1、第三章 不等式3.4 基本不等式: +23.4 基本不等式 : (第 1 课时)+2学习目标1.了解代数与几何两方面背景,用数形结合的思想理解基本不等式.2.掌握从不同角度探索基本不等式的方法.3.从基本不等式的证明过程中进一步体会不等式证明的常用思路.合作学习一、设计问题,创设情境第 24 届国际数学家大会于 2002 年在北京召开,右面是大会的会标,其中的图案大家见过吗?在此图中有哪些几何图形?你能发现图形中隐含的不等关系吗?若我们设图中直角三角形的直角边分别为 x,y,你能用 x,y 表示四个直角三角形的面积和吗? 你能用 x,y 表示大正方形的面积吗?根据图形 ,比较四个直角三角形的面
2、积和与大正方形的面积的不等关系,写出不等式.二、信息交流,揭示规律问题 1:当四个直角三角形边长可以变化时 ,四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有没有可能相等? 相等时,图形产生了怎样的变化? x ,y 有什么关系?问题 2:以上结论我们是在几何图形中的面积关系获得的 .同学们能否运用代数的方法对这个结论进行证明?问题 3:同学们对结论中的“当且仅当”如何理解?如果我们使用两个正数 a,b 分别代替x2,y2,那么,以上结论我们可以写成什么形式?问题 4:对这个结论,我们能否进行证明 ?问题 5:结论(1)我们是在赵爽弦图中发现的,那么,我们能不能找到结论(2)的几何解释呢?同学们来看这个
3、问题:如图 AB 是圆 O 的直径,点 C 是线段 AB(除 A、B 外) 上任意一点,过点C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD,BD.试以 a,b 表示 CD,OD 的长度并比较两者的大小.问题 6:什么时候等号成立? 做出怎样的解释呢?问题 7:对于一个公式,我们首先要观察结构、进行记忆。同学们观察基本不等式两边,你想到了原来学过的哪些知识?三、运用规律,解决问题【例 1】下列各式错误的是( )A. (a0,b0) B.x+ 2(x0)3+22 6 1C. +sinx4(00,试比较 的大小关系,并给出证明.,+2和 2+22五、反思小结,观点提炼1.本节课你学到了哪些数学知识和数学
4、方法?2.本节课你能感受到哪些数学思想?参考答案一、设计问题,创设情境见过.这是赵爽弦图.在初中曾用它证明过勾股定理.直角三角形和正方形.三边的不等关系. x 2+y22xy 或 x2+y22xy.问题 1:有可能相等;四个直角三角形的直角顶点会重合;此时 x=y.结论(1):重要不等式:对任意实数 x,y,我们有 x2+y22xy,当且仅当 x=y 时,等号成立.问题 2:证明:(作差法)因为 x2+y2-2xy=(x-y)20,所以 x2+y22xy.当且仅当 x=y 时,等号成立.问题 3:当 x=y 时,并且只有 x=y 时,等号成立.结论(2):基本不等式:若 a0,b0,可得 a+
5、b2 ,通常记为 ,当且仅当 a=b 时, +2等号成立.问题 4:能.问题 5:CD= ,OD= ,由图可得: CD= OD= .+2 +2问题 6: a=b 时,等号成立;圆内半弦不超过半径.问题 7:有的同学会回答平均数 ;有的同学可能会回答等比中项、等差中项 .是我们平时求平均数的方法,我们称之为算数平均数; 我们称为几何平均数.基本+2 不等式我们可以解释为几何平均数不大于算术平均数,这是它的代数解释.三、运用规律,解决问题【例 1】C【例 2】证明:因为 x,y 都是正数,所以 2 =2.+ 当且仅当 ,即 x=y 时,等号成立.=四、变式训练,深化提高变式训练:解:显然 成立.+2因为 a2+b22ab,所以 ab,故 .2+22 2+22 因为 0,(+2)2( 2+22 )2=2-(2+2)4所以 .2+22 +2综上可知 ,当且仅当 a=b 时,等号成立.2+22 +2五、反思小结,观点提炼1.重要不等式、基本不等式;作差法证明不等式 .2.化归思想、数形结合思想.
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