x）ae x0 恒成立，g（x）在 R 上单调递减，与x1x 2，g（x 1） g（x 2） ，矛盾当 a 0 时，当 xlna 时， g（
20、x ）ae x0，函数 g（x）单调递减，当 xlna 时， g（x）ae x0，函数 g（x）单调递增，当 x时，g（x ），当 x+时，g（x）且 g（x ） maxg（lna ）alnaa，当 x1x 2 时，若 g（x 1） g（x 2）mlnm m，则 ymlnm 与 yg（x）有 2 个不同的交点，alnaae 2，g（a）alnaag（e 2）e 2lne2e 2e 2，又 a0，解得 ae 2，实数 a 的取值范围为：（e 2，+） 故选：A【点评】本题主要考查了函数的导数在函数单调性中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于难题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填
21、在答题纸上）13 （5 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（2，1） ，若 P（Xa2）P（X2a+3） ，则 a 1 第 13 页（共 23 页）【分析】根据正态曲线关于 x2 对称，得到两个概率相等的区间关于 x2 对称，得到关于 a 的方程，解方程即可【解答】解：随机变量 服从正态分布 N（2，1） ，正态曲线关于 x2 对称，P（Xa2）P （X2a+3） ，a2+2a+34，a1，故答案为：1【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查关于直线对称的点的特点，是基础题14 （5 分）已知双曲线 C：x 24y 21，过点 P（2，0）的直线 l 与 C 有唯一公共点
22、，则直线 l 的方程为 x2y 20 【分析】先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当 l 与渐近线平行，满足 l 与C 有且只有一个公共点【解答】解：根据双曲线方程 x24y 21 可知 a1，右顶点为（1，0） ，使 l 与 C 有且只有一个公共点的情况为：当 l 与渐近线平行直线 l 与 C 有唯一公共点，双曲线的渐近线方程为：x2y0，过点 P（2，0）的直线 l 与 C 有唯一公共点，则直线 l 的方程为：y （x2）即 x2y20故答案为：x2y 20【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用15 （5 分）在棱长为 1 的透明密闭的正方形
23、容器 ABCDA 1B1C1D1 中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度） ，将该正方体容器绕 BD1 旋转，并始终保持 BD1 所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为 【分析】水面是以 BD1 为对角线的平行四边形，设 A1M x，用 x 表示出水面面积，根据二次函数的性质和 x 的范围得出水面的最大面积【解答】解：由对称性可知水面横经过 BD1 所在的直线，设水面与 AA1 交于 M，与 CC1 交于 N，则 A1MCN，且四边形 BMD1N 为平行四边第 14 页（共 23 页）形设 A1Mx（0x1） ，则 AM1x ，故 D
24、1M ，BM ，又 BD1 ，cosBMD 1 ，sinBMD 1 ，水面四边形 BMD1N 的面积 S2S 2 x 2x+1（ x ） 2+ ，且 0x 1，当 x0 或 x1 时，S 取得最大值 故答案为： 【点评】本题考查了正方体的结构特征，属于中档题16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ，若a24，则 Sn 取最小值时 n 10 【分析】由 ，知数列a n为单调递增的等差数列，将 n换为 n+1，两式作差可得 an+2+an+2n9，结合条件得到 a10 与 a11 与 0 的大小，即可得出 Sn 取最小值时 n 的值【解答】解：数列a n的前 n 项和为 Sn，且
25、 ，由等差数列前 n 项和的性质，知数列a n为单调递增的等差数列，将 n 换为 n+1 得，S n+2+Sn+1 ，第 15 页（共 23 页）得，a n+2+an+1n9，当 n9 时，a 11+a100，又 a24，a 110，a 100，n10 时，S n 取最小值故答案为：10【点评】本题考查数列的递推公式以及前 n 项和公式的应用，关键是得出数列a n为单调递增的等差数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知ABC 的面积为 ，且内角 A、B、C 依次成等差数列（1）若 s
26、inC3sin A，求边 AC 的长；（2）设 D 为边 AC 的中点，求线段 BD 长的最小值【分析】 （1）由 A，B，C 依次成等差数列，得到 2BA+C ，再由内角和定理求出 B 的度数，利用三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理即可计算得解（2）由题意可得 （ + ） ，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式即可计算得解 AD 的最小值【解答】解：（1）在ABC 中，三个内角 A，B，C 依次成等差数列，2BA +C，A+ B+C180，B60，ABC 的面积为 acsinB ac，ac12，sinC3sin A，由正弦定理可得：c 3a，解得：a2，c6，由余弦定理得 ACb
27、 2 （2）因为 D 为 AC 边的中点，所以： （ + ） ，两边平方，可得： 2 （ 2+ 2+2 ） ，第 16 页（共 23 页）可得：| |2 （c 2+a2+2accosB） （c 2+a2+ac） （2ac+ac） 3129，解得 AD 3，当且仅当 ac 时等号成立，可得 AD 的最小值为 3【点评】本题主要考查了等差数列的性质，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的应用，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）已知三棱锥 PABC 中，PC AB，ABC 是边长为 2 的正三角形，PB 4，PBC60；（1）证明：平面 PAC平面 A
28、BC；（2）设 F 为棱 PA 的中点，求二面角 PBCF 的余弦值【分析】 （1）计算 PC，根据勾股定理可得 PCBC，结合 PCAB 可得 PC平面ABC，故而平面 PAC平面 ABC；（2）建立空间坐标系，求出平面 PBC 和平面 BCF 的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小【解答】 （1）证明：PB4，BC2，PBC 60，PC 2 ，PC 2+BC2PB 2，PCBC，又 PCAB，AB平面 ABC，BC 平面 ABC，ABBC B，PC平面 ABC，有 PC平面 PAC，平面 PAC平面 ABC（2）取 AC 的中点 O，连接 OF，CF，OB，则 OFPC ，OF PC
29、，由（1）知 PC平面 ABC，故 OF平面 ABC，ABC 是正三角形，OBAC，以 O 为原点，以 OA，OB，OF 为坐标轴建立空间坐标系如图所示，则 F（0，0， ） ，C（1， 0，0） ，B （0， ，0） ，P（1，0，2 ） ，第 17 页（共 23 页） （1， ，0） ， （1，0， ） ， （0，0，2 ） ，设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z） ，则 ，即 ，令 y1 可得 （ ，1，0） ，同理可得平面 BCF 的法向量为 （ ，1，1） cos 二面角 PBCF 的余弦值为 【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题19 （12 分）
30、东方商店欲购进某种食品（保质期两天） ，此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的） 根据市场调查，该食品每份进价 8 元，售价 12 元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区 100 天的销售量如表：销售量（份） 15 16 17 18天数 20 30 40 10（视样本频率为概率）（1）根据该产品 100 天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为 ，求 的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进 32 或 33 份，哪一种得到的利润更大？【分析】 （1）计算 的各种
31、取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望；（2）分别计算两种情况下所获利润的数学期望，得出结论【解答】解：（1） 的可能取值有 30，31，32，33，34，35，36，其中 P（30）0.20.20.04，P（31）20.20.30.12，第 18 页（共 23 页）P（32）0.30.3+20.20.40.25，P（33）20.20.1+20.30.40.28，P（34）0.40.4+20.30.10.22，P（35）20.40.10.08，P（36）0.10.10.01 的分布列为： 30 31 32 33 34
32、35 36P 0.04 0.12 0.25 0.28 0.22 0.08 0.01E（）300.04+310.12+32 0.25+330.28+340.22+350.08+360.0133.11（2）当一次性购进 32 份食品时，设每两天的利润为 X，则 X 的可能取值有104，116，128，且 P（X104）0.04，P （X116）0.12，P（X 128）10.040.120.84，E（X）1040.04+1160.12+1280.84125.6当一次性购进 33 份食品时，设没两天的利润
33、为 Y，则 Y 的可能取值有96，108，120，132且 P（Y 96）0.04，P（Y108）0.12，P（Y120）0.25，P（Y132）10.040.120.250.59，E（Y ）960.04+108 0.12+1200.25+1320.59124.68 E（X）E（ Y） ，东方商店一次性购进 32 份食品时得到的利润更大【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的计算，属于中档题20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）上一点 P（x 0，2）到焦点 F 的距离|PF|2x 0（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 P 引圆 的两条切线 PA、PB，切线PA
34、、PB 与抛物线 C 的另一交点分别为 A、B，线段 AB 中点的横坐标记为 t，求 t 的取值范围【分析】 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，解方程可得 p，进而第 19 页（共 23 页）得到抛物线方程；（2）设过 P（1，2）的切线方程为 ykx+2k，运用圆心到直线的距离为半径 r，以及联立抛物线方程，运用韦达定理，可得 A，B 的横坐标与 r 的关系，化简整理，即可得到所求范围【解答】解：（1）抛物线 C：y 22px（p0）的焦点 F（ ，0） ，准线方程为x ，|PF|2 x0即为 x0+ 2x 0，又 2px04，解得 p2，x 01，抛物线 C 的方程为 y
35、24x；（2）过 P（1，2）的切线方程为 ykx+2k，由切线与圆 M 相切，可得 r，化为（r 24）k 28k +（r 24）0，可得 k1+k2 ，k 1k21，由 ykx+2k，联立抛物线方程可得 k2x2+2k（2k）4x+（2k ） 20，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，可得 1x1 1 + ，1x2 1 + ，即有 x1+x22 4（ + ）+4（ + ）2 +4（ 2）（ +1） 27，由 0r ，可得 4r 22，4） ，可得（ +1） 27（18 ，74，即有 t （9，37t 的取值范围是（9，37【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程
36、的运用，考查直线和圆相切，第 20 页（共 23 页）以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 ，（1）求函数 f（x ）的极小值（2）求证：当1a1 时，f（x ）g（x）【分析】 （1）f（x ） ， （x （0，+） ） 对 a 分类讨论，利用导数研究单调性极值即可得出结论（2）令 F（x） f（x）g（x）lnx+ ，x（0，+） 当1a1 时，要证f（x）g（x） ，即证 F（x ）0，即 xlnxasinx+10，即证 xlnxasinx1对 a 分类讨论，利用导数研究单调性极值通过放缩即可证明结论【解答】解：（1）f（x
37、） ， （x（0，+） ） 当 a10 时，即 a1 时，f（x ）0，函数 f（x）在 x（0，+ ）上单调递增，无极小值；当 a10 时，即 a1 时，f（x ）0，解得 0xa1，函数 f（x）在（0，a1）上单调递减f（x）0，解得 xa1，函数 f（x ）在（a1，+）上单调递增xa1 时，函数 f（x）取得极小值，f（a11+ln （ a1） 综上所述，当 a1 时，f（x）无极小值；当 a1 时，f（ x） 极小值 1+ln （a1） （2）令 F（x） f（x）g（x）lnx+ ，x（0，+） 当1a1 时，要证 f（x ）g（x） ，即证 F（x）0，即 xlnxasinx+
38、10，即证 xlnxasinx1当 0 a1 时，令 h（x）xsinx，h（x）1cosx0，所以 h（x）在 x（0，+ ）上单调递增，故 h（x）h（0）0，即 xsin xax1asinx1，令 u（x）xlnxx+1 ，u（ x）lnx，第 21 页（共 23 页）当 x（0，1） ， u（x）0，u（x）在（0，1）上单调递减；x（1，+） ，u（x）0，u（x）在（1，+）上单调递增故 u（x）u（1）0，即 xlnxx1当且仅当 x1 时取等号又0a1，xlnxx 1 ax1由上面可知：xlnxx 1ax1asinx 1，所以当 0a1，xlnxasinx1当 a 0 时，即证
39、 xlnx1令 v（x ）xlnx，v（x）lnx+1，可得 v（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，v（x） minv（ ） 1，故 xlnx1当 1a 0 时，当 x（ 0，1时，asinx 11，由知 v（x）xlnx ，而 1，故 xlnxasin x1当 x（1，+）时，asinx10，由知 v（x）xlnxv（1）0，故xlnxasin x1；所以，当 x（ 0，+）时，xlnxasinx 1综上可知，当1a 1 时，f （x）g（x） 另证：xlnxasinx+10 另一种方法：可设其为 h（a） ，1a1 h'（a）sinx分两类讨论都可以证出结论【点评
40、】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）当 0r2 时，若曲线 C 与射线 l 交于 A，B 两点，求 的取值范围第 22 页（共 23 页）【分析】 （1）由 消去 t 得曲线 C 的普通方程为：（ x2） 2+y3r 2，即x2+y24x+4 r20，将 代入得曲线
41、 C 的极坐标方程为2 4cos+4 r20（2）将 代入 24cos+4r 20，得 22+4r 20，设 A，B 的极径为1， 2，然后利用极径的几何意义可得【解答】解：（1）由 消去 t 得曲线 C 的普通方程为：（ x2）2+y2r 2，即 x2+y24x +4r 20，将 代入得曲线 C 的极坐标方程为 24cos+4r 20（2）将 代入 24cos+4r 20，得 22+4r 20，44（4r 2）0，即 r2（3，4）设 A，B 的极径为 1， 2，则 1+22， 124r 2， + + ，3r 24， （2， +） ，故 的取值范围是（2，+） 【点评】本题考查了简单曲线的极
42、坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x ）|1x | |x+3|（1）求不等式 f（x ）1 的解集；（2）若函数 f（x ）的最大值为 m，正实数 p，q 满足 p+2qm，求 的最小值【分析】 （1）分 3 段去绝对值解不等式，再相并；（2）先根据分段函数的单调性求出最大值可得 m4，再通过变形后使用基本不等式可得最小值【解答】解（1）不等式 f（x）1|1x |x+3| 1 或或 ，第 23 页（共 23 页）解得 x ，故原不等式的解集为x| x ；（2）f（x） ，f（x） max4，m4，p+2q4，p0，q0，p+2+2q6， + （ + ） （2+2+ + ） （4+2 ）（4+4） ， 的最小值为 ，当且仅当 p1q 时取等【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
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