1、第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.合作学习一、设计问题,创设情境如图所示,在ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和 C,求边 c.根据学过的正弦定理知识,能够求出边 c 吗?二、信息交流,揭示规律联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题?是否可以用向量解决这个问题呢?如果可以,尝试一下解决这个问题.余弦定理:思考 1:这个式子
2、中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?余弦定理的推论形式:思考 2:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?三、运用规律,解决问题【例 1】在ABC 中,已知 a=2 ,c= ,B=45,求 b 及 A.3 6+2【例 2】在ABC 中,已知 a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形( 角度精确到 1).四、变式训练,深化提高【例 3】在ABC 中,已知 b=5,c=5 ,A=30,解三角形.3【例 4】在ABC 中,若 a2=b2+c2+bc,
3、求角 A.五、限时训练(一)选择题1.ABC 中,a=3,b= ,c=2,那么 B 等于( )7A.30 B.45 C.60 D.1202.已知ABC 中,sin Asin Bsin C= 1 2,则 ABC 等于( )3A.123 B.231C.132 D.3123.在ABC 中,B=60,b 2=ac,则 ABC 一定是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形4.若三条线段的长为 5,6,7,则用这三条线段( )A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形5.在ABC 中,若 a=7,b=3,c=8,则其面积等于( )A.1
4、2 B. C.28 D.6212 36.在ABC 中,若(a+c )(a-c)=b(b+c),则A 等于( )A.90 B.60 C.120 D.150(二)填空题7.在ABC 中,若 AB= ,AC=5,且 cos C= ,则 BC= . 59108.在ABC 中,(b+c )(c+a) ( a+b)=456,则ABC 的最大内角的度数是 . (三)解答题9.在ABC 中,a+b=10,cos C 是方程 2x2-3x-2=0 的一个根,求ABC 周长的最小值.10.在ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x2-2 x+2=0 的两个根 ,且 2cos(A+B)=1.3求:(1)角
5、 C 的度数 ;(2)AB 的长度.六、反思小结,观点提炼通过本节课的研讨,请大家谈谈自己的体会.(1)在本节课中,学习了哪些知识?(2)包含了哪些数学思想和数学方法?参考 答案一、设计问题,创设情境不可以二、信息交流,揭示规律利用向量.如图,设 =a, =b, =c,那么 c=a-b,|c|2=cc=(a-b)(a-b)=aa+bb-2ab=|a|2+|b|2-2ab.从而 c2=a2+b2-2abcos C.同理可证 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B.余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 a2
6、=b2+c2-2bccos A;b2=c2+a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C.思考 1:4 个量,可以.余弦定理的推论:cos A=2+2-22cos B=2+2-22cos C=2+2-22思考 2:若ABC 中,C=90, 则 cos C=0,这时 c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.三、运用规律,解决问题【例 1】解:b 2=a2+c2-2accos B=(2 )2+( )2-22 ( )cos453 6+2 3 6+2=12+( )2-4 ( +1)6+2 3 3=8,b=2 .2(求 A 可以利用余弦定理 ,也可以利
7、用正弦定理 .)方法一:cos A= ,2+2-22=(22)2+(6+2)2-(23)2222(6+2) =12A=60.方法二:sin A= sin B= sin45= , 2322 32又 2.4+1.4=3.8,6+22 21.8=3.6,3ac,即 0A90.A=60.(方法二应注意确定 A 的取值范围 .)【例 2】解:由余弦定理的推论 ,得cos A=2+2-22=87.82+161.72-134.62287.8161.70.5543,A5620;cos B=2+2-22=134.62+161.72-87.822134.6161.70.8398,B3253;C=180-(A+B)
8、180-(5620+3253)=9047.四、变式训练,深化提高【例 3】解:a 2=b2+c2-2bccos A=25+75-75=25,a=5.(求 B 可以利用余弦定理 ,也可以利用正弦定理 .)方法一:cos B= ,2+2-22=(5)2+(53)2-(5)22553 =32B=30.方法二:sin B= sin A= sin30, 55B=30或 B=150(舍去).C=180 -30-30=120.【例 4】解:由余弦定理推论, 可知cos A=2+2-22=2+2-(2+2+)2=- ,12所以角 A 为 120.五、限时训练1.C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C7.4
9、 或 58.1209.解:2x 2-3x-2=0,x 1=2,x2=- .12又cos C 是方程 2x2-3x-2=0 的一个根,cos C=- .12由余弦定理,得 c2=a2+b2-2ab =(a+b)2-ab,(-12)则 c2=100-a(10-a)=(a-5)2+75.当 a=5 时,c 最小且 c= =5 ,此时 a+b+c=10+5 ,75 3 3ABC 周长的最小值为 10+5 .310.解:(1)cos C=cos-(A+B)=-cos(A+B)=- ,C=120.12(2)由题意,知 +=23,=2, AB 2=AC2+BC2-2ACBCcos C=a2+b2-2abcos120=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2 )2-2=10.3AB= .10六、反思小结,观点提炼(1)余弦定理及其发现和证明;余弦定理的初步应用.(2)运用从特殊到一般,从一般到特殊的转化思想;运用“观察、猜想、实验、证明”解决问题的方法.
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