1、A 级 基础巩固一、选择题1设 e1，e 2 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )Ae 1e 2 和 e1e 2 B3e 14e 2 和 6e18e 2Ce 1 2e2 和 2e1e 2 De 1 和 e1e 2解析：B 中，因为 6e18e 22(3 e14e 2)，所以(6e 18e 2)(3e14e 2)，所以 3e14e 2 和 6e18e 2 不能作为基底答案：B2在菱形 ABCD 中，A ，则 与 的夹角为( )3 AB AC A. B. C. D.6 3 56 23解析：由题意知 AC 平分 BAD，所以 与 的夹角为 .AB AC 6答案：A3在
2、ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 2 ，设 a， b，则 可用基底BD DC AB AC AD a，b 表示为( )A. (ab) B. a b12 23 13C. a b D. (ab)13 23 13解析：因为 2 ，BD DC 所以 .BD 23BC 所以 ( ) a b.AD AB BD AB 23BC AB 23AC AB 13AB 23AC 13 23答案：C4如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上一点， x y ，且 3 ，则( )OP OA OB BP PA Ax ，y Bx ，y23 13 13 23Cx ，y Dx ，y 14 34 34 14解析：由已知 3 ，得
3、 3( )，整理，得 ，故BP PA OP OB OA OP OP 34OA 14OB x ，y .34 14答案：D5(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 ( )EB A. B. 34AB 14AC 14AB 34AC C. D. 34AB 14AC 14AB 34AC 答案：A二、填空题6若 a， b， (1) ，则 _OP1 OP2 P1P PP2 OP 解析：因为 OP1 ( ) ，OP OP1 P1P PP2 OP1 OP2 OP OP1 OP2 OP 所以(1 ) .OP OP1 OP2 所以 a b.OP 11 OP1 1 OP2
4、11 1 答案： a b11 1 7已知|a| 1， |b| ，且 ab 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角为_2解析：如图，作向量 a， b，则 ab.由已知，得OA OB BA OA1， OB ，OA AB，2所以OAB 为等腰直角三角形，所以AOB45，所以 a 与 b 的夹角为 45.答案：458如果 3e14e 2a，2e 13 e2b，其中 a， b 为已知向量，则e1_， e2_ 解析：由 解得a 3e1 4e2，b 2e1 3e2，) e1 3a 4b，e2 3b 2a.)答案：3a4b 3b2a三、解答题9如图所示，平面内有三个向量 ， ， ，其中 与 的夹角为 120，
5、与OA OB OC OA OB OA 的夹角为 30，且| | |1 ，| |2 ，若 (，R)求 的OC OA OB OC 3 OC OA OB 值解：如图所示，以 OA，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形 ODCE，则 .OC OD OE 在直角OCD 中，因为| | 2 ，COD 30，OCD 90 ，所以OC 3| |4 ，| |2，OD CD 故 4 ， 2 ，OD OA OE OB 即 4，2，所以 6.10如图所示，ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 的中点，G 为 DE，BF 的交点，若 a， b，试以 a，b 为基底表示 ， ， .AB AD DE BF
6、CG 解： a bba b.DE AE AD AB BE AD 12 12 b aab a.BF AF AB AD DF AB 12 12如图所示，连接 DB，延长 CG，交 BD 于点 O，点 G 是CBD 的重心，故 b a b.CG CE EG 12CB EG 12CB 13ED 12 13(a 12b) 13 13B 级 能力提升1如果 e1，e 2 是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )e 1e 2(，R)可以表示平面 内的所有向量；对于平面 内任一向量 a，使ae 1e 2 的实数对(， )有无穷多个； 若向量 1e1 1e2 与 2e1 2e2 共线，则有且只
7、有一个实数 ，使得 1e1 1e2 (2e1 2e2)；若存在实数 ， 使得 e1e 20，则0.A BC D解析：由平面向量基本定理可知，是正确的；对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于，当两向量的系数均为零，即 1 2 1 20 时，这样的 有无数个答案：B2如图，向量 ，若 x y ，则 xy_BP 14BA OP OA OB 解析：因为 ( ) ，所以OP OB BP OB 14BA OB 14BO OA 14OA 34OB x ，y .所以 xy .14 34 12答案：123设 e1，e 2 是不共线的非零向量，且 a
8、e 12e 2，be 13e 2.(1)证明：a，b 可以作为一组基底；(2)以 a，b 为基底，求向量 c3e 1e 2 的分解式；(3)若 4e13e 2a b，求 ， 的值(1)证明：若 a，b 共线，则存在 R，使 ab ，则 e12e 2(e 13e 2)由 e1，e 2 不共线得， 1，3 2，) 1， 23.)所以 不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底(2)解：设 cmanb(m，nR) ，得 3e1e 2m( e12e 2) n(e13e 2)(mn)e1( 2m3n)e 2.所以 所以 c2ab.m n 3， 2m 3n 1，) m 2，n 1.)(3)解：由 4e13e 2ab，得 4e13e 2(e 12e 2) (e13e 2)()e1( 23)e 2.所以 4， 2 3 3，) 3， 1.)故所求 ， 的值分别为 3 和 1.
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