1、第二章 数列2.4 等比数列2.4 等比数列( 第 2 课时)学习目标灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念; 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情境首先回忆一下上一节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q0)
2、,即: . 2.等比数列的通项公式: . 二、信息交流,揭示规律1.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.即 G= (a,b 同号 ).如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,则 ,反之,若 G2=ab,则 ,即 a,G,b 成等比数列. =(1)在等比数列a n中,是否有 =an-1an+1(n2)?2(2)如果数列a n中,对于任意的正整数 n(n2),都有 =an-1an+1,那么 an一定是等比数2列吗?分析:(1)由a n是等比数列,知 ,所以有 =an-1an+1(n2);-
3、1=+1 2(2)当数列为 0,0,0,0,时,仍有 =an-1an+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一2定;若数列a n中的每一项均不为零 ,且 =an-1an+1(n2,n N),则数列a n是等比数列,反之成2立.2.几个性质(1)已知 a1,a2,a3,an 是公比为 q 的等比数列,新数列 an,an-1,a2,a1也是等比数列吗?分析:由等比数列的定义可得 = =q.21=32 -1所以 = ,由此可以看出 an,an-1,a2,a1是从第 2 项起,每一项与它的前一-1 23=12=1项的比值都等于 ,所以是首项为 ,公比为 的等比数列. 1(2)已知无穷等比数列a n
4、的首项为 a1,公比为 q.依次取出数列a n的所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗 ?如果是,它的首项和公比分别是多少?数列ca n(其中常数 c0)是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?分析:由 =q,得 an+1=anq,+1a3=a2q=a1q2,所以 =q2;a5=a4q=a3q2,所以 =q2;以此类推,可得, =q2,所以数31 53 2+12-1=2-122-1列a n的所有奇数项组成的数列是首项为 ,公比为 的等比数列. 因为 = =q,21=32 -1所以数列ca n(c0)是首项为 ca1,公比为 q 的等比数列.(3)已知数列a n是等比数列.
5、=a3a7是否成立? =a1a9成立吗?25 25 =an-1an+1(n1)是否成立?2 =an-kan+k(nk0)是否成立?2在等比数列中,m+n=p+k,a m,an,ap,ak 有什么关系呢?分析:设数列a n的公比为 q,则 a3=a1q2,a5=a1q4,a7=a1q6, q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)= q8,25=21 21所以 =a3a7,同理 =a1a9.25 25 =an-1an+1(n1)成立.2 =an-kan+k(nk0)成立.2由等比数列定义,得 am=a1qm-1,an=a1qn-1,ap=a1qp-1,ak=a1qk-1,aman= qm+n-2,
6、apak= qp+k-2,则 aman=apak.12 12结论:若 m+n=p+k,则 . 三、运用规律,解决问题【例 1】等比数列a n中,(1)已知 a2=4,a5=- ,求数列 an的通项公式;12(2)已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6的值.【例 2】如果数列a n,bn是项数相同的等比数列,那么a nbn也是等比数列.【例 3】设 a,b,c,d 成等比数列,求证:(b-c) 2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.【例 4】若 a,b,c 成等差数列,且 a+1,b,c 与 a,b,c+2 都成等比数列,求 b 的值.四、变式训练,深化提高变式训练 1:等比数
7、列a n中,若 a7a12=5,则 a8a9a10a11= . 变式训练 2:等比数列a n中,若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,则 an= . 变式训练 3:已知数列a n为等比数列 ,且 an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5= .变式训练 4:三个数成等比数列 ,它们的和为 14,它们的积为 64,求这三个数.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1. =q(q0)-12.an= qn-1(a1q0),an= qn-m(amq0)1 二、信息交流,揭示规律1. G2=abG= 2.(1)an 1(2)a 1 q 2(3)aman=apak(m
8、,n,p,kN *)三、运用规律,解决问题【例 1】解:(1)a 5=a2q5-2,q=- .12a n=a2qn-2=4 .(-12)-2=(-12)-4(2)a 3a5= ,a3a4a5= =8,24 34a 4=2.又a 2a6=a3a5= ,24a 2a3a4a5a6= =32.45【例 2】解:设数列a n的首项是 a1,公比为 q1;数列b n的首项为 b1,公比为 q2,那么数列anbn的第 n 项与第 n+1 项分别为 a1 b1 与 a1 b1 ,即为 a1b1(q1q2)n-1与1-1 2-1 1 2a1b1(q1q2)n,因为 =q1q2,+1+1 =11(12)11(1
9、2)-1它是一个与 n 无关的常数,所以a nbn是一个以 a1b1为首项,以 q1q2为公比的等比数列.【例 3】证明:法一:a,b,c,d 成等比数列, ,=b 2=ac,c2=bd,ad=bc,左边=b 2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)=a2-2ad+d2=(a-d)2=右边.证毕.法二:a,b,c,d 成等比数列,设其公比为 q,则 b=aq,c=aq2,d=aq3,左边=(aq-aq 2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2,=(a-d)2=右边证毕.
10、【例 4】解:设 a,b,c 分别为 b-d,b,b+d,由已知 b-d+1,b,b+d 与 b-d,b,b+d+2 都成等比数列,有2=(-+1)(+), 2=(-)(+2), 整理,得2=2-2+,2=2-2+2-2,所以 b+d=2b-2d,即 b=3d,代入,得 9d2=(3d-d+1)(3d+d),9d2=(2d+1)4d,解之,得 d=4 或 d=0(舍 d=0),所以 b=12.四、变式训练,深化提高变式训练 1:解析:因为 a7a12=a8a11=a9a10,又 a7a12=5,所以 a8a9a10a11=55=25.答案:25变式训练 2:解析:由 a1a2a3=8 得 =8
11、,于是 a2=2 所以 a1a3=4, 32由 a1+a2+a3=7 得 a1+a3=5, 由解得 1=1,3=4或 1=4,3=1,当 时,q= =2,an=2n-1,1=1,3=4 21当 时,q= ,an=4 =23-n.1=4,3=1 21=12 (12)-1答案:2 n-1或 23-n变式训练 3:解析:因为 a2a4=a3a3= ,a4a6=a5a5= ,23 25所以 a2a4+2a3a5+a4a6= +2a3a5+ =(a3+a5)2=25.23 25又 an0,所以 a3+a5=5.答案:5变式训练 4:解:设这三个数为 ,a,aq,由题意 解得 +=14,=64, =4,=2或 =4,=12,于是所求的三个数为 2,4,8 或 8,4,2.五、反思小结,观点提炼略
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